山东省寿光现代中学2007-2008学年度第一学期期末模拟高三数学试题(理)

山东省寿光现代中学2007-2008学年度第一学期期末模拟高三数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+（B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的 概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数)2(cos 2π+=x y 是（ ）A ．最小正周期是π的偶函数B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数 2．已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 （ ）A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 3．函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A ．（1-e ，+∞） B ．（－∞，1-e ）C ．（0，1-e ）D ．（e ，+∞）4．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a =（1，0，1），b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 5．已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，给出下列命题①α∥m l ⊥=β； ②l ⇒⊥βα∥m ③l ∥βα⊥⇒m④α⇒⊥m l ∥β 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长，球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径6．已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是βαβα++=+=则且,1,1,21bb a a 的最小值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O （0，0），A （3，0），B （0，3），点P 在线段AB 上，且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为 （ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．设A 、B 是两个集合，定义}2|1||{},,|{≤+=∉∈=-x x M B x A x x B A 若且， ∈==αα|,sin ||{x x N R }，则M －N=（ ）A ．[－3，1]B ．[－3，0）C ．[0，1]D ．[－3，0]9．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形 状为 （ ）10．直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ）A ．2B ．2C ．26D ．511．在某次数学测验中，学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}98,96,93,92,90{)(∈i f ， 且满足)4()3()2()1(f f f f <≤<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 （ ）A ．9种B ．5种C ．23种D ．15种12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，既可用来洗浴。

洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水。

当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（ ）A ．3人洗浴B ．4人洗浴C ．5人洗浴D ．6人洗浴P第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 .14．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数I=)0,0)(6sin(≠>+⋅ωπωA t A 的图象如图 所示，则当501=t 秒时，电流强度是安.15．如图，正三角形P 1P 2P 3，点A 、B 、C 分别为边P 1P 2，P 2P 3，P 3P 1的中点，沿AB 、BC 、CA 折起，使P 1、P 2、P 3三点重合后为点P ，则折 起后二面角P —AB —C 的余弦值为 .16．已知函数xx f )21()(=的图象与函数g （x ）的图象关于直线x y =对称，令|),|1()(x g x h -=则关于函数)(x h 有下列命题（ ）①)(x h 的图象关于原点对称； ②)(x h 为偶函数；③)(x h 的最小值为0；④)(x h 在（0，1）上为减函数.其中正确命题的序号为 （注：将所有正确．．命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||=求角α的值；（II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.18．（本小题满分12分）已知10件产品中有3件是次品. （I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率； （II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？19．（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，首项11=a ，数列}{n b 满足.641,)21(321==b b b b n an 且 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求.22211<+++n n b a b a b a20．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正 三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点。

