1.二分法及迭代法
python中的迭代法
python中的迭代法Python中的迭代法迭代法是一种常用的问题求解方法，在Python中也有广泛的应用。
它通过重复执行某个过程，逐步逼近问题的解，直到满足预定的条件为止。
本文将介绍Python中迭代法的基本概念、应用场景以及一些常见的迭代法算法。
一、迭代法的基本概念迭代法是一种基于循环的计算方法，通过多次重复执行相同的操作，逐步逼近问题的解。
在Python中，可以使用循环结构（如for循环、while循环）实现迭代法。
迭代法的基本思想是将问题分解为多个小的子问题，通过解决子问题逐步逼近最终解。
二、迭代法的应用场景迭代法在实际问题求解中有广泛的应用，以下是一些常见的迭代法应用场景：1. 数值计算：如求解方程的根、计算数列的和等；2. 优化问题：如求解最优化问题、最小二乘法等；3. 迭代算法：如迭代法求解线性方程组、迭代法求解非线性方程组等；4. 图像处理：如图像的模糊处理、边缘检测等。
三、常见的迭代法算法1. 二分法：二分法是一种简单而常用的迭代法算法，用于求解单调函数的零点。
基本思想是通过不断缩小目标值所在的区间，最终找到目标值的近似解。
例如，可以使用二分法求解一个函数f(x)=0的解。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代法求解方程根的算法，具有快速收敛的特点。
它通过利用函数的切线逼近方程的解，不断迭代求解。
例如，可以使用牛顿法求解一个函数f(x)=0的解。
3. 雅可比迭代法：雅可比迭代法是一种常用的迭代法求解线性方程组的算法。
它通过将线性方程组转化为迭代形式，逐步逼近方程组的解。
例如，可以使用雅可比迭代法求解线性方程组Ax=b。
4. 高斯-赛德尔迭代法：高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进算法，具有更快的收敛速度。
它通过使用前一次迭代得到的解来逼近方程组的解，不断迭代求解。
例如，可以使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组Ax=b。
四、总结迭代法是一种常用的问题求解方法，在Python中也有广泛的应用。
牛顿迭代法、二分法,定点法的区别与联系
⽜顿迭代法、⼆分法,定点法的区别与联系⽜顿迭代法、⼆分法，定点法的区别与联系⽜顿迭代法⽜顿迭代法，它是⽜顿在17世纪提出的⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。
多数⽅程不存在求根公式，因此求精确根⾮常困难，甚⾄不可能，从⽽寻找⽅程的近似根就显得特别重要Newton法是求解⽅程f(x)=0的最著名的和最有效的数值⽅法之⼀，其基本思想可以是将⽅程转化为线性⽅程来求解,设f(x)连续可微,则将函数f(x)在x点处k进⾏taylor展开,即如果,取taylor展开式的线性部分近似代替f(x),得到f(x)=0的近，则得到似⽅程，将此⽅程的根记作xk+1这就是Newton迭代公式迭代函数为不动点迭代将⽅程f(x)=0改写成等价⽅程则⽅程的根⼜称为函数的不动点.,⽤迭代格式为了求的不动点,取⼀个初始近似值x,k=1,2产⽣序列{x},这种迭代法我们称之为不动点迭代,或简单迭代⼜称为迭k代函数.假设⼀个迭代法产⽣的序列{x},k=0,1,2,,收敛,，X*是⽅k程f(x)=0的⼀个解.区间对分法区间对分法是求解⽅程f(x)=0的⼀种直观⽽⼜简单的迭代法,它是建⽴在介值定理的理论基础之上的，第⼀个取值点取在含优区间的1/2处,然后逐渐逼近最优值的单因素试验设计⽅法。
联系都是⽤来近似求⽅程根的⽅法，利⽤数列收敛于⽅程的根。
在应⽤⽅⾯，区间对分法可⽤来求根的初始近似值,以供其它对初始值要求严格的迭代法使⽤，⽜顿法和不定点迭代法都有局限性，收敛有⽅向性，如果初始值选的不恰当，则⽅程不收敛，也就不能得到⽅程的根。
另外，⽅程f(x)=0和x=是等价的，于是 Newton迭代公式也属于不动点迭代。
区别对分法每次50%的区间舍弃，试验选值跨跃的幅度过⼤，会使对分法漏掉了最佳值。
从此误差估计式看出,近似解的误差下降速度较慢.但此⽅法⽐较简单,且安全可靠.在实际应⽤中,.需要注意的是此⽅法只能求单实根,⽽不能求复根或偶数重根.在⽜顿迭代和不动点迭代中，对不动点⽅程x=，它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得⾮常缓慢，注意到x=x和x=都是不动点⽅程，它们的加权平均h(x)=也是不动点⽅程，⽽h(x) 和有完全相同的不动点。
数值分析3.1.二分法、迭代法及收敛性
上述令p→∞, 及limxk+p=x* (p→∞)即得(2.6)式. 证毕. 注：误差估计式(2.5)原则上确定迭代次数，但它由 于含有信息 L 而不便于实际应用. 而误差估计式(2.6) 是实用的，只要相邻两次计算结果的偏差足够小即 可保证近似值 xk 具有足够精度.
