一元一次方程根和系数关系
根与系数的关系以及方程
同步教学主讲人：黄冈中学高级教师胡明英一、一周知识概述1 、一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 的根的判别式是△=b2－4ac.当△＞0 时，方程有两个不等实根当△=0 时，方程有两个相等的实根当△＜0 时，方程没有实根2 、若一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 的两根为 x1，x2，那么 x1＋x2=，注：运用根与系数的关系解决有关问题具有较强的综合性，必须熟悉下列相关的代数式的变形。
（1）x12+x22=(x1＋x2)2－2x1x2(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4x1x2|x1－x2|=（2）若 a＋b＋c=0 时，则方程有一根为 1若 a－b＋c=0 时，则方程有一根为－1若 c=0 时，方程有一根为 0 ，若 b=0 ，且 ac ≤ 0 时，则方程有一对互为相反的根，若（或 a=c）时，则方程有一对互为倒数根。
3 、列方程（组）解应用问题二、重点知识归纳及讲解例 1 、已知关于 x 的方程 (m－5)x2－2(m＋2)x＋m=0 有实根，求 m 的取值范围。
精析：已知关于 x 的方程，所以必须考虑 m－5=0 时，它是一元一次方程有实根，和 m－5≠0 时的二次方程的两种情况。
解：当 m－5=0 即 m=5 时，方程为－14x＋5=0∴有实根当 m－5≠0 即 m≠5 时，∵△=[－2(m＋2)]2－4(m－5)m=36m＋16又∵方程有两实根∴ 36m＋16 ≥ 0 ∴∴当且 m≠5 时，方程有两个实根。
综合上述：当时，方程有实根例 2 、已知方程 x2－2ax＋a2＋a－1=0 有实根，化简精析：该题的关键是求出字母 a 的取值范围。
解：∵方程 x2－2ax＋a2＋a－1=0 有实根∴△=(－2a)2－4(a2＋a－1)=－4a＋4 ≥ 0∴ a≤1当 a＜－2 时，＋|2＋a|=|a－1|＋|2＋a|=1－a＋(－2－a)=1－a－2－a=－1－2a 当－2≤a≤1 时＋|2＋a|=|a －1|＋|2＋a|=1－a＋2＋a=3.例 3 、已知关于 x 的方程 2x2－mx－2m＋1=0 两根的平方和等于，求 m的值。
一元一次方程根与系数的关系
(2)有两个互为相反数的实数根
灵活应用根与系数的关系
环节5
能力拓展
方程2X2-mX+m-3=0有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
满足学优生的学习欲望
《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
授课教师
张华毕进慧尹红恩马玲铁吉祥
章节内容
课题名称：一元二次方程的根与系数的关系
共一课时
时间
2014/9/12
班级
九年级
课程标准
了解一元二次方程的根与系数的关系
教材内容分析
《一元二次方程的根与系数的关系》是初中九年级上册第二单元一元二次方程中的内容，这一单元主要是方程，是在一元一次方程，二元一次方程的基础上学习的，也还是为了后面学习二次函数打基础。
学情分析
学生已有知识:学生在前面学过一元二次方程的求根公式，知道一元二次方程的根完全由它的系数确定。
教学设计整体思路
在教学中我们尽量做到“教学评”的一致性，通过讲练结合的方法让学生熟悉一元二次方程根与系数的关系，同时不同层次的习题满足不同层次的学生的需求。
学习目标
1、通过教师示范，学生理解一元二次方程根与系数的程的求根公式
回顾旧知，为后面两根之和两根之积的推导过程打基础。
环节2
思考练习
由一元二次方程的求根公式思考两根之和，两根之积关系。
理解根与系数的关系的推导过程
环节3
例题讲解
例1、直接练习根与系数的关系
例2、例3、灵活应用根与系数的关系
熟悉一元二次方程掌握新知识
环节4
试一试
1.K取何值时,关于x的方程
2、通过具体练习学生熟记一元二次方程的根与系数的关系公式，灵活应用根与系数的关系解决实际问题。
一元一次方程的根与系数关系
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.一、情境导入，初步认识问题请完成下面的表格观察表格中的结果，你有什么发现？【教学说明】通过对具体问题的思考，可以找出x1+x2和x1·x2与方程的系数之间的关系，引入新课.二、思考探究，获取新知通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= ;(2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= .答案：（1）4，-7；（2）-3，-5.思考1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2，你能说说x1+x2和x1·x2的值吗？（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.【教学说明】设置上述思考的两个问题，目的在于引导学生在感性认识的基础上进行理性思考，从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时，应给予充足的思考交流时间，让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究，完善认知.具体推导过程可参见教材.【归纳结论】根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.思考 2 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？【教学说明】设置思考2的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前提条件是Δ≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1,x2，防止学生片面理解而导致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意.三、典例精析，掌握新知例1见教材16页例4.分析：对于方程（3），应化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求解.【试一试】教材第16页练习.