运筹学 第四章 运输问题分解
运筹学 04 运输问题
x23
2,12 2 a2’’=0 b3’=10 第2行
x13
16,10 10 a1’=6 b3’’=0 第3列
产量 16 10 22
新产量 新销量 划去
14
销量
8
14
12
14
西北角法步骤 运价表中找出西北角(左上角)运价cij 在该处确定运量xij=min(ai,bj) 计算剩余产量ai’=ai-xij和剩余销量bj’=bj-xij，则出现 (1)ai’=0，bj’≠0——划去第i行运价； (2)ai’≠0，bj’=0——划去第j列运价； (3)ai’=0，bj’=0——划去第i行或第j列运价 重复上述，直到获得(m+n-1)个运输数量
例2：某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的 销量及单位运价如下表。求最低运输费的运输方案。
产地 A1 A2 A3 销量
B1 4 2 8 4
B2 12 10 5 3
B3 4 3 11 5
B4 11 9 6 6
产量 8 5 9
解答
由于总产量=8+5+9=22，总销量=4+3+5+6=18，总产量>总销 量，属于产大于销的产销不平衡运输问题。增加一个销地， 销量b5=22-18=4；运价为0。得到产销平衡表如左表。表上作 业法结果见右表。 产地 B1 B2 B3 A1 4 12 4 A2 2 10 3 A3 8 5 11 销量 4 3 5 B4 11 9 6 6 B5 产量 0 8 0 5 0 9 4 产地 B1 A1 1 A2 4 A3 10 销量 4 B2 3 3 B3 4 1 9 5 B4 0 6 6 B5 产量 4 8 1 5 5 9 4
设xij为从Ai运输到Bj的产品数量，若Σai=Σbj，则称为产销平衡 的运输规划问题，数学模型为 min f=c11x11+…+c1nx1n+c21x21+…+cmnxmn xi1+xi2+…+xin=ai (i=1,2,…,m) x1j+x2j+…+xmj=bj (j=1,2,…,n) xij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
物流运筹学第4章 运输最优化-精选文档
min
2
0 13 11 6 0 10 4 0 5 7 9 7 0 1 4 4
0 13 6 0 0 5 0 1 7 6 3 0
2 11 4 2 2 min
0 9 (bij ) 2 0
第一步，画出该问题的供销平衡表和单位运价表
超市 仓库 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
第二步，求初始解
1、最小元素法 超市仓库 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 3 B1 B2 B3 B4 储量 7 4 9
计算过程表 超
市 仓库
A1 A2
X 0
用矩阵描述时为
max z CX
AX b X 0 a 11 a 12 a 1 n A (p ,p , ,p ) 1 2 n a a a 1 m 2 mn m
b为资源向量； c为价值向量； x为决策变量的向量
单纯形法简介
问题要求极小化时数学模型是
Min z c x ij ij
i j
x 1 ,j 1 , 2 n
ij i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 ,i 1 , 2 n
ij j
xij 1 或 0
例题：某物流公司现有四项运输任务A、B、C、D， 现有甲、乙、丙、丁四辆车，他们完成任务所需时 间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需 总时间最少？
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
x b, j 1 ,2 , ,n
i 1 ij j
运筹学运输问题解析
2. 典型的运输问题：
cij
a1 a2 …
am
A1
A2 … Am
B1
b1
B2
…
b2 … bn
Bn
求最小运费的运输方案
销地 产地 A1
B1
c11 c21
B2
c12 c22
…
Bn
c1n c2n
产量
a1
A2
… Am
a2
…
cm1 b1 b2
cm2 …
cmn bn
am
销量
销地 产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
ij
j =1, 2, …,n
xij 0
产销平衡问题为等式约束。 产销平衡问题中各产地产量之和与各销 售地点的销量之和相等。
二、运输问题数学模型的特点： 1. 运输问题一定有最优解；
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 +x12+x13 x11
x12
xij 0
x21+x22+x23 + x21 +x22 x13 +x23
min Z cij xij
i 1 j 1
2
3
x
j 1
2
3
ij
ai
bj
i=1,2
x
i 1
ij
j =1, 2, 3
xij 0
典型运输问题的数学模型