注： 对定理1和定理2中的条件2º 可以改为导数，即 在使用时如果(x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有
显然f(x)∈C[a, b],且满足f(a)=(a)-a>0, f(b)=(b)-b<0, 由连续函数性质可知存在 x*∈(a, b) 使 f(x*)=0，即 x*=(x*)，x*即为(x)的不动点. 再证不动点的唯一性. 设x1*, x2*∈[a, b]都是(x) 的不动点，则由(2.4)得
可以如此反复迭代计算
xk+1=(xk) 到的序列{xk}有极限 (k=0,1,2,). (2.2)
(x)称为迭代函数. 如果对任何x0∈[a, b]，由(2.2)得
lim xk x .
k
则称迭代方程(2.2)收敛. 且x*=(x*)为(x)的不动点， 故称(2.2)为不动点迭代法.
例1 用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在(1, 1.5)的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由题设条件，即：
|x*-xn|≤0.005 则要
1 2
n 1
(b a)
1 2
n 1
(1.5 1)
1 2
n 2
0.005
2 由此解得 n 1 5.6,取 n=6, 按二分法计算过程见 lg 2
L2 xk 1 xk 2 Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p 有
1.二分法及迭代法
a1,b1, 长度仅为 a,b 的一半.
重复以上过程，即取
x1
a1
2
b1
,
将
a1 , b1
再分半，
得到新区间 a2 ,b2 ,
其长度为a1 , b1 的一半，取x2
a2
b2 , 2
, 从而可得一系列有根区间:
a,b a1,b1 a2,b2 an,bn
其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，因此，
证明: ( x*) 0, ( x*) 0 1
故由定理２知 迭代法xk1 ( xk ), k 0,1,是局部收敛的.即：
kli→m∞xk = x *
将( x)在x *作Taylor展开,有
( x) ( x*) ( x*)(x x*) ( x*)( x x*)2
2!
( ( p1) x*) ( x x*) p1 ( p) (k ) ( x x*) p
计算结果见书13页的表2-2.
x6 1.3242 x, 并且 x x6 0.005
三.二分法算法框图
y
什么时候停止？
bn an ε
ao
f (x)
x0 x2 x*
x1 b x
a1
b1
a2 b2
开始
输入数据a , b,
二
分
y0 f (a)
法
的 算 法
x ab 2
框
f (x) y
图
No
第二章 非线性方程求根
教学目的:掌握迭代法及其理论分析;牛顿迭代 法;弦截法与快速弦截法.
教学重点:迭代法及其理论分析;牛顿迭代法;弦 截法与快速弦截法.
教学难点:迭代法及其理论分析;牛顿迭代法. 教学内容：如下.
第七讲二分法与迭代过程的收敛性
1 2
q qk x * xk x k x k 1 x1 x0 1 q 1 q
推论 设在区间 [ a , b ]上方程 x = g(x)有 根 x*,且g(x)有连续的一阶导数。如果有正数 q<1 ,使得对任意 x∈[a, b] 都有 |g´(x)|≤ q < 1， 则存在x*的某个邻域, 只要x0 属于此邻域, 迭代公式xk+1= g(xk ) 必收敛于x*. (也称迭代公式有局部收敛性) 定理 设在区间[a, b]上方程 x=g(x) 有根x*, 且对x∈[a, b], 都有 |g´(x)|≥ 1， 则对于该区间上任意x0(≠x*), 迭代公式xk+1= g(xk )一定发散.
