雅礼中学高二文科数学期中考试试卷及答案

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2023-2024学年雅礼中学高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年雅礼中学高二数学上学期期中考试卷（时量：120分钟分值：150分）2023.11一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}220,RA x x x x =+-<∈，{}11B xx =-<，则A B ⋃=（）A ．{}12x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}22x x -<<D ．{}02x x <<2．“2m =-”是“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A ．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B ．从2日到5日空气质量越来越好C ．这14天中空气质量指数的中位数是214D ．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日4．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（）A ．226160x y y ++-=B ．226160x y y +--=C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=5．已知双曲线C ：22x a -22yb =1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =16．抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且4MF OF =，MFO ∆的面积为A ．26y x=B ．28y x=C ．216y x =D ．2152y x =7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x <时，()0f x >．给出以下四个结论：①()00f =；②()f x 可能是偶函数；③()f x 在[],m n 上一定存在最大值()f n ；④()10f x ->的解集为{}1x x <．共中正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．焦点在x 轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是2279,22b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则椭圆离心率的范围是（）A．⎣⎦B．⎣⎦C．⎣⎦D．⎣⎦二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知圆22:4O x y +=和圆22:2440M x y x y +-++=相交于,A B 两点，下列说法正确的是（）．A ．圆M 的圆心为()1,2-，半径为1B ．直线AB 的方程由为240x y --=C ．圆心O 到AB的距离为D ．线段AB的长为10．已知函数()()()2cos 10,0πf x x ωϕωϕ=++><<的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．()f x 在45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，点P 为线段1AD 上一动点，则下列说法正确的是（）A ．直线1//PB 平面1BC DB ．三棱锥1P BC D-的体积为23C ．三棱锥11D BC D -外接球的表面积为6πD ．直线1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值的最大值为12．曲线C 是平面内与两个定点()()120,1,0,1F F -的距离的积等于32的点P 的轨迹，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于坐标轴对称B ．点P 到原点距离的最大值为C ．12F PF △周长的最大值为2+D ．点P 到y 轴距离的最大值为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 经过两点()1,A m -，(),1B m ，若直线l 的方向向量的坐标为()3,1．则m =．14．已知椭圆221259x y +=上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是.15．已知函数()2,0ln ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()()232g x f x f x =-+零点的个数是．16．已知N 为抛物线24x y =上的任意一点，M 为圆()2254x y +-=上的一点，()0,1A ，则2MN MA +的最小值为．四､解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()()()cos ,sin m A B A B =--，()cos ,sin n B B =-，且35m n ⋅=-．(1)求sin A 的值；(2)若a =5b =，求ABC 的面积．18．2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A ，B ，C ，D 四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期中考试．(1)根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为34，做对第二个多选题的概率为12，对第三个多选题的概率为16．求小李同学前三个多选题错一个的概率．(2)若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．（i ）求小博得2分的概率；（ii ）求小博得分比小智得分高的概率．19．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P点，且PB =(1)证明：BC ⊥平面PAC ；(2)若E 为线段PC 的中点，求平面AEB 与平面ABC夹角的余弦值．20．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，ABC 的顶点都在抛物线上，满足0FA FB FC ++= ．(1)求FA FB FC++的值；(2)设直线AB 、直线BC 、直线AC 的斜率分别为AB k ，BC k ，AC k ，若实数λ满足：111AB BCAC k k k λ+=⋅上，求λ的值．21．已知双曲线E 的左、右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，点32,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线E 上．(1)求E 的方程；(2)过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l，与E 的右支分别交A ，C 两点和B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值．22．如图，设P 是228x y +=上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，Q 点满足QD PD λ=（0λ≠）．(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹C 的方程；(2)若12λ=，设点(2,1)A ，A 关于原点的对称点为B ，直线l 过点1(1,2-且与曲线C 交于点M 和点N ，设直线AM 与直线BN 交于点T ，设直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ．（i ）求证：12k k 为定值；（ii ）求证：存在两条定直线1l 、2l ，使得点T 到直线1l 、2l的距离之积为定值．1．C【分析】首先解不等式求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【详解】由220x x +-<，即()()210x x +-<，解得2<<1x -，所以{}{}220,R |21A x x x x x x =+-<∈=-<<，由11x -<，即111x -<-<，解得02x <<，所以{}{}11|02B x x x x =-<=<<，所以{}22A B x x ⋃=-<<.故选：C 2．A【分析】根据两直线平行求得m 的值，由此确定充分、必要条件.【详解】“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”因为2m =-，所以直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=，1l 与2l平行，故充分条件成立；当直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线1:210l x y ++=与直线2:210l x y ++=重合，当2m =-时，直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=平行，故充要条件成立．故选：A ．3．B【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.4．A【解析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC=可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程.【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-，所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5．A【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为b y xa =0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6．B【详解】设，则由得，即，则，则，则，解得，即抛物线的方程为28y x =．．考点：直线与抛物线的位置关系．7．B【分析】对于①，赋值得到()00f =；对于②，令y x =-得到()f x 为奇函数，结合0x <时，()0f x >，得到()f x 不可能是偶函数；对于③，设x y <，则0x y -<，结合函数的奇偶性和题目条件得到()()f x f y >，故()f x 是减函数，③错误；对于④，根据奇偶性和单调性得到不等式，求出解集.【详解】对于①，()()()f x y f x f y +=+中令0x y ==，则()()()000f f f =+，解得()00f =，①正确；对于②，()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-得()()()00f x f x f +-==，故()f x 为奇函数，又当0x <时，()0f x >，故()f x 不为常函数0y =，故不可能为偶函数，②错误；对于③，设x y <，则0x y -<，又()f x 为奇函数，当0x <时，()0f x >，故()()()()()0f x y f x f y f x f y -=+-=->，所以()()f x f y >，故()f x 是减函数，()f x 在[],m n 上最大值不是()f n ，③错误；对于④，因为()00f =，故()()100f x f ->=，因为()f x 是减函数，所以10x -<，解得1x <，所以()10f x ->的解集为{}1x x <，④正确.故选：B 8．C【分析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在的直线方程为：y kx =（假设0k >），与椭圆方程联立可得矩形ABCD 的面积2222244a b kS xy b a k ==+，变形利用基本不等式结合题意求解即可.【详解】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在的直线方程为：y kx =（假设0k >），联立22221x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则222221x k x a b +=，解得：222222a b x b a k =+，2222222a b k y b a k =+，所以矩形ABCD的面积为：222222222224442a b k a b S xy abb b a k a k k ====++，当且仅当bk a =时取等，因为点在x 轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是2279,22b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2279222b ab b ≤≤，则7944b a b ≤≤，即22249811616b a b ≤≤，()()2222249811616a c a a c -≤≤-，即()()22222281164916a a c a c a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得：222265813349c a c a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即e ∈⎣⎦.故选：C.9．ABD【分析】对于A ，化简圆M 即可；对于B ，由两圆相减得公共弦所在直线即可；对于C ，根据点到直线距离公式解决即可；对于D ，根据直线与圆位置关系，几何法解决即可.【详解】对于A ，圆22:2440M x y x y +-++=，化简得()()22:121M x y -++=，所以圆M 的圆心为()1,2-，半径为1，故A 正确；对于B ，已知圆22:4O x y +=和圆22:2440M x y x y +-++=相交于,A B 两点，所以两式相减得：240x y --=，所以直线AB 的方程为240x y --=，故B 正确；对于C ，由B 选项得直线AB 的方程为240x y --=，因为()0,0O ，所以圆心O 到AB 的距离为4455d -==，故C 错误；对于D ，因为()0,0,2O r =，圆心O 到AB 的距离为4555d -==，所以22164545AB r d =--，故D 正确.故选：ABD.10．ABD【分析】由图可知πT =，求得ω，可判断A ；由5π112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合0πϕ<<求得ϕ，可判断B ；利用三角函数的单调性求解可判断C ；求出π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式，进而求出对称轴，可判断D.【详解】由图可知11π5π2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2ω=，故A 正确.因为5π5π2cos 2111212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()5π2ππZ 6k k ϕ+=+∈，即()π2πZ 6k k ϕ=+∈.因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，则B 正确.令2ππk -≤()22Z ππ6x k k +≤∈，解得()7ππππZ 1212k x k k -≤≤-∈，此时()f x 单调递增；令2πk ≤()22ππZ π6x k k +≤+∈，解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，此时()f x 单调递减.由4π5π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得()f x 在4π17π,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在17π5π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则C 错误.因为()π2cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以1ππ2cos 212sin 262f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π2π2x k =+，Z k ∈，得ππ24k x =+，Z k ∈.当0k =时，π4x =，则π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，故D 正确.故选：ABD.11．ACD【分析】先证明平面11//AB D 平面1BC D ，再根据面面平行得线面平行可判断A ，用等体积法判断B ，求外接球表面积判断C ，利用空间向量先表示出直线1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值，进而求得最大值，即可判断D.