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
x
x
i 1
n
j 1 m
ij
ai
bj
i=1,2,…,m
运筹学 第四章 运输问题
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
A3
销 量
16
2
8
9
2 810
22
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
m
m
ai b j d
bj
a d
i 1
m
i
bj
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
表 3-2
销地
产地
B1
4
x11
管理运筹学讲义运输问题
管理运筹学讲义运输问题引言在现代社会，运输问题是管理运筹学中的一个重要问题。
无论是物流行业还是供应链管理，运输问题都是必不可少的一环。
运输问题的解决可以帮助企业有效地规划和管理物流流程，降低运输成本，提高运输效率。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，包括问题的定义、数学模型、常用的解决方法以及在实际应用中的案例分析。
运输问题的定义在管理运筹学中，运输问题是指在给定的供应点和需求点之间，如何分配物品的问题。
通常，问题的目标是找到一种分配方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以抽象成一个图模型，其中供应点和需求点之间的路径表示运输线路，路径上的边表示运输的数量和成本。
每个供应点和需求点都有一个需求量或供应量。
问题的目标是找到一种分配方案，使得满足所有需求量的同时最小化总运输成本。
数学模型运输问题可以用线性规划来建模。
假设有m个供应点和n个需求点，每个供应点的供应量为si，每个需求点的需求量为dj。
定义xij为从供应点i到需求点j 的运输量，则运输问题的数学模型可以形式化表示为如下线性规划问题：minimize ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n) cij * xijsubject to∑(j=1 to n) xij = si, for all i = 1,2,...,m∑(i=1 to m) xij = dj, for all j = 1,2,...,nxij >= 0, for all i = 1,2,...,m and j = 1,2,...,n其中cij表示从供应点i到需求点j的运输成本。
解决方法针对运输问题，常用的解决方法有以下几种：1. 单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。
对于运输问题，可以通过将其转化为标准的线性规划问题，然后使用单纯形法来求解最优解。
2. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图论算法，可以用于解决运输问题。
算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来寻找最大匹配。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
管理运筹学-02-7运输问题
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运输问题的简化解法
运输问题的简化解法多数运筹学或物流管理教科书对运输问题（表上作业法）一般先采用最小元素法找出一个可行解，然后采用闭回路法或位势法计算“检验数”，验证这个可行解是否最优解。
如果不是最优解，再用闭回路法调整。
调整后还要用闭回路法或位势法计算“检验数”，直到验证表明调整后的方案是最优解才算完成。
解法可用如下程序图所示：注：不平衡的要虚设需方或产地，已有成熟方法，本文对此不加讨论在上述程序中，“采用闭回路法或位势法计算‘检验数’，验证这个可行解是否最优解”是一个比较复杂的过程。
当产地和销地数量较大时，闭回路寻找比较复杂。
多数运筹学或物流管理教科书采用位势法计算检验数，这要先分解运价，列出并求解一个联立方程（有时列出的联立方程还可能未知数与方程数不等，还要做技术处理），再计算每一个未使用的运价（空格）的检验数，要所有检验数不小于零才表明所得方案是最优解。
这个过程有时要重复多次，比较繁琐，能否简化呢？笔者从后面的闭回路法得到启示，是否可以这么认为：只要还存在可以用闭回路法调整优化的“回路”，原方案就不是最优解，一直到所有的“回路”都不能再调整优化时，该方案就是最优解。
并且笔者认为闭回路的寻找也可以从已采用的最大运价开始着手，便于使不合理的运价及时得到调整，这样上述程序图就可修改如下：在上述程序中，“判断所在运量闭回路是否可调整”可以用一个比较简单的“对角相加法”来加以判断，下面用一个例子来加以说明：设有5个产地A1，A2，A3，A4，A5和4个销地B1，B2，B3，B4的运输问题，它们的供应量与需求量及单位运费表如下：求解这个问题的第一步:按“最小元素法”根据运价从小到大满足需求得一可行解：注：在此用“P/M”表示以P运价运输量M，未打“/”的运价暂不采用第二步：找到所采用的最大运价20，找其所在的“运量闭回路”。