二、迭代法的一般知识
2.迭代法的几何意义
x1=g(x0 )
x2=g(x1 )
问题：迭代函数g(x)满足什么条件时，迭代序列才收敛?
二、迭代法的一般知识
3.迭代法的收敛条件及误差估计式
定理 设方程 x=g(x) 在[a, b]上有一阶导数, 如果
(1)当 x∈[a, b]时 g(x)∈[a, b]; (2) 存在正数 q < 1，使对任意 x ∈[a, b] 都有 |g´(x)|≤ q < 1 则方程x=g(x)在 [a, b]上有惟一的根x*; 且对于[a,b]上任意初 始近似根x0 ,迭代公式 xk+1=g(xk)均收敛于方程的根x*; 还有误差估计式
答案: 计算结果见列表：
k 0 1 2 3 4 5 6 1 1.25 1.25 1.312 5 1.312 5 1.312 5 1.320 4 ak 1.5 1.5 1.375 1.37 5 1.343 8 1.328 2 1.328 2 bk 1.25 1.375 1.312 5 1.343 8 1.328 2 1.320 4 1.324 3 xk f(xk)的符号 － ＋ － ＋ ＋ － －
二分法和牛顿迭代法求解方程的比较
二分法和牛顿迭代法求解方程的比较200822401018 徐小良一、问题叙述求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。
二、问题分析由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。
三、实验程序及注释（1）、二分法程序：clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)');format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0b=x0; %二分法求解程序； elsea=x0; ya=y0; enddisp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； enddisp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序：clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)');format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a);while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0);b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1;disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； enddisp([b,a]); %显示最后一个区间值；四、实验数据结果及分析表2：牛顿迭代法程序结果五、实验结论通过表1可知，在二分法下，程序迭代了17次后和第18次的结果一致，即程序迭代了17次达到要求的试验误差；通过表2可知，在牛顿迭代法下，程序迭代了4次后和第5次的结果一致，即程序迭代了4次达到要求的试验误差；二者比较明显可以看出牛顿迭代法的求解效率要远远优于二分法。
实验1：二分法和迭代法
Ex=(k+1)( 1-0.99995^k)+ 0.99995^k=k(1-0.99995^k)+1 设 f(k)=Ex/k=1-0.99995^k+1/k 当 f(k)最小时，总共所需的化验次数最少，即 f ’(k*)=0 时，k*所需化验次数最少 f ’(k)=(-0.99995^k)*(ln0.99995)-1/(k^2) f’(100)= -5.0248e-05 f’(200)= 2.4504e-05 利用二分法，程序如下： f=@(k)(-0.99995^k)*(log(0.99995))-1/(k^2); a=100;b=200; tol=1e-12;maxit=100; my_bisection(f,a,b,tol,maxit) 结果为 1.419222563505173e+02 即 k=141 或 142 时，f(k)最小 代入得 f(141)= 0.014117580646837
四、实验结果： (1) 取有根区间为 [3, 4], 利用二分法求得的根为: 3.262983107765649 取迭代初值为 3, 利用迭代法求得的根为: 3.262983107764216(2来自 二分法和迭代法的迭代图像为:
(3) 结论: … …
任课教师：鲍亮
2017 年 3 月 19 日
(2) 迭代法的程序：
function Vx=my_iteration(phi,x0,tol,maxit) Vx=zeros(1,maxit);k=2;Vx(1)=x0; while abs(phi(x0)-x0)>tol&&k<=maxit+1 x0=phi(x0); Vx(k)=x0; k=k+1; if k>3 if abs(Vx(k-1)-Vx(k-2))>abs(Vx(k-2)-Vx(k-3)) '不收敛' break else end else end end Vx=Vx(1:k-1);
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))解读
x0=x1;
x1=x3;
x3=twopointchord_f(x0,x1);//没有到达精度要求继续迭代
// cout<<x3<<endl;
}
cout<<f(x3)<<endl;
returnx3;//返回最终结果
}
//测试
voidmain(){
3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。
2.2 简单迭代法
思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。
步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).
