人教教材《因式分解》全文课件
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人教版八年级上册数学14.3因式分解 十字相乘法分解因式 课件
人教版八年级上册数学14.3因式分解 十字相乘法分解因式 课件
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7 7
或
x 1 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验，
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
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练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x-6)(x-1) 2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2) 3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y) 4、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
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练一练： 将下列各式分解因式
1x2 5x 6 3x2 7x 12
2x2 x 6 4x2 3x 10
x2
小结：用十字相乘法把形如
px q 二次三项式分解因式
q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
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你能对下列式子进行分解因式吗？
x y2 8x y 48
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十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7 7
或
x 1 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验，
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
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练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x-6)(x-1) 2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2) 3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y) 4、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
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练一练： 将下列各式分解因式
1x2 5x 6 3x2 7x 12
2x2 x 6 4x2 3x 10
x2
小结：用十字相乘法把形如
px q 二次三项式分解因式
q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
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你能对下列式子进行分解因式吗？
x y2 8x y 48
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人教版九年级数学上册《因式分解法》PPT
(1) x2 9 0
(2) x2 2x 1 0
1.理解用因式分解法解一元二次方 程的基本思想，会用因式分解法解 一些一元二次方程； 2.灵活运用适当的方法解一元二次 方程，提高分析问题和解决问题的 能力.
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法 求解.这种用因式分解解一元二次方程的方法就叫因 式分解法.
温馨提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; 3.理论依据是“两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零.”
交流讨论
x2 x
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
感悟新知
快速回答下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x 2) 0
(2)( y 2)( y 3) 0 (3)(3x 2)(2x 1) 0
(4)x2 2x
x1 0, x2 2
y1 2, y2 3
x1
2新知尝试
用因式分解法解下列方程
1.x2 36 0 2.x2 6x 9 3.3x(2x 1) (4x 2) 0 4.(x 4)2 (2x 5)2
一次方程. （4）两个一元一次方程的解 就是原方程的解.
2.解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 因式分解法
公式法
3.x1
1,
x2
2 3
4.x1
2,
x2
4 3
这节课，你收获了什么？
这节课上，我学会了…… 这节课上，我感到最困难的是…… 这节课上，我感受最深的是……
小结
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
人教版《因式分解》PPT完美课件
(4)(巴中中考)3x(x－2)＝x－2.
解：x ＝x ＝－2 1(20)．(3x若＋一2元)2－二4次x2方＝程0；式x2－8x－3×11＝0的两根为a，b，
1A2．．4请8 你B写．出24一个1 以x为2未知数的一元二次方程，
(解3)：(2＋x1x＝)20－，9x＝2＝0；3
6(2．)x解2＋方6程x－(x8＋＝40)2；＝3(4＋x)，最适当的解法是( )
(2)(2019·通辽)一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根， 其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为(B ) A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
a2－ab（a≥b）， (3)对于实数 a，b，定义运算“*”：a*b＝ab－b2（a＜b）. 例如 4*2，因为 4＞2，所以 4*2＝42－4×2＝8. 若 x1，x2 是一元二次方程 x2－5x＋6＝0 的两个根，则 x1*x2＝_3_或__－__3_；
3．(朝阳中考)方程 2x2＝3x 的解为(D )
A．0 B．32
C．－32
D．0 或32
4．下列一元二次方程能用因式分解法解的有( C )
①x2＝x；
②x2－x＋14 ＝0；
③x－x2－3＝0； ④(3x＋2)2＝16. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
(82．)x方2＝程23xx＋(x4＋；1)＝3x＋3的解为( )
，x2＝1
2．(河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )
A解．：xx＝1＝2 (－2B5)．，xxx2＝2＝＝0 12x＋4；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
A．x＝2 B．x＝－3
(3)(2＋x)2－9＝0；
(C4．)解(巴x1中＝：中0，配考x)23方＝x(x－－法12)，＝D．x－xx112＝＝. 1，1x＋2＝－51 ，x2＝1－ 5
人教版《因式分解》PPT全文课件
人教版《因式分解》上课实用课件（P PT优秀 课件）
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知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
1 2
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2 3
,x2
5 6
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
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知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
1 2
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2 3
,x2
5 6
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
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因式分解的依据是什么？
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
想一想：我们今天 学习了哪些知识？
25
归纳总结
1.因式分解： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解.