例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.分析：设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.解：设方程另一根为x1，由x1+3=1,∴x1=-2.又x1·3=-2×3=c,∴c=-6.例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：（1）x12+x22; （2）.分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.解:∵方程x2-5x-7=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=5,x1·x2=-7.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39;(2) =【教学说明】例1是根与系数关系的直接应用问题，学生能够自主完成，对于课本的练习老师可让学生稍作思考后解答；例2侧重于逆用根与系数关系，应注意引导学生进行正确思考；而例3侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，这里将代数式转化为只含有x1+x2及x1·x2的式子是解决问题的关键，应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究，独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索过程中的成绩和问题也给予评析，进行反思.例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12·x22-x1-x2=115，（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.分析：将x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.解：（1）由题意有x1+x2=6,x1·x2=k.∴x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115,∴k=11或k=-11.又∵方程x2-6x+k=0有实数解，∴Δ=(-6)2-4k≥0,∴k≤9.∴k=11不合题意应舍去，故k的值为-11;(2)由(1)知，x1+x2=6,x1·x2=-11,∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.【教学说明】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调.四、运用新知，深化理解1.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x1+x2= ,x1·x2= ;2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m= ;3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ,b=;4.已知a,b是方程x2-3x-1=0的两根，求ba+ab的值.【教学说明】设计这4个小题的目的在于让学生尽快掌握一元二次方程的根与系数的关系，前3个题，较为简单，可让学生自主完成，最后一个稍微有一点难度，只需将+ 化简即可.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.【教学说明】让学生通过回顾与反思加深对知识的领悟，畅所欲言，共同提高.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.。
一元一次方程的根与系数的关系
b b 2 4ac b b 2 4ac , x2 的两个根，x1 ， 2a 2a
则 x1 x2 =
b a
； x1 x2 =
c a
。
4、不解方程，写出下列方程两根的和 x1 x2 与 两根的积
x1 x2
2
.
（1）
x 3x 2 0
2
（2） 2 x
执教：桃源中学
吕艳坤
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程 根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次 方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两 个根的倒数和与平方数。 2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、 实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条 理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识 和创新精神。 3、情感目标：通过小组合作交流，激发学生的求知欲望， 培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索 与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
x (m 3) x m 1 0
2
，若 x1 , 2 2 ，求
m的值和此时方程的两个根。
的两个根，则
x1 x2 的值是（ B
C、 2
）
A、-2
B、-3
D、3
2 x , x 7、设 1 2 是一元二次方程 x 4 x 3 0
的两个根，则两根之和为（ A ）
A、 4
B、- 4
C、 3
D、-3
8、已知方程
x 2x c 0
2
的一个根
是3，求方程的另一个根及c的值。
9、已知关于x的一元二次方程
解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格 中两个根的和与积，它们与原来的系数有什么关系？ 方程
一元一次方程的根与系数的关系
例四 ：求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使得它
的两个根是-10/3，5/2
解 ： 所 求 的 方 程 是 x^2-(-10/3+5/2)x+(-10/3)*(5/2)=0 即
6x^2+5x-50=0
知两根的积各是多少？
1. x^2-3x+1=0
2.