3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
3.判断f(x2)是否满足精度要求，若没有则按照上述步骤继续迭代，否则输出x2.x2即为方程的近似解。
第
测试结果
函数图像
函数Y=x5-3x3+x-1
二分法
[-1.6,-1.3]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.45
5
-1.50156
10
-1.50493
x1=newtonitera(x0);//继续迭代
cout<<x1<<endl;
}
returnx1;//返回最终结果
}
//==================双点弦法迭代======================
计算方法第六章(迭代法)
3、插值加速法
由线性插值公式：
x xk x xk 1 y xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
x xk x xk 1 x xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
xk 1 xk 1 xk 2 x xk 1 2 xk xk 1
2.102599958448522 2.094749937881704 2.094556446501749 2.094551657513653 2.094551538972266 2.094551536038016
x=2.5 10 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 15 endif 15 x=2.5 goto 10 20 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) x=1.15*x+(1.0-1.15)*y if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 30 endif goto 20 30 end
1 2 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2! 1 (n) 1 n f ( xk )( xk ) f ( n 1) ( k )( xk ) n 1 n! (n 1)!
f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk )
f ( xk ) f ( xk ) 2 改进牛顿法： xk 1 xk f ( xk ) 3 f ( xk ) 2 f ( xk )
牛顿迭代法的收敛性： 牛顿迭代法二阶收敛，两种改进牛顿迭代法三阶收敛
1 0 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2 2!
整数开方快速算法
整数开方快速算法整数开方是计算一个正整数的平方根的操作，即找到一个整数x，使得x的平方小于或等于给定的整数n，而x+1的平方大于n。
在计算机科学中，常用的整数开方算法有三种：二分法、牛顿迭代法和位操作法。
下面将详细介绍这三种算法。
1.二分法：二分法是一种基于二分查找的算法，在整数范围内逐渐缩小查找区间，直到找到最接近目标整数的平方根。
算法步骤如下：-初始化左边界l为0，右边界r为给定整数n。
-循环直到找到最接近目标整数的平方根：- 计算中间值mid = (l + r) / 2- 如果mid的平方大于n，则将r更新为mid-1，否则将l更新为mid+1-返回l作为整数开方的结果。
二分法的时间复杂度为O(logn)，因为每次区间减半。
2.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种迭代求解方程的方法，通过反复迭代的方式逼近函数的根。
对于求解整数开方的问题，可以将其转化为求解方程x^2-n=0，其中n为给定整数。
算法步骤如下：-初始化初始值x0为n。
-循环直到收敛：-计算新的近似值x1=(x0+n/x0)/2-如果x1与x0的差值小于一个很小的阈值，则停止迭代。
-否则，将x1作为新的近似值，继续迭代。
-返回x1作为整数开方的结果。
牛顿迭代法的时间复杂度取决于迭代次数，通常收敛得非常快，因此可以认为是常数时间复杂度。
3.位操作法：位操作法是一种利用位运算的技巧来计算整数开方的方法。
算法步骤如下：-初始化变量x为给定整数n。
-如果x大于1：- 计算tmp = (x + n / x) / 2- 如果tmp等于x，则返回x作为整数开方的结果。
- 否则，将tmp赋值给x，继续循环。
位操作法的时间复杂度同样取决于迭代次数，但通常比牛顿迭代法多一些迭代次数。
综上所述，整数开方的三种常见算法为二分法、牛顿迭代法和位操作法。
不同的算法在时间复杂度和实际运行效率上有所差异，选择合适的算法取决于具体的应用场景和需求。
数值分析——二分法及迭代法
数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。
在数值分析中，二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。
本文将对二分法和迭代法进行详细介绍，并比较它们的特点和适用范围。
一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题，并选择其中一个子问题进行求解的方法。
它适用于解决连续函数的求根问题。
二分法的基本思想是利用中值定理，通过不断缩小区间来逼近根的位置。