【详解】对于A ，由长方体的性质得11//AD BC ，11//AB DC ，因为1AD ⊄平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，所以1//AD 平面1BC D ，同理，1AB ⊄平面1BC D ，1DC ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ，又11AD AB A ⋂=，且1AD ⊂平面11AB D ，1AB ⊂平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BC D ，又1PB ⊂平面11AB D ，从而直线1//PB 平面1BC D ，故A 正确；对于B ，由A 知，平面11//AB D 平面1BC D ，P 点在平面11AB D 上，所以111111112323P BC D A BC D C ABD V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；对于C ，三棱锥11D BC D-外接球的半径112R AC =⋅所以三棱锥11D BC D -外接球的表面积为224π4π6πS R ==⋅=，故C 正确；对于D ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1(0,0,2)D ，1(1,1,2)B ，则1(1,0,2)AD =-，设1AP AD λ=，则(,0,2)AP λλ=-，即(1,0,2)P λλ-，1(,1,22)B P λλ=-- ，可得面11BCC B 的一个法向量(0,1,0)n = ，设直线1PB 与平面11BCC B 所成角为θ，则11sin n B P n B P θ⋅===⋅ 故4=5λ，sin θ有最大值为3，故D 正确.故选：ACD.12．AB【分析】A ：根据条件得到关于,x y 的方程，然后以x -替换,x y -替换y ，根据方程的变化进行判断；B ：先表示出12PF PF ⋅，结合PO 的坐标表示，得到PO 与cos θ的关系，从而求解出点P 到原点距离的最大值；C ：利用基本不等式求解出12F PF △周长的最小值再进行判断；D ：根据条件先求解出12F PF △面积的最大值，然后通过等面积法求解出点P 到y 轴距离的最大值.【详解】由题意，曲线C 是平面内与两个定点()()120,1,0,1F F -的距离的积等于32的点P 的轨迹，设(),P x y ，32=，即22229(1)(1)4x y x y ⎡⎤⎡⎤++⋅+-=⎣⎦⎣⎦，以x -替换,x y -替换y 方程不变，所以曲线C 关于坐标轴对称，故A 正确；由12123cos cos 2PF PF PF PF θθ⋅== ，又()()12,1,,1PF x y PF x y --=---= ，所以22121PF PF x y =⋅+- 且222PO x y =+，所以22335cos 1cos 1222PO PO θθ=-⇒=+≤，则2PO ≤，当12PF PF同向时取等，故max 2PO =，故B 正确，设a b ==，得到32ab =，则2a b +≥⋅，当且仅当a b =时等号成立，所以12F PF △周长的最小值为1222F PF l a b =++= ，故C 错误；过点P 作12PE F F ⊥，如下图所示：则22221244141cos 2233333a b a b F PF ab ab +-+∠==-≥⨯-=-，当且仅当2a b ==时等号成立，显然当122F PF π∠=时，12sin F PF ∠取得最大值，所以12F PF △的最大面积为1213sin 24S ab F PF ∠=⋅=，又由12121324F PF S F F PE == ，解得34PE =，即点P 到y 轴的最大距离为34，故D 错误；故答案为：AB .【点睛】方法点睛：本题考查曲线方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性、基本不等式求最值等问题，难度较大.判断曲线的对称性时，由曲线的方程入手：若以x -代换x ，曲线的方程不变，则曲线关于y 轴对称；若以y -代换y ，曲线的方程不变，则曲线关于x 轴对称；若以y 代换x ，曲线的方程不变，则曲线关于y x =对称.13．12##0.5【分析】根据直线的方向向量的定义，结合斜率的计算公式求解出m 的值.【详解】设直线的斜率为k ，因为直线l 的方向向量坐标是()3,1，所以13k =，因为直线l 经过()1,A m -和(),1B m ，所以1113m k m -==+，解得12m =.故答案为：12.14．4【分析】由椭圆的定义以及中位线的性质，可得解【详解】设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF|+|ME|=10，又∵|MF|=2，∴|ME|=8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON|=12|ME|=4.故答案为：415．6【分析】由题知()1f x =或()2f x =，进而作出函数()f x 的图象，数形结合求解即可.【详解】解：令()0g x =，即()()2320f x f x -+=，解得()1f x =或()2f x =，作出函数()f x 的图象如图，由图可知，方程()1f x =有3个实数解，()2f x =有3个实数解，且均互不相同，所以，()0g x =的实数解有6个，所以，函数()()()232g x f x f x =-+零点的个数是6个.故答案为：616．【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段AM 中点E ，BC 中点D ，连接MD CE DN 、、，可证得所以ACE MBD = ，即AE MD=，可得2MA MD=，即可将2MN MA+转化为()2MN MD +，然后根据当D 、M 、N 三点不共线时，()22MN MD DN+>，当D 、M 、N 三点共线时，()22MN MD DN+=，将问题转化为2MN MA+的最小值即为2DN的最小值，再根据两点间距离公式求出2DN的最小值即可.【详解】根据题意可得抛物线24x y =与圆()2254x y +-=都关于y 轴对称，且圆()2254x y +-=的圆心坐标为()0,5B ，半径为2.因为()0,1A ，圆()2254x y +-=下方与y 轴交点坐标为()0,3C ，取线段AM 中点E ，BC 中点D ，可得()0,4D ，连接MD CE DN 、、，画出示意图如上图所示.因为C 、E 分别为AB 和AM 的中点，所以//CE BM ，112CE BM ==，所以ACE MBD ∠=∠，又因为BM AC=，BD CE=，所以ACE MBD = ，所以AE MD=，因为12AE MA =，所以2MA MD =，所以()222MN MA MN MD DN+=+≥，当且仅当D 、M 、N 三点共线时取到等号，此时M 点为线段DN 与圆的交点.所以2MN MA+的最小值即为2DN的最小值.因为N 为抛物线24x y =上的任意一点，设()N m ，0m ≥，因为()0,4D ，则DN =，当2m =时，min DN =即2MN MA+的最小值为故答案为：17．(1)45(2)2【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出cos A ，即可求出sin A ；（2）由余弦定理求出c ，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为()()()cos ,sin m A B A B =--，()cos ,sin n B B =-，且35m n ⋅=-，3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ∴---=-，()3cos cos 5A B B A ∴-+==-⎡⎤⎣⎦，又∵A 为ABC 内角，4sin 5A ∴==，（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-（舍去），故1c =，所以114sin 512225ABC S bc A ==⨯⨯⨯= ．18．(1)1948(2)（i ）12；（ii ）18【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）（i ）利用古典概型的概率公式计算可得；（ii ）设小博得分为X ，小智得分为Y ，求出()0P X =，()2P X =，()0P Y =，()2P Y =，再根据独立事件的概率公式计算可得.【详解】（1）设事件A 为小李同学前三个多选题错一个题，则()1113113151942642648264P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）（i ）因为最后一道数学多选题有三个正确的选项，不妨设正确答案为ABC ，而小博打算从中随机选择两个选项，则共有4362⨯=种，其中选中错误答案D 的有3种，所以小博得2分的概率63162P -==.（ii ）设小博得分为X ，由（i ）可知()102P X ==，()122P X ==，设小智得分为Y ，则()104P Y ==，()324P Y ==，设小博得分比小智得分高为事件E ，则()111248P E =⨯=.19．(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明BC ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面AEB 与平面ABC 夹角的余弦值．【详解】（1）等腰梯形ABCD 中，AD BC CD ==，//AB CD ，60ABC ∠=︒，则30CAB ACD DAC ∠=∠=∠=︒，则90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，又由222BC PC PB +=，可知BC PC ⊥，又PC AC C ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故BC ⊥平面PAC .（2）过点C 作CN ⊥平面ABC ，以C 为原点，分别以CA 、CB 、CN 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,2,0B，()A，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，则()2,0AB =-，12EA ⎫=-⎪⎭ ，设面EAB 法向量为(,,)m x y z = ，则00m AB m EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则20102y z ⎧-+=⎪-=，令1x =，则y =z =，则(m =，又面ABC 一个法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n m n m n ⋅=⋅ ，故平面AEB 与平面ABC20．(1)3p (2)1-【分析】（1）根据0FA FB FC ++= 向量和可知12332p x x x ++=，再利用抛物线定义即可得解；（2）根据1230y y y ++=及斜率公式化简即可得解.【详解】（1）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0FA FB FC ++=，所以1230222p p px x x -+-+-=，1230y y y ++=，即12332px x x ++=，由抛物线定义知，11||22p p FA x x ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭，22||22p p FB x x ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，33||22p p FC x x ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭，所以1233333222p p pFA FB FC x x x p ++=+++=+=.（2）由（1）知，1230y y y ++=．∵2121222121212()2AB y y p y y pk x x y y y y --===--+，同理132322,AC BC p pk k y y y y ==++，∴231321111222AB BCAC y y y y y y k k p p k p λλ++++=+=⋅=⋅，2222y y y λ∴-=-，解得1λ=-.21．(1)2213x y -=(2)6【分析】（1）设双曲线()2222:10,0x yE a b a b -=>>，依题意可得2222221134a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得即可；（2）设直线()1:2l y k x =-，()21:2l y x k =--，求得2133k <<，联立方程组，利用弦长公式，求得)22131k AC k +=-，)2213k BD k+=-，得到()()()222261313ABCD k S kk +=--，令21t k =+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>，则2222221134a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得2231a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线E 的方程为2213x y -=.（2）根据题意，直线1l ，2l的斜率都存在且不为0，设直线()1:2l y k x =-，()21:2l y x k =--，其中0k ≠，双曲线的渐近线为3y x =±，因为1l，2l 均与E 的右支有两个交点，所以33k >，13k ->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=，设()()1122,,,A x y C x y ，则21221213k x x k -+=-，212212313k x x k --=-，所以12 AC x ==-=)22131kk+=-，用1k-替换k，可得)2213kBDk+=-，所以))()()()2222222211611122313313ABCDk k kS AC BDk k k k+++=⋅=⋅⋅=----．令21t k=+，所以241,,43k t t⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则222266661616316161131612ABCDtSt tt t t==≥-+-⎛⎫-+---+⎪⎝⎭，当112t=，即1k=±时，等号成立，故四边形ABCD面积的最小值为6．【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22．(1)2221188x yλ+=；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）设出点,P Q的坐标，利用给定的向量关系，借助坐标代换法求出轨迹方程.（2）（i）求出曲线C的方程，并分别与直线,AM BN方程联立，求出点,M N的坐标，利用向量共线计算即得；（ii）由（i）的结论求出点T的轨迹方程，借助反比例函数图象确定直线1l、2l即可计算得解.【详解】（1）设点00(,),(,)Q x y P x y ，则0(,0)D x ，00(,),(0,)QD x x y PD y =--=-，由QD PD λ= ，得0x x =，01y y λ=，由P 是228x y +=上的动点，得22008x y +=，即有22218x y λ+=，整理得2221188x y λ+=，所以点Q 的轨迹C 的方程为2221188x y λ+=.（2）（i ）当12λ=时，由（1）知，曲线C 的方程为22182x y +=，显然点(2,1)A ，(2,1)B --在曲线C上，设1122(,),(,)M x y N x y ，直线AM 方程为11(2)y k x -=-，直线BN 方程为21(2)y k x +=+，由1122(21)48y k x k x y =--⎧⎨+=⎩，消去y 得2221111(41)8(21)4(21)80k x k k x k +--+--=，则21112188241k k x k --=+，221111112211882441(2)14141k k k k y k k k ----+=-+=++，由2222(21)48y k x k x y =+-⎧⎨+=⎩，消去y 得2222222(41)8(21)4(21)80k x k k x k ++-+--=，则22222288241k k x k -++=+，222222222222882441(2)14141k k k k y k k k -+++-=+-=++，令点1(1,)2-为E ，112211(1,),(1,)22EM x y EN x y =-+=-+ ，而点,,M E N 共线，即有1221(1)(21)(1)(21)x y x y -+=-+，22221122221122221221882441882441(1)(21)(1)(21)41414141k k k k k k k k k k k k --+--++--+-⋅=-⋅+++++，整理得222211222211222212214831281128148341414141k k k k k k k k k k k k --+--++--+⋅=⋅++++，21222211222211(483)(1281)(1281)(483)k k k k k k k k --+-=--+-，化简得2212121241230k k k k k k -+-=，即1212(41)(3)0k k k k +-=，观察图形知，直线,AM BN 的斜率同号，即120k k >，于是1230k k -=，即123k k =，所以12k k 为定值为定值3.（ii ）设(,)T x y ，则1222,11y y k k x x -+==-+，由（i ）知22311y y x x -+=⋅-+，即23321y x y x --=++，整理得642y x =---，显然函数642y x =---的图象是函数6y x =-的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位而得，函数6y x =-的图象是以x 轴、y 轴为渐近线的双曲线，因此函数642y x =---的图象，即点T 的轨迹是以直线2,4x y ==-为渐近线的双曲线，此双曲线上任意点(,)T x y 到直线2,4x y ==-的距离分别为|2|,|4|x y -+，显然6|2||4||2|||62x y x x -⋅+=-⋅=-，令直线2,4x y ==-分别为12,l l ，所以存在两条定直线1l 、2l ，使得点T 到直线1l 、2l的距离之积为定值.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。