注：(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
(2)因式分解 互逆运算
整
式乘法
26
归纳总结
=(x-y)(3x-3y+2)
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-15xy÷5xy=-3
-10a2÷(-2a)=5a
-15xy÷5xy=-3
二提：提出公因式，用原式除以公因式得剩余
找出下列各题中的公因式：
注意：不要丢掉+1这项！
(2)因式分解
整式乘法
(1) ma +mb；
-2a÷(-2a)=1
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式 分 (解2).变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
5
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
pa＋pb＋pc pa pb pc
我们发现： 各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这
是把几个整式乘积的形式化为多项式.
你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗？
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-6a3÷(-2a)=3a2
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
=-2a(3a2+5a+1)
=(b-3a)2+2 (b-3a)
课件《因式分解》精品ppt课件_人教版1
构造平方差形式
[4x (x2 4)][4x (x2 4)] 运用平方差公式
(4x x2 4)(4x x2 4) 去掉多重括号 (x2 4x 4)(x2 4x 4) 整理、提出负号
a2 2ab b2 a2 2ab b2 (a b)2 (a b)2
二、例题解析 （1)
x2 32 a2 b2 (a b)(a b)
二、例题解析
例 分解因式：
解： (1) 2x2 18 2(x2 9)
确定公因式“2” 将公因式“2”提出
2(x 3)(x 3)； 再用平方差公式分解
二、例题解析 例 分解因式：
解：(2)256m4 81n4 (16m2 )2 (9n2 )2
关键是找准各项的公因式
4.因式分解的基本方法---公式法
因式分解的概念
提公因式法
因式分解的基本方法
平方差公式
公式法
完全平方公式
（1）我们学过了哪些因式分解的公式？
4.因式分解的基本方法---公式法
因式分解的概念 因式分解的基本方法
提公因式法 公式法
（2）平方差公式的结构特征. a(a2 b)2(a (ab) b)a(a2 b)2
平方差公式 完全平方公式
4.因式分解的基本方法---公式法
因式分解的概念 因式分解的基本方法
提公因式法 公式法
（3）完全平方公式的结构特征. a(a2 b2)a2bab22 2(aabbb)2
平方差公式 完全平方公式
当
，时
同底数幂除法的运算性质
因式分解的一般步骤及注意事项
（4) （3)
5.
因式. 分解的一般步骤 ；
[(x2 1) 2x]2
运用完全平方差公式
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解课件人教版九年级数学上册
3.十字相乘法:x²+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
复习回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
直接开平方法
配方法
x2=a (a≥0)
(mx+n)2=p (n=p≥0)
公式法
复习回顾
分解因式的方法有那些?
你会灵活解一元二次方程吗？
1.解方程x－ ＝( －x)2最适合的方法是( )A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法
C
2．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为 ．
问题 3 ：
解下列方程（因式分解法）
（1）x2 - 16 = 0 ； (2) x-2 = -x(x-2) ★ 通过因式分解使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次 方程方法叫做因式分解法．
(1)2(x＋3)2＝8； (2)4x2－ x＋1＝0；
以上解方程 x(10-4.9x)=0 的方法是如何使二次方程降为一次的？
合作探究
解方程：例 1、(x+3)(x－1)=-7
解：原方程可变形为:
(x+2)²=0
x+2=0或x+2=0
∴ x1=-2 ,x2=-2
x2+2x+4 =0
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
复习回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
直接开平方法
配方法
x2=a (a≥0)
(mx+n)2=p (n=p≥0)
公式法
复习回顾
分解因式的方法有那些?