具体步骤如下：1.选取一个初始的区间[a,b]，确保f(a)和f(b)的符号相反。
2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号，并更新区间。
若f(c)与f(a)符号相反，则更新区间为[a,c]；否则更新区间为[c,b]。
4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
5.最后得到的近似根为区间的中点c。
二分法的优点是收敛速度快，且能够保证收敛到根的位置。
然而，二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度，所以其收敛速度相对较慢。
此外，二分法需要事先确定区间，并且要求f(a)和f(b)的符号相反，这对于一些问题来说可能并不容易实现。
因此，二分法主要适用于单峰函数求根问题。
二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。
它适用于一般的数值求解问题。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题，并通过逐步逼近来求解。
具体步骤如下：1.选取一个初始的近似解x_0。
2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k)，计算下一个近似解x_{k+1}，其中g(x)是一个适当的函数。
3.判断迭代是否达到停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
若满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。
4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。
迭代法的优点是适用范围广，可以求解一般的数值问题。
此外，迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择，使得迭代过程更加高效。
python常用算法 递推法、递归法、迭代法、二分法
python常用算法递推法、递归法、迭代法、二分法Python常用算法之一：递推法递推法是一种基于已知结果推导出未知结果的算法方法。
在递推法中，我们通过已知的初始值或基础情况，以及与前一项或前几项的关系，计算出后一项的值。
递推法常常用于解决数列、数学关系、动态规划等问题。
递推法的基本思想是通过找到问题的递推关系式来求出未知项的值。
这个关系式可以是一个简单的数学公式或逻辑表达式。
为了使用递推法，我们需要先找到递推公式，并明确初始项的值。
通过逐步求解的方式，我们可以得到数列的任意项的值。
递推法的实现通常采用循环结构。
我们可以使用for循环来遍历每一项，并根据递推公式来计算后一项的值。
下面是一个简单的例子，计算斐波那契数列的第n项：pythondef fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:a, b = 0, 1for i in range(2, n+1):a, b = b, a + breturn b在这个例子中，我们使用了一个for循环来计算斐波那契数列的第n 项。
首先，我们定义了初始项a=0和b=1。
然后，通过循环计算每一项的值，更新a和b的值，最后返回b作为结果。
递推法的优点是简单明了，适用于不涉及递归调用的问题。
尤其对于一些数值计算的问题，递推法可以利用计算机的高效运算能力，快速求解问题。
接下来，让我们看看另一种常用的算法方法：递归法。
Python常用算法之二：递归法递归法是一种在解决问题时调用自身的方法。
在递归法中，我们将一个复杂的问题分解成一个或多个规模较小的相同问题，直到问题的规模足够小，可以直接求解为止。
递归法需要定义一个递归函数，该函数在调用过程中会不断地传递参数给自身，直到满足停止条件为止。
递归法的实现通常采用函数的递归调用。
在函数的内部，我们可以通过调用自身来解决同类的子问题，同时逐步缩小问题的规模。
递归函数中通常包含两部分：基准情况（停止条件）和递归调用。
二分法与牛顿迭代法解方程
问题：谁做的好事？ 问题：谁做的好事？
有四位同学中的一位做了好事，不留名，表扬 有四位同学中的一位做了好事，不留名， 信来了之后，校长问这四位是谁做的好事。 信来了之后，校长问这四位是谁做的好事。 不是我。 A说：不是我。 B 说：是C 。 C 说：是D 。 D说：他胡说。 已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。 已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。现 在要根据这些信息，找出做了好事的人。 在要根据这些信息，找出做了好事的人。
NS图 有了上述了解之后，我们来看解“ NS图 有了上述了解之后，我们来看解“谁做的好
事”的程序框图
分别为‘ 循环4趟 让thisman分别为‘A’,’B’,’C’,’D’,循环 趟 分别为 循环
sum = ( ( ( ( thi来自man != thisman == thisman == thisman != s um == 3 ‘ A ’ )+ ‘ C ’ )+ ‘ D ’ )+ ‘ D ’ ); 假
x