所谓的“运量闭回路”应满足以下条件：(1)“运量闭回路”是由水平线和垂线及其角上元素组成的矩形。
运筹学运输问题的方法
运筹学运输问题的方法
运筹学中的运输问题可以通过以下方法进行解决：
1. 确定初始方案：最小元素法、付格尔法和西北角法等，其中最小元素法是先找出运费最小的，然后优先满足。
付格尔法是算出行差额和列差额，依次对差额最大的行或列中运费较小的先分配。
西北角法也是一种求初始可行解的方法。
2. 判定最优解：可以采用闭回路法或者位势法求检验数。
闭回路法是对所选回路上进行“奇+偶-”的操作，而位势法则是直接用公式：检验数=cij-ui-vj。
3. 调整优化解：以检验数＜0且最小的数开始入基，对偶数点选择最小的xij出基。
接着为满足表格平衡，使奇数点加上xij，偶数点减xij，记住出基的点为空格点了，这样才能保证有数点一直是m+n-1个。
对于产销不平衡的问题，则考虑增设一个仓库存放多出来的部分，或者增设一个产地弥补不足的部分，这些运费均为0，后做法同上。
4. 重复上述步骤：如果还未得到最优解，则重复步骤2和3，直到求得最优解。
总的来说，运筹学的运输问题需要综合运用多种方法进行求解，通过不断调整和优化解，最终得到最优解。
管理运筹学04运输问题
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
9
销量 3
65
6
20
2024/3/29
闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
2024/3/29
例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
运筹学 06-线性规划运输问题
产销平衡表
门市部 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1 A2 A3 销量
3656
单位：吨
产量
7 4 9 20
门市部 B1 B2 B3 B4
加工厂
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
解：1.确定初始方案:
(最小元素法基本思想：从单位运价表上最小的运价开始 确定产销关系，以此类推，直到给出初始方案为止)
①从运价表上找出最小运价C21=1， A2 先保证供应B1 ，X21=3，
划去运价表上B1 列；
②再从运价表上其余元素中找到最小的运价C23=2，加工厂A2
应供给B3， X23=1，划去A2行；
③再从运价表上其余
门市部
B1 B2 B3 B4
元素中找到最小的运价
加工厂
C13=3，所以A1先保证供 应B3 ， B3 尚缺4单位， 因此X13=4，划去B3 列。
1
（ⅰ）门有市部数格是B1基变B2量，B共3 B4 加工厂 m+n-1=3+4-1=6个
空格是A1非基变3量，1共1划去3m+1n0=7条
线；A2
1 92 8
（ⅱ）A3如果填7上一个4 运量10之后5能同
A3
6
3
时划去两条线（一行与一列），就 须在所划单去位运的价该表行或单该位列：元任/意吨 位置
初始方案运费
A3
B2 B3 B4 43
1
6
3
门市部 加工厂
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
运筹学第四章 运输问题
第四章 运输问题主要内容：1、运输问题及其数学模型； 2、表上作业法；3、运输问题的进一步讨论。
重点与难点：表上作业法的原理、求解步骤，产销不平衡运输问题的求解方法。
要 求：理解运输问题的基本概念及表上作业法的原理，掌握表上作业法确定初始可行解、最优解的判别与改进的方法。
§1 运输问题及其数学模型一、运输问题引例，设有m 个生产地iA ，可供应（产量）分别为m i a i ,,2,1, =;有n 个销地,j B 其需要量分别为n j b j ,,2,1, =。
已知从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c ，试问如何调运物资才能使总费用最小？设用ij x 表示从i A 到j B 的运量，可将这些数据汇总于下表：产销平衡表单价运价表第四章 运输问题 第39页注：有时将两表合二为一。
（1）若各产地的总产量等于各销地的总销量，即∑∑===nj j m i i ba 11，则称之为产销平衡的运输问题（或平衡运输问题）；（2）若所有产地的总产量不等于所有销地的总销量，即∑∑==≠n j j mi i ba 11，则称之为产销不平衡的运输问题（或不平衡的运输问题）；（3）若在运输途中，还存在中间转运点（转运点即是产地，又是销地），则称之为有转运的运输问题（或扩大的运输问题）。
