运筹学 第四章 运输问题分解

位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表4-2 中，问如何调运才能使总运费最小？
表 4-2
销地
产地
B1
4
x11
B2
12
x12
B3
4
x13
B4
11
x14
产 量
A1
A2
16 9 10 6 22 48
2
x21
10
x22
3
x23
x24
A3
销 量
8
x31 x32
5
x33
11
x34
8
14
12
14
该运输问题的数学模型为：
min z cij xij 4 x11 12x12 4 x13 11x14 2 x21
i 1 j 1 3 4
10x22 3x23 9 x24 8x31 5x32 11x33 6 x34
x11 x 21 x31 x11 x12 x13 x14 xij
规划问题。
pij ei em j
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
0 0 0 1 1 0 0 0 0 pij ei em j 1 0 1 0 0 0 ( m n )1 ( m n )1 ( m n )1
对运输问题数学模型的结构约束加以整理，可 知其系数矩阵具有下述形式：
x11 , x12 ,, x1n ; x21 , x22 , x2n ,,,,, xm1, xm2 , xmn
1 1 1 1 1 1 m行 （4－1） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n行 1 1 1 1．运输问题是一个具有m×n个变量和n+m个等型约束的线性
i 1 i j 1
m
n
j
d.
则令
xij
ai b j d
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则
n
xij 为运输问题的一个可行解。事实上：
n
x
j 1
m
ai b j
ij
j 1
m
ai d d
bj
b
j 1
m i 1
n
j
ai
bj
(i 1,2,, m) ( j 1,2,, n)
B3 d3=4
需 求 量
B4 d4=6
设xij为运量 目标函数： minZ 2 x11 9 x12 10x13 7 x14 x21 3 x22 4 x 23 2 x24 8 x31 4 x32 2 x33 5 x 34 x11 x12 x13 x14 9 产量约束 x x x x 5 22 23 24 21 x31 x32 x33 x 34 7 x11 x21 x31 3 约束条件： x12 x22 x32 8 销量约束 x13 x23 x33 4 x14 x24 x34 6 x 0 ( i 1.2.3, j 1.2.3.4) ij
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
2
8
9
16
2 810
22
A3
销 量
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
怎样调运这些物品才能使总运费最小？
运价表
销地
产地
B1
c11 x11 c21 x21
B2
c12 x12 c22

Bn
c1n
x1n c2 n
x2 n
产 量
A1
A2
a1
x22
a2

Am
销 量

cm1
xm1
b1
cm 2 xm 2
b2
cmn xmn
am

bn
假设：ai 0, bj 0, cij 0
当产销平衡时，其模型如下：
minZ cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai xij b j x 0 ij
( ai b j )
当产大于销时，其模型是：
minZ cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai xij b j x 0 ij
产 量
A1
A2
2
16
பைடு நூலகம்
3
11
9
②
8
8
8 14
2
5 6
10 22
A3
销 量
12 10
14
48
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11 9
产 量
A1
A2
2
6 16 10
② 10
3
2
11
12 10 14
8
8
8 14
A3
销 量
5
6
22 48
①
③
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11 9
运输问题
运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步讨论