算法： 算法： (1)输入一个近似值于 输入一个近似值于x0 (1)输入一个近似值于x0. (2)求出下一个迭代点 求出下一个迭代点x. (2)求出下一个迭代点x. (3)如果|x-x0|>10如果|x 那么将x的值赋给x0 并且返回第(2) x0， (2)步 (3)如果|x-x0|>10-5，那么将x的值赋给x0，并且返回第(2)步， 继续求下一个迭代点x 否则，转到(4) (4)。 继续求下一个迭代点x。否则，转到(4)。 (4)x即为所求的根 即为所求的根。 (4)x即为所求的根。
真
输出该被试者； 输出该被试者；有解标志
真 有解吗 假
输出无解信息； 输出无解信息；
算法： #include <stdio.h> void main()
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
-1.50508
12
-1.50504
3
-1.50625
8
-1.50449
13
-1.50506
4
-1.49688
9
-1.50479
14
-1.50507
表1-1
区间[-1.2,-0.9]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.05
5
-0.998437
10
-1.00005
1
-0.975
6
-1.00078
11
-0.999976
13
1.69015
20
1.69028
7
1.68753
14
1.6902
表2-3
牛顿
初值-1.5结果x=-1.50507
k
xk
k
xk
1
-1.5
4
-1.50504
2
-1.50471
5
-1.50506
3
-1.50497
6
-1.50507
表3-1
初值-1结果x=-1.50507
k
x
1
-1
2
-1
表3-2
初值1.6结果x=1.69028
步骤：1.计算原函数的导数f’(x);构造牛顿迭代公式
2.计算,若f’(x0)=0,退出计算，否则继续向下迭代。
3.若|x1-x0|满足精度要求，x1即为方程的近似解。
2.4弦截法
思想:为加速收敛，改用两个端点都在变动的弦，用差商替代牛顿迭代公式的导数f’(x)。
步骤：1.构造双点弦法的公式
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
二分法,不动点迭代法和牛顿迭代法
二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法是数值计算中常用的三种求根方法。
它们在不同的数学领域及实际问题中有着广泛的应用。
本文将对这三种方法进行介绍和比较。
一、二分法1. 原理二分法是一种基于区间不断缩小的求根方法。
其原理是通过在函数值的两个不同点处得到异号的情况下缩小区间来逼近实根。
具体过程为：首先确定一个区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号，然后将区间一分为二，取中点c=(a+b)/2，若f(c)为零或在一定误差范围内，则c即为所求的根；否则，根据f(a)和f(c)的符号确定新的区间[a,c]或[c,b]，重复上述步骤，直到满足要求。
2. 特点二分法的优点是简单易实现，对于连续且单调函数一定能收敛。
但其缺点是收敛速度较慢，尤其在根附近时迭代次数较多。
二、不动点迭代法1. 原理不动点迭代法是求解方程f(x)=0的一种迭代方法，通过将方程变换为x=g(x)，其中g(x)为连续函数，然后通过不断地迭代计算得到方程的根。
具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=g(xn)来逼近实根。
2. 特点不动点迭代法的优点是迭代过程简单，不需要对函数进行求导。
但其缺点是收敛性有一定要求，不是所有的g(x)函数都能得到收敛结果。
三、牛顿迭代法1. 原理牛顿迭代法是一种通过不断线性化函数来逼近方程根的方法。
其原理是通过对函数f(x)进行泰勒展开，并取展开式的线性部分来进行迭代计算。
具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)来逼近实根。
2. 特点牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，在根附近有二次收敛性。
但其缺点是需要对函数进行求导，且初始值的选取对迭代结果有一定影响。
二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法都是求解方程根的有效方法，各有其优缺点和适用范围。
在实际应用中，根据问题的特性和计算要求来选择适当的方法，以达到准确和高效的求解目的。
4. 比较与应用通过对二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法的介绍，我们可以对它们进行比较与应用。
第二章(1) 二分法与简单迭代法
定理2.1： f(x)在[a ,b]内连续，α 是方程f(x)在隔根区间[a ,b] 内的根，则由二分法产生的数列{xn}收敛于方程的根α ,且有 误差估计式 ba | xn | n ( n 0,1,)
2
控制误差ε常用的方法如下： (1)先计算对分次数再对分。由
ba ba 计算得 n l og2 2k
( x0 ,( x0 ))
0
x2
x1
x0
x
0
x0 x1
x2
x
数值分析
y p1 p0
y=x y=φ(x)
y p0
y=x
x x0 y x1 x* y=x y y=φ(x) p0 x0 x* y=φ(x)
p1 y=φ(x) x x1 y=x
p0 p1
x x0 x*
p1
x
数值分析
x1 x0 x*