（I ）求异面直线PA 与DE 所成的角； （II ）求点D 到面PAB 的距离.21．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.22．（本小题满分14分）已知函数∈++++=a a x a x x f (|2|lg )1()(2R ，且)2-≠a .（I ）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析式；（II ）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数；命题Q ：函数)(x g 是减函数.如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； （III ）在（II ）的条件下，比较2lg 3)2(-与f 的大小.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. AACBD CCBCA DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．)0,41(a 14．5 15．3116．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共74分17．（本小题满分12分）解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα ，…………2分αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴AC ，αααsin 610)3(sin cos ||22==-+=.……………………4分由||||=得ααcos sin =. 又45),23,2(παππα=∴∈ .…………6分 （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=⋅αααα得.32cos sin =+∴αα①………………7分又.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222αααααααααα=++=++………………9分 由①式两分平方得,94cos sin 21=+αα .95tan 12sin sin 2.95cos sin 22-=++∴-=∴ααααα……………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为24731037=C C …………3分至少有一件是次品的概率为.24172471=-……………………6分 （2）设抽取n 件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为.103733nn C C C -………8分 由,)!10(!!10106)!10()!3(!7,6.01037n n n n C C n n -⋅>-->-即整理得：689)2)(1(⨯⨯>--n n n ，……………………10分,10,≤∈n N n ∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为;2417为了保证使3件次 品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ， n an b a )21(,11== ，.)21(,)21(,21,)21(,12131211d d a n b b b b a n ++===∴==∴………………3分由641321=b b b ，解得d=1.…………5分 .1)1(1n n a n =⋅-+=∴…………6分（2）由（1）得.)21(nn b =设nn n n n b a b a b a T )21()21(3)21(2211322211⋅++⋅+⋅+⋅=+++= ，则.)21()21(3)21(2)21(1211432+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T 两式相减得.)21()21()21()21(2121132+⋅-++++=n n n n T ………………9分n n n n n n n T 2212)21(2211])21(1[21211--=⋅---⋅=∴-+.………………11分 2.2221222111<+++∴<---n n n n b a b a b a n又………………12分20．（本小题满分12分）（1）解法一：连结AC ，BD 交于点O ，连结EO.∵四边形ABCD 为正方形，∴AO=CO ，又∵PE=EC ，∴PA ∥EO ， ∴∠DEO 为异面直线PA 与DE 所成的角……………………3分 ∵面PCD ⊥面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥面PCD ，∴AD ⊥PD.在Rt △PAD 中，PD=AD=a ，则a PA 2=，,22,23,2221a DO a DE a PA EO ====∴ 又 ,4622232212143cos 222=⨯⨯-+=∠∴aa aa a DEO∴异面直线PA 与DE 的夹角为.4arccos……………………6分 （2）取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连PM 、MN 、PN.,//,,//PAB DC PAB DC AB DC 面面∴⊄∴D 到面PAB 的距离等于点M 到 面PAB 的距离.……7分 过M 作MH ⊥PN 于H ，∵面PDC ⊥面ABCD ，PM ⊥DC ， ∴PM ⊥面ABCD ，∴PM ⊥AB ， 又∵AB ⊥MN ，PM ∩MN=M ，∴AB ⊥面PMN. ∴面PAB ⊥面PMN ， ∴MH ⊥面PAB ，则MH 就是点D 到面PAB 的距离.……10分 在,27)23(,23,,22a a a PN a PM a MN PMN Rt =+=∴==∆中 .7212723a a aa PNPMMN MH =⋅=⋅=∴………………12分解法二：如图取DC 的中点O ，连PO ， ∵△PDC 为正三角形，∴PO ⊥DC.又∵面PDC ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD. 如图建立空间直角坐标系.xyz O -则),0,2,0(),0,2,(),0,2,(),23,0,0(a C a a B a a A a P - )0,1,0(aD -.………………………………3分（1）E 为PC 中点，),43,4,0(a a E )23,2,(),43,43,0(a a a PA a a DE --==∴， 243)23(43)2(43a a a a a -=-⨯+-⨯=⋅∴， ,4623243||||,cos ,22||,2||2-=⨯-=⋅>=<==aa a DE PA DE PA DE a PA∴异面直线PA 与DE 所成的角为.4arccos……………………6分 （2）可求)0,,0(),23,2,(a AB a a a PA =--=， 设面PAB 的一个法向量为n n z y x n ⊥⊥=,),,,(则，.0232=--=⋅∴az y a xa PA n ① 0==⋅ya n . ② 由②得y=0，代入①得023=-az xa 令).2.0,3(,2,3=∴==n z x 则…………………………9分 则D 到面PAB 的距离d 等于在n 上射影的绝对值7|)2.0,3()0,0,(||||||||||||cos |||⋅=⋅=⋅=>⋅<=a n n n DA n d .72173a a =即点D 到面PAB 的距离等于.721a ………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）.0,2=⋅=∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………………6分 （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由 设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则……………………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又 λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴k k k k 整理得……………………10分 .331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴……………………………………12分 22．解：（1）),()(),()(),()()(x h x h x g x g x h x g x f =--=-+=).()()(x h x g x f +-=-∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-++++=+∴.|2|lg )1()()(|,2|lg )1()()(22a x a x x h x g a x a x x h x g ………2分 解得.|2|lg )(,)1()(2++=+=a x x h x a x g ………………4分 （2）|2|lg 4)1()21()(22+++-++=a a a x x f 函数 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数， ,21)1(2+-≥+∴a a 解得.2231-≠-≤-≥a a a 且或…………6分 又由函数x a x g )1()(+=是减函数，得.21,01-≠-<∴<+a a a 且…………8分 ∴命题P 为真的条件是：.2231-≠-≤-≥a a a 且或 命题Q 为真的条件是：21-≠-<a a 且.又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，.23->∴a ……………………10分（2）由（1）得.6)2lg(2)2(,23.6|2|lg 2)2(+++=∴->+++=a a f a a a f 又 设函数010ln 212)(,6)2lg(2)(>++='+++=a a v a a a v . ∴函数)(a v 在区间),23[+∞-上为增函数.………………12分 又.2lg 3)2(),23()(,23,2lg 3)23(->->->∴-=-f v a v a v 即时当 ………14分。