4.1 运输问题及其数学模型
例1：某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品 由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、各销售点的销售
量（假定单位均为t）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t）
示于下表中 要求研究产品如何调运才能使总运费最小
其余变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
z cij xij 10 4 6 11 8 2 2 3 14 5 8 6 246
i 1 j 1
3
4
⒉
西北角法
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
( ai b j )
当产小于销时，其模型是：
min Z cij xij xij ai xij b j x 0 ij ( ai b j )
运输问题数学模型的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也 必有最优解；
证明 记
a b
10 5 14 6
16
6
10
②
4
A3
销 量
6 22 48
8
①
③
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
(1,1,,1)mn
所以A的行向量是线性相关
的。从而 r(A)≤m+n.
去掉A的第一行，并取如下m+n-1列，得到m+n-1阶子式
p12 D | p11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
n p21 p31 p1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
A2
8
2 8
16
8
②
10
6 22 48
A3
销 量
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9
产 量
A1
A2
8
2
8
10
x22
16
10
②
A3
销 量
8
5
14 6 12
11
14
6
22 48
8
①
表 3-2
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3 11 12 14
B4
11 9
产 量
A1
A2
8
2 8
8
产 量
A1
A2
2 8 10
10
3
2
8
8
6 16
②
10
A3
销 量
5
14
④
11
12 10 14
6
14 48
22
8
①
③
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11 9
产 量
A1
A2
2 8 8 8 10
10
3
2
11 12 10
6 16
10
②
⑤
A3
销 量
5
14 14
④
6
14
22
8
6
48
①
③
表 3-2
销地
A2
2 8
16 8
8
10
6 22 48
A3
销 量
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
x12
B3
4 3
B4
11 9
产 量
12 10
A1
A2
8
2
16
8
10
A3
销 量
8
5
14
11
12 14
6
22 48
8
①
表 3-2
销地 产地
B1
4
B2
12 10 5 14 6
B3
4 3 11 12 14
B4
11 9
产 量
A1
形法求解运输问题。
但是当用单纯形法求解运输问题时，先得在每个约束条件 中引入一个人工变量，这样一来，即使对于m=3、n=4这样 简单的运输问题，变量数目也会达到19个之多。
因此，我们利用运输问题数学模型的特点，引入了表上
作业法来求解运输问题
4.2 用表上作业法求解运输问题
表上作业法的基本思想：
先设法给出一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初始
可以证明：约束矩阵的秩 r (A) = m +n -1.
基变量的个数为 m+n-1.
表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2

表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2

一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 下面介绍三种常用的方法。
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11
9
产 量
A1
A2
2 8 8 8 10
10
3
2
11
6 16
10
⑥
②
⑤
A3
销 量
5
14 14
④
6
8
14
22
12 10
6
⑥
48
①
③
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x13 10,
x14 6, x21 8, x23 2, x32 14, x34 8,
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
ai b j d
a d
i
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
2、运输问题约束条件的系数矩阵
方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，如下图 所示。
初始化
这和单纯形法的求解思想完全一致，
但是具体的作法则更加简捷。
最优性检验 yes 最优？ no 迭代 （Iteration） STOP
例1 某部门有3个同类型的工厂（产地），生产的产品由4个
销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单
单位 销地 运价 产地
B1 B2 B3 B4
2 1 8 3 9 3 4 8 10 4 2 4 2 2 5 6
产量
A1 A2 A3
销量
9 5 7
运输问题网络图
供应地 s1=9 供 应 量 A1
2 9 10
运价
需求地 B1 d1=3
s2=5 s3=7
A2 A3
2 1 3 4 2 8 4 2 5
B2 d2=8
西北角法是优先满足运输表中西北角（左上角）上空格的供 销需求。
表 3-2
销地
产地
B1
4
x11
B2
12 10
B3
4 3
B4
11 9
产 量
A1
A2
16
10
2
A3
销 量
8
5
14 12
11
14
6
22 48
8
表 3-2
销地 产地
B1
4
B2
12 10 5 14
B3
4 3 11 12 14
B4
11 9
产 量
A1
运输问题的一般提法是：设某种物资有 m 个产地
A1 , A2 , ,
Am , 各产地的产量是 a1, a2 ,, am ; 有 n 个销地 B1 , B2 , , Bn ,
各销地的销量是 b1 , b2 ,, bn . 假定从产地Ai (i
1,2,, m)
到销地 B j ( j 1,2,, n) 运输单位物品的运价是 cij ，问
1 | pm 0 0 1 1 0 1 0 0

所以 r(A)=m+n-1.
对于产销平衡运输问题，除了上述特点外，还有以下特点：
1 所有结构约束条件都是等式约束
2 各产地产量之和等于各销地销量之和
运输问题数学模型的特点
3、运输问题的解
运输问题是一种线性规划问题。前面讲述的单纯形法是 求解线性规划问题十分有效的一般方法，因而可用单纯
x12 x22 x32 x21 x22 x23 x24 0,
x13 x23 x33 x31 x32 x33 x34 i 1,
x14 x24 x34 8 14 12 14 2,3;
16 10 22
j 1,2,3,4