3x^2-2x=2 3 2x^2+3x=0
b
c
, x1x2= 注：能用根与系
a
a
2
数的关系的前提条件为 b -4ac≥0
一元二次方程根与系数关系的证明：
x
1
x
2
X1 +x2 =
X1 x2 =
b b 2 4ac
2a
b b 2 4ac
2a
b
a
−+ 2 −4 −− 2 −4
+
=
2
2
−+ 2 −4 − + 2 −4
(3) 2x2+3x-2=0
方程
两根
两根之 两根之
X1
X2
教
学
过
程
和
积
x1+x2
x1*x2
x2-7x+12=0
3
4
7
12
x2+3x-4=0
1
-4
-3
-4
2x2+3x-2=0
-2
0.5
-1.5
-1
一元二次方程的根与系数的关系
（韦达定理）
2
如果方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是 x1 ,
x2,那么 x1 + x2=
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
专题一、根与系数的关系
专题一、根与系数的关系知识提炼：21、一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，用来判断一元二次方程的实根个数。
当$\Delta>0$ 时，方程有两个实数根；当 $\Delta=0$ 时，方程有一个实数根；当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根。
2、一元二次方程的求根公式为 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
一元二次方程的根有以下基本结论：（1）若有无理根，则必成对出现；（2）若 $a+b+c=0$，则有一个根为1；（3）若 $a-b+c=0$，则有一个根为-1.3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的两个根为$x_1$ 和 $x_2$，那么：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}$。
经典考题赏析：例1（天津中考）关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-mx+(m-2)=0$ 的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根；B、有两个相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定。
例2（山东中考）若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$ 的常数项为0，则$m$ 的值为（）A、1；B、2；C、1或2；D、无法确定。
例3（河南中考）已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-2x+1-3m=0$ 的两个实数根，且 $x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)>0$，那么实数 $m$ 的取值范围是？例4（全国联赛）已知 $t$ 是实数，若 $a,b$ 是关于一元二次方程 $x^2-2x+t-1=0$ 的两个非负实根，则 $\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$ 的最小值是多少？例5（北京市）已知关于 $x$ 的一元二次方程$x^2+2x+2k-4=0$ 有两个不相等的实数根。
方程的根相关知识点总结
方程的根相关知识点总结方程的根相关知识点包括方程的定义、解的性质、求根的方法、方程的应用等方面。
下面将对这些知识点进行详细的总结。
一、方程的定义方程是等式的一种特殊形式，其中包含一个或多个未知数，以及等号。
一般来说，方程可以分为一元方程和多元方程，其中一元方程只包含一个未知数，而多元方程则包含多个未知数。
方程的一般形式为：F(x) = 0其中，F(x)为一个关于未知数x的函数，当F(x)等于0时，则称其为方程的根。
二、解的性质对于一元一次方程ax + b = 0来说，其根即为x = -b/a。
而对于高阶方程，其根可以有多个，也可以没有根。
根据代数基本定理，一个n次方程有n个复数根。
对于实数方程来说，其根可以是实数，也可以是复数。
对于复数方程来说，其根是复数。
三、求根的方法对于一元一次方程来说，可以直接通过解方程的方法求得根。
而对于高阶方程，求根的方法包括因式分解、配方法、求根公式、牛顿迭代法等。
其中求根公式是一种基于方程的系数来求得方程根的方法，而牛顿迭代法则是一种通过不断逼近来求得方程根的方法。
四、方程的应用方程在数学中有着广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
例如，牛顿第二定律F=ma可以表示为一个方程，通过解方程可以求得物体的加速度；在工程中，通过建立方程模型可以解决各种实际问题；在经济学中，通过建立供求关系方程可以求得市场均衡价格等。
总之，方程的根相关知识点涉及了方程的定义、解的性质、求根的方法以及方程的应用等方面。
通过学习这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用方程的相关理论，在实际问题中更加灵活地应用方程的方法来求解和建模。
中考数学方程和方程式基础知识
中考数学方程和方程式基础知识基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆ 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a bx x -=+21，a cx x =⋅21（6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
一元一次方程根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数关系（讲义）一、知识点睛1． 通过分析求根公式，我们发现24b ac -决定了根的个数，因此24b ac -被称作根的判别式，用符号记作Δ；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根（也叫有两个解）；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根（也叫有一个解）；当Δ<0时，方程没有实数根（也叫无根或无解）．2． 从求根公式中我们还发现1212b c x x x x a a+=-⋅=，，这两个式子称为根与系数的关系，数学史上称为韦达定理．注意：使用韦达定理的前提是Δ0≥．二、精讲精练1. 方程210x kx --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关2. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．3. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是A ．1B ．2C ．3D ．44. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-2 5. 若x 1=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 a =__，该方程的另一个根x 2=___．6. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）2212x x +； （3）12(1)(1)x x ++； （4）221212x x x x +； （5）2112x x x x +；（6）212()x x -．7. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．8. 若2350p p --=，2350q q --=，且p ≠q ，则=+2211pq 9. 