雅礼高二期中考试数学试卷

一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3.14C. 1/2D. 22. 已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a10的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(x+1)的图像与f(x)的图像相比（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位4. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. 2x < x + 1C. 2x ≥ x + 1D. 2x ≤ x + 15. 在△ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值为（）A. 1/2B. √2/2C. 1/3D. √2/3二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为______。

7. 函数f(x) = -x^2 + 4x + 3的图像的对称轴为______。

8. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，其解为______。

9. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为______。

10. 已知等差数列{an}中，a1=5，公差d=3，则前10项的和S10为______。

三、解答题（共50分）11. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求：（1）函数f(x)的图像的顶点坐标；（2）函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

12. （10分）已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，求：（1）数列的前10项；（2）数列的前n项和。

13. （10分）已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2，求：（1）函数f(x)的单调区间；（2）函数f(x)的极值。

14. （10分）已知等比数列{an}中，a1=4，公比q=1/2，求：（1）数列的前5项；（2）数列的前n项和。

雅礼中学高二数学月考试卷(文科)

雅礼中学高二第一次月考试卷（文科数学）时量：120分钟分值：150分命题人：李斑审题人：汤芳一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1、命题“∀x ∈R,X 2>0”的否定是A 、∀x ∈R,X 2>0B 、∃x 0∈R ,X 02>0C 、∃x 0∈R ,X 02<0D 、∃x 0∈R ,X 02≤02、已知命题P 对任意x ∈R,总有|X |≥0;q:x=1是方程X ÷2=0的根，则下列命题为真命题的是（）.A 、p ^¬qB 、¬p ^qC 、⇁p ^¬qD 、p^q3、“p v q 是真命题”是“P 为真命题”的（）A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、即不充分也不必要条件4、若方程X 23−m +x 2m+1=1表示双曲线，则实数a 的取值范围是A 、（0、1）B 、（-1、 3）C 、（-∞、−1））D 、（1、 3）5、直线L 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）A 、13B 、12C 、23D 、346、已知|a n |是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8= 4S 4则a 10=( )A 、172B 、 192C 、 10D 、 127、有下列四个命题：○1y=2x -2−x 是奇函数： ○2“p v q”为真，则“P ^q”为真 ○3ΔABC 中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件； ○4“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”其中真命题的个数有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、设a=ln(3π),b=log 2e ,C=(13)0.3,则（）A 、a<b<CB 、b<c<aC 、a<c<bD 、c<b<a9、已知函数ƒ(x)=2cos x2-sin x2+2,则（）A、ƒ(x)的最小正周期为π，最大值为3B、ƒ(x)的最小正周期为π，最大值为4C、ƒ(x)的最小正周期为2π，最大值为3D、ƒ(x)的最小正周期为2π，最小值为410、在正方形ABCD-A1B1C1D1中，E为被CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A、√22B、√32C、√52D、√7211、若A点坐标为（1,1），F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则|PA |+PF1的最大值为（）A、6-√2B、6+√2C、5-√2D、7+√212、已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点A关于原点的对称点为B、F2为其右焦点，若AF⊥BF2,设∠ABF2=a,且aϵ[ π6,π4],则该椭圆离心率e的取值范围为A、[ √22,√3-1 ] B、[ √22, 1 ] C、[√22,√32] D、[ √33,√6]二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）3、若a =(X,X-1),b=(2,1),a ⊥ b,则x=14、数列{a n}中，a1=2, a n+1=2a n, S n为{a n}的前n项和，若S n=126,则n=15、若x,y满足约束条件{x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0，则Z=x÷y的最大值为16、已知函数ƒ(x)=|x2-4|+a| x-2|,若∀x∈[-3,3].ƒ(x)≤0则实数a的取值是三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17、（本小题满分10分）已知P:2<x<10,q:1-m≤x≤x+m(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围18.(本小题满分12分)ΔABC内角A、B、C、所对的边分别是a、b、c、向量vbvf =b、-√3a)与sin a cos a)垂直。

湖南省长沙市雅礼寄宿制中学2021年高二数学文月考试卷含解析

湖南省长沙市雅礼寄宿制中学2020-2021学年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过F2作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（）A． +2 B． +1 C．D．﹣1参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件我们知道|PQ|=，|F1F2|=2c，|QF1|=，因为∠PF2Q=90°，则2（+4c2）=，据此可以推导出双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知通径|PQ|=，|F1F2|=2c，|QF1|=，∵∠PF2Q=90°，∴2（+4c2）=，∴b4=4a2c2∵c2=a2+b2，∴c4﹣6a2c2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2或e2=3﹣2（舍去）∴e=+1．故选B．2. 已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=( )A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．3. 函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不确定参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【分析】因为函数关系式中的f′（2）为常数，先求出导函数f′（x）令x=2求出f′（2），即可得到f（x），把1和﹣1代入即可比较f（﹣1）与f（1）的大小关系．【解答】解：f′（2）是常数，∴f′（x）=2xf′（2）﹣3?f′（2）=2×2f′（2）﹣3?f′（2）=1，∴f（x）=x2﹣3x，故f（1）=1﹣3=﹣2，f（﹣1）=1+3=4．故选B．4. 圆的圆心坐标和半径分别为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 若、两点分别在圆上运动，则的最大值为（）A．13 B．19 C．32D．38参考答案：C6. 设为椭圆的左，右焦点，点M在椭圆F上．若△为直角三角形，且，则椭圆F的离心率为（▲ ）A． B.C． D.参考答案：A7. 某质量监督局要对某厂6月份生产的三种型号的轿车进行抽检，已知6月份该厂共生产甲种轿车1 400辆，乙种轿车6 000辆，丙种轿车2 000辆，现采用分层抽样的方法抽取47辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取（）A. 14辆，21辆，12辆B. 7辆，30辆，10辆C. 10辆，20辆，17辆D. 8辆，21辆，18辆参考答案：B8. 为双曲线C：的左焦点，双曲线C上的点与关于轴对称，A．9 B．16 C． 18 D．27参考答案：C9. 已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．10. 若定义在R上的函数，则它能取到的最大值为A．2 B．4 C．2 D．2－1参考答案：D＝，当且仅当x2＋1＝时取等号，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若命题p：常数列是等差数列，则￢p：．参考答案：存在一个常数列，它不是等差数列【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢：存在一个常数列，它不是等差数列，故答案为：存在一个常数列，它不是等差数列12. 已知，且满足，则的最大值为___________ .参考答案：3略13. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .参考答案： 19214. 若方程有解，则实数的取值范围是▲ ．参考答案：略15. 如图，圆O 上一点在直径上的射影为. ，，则____,___.参考答案：,略16. 关于x 的不等式的解集为{x|－1＜x ＜2}则关于x 的不等式的解集为________________．参考答案：17. 函数y=|﹣x 2+2x+3|的单调减区间为．参考答案：（﹣∞，﹣1]和[1，3] 【考点】3W ：二次函数的性质．【分析】根据题意化简函数y ，画出函数y 的图象，根据函数图象容易得出y 的单调减区间．【解答】解：令﹣x 2+2x+3=0，得x 2﹣2x ﹣3=0，解得x=﹣1或x=3；∴函数y=f （x ）=|﹣x 2+2x+3| =|x 2﹣2x ﹣3|=，画出函数y 的图象如图所示，根据函数y 的图象知y 的单调减区间是（﹣∞，﹣1]和[1，3]．故答案为：（﹣∞，﹣1]和[1，3]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高二下学期期中数学(文科)试卷.doc

高二数学（文科）一、选择题（本小题共12小题,每小题5分）1．设复数z 满足()12z i i -=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数z 满足||24,z z i z -=+=则（） A 34i + B 34i - C 43i + D 43i -3．在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（） A y=2x+1 B y=x+2 C y=x+1 D y=x-1 4．下面对相关系数r 描述正确的是（）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是（） A ．3aB ．4a C ．5aD ．6a6．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（） A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和 D ．相关指数2R7．设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y x C 4)2(22=+-y x D 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.16 B.2524 C. 34 D.111210. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（）A 1=ρB θρcos =C θρcos 1=D θρcos 1-=11．对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c, b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p ，则=⊕),()2,1(q p ( ) A )2,0( B )0,4( C )0,2( D )4,0(-12.若sin cos [0,]2xx x k e x k π+≤⋅∈在上恒成立，在的最小值为（）A3 B 2 C 1 D 21/e π二、填空题（共4小题、每题5分） 13．在极坐标系中,设(4,)4P π,直线l 过点P 且与极轴所成的角为43π,则直线l 的极坐标方程 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是_____________；15. 已知直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=A的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122=，1－1111123434+-=+，1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为________________三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？（4）复数Z 对应的点位于第二象限？18.(1) （5分）设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++；（2）（7分）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性110人，其中有10人患色盲，调查的205个女性中5人患色盲，（Ⅰ）根据以上的数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少对以上数据分别用2y bx a y cx d y x =+=+和来拟合与之间的关系，并用残差分析两者的拟合效果。

湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)

雅礼教育集团2024年上期期中考试高二数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知{1,2,3,4,5,6},{2,4,5}U A ==，{1,3,5}B =，则()U A B = ð（）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}2．复数z 满足(2i)3i z +=-，则||z 等于（）A ．1BC ．2D ．43．“01k <<”是“方程2212x y k-=表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数24(1)()log (1)x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则((1))f f =（）A ．0B ．1C ．2D ．45．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且满足244,22a S ==，则5S =（）A ．65B ．55C ．45D ．356．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（）A ．180种B ．150种C ．90种D ．60种7．关于函数3()31f x x x =-+，下列说法正确的是（）①()f x 有两个极值点②()f x 的图象关于原点对称③()f x 有三个零点④()f x 在(1,1)-上单调递减A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①②③8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C 的短轴为直径作圆O ，截直线1PF，则C 的离心率为（）ABC ．23D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设m ，n 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）A ．若m α∥且n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥C ．若m α∥且m β∥，则αβ∥D ．若m α⊥且m β⊥，则αβ∥10．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（）A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．将函数()y f x =的图象右移3π个单位后，得到一个奇函数C ．56x π=是函数()y f x =的一条对称轴D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心11．定义域为R 的函数()f x ，对任意,,()()2()()x y f x y f x y f x f y ∈++-=R ，且()f x 不恒为0，则下列说法正确的是（）A ．(0)0f =B ．()f x 为偶函数C ．若(1)0f =，则()f x 关于(1,0)中心对称D ．若(1)0f =，则02412()4048i f i ==∑三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知平面向量(2,1),(4,)a b x =-=- ，若b 与()a b +共线，则实数x =______．13．()2312(1)x x ++的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）14．若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数()2cos 2f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，已知()1f A =，1b =，ABC △ABC △的周长．16．（15分）如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥底面ABCD ，DE AF ∥，且22FA DE ==．（1）证明：CD ⊥平面ADEF ；（2）求四棱锥C ADEF -的体积；（3）求平面FCE 与平面FAB 所成角的余弦值．17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。

湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A ．1B ．2C ．4D ．82．若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A ．-9B ．-8C ．9D ．83．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =D ．2x =-4．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A ．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B ．从2日到5日空气质量越来越好C ．这14天中空气质量指数的中位数是214D ．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日5．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =16．定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A ．()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B ．()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 是最小正周期为π的奇函数7．已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A ．25B ．19CD8．已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为（）A．5BC．5D．7二、多选题9．设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A ．2025i 1=-B ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C ．若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D ．若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A ．三棱锥11AB D E -的体积为定值B ．11EB AD ⊥C ．存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D ．二面角11E A B A --的平面角的大小为π411．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A ．方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B ．曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C ．曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D ．曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.三、填空题12．圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是.13．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD的中心且AB =M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．四、解答题15．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最小值.16．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(1)证明：//DE 平面PAB ；(2)若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.18．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,6)P m 到焦点F 的距离为9.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为5π6的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 为抛物线C 准线上一点，且MA MB ⊥，求MAB △的面积.(3)过点(2,0)Q 的动直线l 与抛物线相交于C ，D 两点，是否存在定点T ，使得TC TD ⋅为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由.19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .(1)以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；(2)设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.。