你会灵活解一元二次方程吗？
1.解方程x－ ＝( －x)2最适合的方法是( )A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法
C
2．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为 ．
问题 3 ：
解下列方程（因式分解法）
（1）x2 - 16 = 0 ； (2) x-2 = -x(x-2) ★ 通过因式分解使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次 方程方法叫做因式分解法．
(1)2(x＋3)2＝8； (2)4x2－ x＋1＝0；
以上解方程 x(10-4.9x)=0 的方法是如何使二次方程降为一次的？
合作探究
解方程：例 1、(x+3)(x－1)=-7
解：原方程可变形为:
(x+2)²=0
x+2=0或x+2=0
∴ x1=-2 ,x2=-2
x2+2x+4 =0
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
人教版九年级数学上册《因式分解法》课件
2(x2+2x+1)
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
第三讲因式分解PPT课件
① x2-5x+6
1
-2
1
-3
解：原式=（x-2)(x-3)
② a2-a-2
1
1
1
-2
解：原式=(a+1)(a-2)
【例 4】 (2011·台湾)下列四个多项式，是 2x2＋5x－3 的因式的只能为
( A)
A．2x－1
B．2x－3
C．x－1
D．x－3
2x²-5x-3
4x²+10x+6
⑷分组分解法： a3 a2 a 1
（1）、提公因式法： 公因式的确定：
ma + mb + mc = m（a+b+c）系数取所有系数的最大公约数，
字母取相同的字母， 指数取最低指数。
练习：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
）②p（y-x）-2（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
解：原式=p(y-x)+2(y-x) =(y-x)(p+2)
综合运用多种方法分解因式
知能迁移 4 (1)分解因式：a5－a (2)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4 (3)(解2012(·x＋临2沂)(x)＋分4解)＋因x式22－：4a－6ab＋9ab2＝ ________＝．x22＋6x＋8＋x22－4 (4)在＝实2x数22＋范6x围＋内4 分解因式：x4－4
（2）运用公式法：
例题精析
【例 1】 (1)(2013·广东湛江)分解因式：x2－4＝___x_2－__4_＝__(_x_＋__2_)(_x_－__2_)____． (2)(2013·江苏苏州)分解因式：a2＋2a＋1＝___a_2＋__2_a_＋__1_＝__(_a_＋__1_)2_____． (3)(2013·山东滨州)分解因式：5x2－20＝__5_x_2_－__2_0_＝__5_(_x_＋__2_)(_x_－__2_)_． (4)(2013·湖南益阳)分解因式：xy2－4x＝___x_y2_－__4_x_＝__x_(_y＋__2_)_(_y_－__2_) __．
人教教材《因式分解》全文课件
(1)a2－3ab－4b2＝
(a－4b)(a＋b)
(2)2x2＋x－6＝
(2x－3)(x＋2)
(3)a2b＋ab2＋a＋b＝(ab＋1)(a＋b)
； ；
．
6．将下列各式因式分解： (1)x2＋3x＋2； 解：原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)x2－x－6； 解：原式＝(x－3)(x＋2)．
(3)2x2＋5x－3； 解：原式＝(x＋3)(2x－1)． (4)x2－5xy＋6y2；
人教教材《因式分解》全文课件
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(3)a2＋b2－9＋2ab. 解：原式＝a2＋2ab＋b2－9 ＝(a＋b)2－32 ＝(a＋b＋3)(a＋b－3).
人教教材《因式分解》全文课件
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知识点 2 十字相乘法 【例 2】 阅读理解：由多项式乘法：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq， 将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2 ＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 第16课时 运用特殊方法因式分解
01 课前预习
1.把多项式分成几组来分解因式的方法叫 分组分解法
．
2.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的
方法叫做十字相乘法.