若x 1，x 2是某个一元二次方程的两根，且121x x +=，123x x ⋅=-，则这个一元二次方程是____________；若1212x x +=，123x x ⋅=-，则这个一元二次方程是10. 如果把一元二次方程2310x x --=的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是_____________________．11. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是_____12. 已知a ，b ，c 为三角形的三边长，且关于x 的方程2()2()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根．试判断此三角形的形状．13. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该方程的两个根，且22121218x x x x +=-，求实数m 的值．14. 已知a ，b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，求代数式()()2a b a b ab -+-+的值．15. 已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值，并解此方程．【参考答案】1．A 2．1 3．B 4．D 5．-4，2．6．解：由原方程知：a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=＞∵∴122x x +=-，1232x x ⋅=-． （1）原式121224332x x x x +-===-； （2）7； （3）52-； （4）3； （5）143-； （6）10． 7．2± 8．19259．230x x --=，2260x x --=． 10．2530x x -+=． 11．12a <≤．12．此三角形为等腰三角形且不是等边三角形．13．5m = 14．-1 15．1m =-，1215x x ==，．。
33根与系数的关系学案
33.根与系数的关系（一）设计: 蔡旭东 试做: 袁维高 审核:马建 班级______学号_____姓名______【课堂学案】活动一：探究一元一次方程根与系数的关系1.解下列方程并完成填空：（1）x 2-7x+12=0 (2)x 2+3x-4=0 (3) 2x 2+3x-2=02.归纳一元二次方程的根与系数的关系：3．一元二次方程根与系数关系的证明：4．推论：如果方程x 2+px+q=0的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1x 2= 活动二：例题讲解例1.不解方程，求方程两根的和与两根的积.(1)x 2+3x-1=0 (2)2x 2+1=4x练习：下列方程两根的和与两根的积各是多少？①x 2-3x+1=0 ②3x 2-2x=2 ③2x 2+3x=0 ④3x 2=1例2.已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.练习：已知方程3x 2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m 的值.例3.不解方程，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和 （2）倒数和练习：设x 1,x 2是方程x 2-2x-4=0的两个根，不解方程求下列各式的值：① (x 1+1)(x 2+1) ②2112x x x x活动三：引领提升：1.如果a,b 是两个不相等的实数，且满足a 2-3a=2,b 2-3b=2,（1）求代数式a 2b+ab 2的值。
（2）求代数式3a 2-ab+3b 2的值2.你能写出一个以－3和1为根的一元二次方程吗？【课后作业】1．已知方程220x mx --=的两根互为相反数，则m= .2．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= ．3．求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为 .4．如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式 2222016____n mn m -++=5．设x 1、x 2是一元二次方程x 2+5x －3=0的两个实根，且,4)36(22221=+-+a x x x 则a = .6．已知一元二次方程0562=--x x 的两根为b a ,,则ba 11+的值是 7． 已知关于x 的方程x 2－（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k 的值8.已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根12x x 、.（1）求k 的取值范围.(2)若12121x x x x +=-g ，求k 的值.9.已知：□ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那□ABCD 的周长是多少？。
一元一次方程的根
一元一次方程的根
一元一次方程是数学中最基础、最简单的方程类型之一。
它的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数，要求求出x的值，使得方程成立。
解一元一次方程的关键是求出x的值，也就是方程的根。
一个方程可能有一个、两个或者无解，具体取决于方程的系数和常数。
当a≠0时，方程ax+b=0的解为x=-b/a，这是因为将这个x代入方程中得到ax+b=a(-b/a)+b=0，满足方程的要求。
如果a=0而b≠0，方程变成了0x+b=0，这时方程无解，因为任何数乘以0都等于0，无法满足等式左边等于等式右边。
当a=0且b=0时，方程变成了0x+0=0，这时方程有无数个解，因为任何数乘以0都等于0，都能满足等式左边等于等式右边。
总之，一元一次方程的根与方程的系数和常数有密切关系，需要根据具体情况进行判断和求解。
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一、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中。
（1）x2－2x＝0；
（2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0
二、尝试探索，发现规律 2 2 x px q 0( p, q p 4q 0)
x1 x2 p x1 x2 q
例 1 不解方程，求方程两根的和与两根的积：
x px q 0
（2）求一个一元二次方程，使它的两个根分 别为4和-7。
练4 已知方程 2 的一 x kx 6 0 个根是2，求它的另一个根及 的值。
k
巩固练习 （1）下列方程两根的和与两根的 积各是多少？ 2 2 ① x 3x 1 0；② 3x 2 x 2 2 2 ③ 2 x 3x 0 ；④ 3x 1 2 （2）已知方程 x mx 4 0 的 一个根是1，求它的另一个根及m的 值。
练5、不解方程，求一元二次方程 2 x 2x 3 0 两个根的①平方和； ②倒数和。 练6、已知方程2 x 4 x 2m 0 的两个根的倒数和等于6，求m的 值
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（3）设 x1 , x2 是方程2 x2 4 x 3 0的 两个根，不解方程，求下列各式的 值。 x2 x1 ① ( x1 1)( x2 1) ② x1 x2
1 2 x 2 x 0 ② ① x 3x 1 0 2
2
解：① x1 x2 3 ② x1 x2 2
x1 x2 1
1 x1 x2 2
练 1 不解方程，求方程两根的和与两根的积：
(1) x 5 x 2 0 (2) x 8x 12 0
2 2
(3) x 11x 4 0 (4) x 3 x 1 0
2 2
例 2 不解方程，求方程两根的和与两根的积：
2x 4x 1 0
2
练 2 不解方程，求方程两根的和与两根的积：
(1)3 x 6 x 9 0
2
(2)5 x 10 0
2
练3 （1）已知关于x的方程 2 的两个根是1和2，求p和 q的值；