雅礼中学 2023 年高二下学期入学检测数学试题及参考答案

一、单项选择雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学参考答案题7.【答案】A【解析】因为++-=f x y f x y f x f y )()()()(，令=x 1，=y 0，可得，=f f f 2110)()()(，所以=f 02)(，令=x 0，可得，+-=f y f y f y 2)()()(，即=-f y f y )()(，所以函数f x )(为偶函数，令=y 1得，++-==f x f x f x f f x 111)()()()()(，即有++=+f x f x f x 21)()()(，从而可知+=--f x f x 21)()(，-=--f x f x 14)()(，故+=-f x f x 24)()(，即=+f x f x 6)()(，所以函数f x )(的一个周期为6.因为=-=-=-f f f 210121)()()(，=-=--=-f f f 321112)()()(，=-==-f f f 4221)()()(，=-==f f f 5111)()()(，==f f 602)()(，所以一个周期内的+++=f f f 1260)()()(.由于22除以6余4，所以∑=+++=---=-=f k f f f f k 123411213122)()()()()(.故选：A.8.【答案】C【解析】作直线EF ，分别交DA ，DC 于M ，N 两点，连接1D M ，1D N 分别交1A A ，1C C 于H ，G 两点，如图所示，过点1D ，E ，F 的截面即为五边形1D HEFG ，设正方体的棱长为2a ，因为点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点. 所以1AE AM BE BF ==，1CN CFBE BF==，即AM CN a ==，因为113AM AH MD DD ==，113CN CG DN DD ==，所以23a AH CG ==. 则过点1D ，E ，F 的截面下方体积为：3111112253322323239a V a a a a a a =⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， ∴另一部分体积为33322547899V a a a =-=， ∴1225:47V V =. 故选：C.二、多项选择题12.【答案】BC【解析】对于选项A ，以D 点为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D . 从而()10,0,1DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误；对于选项B ，取11B C 的中点为M ，连接1A M ，GM ，则易知1//A M AE ，又1A M ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，故1//A M 平面AEF ，又//GM EF ，GM ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GM 平面AEF ，又1A MGM M =，1A M ，GM ⊂平面1A GM ，故平面1//A MG 平面AEF ，又1A G ⊂平面1A MG ，从而1//A G 平面AEF ，选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，如图所示， ∵正方体中11////AD BC EF ， ∴A ，E ，F ，1D 四点共面，∴四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形1AEFD 为梯形，又由勾股定理可得12D F AE ==，1AD =2EF =，∴梯形1AEFD=，∴11928AEFD S =⨯=⎭梯形，选项C 正确；对于选项D ，由于1111224GEF S =⨯⨯=△，11112228ECF S =⨯⨯=△，而13A GEFEFG V S AB -=⋅△，13A ECF BCF V S AB -=⋅△， ∴2A GEF A BCF V V --=，即2G AEFC AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的2倍，选项D 错误. 故选：BC.三、填空题13.1015.()(),01,-∞+∞16.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ，则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角为θ，则11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC SB ASC V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC SB ASC θθ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠；现业解答本题：设PE x PB =，PF y PD =，184233P ABCD V -=⨯⨯=，则43P AEF P ABD V x y V xy --=⋅⋅=，1223P MEF P BCD V x y V xy --=⋅⋅⋅=，223P AFM P ACD y V V y --=⋅=，223P AEM P ABC x V V x --=⋅=，∴()223P AEMF P AEF P MEF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，则3x y xy +=， ∴31yx y =-， ∴010131x y y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨⎪=⎪-⎩，则112y ≤≤， ∴()222233331331P AEMFy y V x y y y y -⎛⎫=+=+=⋅⎪--⎝⎭，令31t y =-，则()2211123199t yt y t t +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， ∵1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当112t ≤<时，函数1y t t =+单调递减，当12t <≤时，函数1y t t=+单调递增，故1y t t =+最小值为2，当12t =，2时，1y t t =+都取到最大值52，则()22111412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦(当且仅当1t =时，取最小值)， ∴282,1319P AEMFy V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17.【解析】(1)根据函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像，可得2A =，3254123πππω⋅=+， ∴2ω=.再根据五点法作图，52122ππϕ⨯+=， ∴3πϕ=-，故有()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据图像可得，,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为,03k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，解得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可得()g x 的减区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2,2x x ππ==时，()g x 取得最大值，即()max 1g x =；当26x π=，12x π=时，()g x 取得最小值，即()min2g x =-.18.(1)【证明】如图，连接1A B ，1CD ，∵正方体1111ABCD A B C D - ∴四边形11ABB A 为正方形， ∴11AB B A ⊥，又∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又11B CA B B =，∴1AB ⊥平面11A D CB ，又∵1D E ⊂平面11A D CB ， ∴11AB D E ⊥.(2)【证明】如图，连接DE ，1CD ，AD DC =，DF EC =，ADF DCE ∠=∠，∴ADF DCE ≌△△， ∴DAF CDE ∠=∠. ∵90CDE ADE ∠+∠=︒， ∴90DAF ADE ∠+∠=︒，即DE AF ⊥.又∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴1AF DD ⊥， ∵1DD DE D =，1,D D DE ⊂平面1D DE ，∴AF ⊥平面1D DE . 又∵1D E ⊂平面1D DE ， ∴1AF D E ⊥. 由(1)可知11AB D E ⊥ 又∵1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F ，∴1D E ⊥平面1AB F .又∵1MN C D ⊥，11//AB C D ， ∴1MN AB ⊥，，又∵MN AF ⊥，1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F所以MN ⊥平面1B AF 所以1//MN D E .(3)【解析】存在.如图，当点P 为棱1CC 的中点时，平面1CD E ⊥平面AFP . 连接FP ，AP ，∵点P ，F 分别为棱1CC ，CD 的中点， ∴1//FP C D ，∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴11//AD B C ， ∴11AB C D∴11//C D AB ， ∴1//FP AB ，∴FP 与1AB 共面于平面1AB PF .由(2)知1D E ⊥平面1B AF ，即1D E ⊥平面AFP . 又因为1D E ⊂平面1CD E ， ∴平面1CD E ⊥平面AFP .19.【解析】(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A ，未罚进点球的事件为A ；乙队球员罚进点球的事件为B ，未罚进点球的事件为B .设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C ，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，则()()()()()1212111112323632P C P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-⨯-+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为12. (2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121212121111111112323232318189⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯-⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②比分为2:2的概率为()()()()121211123239P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③比分为3:2的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121221223239⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=. 20.(1)【证明】以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()2,0,2P ，()0,0,0C，()B，()A ，()1,0,1E ，所以()2PB =--，因为13PF PB =，设(),,F a b c ，则()2,,2PF a b c =--，所以()()12,,223a b c --=--，解得4343a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得8233G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2233DG ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，令DF xDE yDG =+，则()2422221,0,1333333x y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2233334233x y y x y ⎧-=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩， ∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面.(2)【解析】由(1)可知()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0240333x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，则x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令2y =，则(3,2,n =-取平面PDE 的一个法向量为()CB =，则2cos ,510n CB n CB n CB⋅===，所以215sin ,1cos ,5n CB nCB =-=，∴二面角F DE P --. 21.【解析】(1)如图，在AEM △中，由余弦定理得，2222cos93AE MA ME MA ME π=+-⋅=，所以()2293932MA ME MA ME MA ME +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭，所以6MA ME +≤，(当且仅当3MA ME ==时等号成立)，故两机器人运动路程和的最大值为6.(2)(i)在AEM △中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2AM EM =，由正弦定理可得()sin sin AM EM πθα=-，所以()sin 11sin sin sin 223EM AM πθπαθ-====， (ii)设EM x =，则22AM EM x ==，()1,3x ∈，由余弦定理可得()()222323cos 2322x x x x x πθ+--==-⨯⨯，所以3cos 22x xθ=-，所以sin x θ=== 由题意得sin AD x θ≥对任意()1,3x ∈恒成立，故()max sin 2AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲.22.【解析】(1)因为13πθ=，223πθ=，3θπ=，所以()22200012sin sin sin 333ππμθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2222200000131131cos sin sin sin cos 322322θθθθθ⎛⎫=++=⨯+= ⎪⎝⎭，所以“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值12. (2)因为14πθ=，2θα=，3θβ=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈，所以()()2220001sin sin sin 34πμθαθβθ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()0001cos 21cos 221cos 22123222πθαθβθ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥----⎝⎭⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()()00000sin 2cos2cos2sin 2sin 2cos2cos2sin 2sin 2126θαθαθβθβθ++++=-()()00sin 2sin 21sin 2cos 2cos 2cos 2126αβθαβθ++++=-，因为实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值，所以cos 2cos 20sin 2sin 21αβαβ+=⎧⎨+=-⎩，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈，所以()2,2αππ∈，()22,4βππ∈，由cos 2cos 20αβ+=，得225αβπ+=或22βαπ-=，即52παβ+=或2πβα-=，由()()22cos 2cos 2sin 2sin 21αβαβ+++=，得()1cos 222βα-=-，又因为()220,3βαπ-∈，所以2223πβα-=或4223πβα-=或8223πβα-=，即3πβα-=或23πβα-=或43πβα-=，当523παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得13121712παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验不符合题意；当5223παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意；当5243παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意. 综上可知：11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。

2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二上学期期中数学试题一、单选题1．半径为2的球的表面积是（） A ．16π3B ．32π3C ．16πD ．32π【答案】C【分析】由球的表面积公式直接求出表面积即可. 【详解】由球的表面积公式可得2416S R ππ==，故选：C .【点睛】本题考查球的表面积的计算，记住公式是关键，本题属于容易题. 2．已知向量()3,2,a x =，向量()2,0,1b =，若a b ⊥，则实数x =（） A ．3 B ．3-C ．6D ．6-【答案】D【分析】由a b ⊥得出0a b ⋅=，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于x 的等式，解出即可. 【详解】()3,2,a x =，()2,0,1b =，a b ⊥，60a b x ∴⋅=+=，解得6x =-.故选：D.【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 3．下列说法正确的是（） A ．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B ．棱柱的底面一定是平行四边形C ．圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形D ．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台【答案】C【分析】根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断. 【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A 不正确；因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B 不正确；因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D 不正确；因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C 正确. 故选：C【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】首先由11//,AD BC 可得1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角，再由1ACD ∆为正三角形即可求解. 【详解】连接11,AD CD ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//,AD BC ，则1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角．又11AD CD AC ==,可得1ACD ∆为等边三角形，则160oD AC ∠=，所以异面直线AC 与1BC 所成角为60，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.5．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为62则该双曲线的实轴长为（） A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为62，故可得262c =，结合222a b c +=，解得3,3,32a b c ===，故实轴长26a =. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.6．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.7．已知（﹣2，1）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是（） A ．x ﹣2y ＝0 B ．x ﹣2y +4＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣3y ﹣1＝0【答案】B【分析】设直线l 与椭圆221369x y +=相交于AB ，设()()1122,,,A x y B x y ，代入作差得到420369k -+=解得直线方程. 【详解】设直线l 与椭圆221369x y +=相交于AB ，设()()1122,,,A x y B x y则22111369x y +=，22221369x y +=两式相减得到()()()()121212120369x x x x y y y y +-+-+=即42103692k k -+=∴=，故直线方程为()1212402y x x y =++∴-+= 故选：B【点睛】本题考查了利用点差法求直线方程，意在考查学生对于点差法的掌握情况和计算能力.8．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（） A．BCD ．2【答案】B【分析】求出过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合222+=a b c ，解出e 即得. 【详解】由题意，设点焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：()0ay x c b-=--，由()0a y x c b b y xa ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a x c =，ab y c =，所以，对称中心的点坐标为2,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,0F c ，设点()00,P x y ，则200202c x a c y ab c ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得20022a x c c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c b c--=，又222+=a b c ，化简可得225c a =，故ce a==故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（） A ．方程12yx =-表示一条直线 B ．到x 轴的距离为2的点的轨迹方程为2y = C ．方程()()2222140x y -+-=表示四个点D ．“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件【答案】CD【分析】对A ，根据特殊点进行分析并判断对错；对B ，注意多解的情况并判断对错；对C ，根据平方和为零的特殊性进行分析并判断对错；对D ，根据椭圆的定义判断对错. 【详解】解：对A ，12yx =-，即20(2)x y x --=≠，表示直线20x y --=去掉一点()2,0，故A 错误；对B ，根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为2y =±，故B 错误；对C ，()()2222140x y -+-=，即{2214x y ==，即表示()1,2，()1,2-，()1,2-，()1,2--四个点，故C 正确；对D ，若22175x ym m +=--表示椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即56m <<或67m <<，∴“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件，故D 正确.故选：CD.10．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是（） A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若//αβ，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则l β// D ．若//m α，则αβ⊥【答案】ABD【分析】根据线面间平行与垂直的关系判断各选项同．【详解】//,m αββ⊥，则m α⊥，A 正确；//l α，//αβ，则l β//或l β⊂，又m β⊥，则m l ⊥，B 正确；m β⊥，l m ⊥，则l β//或l β⊂，C 错误；//m α，则α内存在直线n ，且//n m ，又m β⊥，则n β⊥，由此得βα⊥，D 正确．故答案为：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面平行与垂直的判断，考查空间想象能力．解题关键是熟练掌握线面间的位置关系．11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n=+D ．()()b m R n R =++【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c R n a c R =--⎧⎨=+-⎩，（）a c m R ∴-=+ ，故A 正确； a c n R +=+，故B 正确；（）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=- 222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，M 为线段AB 的中点，则（）A ．以线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切 B ．以线段BF 为直径的圆与y 轴相切C ．当3AF FB =时，92AB =D ．3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点）【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，AB 的中点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，A 正确；对于选项B ，C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线24y x =可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，则12123x x y O OB y A =⋅+=-，D 正确，若设()24,4A a a ，易见，0a ≠，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设线段BF 中点是N ，则211412N a x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，则2114F a B +===，N 到y 轴的距离是21114212BF a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故以线段BF 为直径的圆与y 轴相切，B 正确；又 21221424AB x x p a a=++=++，当3AF FB =可得123y y =-， 143a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所234a =，163AB =，C 错误.故选：ABD.【点睛】抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，α是弦AB 的倾斜角，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）12222sin p pAB x x α=++= ；（3）112FA FB p+=；（4）以线段AB 为直径的圆与准线2px =-相切；（5）以线段AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.三、填空题13．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则切点坐标为_________．【答案】()1,2【分析】求出原函数的导函数，设切点坐标，由切点处的导数值为2求得切点的横坐标，进一步得到切点坐标．【详解】解：由1y lnx x =++，得11y x'=+，设切点坐标为0(x ，0)y ，则001|12x x y x ='=+=，解得01x =，00011112y lnx x ln ∴=++=++=．则切点坐标为(1,2)．故答案为：(1,2)．14．直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1BA =_________（用,,a b c 表示）．【答案】a b c -+【分析】运用直三棱柱的性质，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】1111BA BA AA BC CA CC CB CA CC b a c a b c =+=++=-++=-++=-+。