02 课堂精讲精练
知识点 1 分组分解法 【例 1】 【阅读材料】 分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋ (my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称 为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”， 也可以是“三、一(或一、三)分组”．
初中数学人教版《因式分解》PPT经典课件1
(2) (a b ) 4a b ; B．可以变形为4m2-1 (2m)2-12 符合；
2
22
多项式4y2+my+9是完全平方式，其中含有哪两项平方，并且符号相同呢
22
C．也可以变形为y2-36x2，符合；
若是三项多项式，可以考虑是否使用完全平方公式；
此多项式能用公式法分解因式吗
这个三项多项式符合完全平方公式吗
可以使用什么方法分 解
注：确定公因式，首先观察系数的最大公约数，再观察 相同字母，及相同字母的最小指数.
例 分解下列因式
(2) 4xy2 4x2 y y3
解: 4xy2 4x2 y y3
y(4xy 4x2 y2 )
提 4吗xy取-4公多母x首2因-项的y项式2式降,可含y按幂后以有某排，再负个列剩继号字，余续, 因分式解 应先提取负号,
总结与回顾： BD．．可-m以2-变1=形-(m为24+m12)，-1不符(2合m．)2故-12选择D符．合；
因式分解的结果中,若有相同因式,应写成幂的形式.
1.多项式分解因式的一般方法与步骤； A． a2-( 4b)2 符合；
提取公因式后剩余多项式可以再分解吗 相同字母，及相同字母的最小指数.
2.多项式分解因式结果的一般要求． 多项式分解因式要分解到每个因式不能再分为止.
A.x2 1 B. x2 2x 1 C. x2 4x 4 D. x2 x 1
分析(1)审题:能用完全平方公式；
(2)判断:
选择C
从项数入手，排除A；
从符号入手，排除B； x2 4x 4 x2 2 2x 22.
从公式结构入手，排除D； x2+4x+4=(x+2)2
例 将多项式x3-xy2分解因式，结果正确的是
因式分解法课件(人教版)
课堂小结
因式分 解法
概念
将方程左边 因式分解， 右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
原 理 如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
步骤
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
合适运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
合适运用配方法 ④
.
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请 改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为：
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③
x2 - 3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4.
(2) (y+2)(y－3)=0； (2) y1=－2, y2=3 ；
(3) (3x+6)(2x－4)=0； (3) x1=－2, x2=2；
(4) x2=x.
(4) x1=0, x2=1.
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高 度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物 体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
∴2x＋1=0或2x－1=0,
∴
x1
1 2
,
x2
1. 2
典例精析
例2 用适当的方法解方程：
（1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1
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知识点 2 十字相乘法 【例 2】 阅读理解：由多项式乘法：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq， 将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2 ＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
问题解决：分解因式：
(1)x2＋5x＋4＝
(x＋1)(x＋4)
(2)x2－6x＋8＝
(x－2)(x－4)
(3)x2＋2x－3＝
(x＋3)()(x＋3)
； ； ； ．
拓展训练：分解因式：
(1)2x2＋3x＋1＝
(2x＋1)(x＋1)
；
(2)3x2－5x＋2＝
03 分层检测
A组
1．多项式 x2－4 与 x2－4x＋4 的公因式为( D )
A．x＋4
B．x－4
C．x＋2
D．x－2
2．对于 a2－2ab＋b2－c2 的分组中，分组正确的是( B ) A．(a2－c2)＋(－2ab＋b2) B．(a2－2ab＋b2)－c2 C．a2＋(－2ab＋b2－c2) D．(a2＋b2)＋(－2ab－c2)
(3)2x2＋5x－3； 解：原式＝(x＋3)(2x－1)． (4)x2－5xy＋6y2；
解：原式＝(x－2y)(x－3y)．
(5)－3x2＋3xy＋6y2； 解：原式＝－3(x2－xy－2y2) ＝－3(x＋y)(x－2y)． (6)25－4x2＋4xy－y2. 解：原式＝25－(4x2－4xy＋y2) ＝52－(2x－y)2 ＝(5＋2x－y)(5－2x＋y)．
数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 第16课时 运用特殊方法因式分解
01 课前预习
1.把多项式分成几组来分解因式的方法叫 分组分解法
．
2.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的
方法叫做十字相乘法.