例22求方程32190832基本思想二分法就是将方程的有根区间对分然后再选择比原来区间缩小一半的有根区间如此继续下去直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法
第二章 方程的近似解法
在科学技术的数学问题中，经常遇到求解一元函数方程 f(x)=0 (2.1) 的问题。 这里f(x)是单变量x 的函数，它可以是代数多项式
(1)描图法
画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位臵。也可将f(x)=0等价变形为g1(x)=g2(x)的 形式，y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在的 子区间即为含根区间。 例如，求方程3x-1-cosx=0的隔根区间。 将方程等价变形为3x-1=cosx ，易见y=3x-1与y=cosx 的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。
二分法的具体计算过程041019124257
唯一性:设 x* ,x* 均是方程的根则
1
2
(
x* x*
1
2
又0
(x* )
(x* )
1
2
1 ,(1 1 ) x2*
x) ( )(x* ,x*1 2 1 20 ,x只1* 有x2x* *
x* ), x* 10 ,
x。*
x*
2
(2)迭代的收敛性:
因 x*
(x* ),xn
x* x* n
(x* )
x* xn 1
取x 0
2
,x 1
2.5,
x
2
1.176,
x3 8.103,4 x 0.07855 , x
2.5, , 是不收敛的。
三、加速收敛（Aitken方法）
设
x是 0
x*
的某个预测值,适用一次迭代得到校正值
x1
(x0 ) ,用微分
中值定理 x1 x*
(x)(x * x ) ,如果 (x) 变化不大,记其近似值为 则:
故
方程在区间[2,3]上有根。又n
1 1 ln(b ln2ln
66
,取 n=9,将计算结果列表如下:
n an
bn
02
3
12 22
2 2
1 21 4
xn
2 2 2
1 21 41 8
32
2
1 8
2
1 16
42
1 16
2
1 8
2
3 32
52
3 32
2
1 8
n1
2
a)。如果精度要求
*
x
x
,则要求
1 (b 2n 1
牛顿迭代法与二分法1
用二分法和牛顿迭代法编程一. 实验课题用二分法和牛顿迭代法编程求方程sinx-x²/2=0的实根，要求误差不超过0.00001。
输出迭代次数，初始值和根的近似值；再构造不同的迭代函数，用迭代法求解，并进行比较。
二. 实验步骤(一) 用matlab作函数y=sinx-x²/2的图，步骤如下：先作一个名为fun1.m的 M文件function y1=fun1(x)y1=sinx-x²/2；接着使用下列命令在区间[-0.5，2]上作该函数的图象，并估计y1=0时x的根的大致区间。
x=-0.5:0.01:2;plot (x,fun1(x),‘b’)hold onplot(x,zeros(size(x)))hold offgrid由图象的结果观察可知：上述方程在（1，1.5）上有一实根。
（二）用二分法求方程的近似根由|b-a|/(2^(n+1))≤ε可以得到n≥13，故预定最大计算次数为15次。
作一个名为fun2.m的M文件，步骤如下：function X=fun2(a,b)n=15; ε=0.01; k=1; X=(a+b)/12;while fabs(a-b)≥εif fun1(X)==0;breakendif fun1(a)*fun1(X)<0; b=X;else a=X;endk=k+1;if k>n,k, error(‘fail’)else X=(a+b)/2;endend[‘Iterative times=’,int2str(k)]在命令窗口输入命令：r=fun2(1,1.5)运行后得到结果为：ans=Iterative times=13 r=1.4408（三）用牛顿迭代法求方程的近似根具体步骤如下：1. 选择迭代函数φ(x)=x-f(x)/f’(x)。
2.选定初始值x0与x1，并算出相应的f(x0)与f(x1),并保证迭代算出的x1比x0更接近所求的根。
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, 从而可得一系列有根区间:
a, b a1 , b1 a2 , b2 an , bn
其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，因此，
bn an b a x x x x 0 , lim n xn x n1 , lim n n n 2 2
精确解往往很难求得，因此有必要研究它们的数值求
根方法。
研究问题 : 求方程f ( x ) 0根的问题.
若 f ( x ) a0 x n a1 x n1 an (a0 0), 则称
f ( x) 0
为 n 次代数方程。当
n 1 时，此方程称为线性方程。
当 f ( x) 0 不是代数方程时，就称为超越方程。
度要求为止.
如何根的隔离?
求方程 f ( x) 0的根时，首先要确定出若干个区间，使
每个区间内有且只有一个根，这个步骤就叫做“根的隔 离”。 含有一个根的区间称为有根区间。 根的隔离的常用方法:逐次搜索法.
假设函数f ( x )是一个连续函数,
逐次搜索法: 在f ( x )的定义域内插入许多分点
ln(b a ) ln 2 n ln 2
以上方法称为二分法.它计算简单且收敛.