高二下学期期中文科数学试卷_Word版含答案

第二学期中考试高二年级数学（文）学科试卷注意事项：1．考试时间：2014年4月22日10时20分至11时50分；2．答题前，务必先在答题卡上准确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分．共4页；附加题20分； 5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。

1.若集合M={y|y=2x}, P={x|y=1x -}, M ∩P=（）A ．[)+∞,1B ． [)+∞,0C ． ()+∞,0D ． ()+∞,12.抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（）A ．18-B ．18C ．8D ．8-3.函数12log (32)y x =-的定义域是（）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ． 2[,1]3D ． 2(,1]34.下列四个命题：① x R ∀∈，250x +>”是全称命题；② 命题“x R ∀∈，256x x +=”的否定是“0x R ∃∉，使20056x x +≠”；③ 若x y =，则x y =；④ 若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．其中真命题的序号是（） A ．①②B ．①④C ．②④D ．①②③④5.设A ，B 两点的坐标分别为(－1,0), (1,0)，条件甲：点C 满足0>⋅BC AC ；条件乙：点C 的坐标是方程 x 24 + y 23=1 (y ≠0)的解. 则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件Ｃ.充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件 6.已知命题P ：函数)1(log +=x y a 在),0(+∞内单调递减；Q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴没有交点．如果“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．)25,1(]21,0(B ．),25(]21,0(+∞C ．)25,1()1,21[D ．),25()1,21[+∞7．设函数2||1(||1)()1(||1)x x f x xx ->⎧=⎨-≤⎪⎩关于x 的方程()()f x a a R =∈的解的个数不可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝09．已知定义域为R 的函数满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)(a ，b ∈R )，且f(x)>0，若f(1)＝12，则f(－2)＝( )A.14B.12C ．2D ．4 10．如图，⊙O ：1622=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B 为两个定点，l 是⊙O 的一条切线，若过A ，B 两点的抛物线以直线l 为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( ) A ．圆 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．抛物线二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3,4 D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B ⋂. 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．已知复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =（）A B C ．1 D ．2【答案】B【分析】根据复数模的性质运算即可. 【详解】()1i 2i z +=,21i i z ∴=+, 2i1i 1iz ∴==++故选：B3．已知点(1,0),(2,2)A B ，向量(2,1)BC =-，则向量AC =（） A ．(1,2) B ．(1,2)-- C ．(3,1) D ．(3,1)--【答案】C【分析】根据平面向量加法的坐标运算可得答案.【详解】(1,2)AB =，AC AB BC =+(1,2)(2,1)(3,1)=+-=. 故选：C. 4．函数()2log 22x xxx f x -=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22x xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222x x x xx x x f x x f x-----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．5．已知{}n a 为递增的等差数列，3415a a ⋅=，258a a +=，若21n a =，则n =（） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【分析】根据等差数列的性质列出方程组3434158a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩，从而求出1a 和公差d ，写出{}n a 的通项公式即可求出答案.【详解】因为{}n a 为等差数列，258a a +=，所以348a a +=，由3434158a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩，得3435a a =⎧⎨=⎩或3453a a =⎧⎨=⎩(舍)，所以112a d =-⎧⎨=⎩，所以23n a n =-. 令2321n -=，得12n =. 故选：D.6．若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为（）A ．3πB ．2π C ．23π D ．π【答案】A【分析】先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可. 【详解】易知将函数cos y x =的图象向右平移3π得到函数()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则函数()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的增区间为()22,2Z 33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数又在[],a a -上单调递增，所以2333a a a πππ⎧-≥-⎪⎪⇒≤⎨⎪≤⎪⎩，于是03a π<≤，即a 的最大值为3π. 故选：A.7．过抛物线24y x =的焦点F 且斜率为1的直线与该拋物线交于AB 两点，则线段AB 的中点到准线的距离为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线，然后根据过焦点直线方程和抛物线联立求得线段AB 中点横坐标即可求得答案. 【详解】解：由题意得：24y x =的交点坐标为(1,0)，准线为=1x -直线:1l y x =-，设1122:(,),:(,)A x y B x y 联立直线和双曲线方程可知：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩有韦达定理可知：121261x x x x +=⎧⎨=⎩ 线段AB 的中点横坐标M x 为：1232M x x x +== 故线段AB 的中点到准线的距离为(1)4M x --= 故选：B8．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的15，则信息传递速度C 大约增加了（）（参考数据：lg 20.3≈）A ．87%B ．123%C ．156%D ．213%【答案】D【分析】先求得提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传播速度，由此求得正确答案. 【详解】提升前的信息传递速度2223log log 10003log 1010lg 2S WC W W W W N ====≈，提升后的信息传递速度22210504lg52log 2log 2log 5000021lg 25S S C W W W W N N +'====⋅5lg 2942lg 23W W -=⋅≈，所以信息传递速度C 大约增加了94103 2.13213%10W WC C C W-'-=≈=.故选：D二、多选题9．一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（） A ．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B ．“1?“”至少有件次品和都是次品 C ．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D ．“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.【详解】A ：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件； B ：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C ：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；D ：由C 分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；故选：AD10．已知圆22:430C x y y +-+=，一条光线从点()2,1P 射出经x 轴反射，下列结论正确的是（） A ．圆C 关于x 轴的对称圆的方程为22430x y y +++=B ．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3240x y --= C ．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则2PB BA +=.D ．若Q 是圆C 上的任意一点，则PQ 1 【答案】AB【分析】由点关于直线的对称，直线与圆的位置关系，圆的性质对选项逐一判断，【详解】圆C 的方程为22(2)1x y +-=，圆心(0,2)，半径为1，对于A ，(0,2)关于x 轴的对称点为(0,2)-，圆C 关于x 轴的对称圆为22(2)1x y ++=，化简得22430x y y +++=，故A 正确，对于B ，若反射光线平分圆C 的周长，即反射光线过圆心(0,2)，入射光线延长线过(0,2)-，可得入射光线所在直线方程为3240x y --=，故B 正确，对于C ，若反射光线与圆C 相切，则入射光线延长线与圆22(2)1x y ++=相切于M 点，()2,1P 到(0,2)-||PB BA PM +=C 错误，对于D ，()2,1P 到圆心(0,2)PQ 1，故D 错误，故选：AB11．已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为（） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ．224a b +≥D ．122a b+≥【答案】BC【分析】直接根据基本不等式判断各选项的对错即可.【详解】因为0,0a b >>，由基本不等式可得a b +≥a b =时等号成立，又2a b +=，所以1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，故ab 的最大值为1，A 错， 222log log log 0a b ab +=≤，当且仅当1a b ==时等号成立，B 对， 42222222b a a a b b ++≥==，当且仅当1a b ==时等号成立，C 对，()()12112121=3322222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当222a =-，422b =-时等号成立，D 错，故选：BC.12．如图，已知A ，B 是相互垂直的两条异面直线，直线AB 与a ，b 均相互垂直，垂足分别为A ，B ，且23AB =，动点P ，Q 分别位于直线A ，B 上，且P 异于A ，Q 异于B .若直线PQ 与AB 所成的角π6θ=，线段PQ 的中点为M ，下列说法正确的是（）A ．PQ 的长度为定值B ．三棱锥A BPQ -的外接球的半径长为定值C ．三棱锥A BPQ -的体积为定值D ．点M 到AB 的距离为定值【答案】ABD【分析】根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出,PE PQ ，进而判断A ，B ；根据A BPQ P ABQ V V --=，进而判断C ；设,BD CQ 交于R ，则R 为CQ 的中点，取AB 的中点N ，然后证明四边形RBNM 是平行四边形，进而证明MN AB ⊥，最后求得答案.【详解】如图，将图形还原为长方体APFE BCDQ -，因为//AB EQ ，所以PQE ∠（易知其为锐角）是PQ 与AB 所成的角，即π6PQE ∠=，易知3AB EQ ==则2,4PE PQ ==.A 正确；对B ，易知三棱锥A BPQ -的外接球与长方体APFE BCDQ -的外接球相同，则其直径为4，半径为2.B 正确；对C ，1113=3332A BPQ P ABQ ABQV V SPA BQ PA BQ PA --==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯3BQ CB =⨯，不为定值.C 错误；对D ，设,BD CQ 交于R ，则R 为CQ 的中点，连接MR ，取AB 的中点N ，连接MN ，又因为M 为PQ 的中点，所以1//,2MR PC MR PC =，而1//,2NB PC NB PC =，故//,MR NB MR NB =，所以四边形RBNM 是平行四边形，则//,MN RB MN RB =，因为2CQ PE ==，则112MN RB CQ ===.因为AB ⊥平面BCDQ ，RB ⊂平面BCDQ ，所以RB AB ⊥，则MN AB ⊥，所以点M 到AB 的距离为1.D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．若直线1:310l x my -+=与2:21l y x =+互相垂直，则实数m =___________．【答案】6-【分析】根据两直线位置关系直接可得参数值. 【详解】由2:21l y x =+，即210x y -+=，又直线1l 与直线2l 互相垂直，故()()3210m ⨯+-⨯-=，解得6m =-，故答案为：6-.14．已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲､乙两球恰好有一个落入盒子的概率为___________. 【答案】12##0.5【分析】设甲球落入盒子为事件A ，乙球落入盒子为事件B ，求出()P A B A B ⋅+⋅即得解. 【详解】设甲球落入盒子为事件A ，乙球落入盒子为事件B ，则甲､乙两球恰好有一个落入盒子为A B A B ⋅+⋅, 所以12111()()()23232P A B A B P A B P A B ⋅+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯=.故答案为：1215．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F C 上的,A B 两点关于原点对称，2FA FB =，且249FA FB a ⋅≤，则C 离心率的取值范围是___________.【答案】7(0,]3【分析】设椭圆的左焦点为E ，根据椭圆的定义可知43BE a =，23BF a =，利用余弦定理求出cos EBF ∠，利用cos cos()cos EBF EBF BFA π-∠=-∠=∠，最后结合平面向量的数量积计算即可得答案.【详解】解：由题意得：椭圆的左焦点为E ，则2BE BF a +=因为,A B 两点关于原点对称，所以四边形EBFA 为平行四边形由2FA FB =，得43BE a =，23BF a =，且EBF BFA π-∠=∠在EBF △中，222222216445999cos 42244233a a c BE BF EF EBF e BE BF a a +-+-∠===-⋅⨯⨯ 295cos cos()cos 44EBF EBF BFA e π-∠=-∠=∠=-，由249FA FB a ⋅≤得： 224295cos 344934BFA a FA F a B a e ⎛⎫∠=⨯- ⋅⎪⎝⎭≤整理得：279e ≤，又01e << 所以7(0,]3e ∈ 故答案为: 7(0,]3四、双空题16．函数()sin sin f x x x =+的值域是___________，最小正周期是___________. 【答案】 [0,2] 2π【分析】根据分段函数画出图像即可知道值域和周期. 【详解】解：由题意得： ()()[]2sin 2,20,2,2(1)x x k k f x x k k ππππππ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，如图所示：故函数的值域为：[0,2]，最小正周期为2π 故答案为：[0,2]；2π五、解答题17．已知圆C 的圆心为点()2,2，且与坐标轴相切. (1)求圆C 的方程；(2)求直线:20l x y --=被圆C 所截得的弦长. 【答案】(1)()()22224x y -+-=(2)【分析】（1）由圆心与坐标轴相切确定半径长度，即可直接写出方程；（2）先用点线距离公式求出圆心C 到直线l 的距离，结合垂径定理即可求弦长；【详解】（1）∵圆C 的圆心为点()2,2，且与坐标轴相切， ∴圆C 的半径为2r =，∴圆C 的方程为()()22224x y -+-=. （2）∵圆C 的圆心()2,2C ，∴圆心C 到直线l =∴所求的弦长为=18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()()sin sin sin b c B C a c A -+=+． (1)求B ；(2)若△ABC)2a cb +=，求△ABC 的周长．【答案】(1)23π(2)4【分析】（1）先对已知等式利用正弦定理统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求出角B ，（2）由三角形的面积可求出4ac =，再利用余弦定理结合已知条件可求出a c +和b 的值. 【详解】（1）因为()()()sin sin sin b c B C a c A -+=+，所以由正弦定理得()()()b c b c a a c -+=+，展开得222a c b ac +-=-，所以1cos 22ac B ac -==-，因为0B π<<，所以23B π=．（2）由（1）知1sin 2ABCSac B ===4ac =，因为()32a cb +=，由余弦定理得2222cos a c b ac B ac +-==-，即()()22344a c a c ac ++-==，解得4a c +=，23b =，所以△ABC 的周长为234a b c ++=+．19．如图所示，已知椭圆2222:1(0),x y C a b C a b+=>>的上顶点为A ，左､右焦点分别为1212,,F F AF F 为正三角形.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点，6DE =.(1)求椭圆C 的离心率； (2)求四边形2ADF E 的面积. 【答案】(1)12 (2)394【分析】(1)根据图象可知：2212AF AF b c a ==+，因为12AF F △为正三角形，进而得出,a c 的关系即可求解；(2)根据（1）将椭圆方程可化为2223412x y c +=，设出直线DE 的方程，与椭圆方程联立，利用两点间距离公式求出c 的值，进而求出四边形的面积. 【详解】（1）由图可知：2212AF AF b c a =+=，因为12AF F △为正三角形，所以1212F F AF F A ==，也即2c a =，所以12c e a ==，所以椭圆的离心率为12.（2）由（1）可知：2c a =，所以22223b a c c =-=，椭圆方程可化为：2223412x y c +=，直线2AF的斜率为00b bk a a-==-=- 因为直线DE 垂直于2AF，所以DE k =，又因为直线DE 过点1F , 所以直线DE的方程为：)y x c =+，设1122(,),(,)D x y E x y ，联立方程组：2223412)x y c y x c ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理可得：22138320x cx c +-=，所以21212832,1313c c x x x x +=-=-，所以DE因为6DE =6=，解得：138c =，所以四边形2ADF E 的面积21393624S ED AF a c =⨯===.20．已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,0,41n n n n n S a a a a S +=≠=-. (1)证明：24n n a a +-=. (2)求数列{}n a 的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)21n a n =-【分析】（1）由141n n n a a S +=-，可得当2n ≥时，1141n n n a a S --=-两式相减即可求证；（2）由（1）数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为等差数列，进而可求得通项公式. 【详解】（1）证明：141n n n a a S +=-∴当2n ≥时，141n n n a a S +=-，1141n n n a a S --=- ∴ 111444n n n n n n n a a a a a S S +--==--又0n a ≠，故可知114n n a a +--= 所以24n n a a +-= （2）解：由题意得：当1n =时，12141a a a =-，又因为11a =，故可知23a =由114n n a a +--=，可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为：1，3 ∴当*21(N )n k k =-∈时，2114(1)4321n k a a k k n -==+-=-=-当*N )2(n k k =∈时，()234121n k a a k n ==+-=- 21n a n ∴=-21．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111D C B A 是边长为1的菱形，下底面ABCD 是边长为2的菱形，1D D ⊥平面ABCD 且11=D D(1)求证：平面11AA C C ⊥平面11BB D D ； (2)若直线AB 与平面11BB C C 5，求棱台1111ABCD A B C D -的体积．【答案】(1)证明见解析 (2)76【分析】（1）根据题意利用线面垂直的定义与判定可证AC ⊥平面11BB D D ；（2）利用空间向量，根据线面夹角sin cos ,BA n BA n BA nθ⋅==可得1ab =，利用台体体积公式(121213V S S S S h =+计算求解．【详解】（1）∵菱形ABCD 对角线相互垂直， ∴AC BD ⊥∵1D D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴1D D AC ⊥∵1BD D D D ⋂=，BD ⊂平面11BB D D ，1D D ⊂平面11BB D D ∴AC ⊥平面11BB D D∵AC ⊂平面11AAC C ∴平面11AA C C ⊥平面11BB D D （2）设ACBD O =，则11B D OD ∥且11B D OD =∴11OB D D ∥且11OB D D =， ∴1OB ⊥平面ABCD以O 为原点，OA 、OB 、1OB 所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图，则()10,0,1B ，设(),0,0A a ，()0,,0B b 则224a b +=(),0,0C a -，(),,0BA a b =-，(),,0BC a b =--，()10,,1BB b =-设平面11BB C C 的一个法向量(),,n x y z =则可得00ax by by z --=⎧⎨-+=⎩，取x b =，得(),,n b a ab =--由题22222225524BA nab ab a b a b a b BA n⋅===+++⋅ 整理得222254a b a b =+，则1ab = ∴22ABCD S ab ==，111112A B C D S =∴11172213226V ⎛⎫=++⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭22．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，实轴长为4.(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标. 【答案】(1)22144-=y x(2)()0,1【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b ,即得答案;（2）根据O ，A ，N ，M 四点共圆结合几何性质可推出1AN OM k k ⋅=，设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，从而可以用点的坐标表示出t ,再设直线:GH y kx t =+，联立双曲线与直线方程，利用根与系数的关系式，代入t 的表达式中化简，可得答案. 【详解】（1）因为实轴长为4，即24a =，2a =，又2ca=22c =2224b c a =-=，故C 的方程为22144-=y x .（2）由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=，又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠，故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=, 设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，由题意可知()0,2A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-，因为M 在直线l 上，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知()1122M t x x y +=+，故M 坐标为()112,2t x t y +⎛⎫⎪+⎝⎭，所以()()1122OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OM k k ⋅=，则()()12122212t y y t x x ++⋅=+，整理可得()()1212222y y t t x x +++=，当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线:GH y kx t =+，代入双曲线方程：22144-=y x 中，可得()2221240k x ktx t -++-=，所以12221kt x x k -+=-，212241t x x k -=-，又()()()()12122222y y kx t kx t ++=++++()()()()()()22222212122222422222111t t kt k x x k t x x t k k t t k k k -+--=+++++=⋅++⋅++=---，所以()()()()()()22212221222222221204421t y y t t t k t t t x x t t k -+++-+-++-====+≠----, 故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为()0,1.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.。