02 课堂精讲精练
知识点 1 分组分解法 【例 1】 【阅读材料】 分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋ (my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称 为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”， 也可以是“三、一(或一、三)分组”．
人教教材《因式分解》全文课件1
人教教材《因式分解》全文课件1
C组 10．“换元法”是数学的重要方法，它可以使一些复杂的问题变为简单． 例如：分解因式(x2＋2x－2)(x2＋2x)－3 解：(x2＋2x－2)(x2＋2x)－3 ＝(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3 ＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1) ＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2.
人教教材《因式分解》全文课件1
B组
7．若多项式 5x2＋17x－12 可因式分解成(x＋a)(bx＋c)，其中 a，b，c
均为整数，则 a＋c＝( A )
A．1
B．7
C．11
D．13
8．将下列各式因式分解： (1)x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1； 解：原式＝(x2－2xy＋y2)－(2x－2y)＋1 ＝(x－y)2－2(x－y)＋1 ＝(x－y－1)2.
根据以上阅读材料解决问题：
【跟着学】 分解因式：
a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋ a2b
)－(b ＋ 3 ab2
)
＝a (2 a＋b
)－ b2 (a＋b)
＝(
a2－b2
)(a＋b)
＝
(a－b)(a＋b)2
．
【我也可以】 分解因式：m2－n2＋(m－n)． 解：原式＝(m＋n)(m－n)＋(m－n) ＝(m－n)(m＋n＋1)．
D．(a＋c)(a－b＋c)
5．因式分解：
(1)a2－3ab－4b2＝
(a－4b)(a＋b)
(2)2x2＋x－6＝
(2x－3)(x＋2)
(3)a2b＋ab2＋a＋b＝
(ab＋1)(a＋b)
； ；
．
6．将下列各式因式分解： (1)x2＋3x＋2； 解：原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)x2－x－6； 解：原式＝(x－3)(x＋2)．
(x－1)(3x－2)
．
【变式 2】 分解因式： (1)x2＋4x＋3；
解：原式＝(x＋1)(x＋3). (3)a2－3a－10; 解：原式＝(a＋2)(a－5). (5)3a2－8a＋4; 解：原式＝(a－2)(3a－2).
(2)x2－7x＋10；
解：原式＝(x－2)(x－5)． (4)a2＋9a－10； 解：原式＝(a＋10)(a－1)． (6)3a2＋4a－4. 解：原式＝(a＋2)(3a－2).
【变式 1】 利用分组分解法因式分解： (1)ax＋ay＋bx＋by； 解：原式＝a(x＋y)＋b(x＋y) ＝(a＋b)(x＋y)．
(2)4x2－2x－y2－y； 解：原式＝(4x2－y2)－(2x＋y) ＝(2x－y)(2x＋y)－(2x＋y) ＝(2x＋y)(2x－y－1)．
(3)a2＋b2－9＋2ab. 解：原式＝a2＋2ab＋b2－9 ＝(a＋b)2－32 ＝(a＋b＋3)(a＋b－3).
人教教材《因式分解》全文课件1
(2)(m2＋2m)2－7(m2＋2m)－8. 解：原式＝(m2＋2m－8)(m2＋2m＋1) ＝(m＋4)(m－2)(m＋1)2.
人教教材《因式分解》全文课件1
人教教材《因式分解》全文课件1
9．已知在△ ABC 中，三边长 a，b，c 满足 a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0， 请判断△ ABC 的形状并证明你的结论． 解：△ ABC 是等边三角形． 证明如下： ∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0， ∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0. ∴(a－b)2＝0，(b－c)2＝0，得 a＝b 且 b＝c，即 a＝b＝c. ∴△ABC 是等边三角形．
3．将多项式 x2＋5x＋6 因式分解，正确的是( A )
A．(x＋2)(x＋3)
B．(x－2)(x－3)＋10x
C．(x－1)(x＋6)＋11
D．(x－2)(x－3)
4．多项式 ab－bc＋a2－c2 分解因式的结果是( A )
A．(a－c)(a＋b＋c)
B．(a－c)(a＋b－c)
C．(a＋c)(a＋b－c)