内 例2:求方程 f ( x ) x x 1 0 在区间 1,1.5
3
的实根，要求误差不超过0.005. 解: 首先按公式估计所要的二分次数
ln(1.5 1) ln 0.01 n 5.644 ln 2
一、不动点迭代法
迭代法是一种逐步逼近的方法，已知方程
f ( x) 0
的一个近似 根后，通常使用某个固定的公式反复校正根的
近似值，使之逐步 精确化，一直到满足给定的精度为止。 将非线性方程 f ( x ) 0 化为一个同解方程
x ( x )( 2)
f ( x ) 0 , 称 为 反之亦然 ; x x x ( x ); 若 满足 则
an bn b a an , bn 的长度为bn an n ,且 x an , bn , xn , 2 2
对于预先给定的精度 ,只要
xn x
1 1 (bn an ) n1 (b a ) 2 2
可以估计二分法执行次数
n,
ba n1 2 两边取对数： ln( b a ) n ln 2 ln 2
函数 ( x ) 的一个不动点。 求 f ( x ) 的零点就等于求 ( x ) 不动点.
例1、求方程 f ( x ) x 11.1 x 38.8 x 41.77 0
3 2
的有根区间。 解：计算结果如下表:
x
f ( x)
0 -
1 -
2 +
3 +
4 -
5 -
6 +
由此可知有根区间为 1,2, 3,4, 5,6
二.二分法
假设非线性方程 f ( x) 0 的左端函数 f ( x)在区间
xk , k 0,1,2,, 依次扫描计算点 xk , k 0,1,2,
处的函数值。 若发现某相邻两点上的函数值异号，即
f ( x k ) f ( x k 1 ) 0
若有一个 说明在小区间 xk , xk 1 内至少有一个实根。 点上的函 数值等于0,则该点为非线性方程的零点.
No
y0 f (a)
x
ab 2
f ( x) y
y0 y 0
Yes
bx
No
a x
ba
Yes
输出x , y
结束
第二节:
迭代法及理论分析
设非线性方程 f ( x ) 0(1)
如果方程(1)在区间[a , b] 上只有一个根，
本节主要研究有根区间 则称[a, b]为有根区间， 上的求根方法.
第二章
非线性方程求根
教学目的:掌握迭代法及其理论分析;牛顿迭代 法;弦截法与快速弦截法. 教学重点:迭代法及其理论分析;牛顿迭代法;弦 截法与快速弦截法. 教学难点:迭代法及其理论分析;牛顿迭代法. 教学内容：如下.
第一节:根的隔离与二分法
一.根的隔离
解决科学技术中遇到的数学问题，常常需要先解 决高次代数方程和超越方程的求解问题。这些方程的
例如: f ( x ) e x sin x 0 非线性方程包括高次方程和超越方程。
方程 f ( x) 0 的解
x
通常叫做方程的根，
又称为函数 f ( x ) 的零点。 方程求根大致可以包括下列三个问题：
1.根的存在性;
2.根的隔离;
3.根的精确化.
如何根的精确化?
已知根的近似值后, 设法将它逐步精确, 直到满足精
可见只需要二分6次便能达到所要求的精度。 计算结果见书13页的表2-2.
x6 1.3242 x , 并且 x x6 0.005
三.二分法算法框图
y
什么时候停止？
f ( x)
bn an ε
a
ox0 xa1 a2来自2x*x1
b2
b b1
x
开始
输入数据a , b,
二 分 法 的 算 法 框 图
a, b 上连续，并满足
二分法过程:
f (a ) f (b) 0 ，非线性方程在区
间 a, b上仅有一个实根 x
把区间 a, b 二等分，分点为 x0
ab , 否则， 如果它等于0，则求得实根 x f ( x0 ) 或者与 f (a ) 2 异号,或者与 f (b ) 异号; 若 f (a ) f ( x0 ) 0, 说明根 x a, x0 ,
此时令 a1 a , b1 x0 ; 若 f ( x0 ) f (b) 0, 说明根 x
ab , 计算 f ( x0 ), 2
x0 , b;
此时令 a1 x0 , b1 b, 无论哪种情况可得到新的有根区间
a1 , b1 ,
长度仅为 a , b 的一半. a1 b1 , 将 a1 , b1 再分半， 重复以上过程，即取 x1 2 a2 b2 a , b , a , b 取x2 , 得到新区间 2 2 其长度为 1 1 的一半，