2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合U ={1,2,3,4}，A ={1,3}，B ={1,4}，则A ∩(∁U B)=( )A. {2,3}B. {3}C. {1}D. {1,2,3,4}2. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. f(x)=1x B. f(x)=x +1xC. f(x)=−x|x|D. f(x)={−x +1,x ∈(0,+∞)−x −1,x ∈(−∞,0]3. 设复数z =1−√2i(p 是虚数单位)，则|z +z −|的值为( )A. 3√2B. 2C. 1D. 2√24. 若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x|−12<x <13}，则a +b 的值为( )A. −10B. −14C. 10D. 145. 在△ABC 中，若sinC =2cosAsinB ，则此三角形必是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6. 已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >√2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( ) A. 2√33B. 2√63C. √3D. 27. 如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN//平面ABC 的是( )A. B.C. D.8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列数列中，是等差数列的是()A. 1，4，7，10B. lg2，lg4，lg8，lg16C. 25，24，23，22D. 10，8，6，4，210.下列各式中，值为√32的是()A. √1−cos120°2B. cos2π12−sin2π12C. cos15°sin45°−sin15°cos45°D. tan15°1−tan215∘11.对于直线l：x=my+1，下列说法错误的是()A. 直线l恒过定点(1,0)B. 直线l斜率必定存在C. m=√3时直线l的倾斜角为60°D. m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为1412.圆C：x2+y2+4x−6y−3=0，直线l：3x−4y−7=0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是()A. 直线l与圆C相交B. |PQ|的最小值是1C. 从Q 点向圆C 引切线，切线长的最小值是3D. 直线y =k(x −2)+4与曲线y =1+√4−x 2有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是(512,34]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 圆(x −3)2+(y +4)2=1关于点(1,2)的对称圆的方程是______．14. 在△ABC 中，O ，D 分别为边AB ，BC 的中点，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______． 15. 如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则a 6=______．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上.若△PF 1F 2为直角三角形，且tan∠PF 1F 2=512，则双曲线的离心率为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=1，a 42=a 3⋅a 7．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ．18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)，直线l：y=k(x−2)与抛物线C相交于不同的两点A、B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|=9，求k的值．19.某中学(含初高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值及样本中男生身高在[185,195](单位：cm)的人数；(2)根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数．20.已知函数f(x)=sin(π2+x)+cos(x+π3)．(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的12倍，再向上平移1个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π2]上的取值范围．21.如图，正方形ABB1A1的边长为2，AB，A1B1的中点分别为C，C1，正方形ABB1A1沿着CC1折起形成三棱柱ABC−A1B1C1，三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：当λ=12时，求证：DC1⊥平面BCD；(2)若二面角D−BC1−C的余弦值为3√2929，求λ的值．22.已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，过下焦点且与x轴平行的弦长为2√33．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B分别为椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆C相交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U ={1,2,3,4}，B ={1,4}， ∴∁U B ={2,3}，又∵A ={1,3}， ∴A ∩(∁U B)={3}，故选：B ．利用集合的基本运算即可算出结果．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由f(x)=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)内递减，可得A 错误；由f(x)=x +1x 在(1,+∞)内递增，可得B 错误；由f(x)=−x|x|的定义域为R ，f(−x)=x|−x|=x|x|=−f(x)，可得f(x)为奇函数；又当x ≥0时，f(x)=−x 2递减，可得x <0时，f(x)递减，且f(x)为连续函数，可得f(x)为R 上的减函数，可得C 正确；由x >0时，f(x)=−x +1；x ≤0时，f(x)=−x −1.即f(0)=−1≠0，由f(0)=0是f(x)为R 上的奇函数的必要条件，所以f(x)={−x +1,x ∈(0,+∞)−x −1,x ∈(−∞,0]不为R 上的奇函数，可得D 错误．故选：C ．由常见函数的奇偶性和单调性可判断结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查定义法的运用，以及推理能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵z =1−√2i ，∴z −=1+√2i ，则z +z −=2， ∴|z +z −|=2．故选：B．由已知求得z+z−，则|z+z−|的值可求．本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵不等式ax2+bx+2>0的解集为(−12,1 3 )∴−12，13为方程ax2+bx+2=0的两个根∴根据韦达定理：−12+13=−ba①−12×13=2a②由①②解得：{a=−12b=−2∴a+b=−14故选：B．将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，从而求出所求．本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．5.【答案】A【解析】【分析】由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin(A+B)，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin(A−B)=0，由A和B都为三角形的内角，得到A−B的范围，利用特殊角的三角函数值得到A−B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，根据已知的等式，利用三角函数的恒等变换得到sin(A−B)=0是解本题的关键．【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π−(A+B)，∴sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)，又sinC=2cosAsinB，∴sin(A+B)=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=0，又A和B都为三角形的内角，∴−π<A−B<π，∴A−B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质，属于基础题，由题意可得斜率为√2a的渐近线的倾斜角为π6，由tanπ6=√2a，求得a的值，可得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线x2a2−y22=1(a>√2)的两条渐近线的夹角为π3，可得斜率为√2a的渐近线的倾斜角为π6，∴tanπ6=√2a=√33，求得a=√6，∴双曲线的离心率为ca=√6+2√6=2√33，故选A．7.【答案】D【解析】解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN//EF//AC，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN//BF，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN//BD，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．故选：D．根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解．本题考查空间中线面平行的判定定理，考查了数形结合思想的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设|PF1|=s，|PF2|=t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，解得s=a+m，t=a−m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2=π3，可得4c2=s2+t2−2stcosπ3=a2+m2+2am+a2+m2−2am−(a2−m2)，即有a2+3m2=4c2，可得a2c2+3m2c2=4，即为1e12+3e22=4，则3e12+e22=14(1e12+3e22)(3e12+e22)=14(6+e22e12+9e12e22)≥14(6+2√9)=3，当且仅当e22e12=9e12e22，即e22=9e12，取得最小值3．故选：B．设|PF1|=s，|PF2|=t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由4−1=7−4=10−7=3，得数列1，4，7，10是等差数列，选项A 正确；由lg4−lg2=lg8−lg4=lg16−lg8=lg2，得数列lg2，lg4，lg8，lg16是等差数列，选项B正确；因为24−25=−16≠23−24=−8，所以数列25，24，23，22不是等差数列，选项C 错误；由8−10=6−8=4−6=2−4=−2，得数列10，8，6，4，2是等差数列，选项D 正确．故选：ABD．对选项进行逐一判断，满足等差数列的定义的即为正确选项．本题考查等差数列的判断，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：选项A，原式=√1−(2cos260°−1)2=sin60°=√32，即A正确；选项B，原式=cosπ6=√32，即B正确；选项C，原式=sin(45°−15°)=sin30°=12，即C错误；选项D，原式=12tan30°=√36，即D错误．故选：AB．由二倍角公式，可判断选项A，B和D，由两角差的正弦公式可判断选项C．本题考查三角恒等变换公式，熟练掌握二倍角公式，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线系方程的应用，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．利用直线系方程判断A；判断直线的斜率，判断B；求解直线的倾斜角判断C；求解三角形的面积判断D．【解答】解：直线l：x=my+1，是恒过定点(1,0)的直线方程，所以A正确，不符合题意；当m=0时，直线l斜率不存在，所以B不正确，符合题意；m=√3时直线l的斜率为：√33，直线的倾斜角为30°，所以C不正确，符合题意；m=2时直线l：x=2y+1，直线与坐标轴的交点为：(1,0)，(0,−12)，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为：12×1×12=14，所以D正确，不符合题意．故选BC．12.【答案】BCD【解析】解：对于A：由圆C：x2+y2+4x−6y−3=0，得圆C的标准方程为(x+2)2+ (y−3)2=16，圆心C(−2,3)到直线l：3x−4y−7=0的距离d=√32+(−4)2=5>4，所以直线与圆相离，故A错误；对于B：圆心到直线l：3x−4y−7=0的距离d=5，所以|PQ|的最小值为5−4=1；故B正确；对于C：根据图形知，点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5，由勾股定理得切线长的最小值为3，故C正确；对于D：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A(2,4)，B(−2,1)，又曲线y=1+√4−x2图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即3−2k√k2+1=2，解得：k=512；当直线l过B点时，直线l的斜率为4−12−(−2)=34，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为(512,34].故D正确；故选：BCD．求出圆心到直线的距离可判断A的正确性，以及可求PQ的最小值判断B，求出切线长的最小值可判断C，对于D，作出图形，结合图形求出k的范围判断D．本题考查圆的性质，判断直线与圆的位置关系，求圆上的动点到直线上一点的距离的最小值和切线长的最小值问题，以及直线与曲线有两个公共点时的斜率的范围，属中档题．13.【答案】(x+1)2+(y−8)2=1【解析】解：圆(x−3)2+(y+4)2=1的圆心O(3,−4)，半径为r=1，设所求圆的圆心为(a,b)，则(a,b)关于点(1,2)对称，∴{3+a2=1−4+b2=2，解得a=−1，b=8，∴圆(x −3)2+(y +4)2=1关于点(1,2)的对称圆的方程是(x +1)2+( y −8)2=1．故答案为：(x +1)2+( y −8)2=1．设所求圆的圆心为(a,b)，则(a,b)关于点P(0,1)对称，由此能求出圆(x −3)2+y 2=1关于点P(0,1)对称的圆的方程．本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对称性质的合理运用．14.【答案】12【解析】解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵OC⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =−32，y =2，故x +y =12，故答案为：12．根据向量的线性运算法则，及平面向量的基本定理，可得答案．本题主要考查了向量的线性运算法则，及平面向量的基本定理，属于基础题．15.【答案】364【解析】解：由图可得a 1=1， a 2=4=3×1+1， a 3=13=3×4+1， a 4=40=3×13+1，以此类推可得a 5=3×40+1=121，则a 6=3×121+1=364，故答案为：364．由图可计算出a 1，a 2，a 3，a 4，进而找到规律即可计算得到a 6．本题考查简单的归纳推理，结合图形变化规律是解题的关键，属于基础题．16.【答案】137或32【解析】解：根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2或PF2⊥F1F2，①当PF1⊥PF2时，如图所示：，由tan∠PF1F2=512，可设|PF1|=12x，|PF2|=5x，∴|F1F2|=√|PF1|2+|PF2|2=13x=2c，∴c=13x2，又∵|PF1|−|PF2|=2a=7x，∴a=7x2，∴离心率e=ca =13x27x2=137．②当PF2⊥F1F2时，如图所示：，由tan∠PF1F2=512，可得|PF2|=5x，|F1F2|=12x，∴|PF1|=√|PF2|2+|F1F2|2=13x，∴|PF1|−|PF2|=8x=2a，∴a=4x，又∵|F1F2|=12x=2c，∴c=6x，∴离心率e =c a =6x 4x =32，综上，双曲线的离心率为137或32．故答案为：137或32．根据双曲线的对称性，不妨设点P 在双曲线的右支上，由题意可知，然后分PF 1⊥PF 2或PF 2⊥F 1F 2两种情况，分别利用勾股定理和双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的性质，考查了分类讨论思想，同时考查了学生的计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，设等差数列{a n }的公差为d(d >0)，由a 3=1，a 42=a 3⋅a 7，得(1+d)2=1+4d ，化简并整理得d 2−2d =0，解得d =2或d =0(舍去)，又a 3=a 1+2d ，得1=a 1+4，解得a 1=−3，所以a n =a 1+(n −1)=−3+2(n −1)=2n −5； (2)由(1)可知{a n }是等差数列，∴S n =n2(a 1+a n )=n2(−3+2n −5)=n 2−4n ．【解析】(1)根据题意，设等差数列{a n }的公差为d(d >0)，利用a 3=1，a 42=a 3⋅a 7即可求得a 1与d 的值，从而可得{a n }的通项公式； (2)直接利用等差数列的前n 项和公式即可求出S n ．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由抛物线的焦点(2,0)，∴p 2=2，∴p =4，所以抛物线方程为：y 2=8x ；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由直线l 过抛物线的焦点，所以|AB|=x 1+x 2+4=9， ∴x 1+x 2=5，联立方程{y 2=8x y =k(x −2)，∴k 2x 2−(8+4k 2)x +4k 2=0，∴x1+x2=8+4k2k2=5，∴k=±2√2．【解析】(1)由抛物线焦点坐标即可解出p的值，进而确定抛物线的方程；(2)联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可解出．本题考查了抛物线与直线相交，相交弦长，学生的数学运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(I)根据题意，(0.005+a+0.020+0.025+0.040)×10=1，解得a=0.010，所以样本中学生身高在[185,195]内(单位：cm)的人数为40×0.01×10=4；(2)由a=0.010，根据直方图，因为(0.005+0.020+0.040)×10=0.65<0.85，(0.005+0.020+0.040+0.025)×10=0.9>0.85，所以样本中的85%分位数落在[175,185)内，设85%分位数为x，则(x−175)×0.025=0.2，解得x=183，所以估计该校男生身高的85%分位数为183cm．【解析】(1)利用频率分布直方图能求出a的值，由此能求出身高在[185,195]的频率及人数．(2)先判断85%分位数位于哪一个区间，再根据频率分布直方图中百分位数的定义计算即可．本题考查了频率分布直方图的频率，频数以及数字特征等知识，属于基础题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=sin(π2+x)+cos(x+π3)=cosx+12cosx−√32sinx=√3cos(x+π6)；由于x∈[0,π]，所以x+π6∈[π6,7π6]，由于函数y=cosx在[π,2π]上单调递增，故函数的单调递增区间为[5π6,π].(2)函数f(x)=√3cos(x+π6)向右平移π3个单位，得到y=√3cos(x−π6)的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的12倍，再向上平移1个单位长度得到函数g(x)=2√3cos(2x−π6)+1的图象．由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]；故cos(2x−π6)∈[−√32,1]，则g(x)∈[−2,2√3+1]．【解析】(1)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出函数的单调递增区间；(2)利用函数的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】(1)证明：当λ=12时，点D为AA1的中点，因为AC=AD=A1D=A1C1=1，则DC=DC1=√2，又CC1=2，所以DC2+DC12=CC12，故DC⊥DC1，因为BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，故BC⊥DC1，因为DC∩BC=C，DC，BC⊂平面BCD，故DC 1⊥平面BCD；(2)解：因为CC1，CA，CB两两互相垂直，故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设AD =ℎ，则B(0,1,0)，C 1(0,0,2)，D(1,0,ℎ)，所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,ℎ)，设平面DBC 1的法向量为n⃗ =(x,y,z)，故{BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{x −y +ℎz =0−y +2z =0，令z =1，则x =2−ℎ，y =2，故n⃗ =(2−ℎ,2,1)，又平面BCC 1的一个法向量为CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，所以|cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+4+(2−ℎ)2，因为二面角D −BC 1−C 的余弦值为3√2929，所以2=3√2929，解得ℎ=12，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即λ=14时，二面角D −BC 1−C 的余弦值为3√2929．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ACC 1A 1，可得BC ⊥DC 1，利用勾股定理证明DC ⊥DC 1，即可证明结论；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DBC 1的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)2b =2⇒b =1，2⋅b 2a =2√33⇒a =√3， ∴椭圆C ：y 23+x 2=1．(2)A(1,0)，B(0,√3)，l AB ：√3x +y −√3=0．不妨设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)且x 1<x 2，{y 23+x 2=1y =kx⇒x 1=√3√k 2+3，x 2=√3√k 2+3，设M 到l AB 的距离为d 1=|√3x 1+kx 1−√3|2，N 到l AB 的距离为d 2=|√3x 2+kx 2−√3|2， S AMBN =12|AB|(d 1+d 2)=√3(√3+k)√k 2+32=√3k+32 =√3k 2+6√3k+9k 2+3=√3√k 2+2√3k+3k 2+3=√3√2√3k k 2+3=√3√1+2√3k+3k≤√6，当且仅当k =3k 即k =√3时取“=”．【解析】(1)利用椭圆的短轴长求解b ，过下焦点且与x 轴平行的弦长为2√33求解a ，得到椭圆方程．(2)求出A(1,0)，B(0,√3)，l AB 的方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)且x 1<x 2，{y 23+x 2=1y =kx ⇒x 1=√3√k 2+3，x 2=√3√k 2+3，联立直线与椭圆方程，求出M 、N 的横坐标，转化求解三角形的面积，利用基本不等式转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

辽宁省雅礼学校二O二0年〖人教版〗高二文科数学期中考试

辽宁省雅礼学校二Ｏ二0年【人教版】高二文科数学期中考试第一部分模块测试（满分100分）一、选择题型（每小题5分共50分）1．复数z=i(-3-2i)（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若1)x (f 0='，则k)x (f )k x (f lim000k --→等于（）A ．-1B ．1C ．0D ．无法确定3．若点P 的直角坐标为（3-，1），以点P 所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正方向为极轴，建立极坐标系. 则点P 的极坐标为（） A ．(2，32π) B ．(2，65π) C ．(2，3π)D ．(2，6π)4．已知)x (f '是函数1x x )x (f 3+-=的导数，则)1(f )1(f '的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知y 与x 线性相关，其回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为（4,5），则其回归直线方程为（） A.08.0x 23.1yˆ+= B.4x 23.1yˆ+= C. 5x 23.1yˆ+= D.23.1x 08.0yˆ+= 6．观察下列式子：2222710987654576543343211=++++++=++++=++=，，，，…，则第n 个式子是（） A ．2n )1n 2()2n ()1n (n =-++++++ B ．()21n 2)1n 2()2n ()1n (n -=-++++++ C ．()21n 2)2n 3()2n ()1n (n -=-++++++ D ．()21n 2)1n 3()2n ()1n (n -=-++++++7．函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ23,2 B ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ25,23 C ．()ππ2, D ．()ππ3,28．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，利用倒序求和的方法得2)a a (n S n 1n +=；类似地，记等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，且()*n N n 0b ∈>，类比等差数列求和的方法，可将nT表示成关于首项1b ，末项n b 与项数n 的关系式为（） A ．nn 1)b b ( B ．2bnb n1 C ．nn 1b b D ．2b b nn 110．已知a>0，b>0，利用函数()03)(>+=k kx x f x 的单调性，下列结论正确的是 ( )A ．若b 33a 23b a +=+，则a>bB ．若b 33a 23b a +=+，则a<bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b 二、填空题型（每小题5分共20分）11．将极坐标系中的极点作原点，极轴作为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系后，极坐标方程θ=ρcos 4化为直角坐标方程是______________12．若C z ∈，且1z =，则i z -的最大值为____________ 13．在直角坐标系xoy 中，已知曲线M:⎩⎨⎧-=+=t21y 2t x （t为参数）与曲线N ：⎩⎨⎧θ=θ=sin 4y cos 4x （θ为参数）相交于两个点A ，B ，则线段AB 的长为___________14．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=3，AC 是圆O 的直径，PC与圆O 交于点B ，PB=59，则圆O 的半径R 为_________ 三、解答题型（共30分） 15．（ 10分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为7(Ⅰ)请完成上面的列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .16.(10分)已知函数.x ln x )x (f 2-=（1）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调增区间.17.（10分）已知函数1x 9x 3x )x (f 23+-+=. （1）求f(x)的极大值；（2）若f(x)在[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围。

2022年湖南省长沙市雅礼建业中学高二数学文测试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市雅礼建业中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等差数列的前项和为，若、是方程的两个实数根，则的值是A、B、5 C、D、（）参考答案：D略2. 某公园现有A、B、C三只小船，A可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有（）A．48 B．36 C．30D．18参考答案：D略3. 有四个关于三角函数的命题：：x R, +=: x、y R, sin(x-y)=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosy x+y=其中假命题的是（）A.，B.，C.，D.，参考答案：A4. 某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由6份礼物分给6个人，共有种，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，6份礼物分给6个人，共有种不同的分法，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有，所以恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为，故选A．【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中，认真审题，利用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．5. 椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )A. （0，]B.（0，]C. [，1）D. [，1）参考答案：D略6. 已知,则等于A. B. C. D.参考答案：D略7. 已知抛物线的准线过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（）参考答案：C8. 已知上存在关于对称的相异两点A、B,则（）A . B. C. D.参考答案：C9. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为210，则其展开式中共有（）项A．12 B．11 C．10 D． 9参考答案：B10. 如图，设正方体的棱长为，是底面上的动点，是线段上的动点，且四面体的体积为，则的轨迹为（）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若n为正偶数，则被9除所得的余数是________．参考答案：原式=又n为正偶数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，故余数为012. 已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．该双曲线的标准方程为参考答案：略13. 曲线与曲线所围成的区域的面积为__________.参考答案：【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论．【详解】由曲线y＝x与y＝2-x2，得2-x2=x，解得x＝-2或x＝1，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-）＝== ；故答案为：．【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，属于基础题．14. 若⊙与⊙相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是参考答案：解析：由题知，且，又，所以有，∴。

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雅礼中学高二期中考试试卷（文数）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合2M x x ，230N x x x ，则M N ＝( )Ａ．3Ｂ．0Ｃ．0,2Ｄ．0,32．已知0a b ，则A. 2a abB. 2ab bC. 22a bD. 22a b 3．命题“?x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是()A ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x<0B ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥04．我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（）A ．40B ．50C ．60D ．705.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且)1(2n n a S , 则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．-26．如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,x y y x y 则2x y 的最大值为（）A ．3B ．2C ．2D ．17．已知1sin 24，则cos 2（）A ．78B ．78C ．78或78 D ．1548．执行下边的程序框图，若输入1,1,1a b c ，则输出的结果满足（）A ．1e fB ．1e fC ．5e fD ．5e f 9．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A ．3 B ．23 C ． D ．4310．若“:p xa ”是“:13q x x 或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1a B ．1a C ．3a D ．3a 11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱12．已知函数()f x 为定义在R 上减函数，且函数()y f x 的图象关于原点成中心对称.若,a b 满足不等式22(2)(2)f aa fb b ,则当[1,4]a 时，2ba ab 的取值范围是( ) A.1[3,)2 B. 1[3,]2 C. 1[5,)2 D. 1[5,]2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．已知向量,2,1,1m a n a ，且m n ，则实数a 的值为14．已知命题p:“实数a 满足30a a ”，命题q:“方程2220x ax a 无解”；若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是___________．15.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．16．已知关于x 的一元二次不等式220ax x b 的解集为{|}x x c ，则227a b a c （其中0a c ）的取值范围为__________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设锐角△ABC 内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知b Ba 3sin 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a ，2b ，求sinB ．18. （本题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a ，且123aa a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log nn b a ，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}n S 的前n 项和n T .19．（本题满分12分）随机抽取某中学高二年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图，其中表格中甲，乙两班各有一个数据被污损．若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，（1）求表格中污损处的两个数据；（2）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于175cm 的同学，求身高为181cm 的同学被抽中的概率．20．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1A A AB ，11CB A ABB 面（1）求证：1AB 平面1A BC ；（2）若15,3,60A C B C AA B ，求三棱锥1C AA B 的体积．21.（本题满分12分）某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分成若干批生产。

设每批生产需要投入固定费用75元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量x 的平方成正比，已知每批生产10吨时，直接消耗的费用为300元（不包括固定的费用）。

（1）若每批产品数量为20吨，求此产品在一个生产周期的总费用（固定费用和直接消耗的费用之和）。

（2）设每批产品数量为x 吨，一个生产周期内的总费用y 元，求当x 为多少时，y 有最小值，并求出y 的最小值。

22．（本题满分12分）已知函数2()1f x x ，()1g x a x ．（1）若fx g x 有且仅有一个根，求a 的取值范围；（2）若xR 时，不等式()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若0a 时，求()()G x f x g x 在[2,2]上的最大值．雅礼中学高二期中考试试卷（文数）1．若集合2Mx x ，230N x x x ，则M N ＝( ) Ａ．3Ｂ．0Ｃ．0,2Ｄ．0,3【答案】B2．已知0ab ，则A. 2a ab B. 2ab b C.22a b D. 22a b 【答案】D 3．命题“?x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是()C A ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x<0B ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥04．我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（）A ．40 B．50 C ．60 D ．70【答案】B【解析】试题分析：低于60分的人数看前两个条形，易知其概率为其面积即0.3，故该班人数为50人，选项为B ．考点：频率分布直方图．5.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且)1(2n n a S , 则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．-2 【答案】：A 6．如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,xy y x y 则2x y 的最大值为（）A ．3 B ．2 C．2 D ．1【答案】D 【解析】不等式组对应的可行域为直线10,10,10x y y x y 围成的三角形区域，顶点为1,0,0,1,2,1，令2z x y，则当直线z2x y过点0,1时，z取得最大值 1.考点：求线性目标函数的最值.7．已知1sin24，则cos2（）A．78B．78C．78或78D．14【答案】A8．执行下边的程序框图，若输入1,1,1a b c，则输出的结果满足（）A．1e f B．1e f C．5e f D．5e f【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，计算e，f的取值范围即可得解．模拟执行程序框图，可得a=1，b=1，c=-1d=5满足条件d≥０，1515222e f，, 输出e，f的值．9．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A ．3B ．23C ．D ．43【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为一个球体的43，缺口部分为挖去的41．∵球的半径1R ，∴13443V ，故选：C ．考点：由三视图求面积，体积．10．若“:p xa ”是“:13q x x 或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1a B ．1a C ．3a D ．3a 【答案】A【解析】试题分析：由题意1a ．故选A ．考点：充分必要条件．11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱【答案】B【解析】试题分析：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d ,则由题意可知,22ad a d a a d a d , 即6a d ,又2255ad a d a a d a d a , 1a ，则4422633aa d a a ，故选 B. 12．已知函数()f x 为定义在R 上减函数，且函数()y f x 的图象关于原点成中心对称.若,a b 满足不等式22(2)(2)f aa fb b ,则当[1,4]a 时，2ba ab 的取值范围是( ) A.1[3,)2 B. 1[3,]2 C. 1[5,)2 D. 1[5,]213．已知向量,2,1,1m a n a ，且m n ，则实数a 的值为A ．0 B．2 C ．2或1 D ．2【答案】B【解析】试题分析：因为m n ，所以2(1)20m na a a ，即2a ，故选 B.考点：向量的坐标运算. 14．已知命题p:“实数a 满足30a a ”，命题q:“方程2220x ax a 无解”；若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】 (0,1)15.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．【答案】194【解析】试题分析：则题意可知，前19行共有119191902，所第20行从左到右的数字依次191,192,193,194,，所以第4个数为194.考点：1.归纳推理； 2.等差数列的前n 项和公式.【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n 项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性.16．已知关于x 的一元二次不等式220ax x b 的解集为{|}x x c ，则227a b a c （其中0a c）的取值范围为__________.(,6][6,)试题分析：由题设0a 且044ab ,即1ab ,此时不等式变为01222ax x a ,即0)1(2ax ,所以01ax ,即a x1,即a c 1,所以227a b a ca a aa 17122,令a a t 1,则227a b a c t tt t a a aa 99171222. 故应填答案(,6][6,).17.设锐角△ABC 内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知b B a 3sin 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a ，2b ，求sinB ．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为b B a 3sin 2，由正弦定理得：2sin sin 3sin A B B .所以3sin 2A .又因为A 是锐角，所以60A. （Ⅱ）由正弦定理得sin sin abA B .21sin 7B 18.已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a ，且123a a a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a ，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}n S 的前n 项和n T .【答案】（I ）5n n a ；（II ）21n n n 【解析】试题分析：（I ）利用基本元的思想，将已知条件化为1,a q ，列方程组求得15a q ，故5nn a ；（II ）化简5log nnb a n ，故(1)2nn n S ，12112()(1)1nS n n nn ，利用裂项求和法求得21nn T n .试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q ，∴2111211154,.a a qa q a a q a q ，解得15a q ，故5nna .（Ⅱ）由（Ⅰ），得5log n nb a n ，所以(1)2nn n S .∴12112()(1)1nS n n nn ，故数列1{}nS 的前n项和为111112[(1)()()]2231nT nn 122(1)11n n n .19．随机抽取某中学高二年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图，其中表格中甲，乙两班各有一个数据被污损．若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，（1）求表格中污损处的两个数据；（2）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于175cm 的同学，求身高为181cm 的同学被抽中的概率．【答案】（1）9，4；（2）170.9，171.2；（3）①9；②12．【解析】试题分析：（1）根据众数和中位数的概念可知甲班污损处是9，乙班污损处是4；（2）设“身高为181cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中抽取两名身高高于175cm 的同学有：176,178,176,179,176,181,178,179,178,181,179,181共6个基本事件，而事件A 含有176,181,178,181,179,181共3个基本事件，所以3162P A．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1A A AB ，11CB A ABB 面（1）求证：1AB 平面1A BC ；（2）若15,3,60ACBCA AB，求三棱锥1CAA B 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）34．【解析】试题分析：（1）先通过AB AA 1，得到四边形11A ABB 为菱形，利用菱形的对角线相互垂直得11AB A B ，在利用线垂直于面，线将垂直于面内所有直线可得11ABB A CB得到1CBAB ，最后结合线面垂直判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可得：4AB，由601ABA 可得三棱锥AB A C1的底面AB A 1的面积，由（1）知BC 为棱锥的高，由体积公式可得结果．试题解析：（1）在侧面11A ABB 中，因为1A A AB ，所以四边形11A ABB 为菱形，所以11AB A B ，因为CB 平面111,A ABB AB 平面11A ABB ，所以1CBAB ，又因为11,A BBCB AB 平面1A BC ．（2）因为CB平面11,A ABB AB平面11A ABB ，AB平面11A ABB ，CB AB ，在Rt ABC 中，5,3AC BC，所以由勾股定理，得4AB，又在菱形11A ABB 中，160A AB，所以1A A B为正三角形，则111113443433322CAA BAA BV SCB三棱锥．21.某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分成若干批生产。