二、平衡运输问题的数学模型在产销平衡的条件下，要求得总运费最小，可建立以下数学模型：∑∑===m i nj ij ij x c z 11min⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥====∑∑==0,,2,1,,2,11,1ij n j i ij j mi ij x m i a x n j b x 该运输问题也属于线性规划问题，包括： （1）n m ⨯个决策变量；（2）m+n 个约束条件；由于有∑∑===n j j mi iba 11，所以模型只有m+n –1个独立约束条件，基变量中含有m+n –1个变量；（3）系数矩阵的秩1)(-+≤n m A rank40（4）系数矩阵为n m n m ⋅⨯+)(阶矩阵，该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m +j 个为1以外，其余的都为零。
第四章-运输问题
初始基本可行解
是否最优解？ Y
结束
寻找新的基本可行解 N
步骤1：初始基本可行解的确定
❖西北角法：从 x11开始分配，从西北向东南方 向逐个分配；
❖ 最小元素法：采用最小费用优先分配的原则；
步骤2：最优解的检验-位势法
检验数的公式为：
ijcij(ui vj)
其中 u i , v j 分别称为行位势、列位势。
结论：
（1）基变量所对应的检验数： ijcij(uivj)0 （2）若非基变量所对应的检验数 ijcij(uivj)0
当前解即为最优解；
步骤3：寻找新的基本可行解-闭回路法
闭回路： 从进基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，每
碰到数字格转90o（有些情况也可以不改变方向）继续前 进，直到回到出发的空格为止，由此形成的封闭的折线称 为闭回路。
销地 产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
❖ 其中， B3的销量必须得到满足。请问，应如何调运产 品，使得总运费最少？
4.某公司有从三个产地A1，A2， A3 ，将物品运送到三 个销地B1，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、 各产地到各销地的单位运价如下表所示：
9
销量
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基 本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单 位运价如下表所示：
运筹学之运输问题
B1
A1
B2
③
B3
4 ④
B4
3
产量
7
A2
A3
3
6
②
1 ①
3
4
9
销量
3 B1
A1 A2 A3 销量 3 3
6 B2
5 B3 5 B4 2 1 3 6
6 产量 7 4 9
6 6
5
(ui+vj)
B1 A1 A2 A3 1 B2 B3 3 B4 10 8 5 v4 u1 u2 u3 A1 A2 A3 B2 B3 B4 9 3 10 0 7 1 8 －2 －2 4 －2 5 －5 3 9 3 10 B1 3 1
计算如下：空格处（ A1 B1 ）＝ (1×3)＋｛ (－1)×3 ｝＋(1×2)＋｛ (－1)×1 ｝＝1 此数即为该空格处的检验数。
• 从每一个空格出发一定存在和可以找到唯 一的闭回路。因（m+n-1）个数字格（基变 量）对应的系数向量是一个基。于是，任 意一个空格（非基变量）对应系数向量是 这个基的线性组合。
数学模型的一般形式
已知资料如下：
单 产地 销 产 量
B1
c11 c m1
Bn
c1 n
产 量
A1 Am
销 量
c mn
a1 am
b1
bn
当产销平衡时，其模型如下：
min Z
c
i1 j1
m
n
ij
x ij
x ij a i x ij b j x 0 ij
3 2
u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运价表
销地
产地
B1
c11 x11 c21 x21
B2
c12 x12 c22
Bn
c1n
x1n c2 n
x2 n
产 量
A1
A2
a1
x22
a2
Am
销 量
cm1
xm1
b1
cm 2 xm 2
b2
cmn xmn
am
bn
假设：ai 0, bj 0, cij 0
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
ai b j d
a d
i
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
2、运输问题约束条件的系数矩阵
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
2
8
9
16
2 810
22
A3
销 量
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
i 1 i j 1
m
n
j
d.
则令
xij
ai b j d
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则
n
xij 为运输问题的一个可行解。事实上：
n
x
j 1
m
ai b j
ij
j 1
m
ai d d
bj
b
j 1
m i 1
n
j
ai
bj
(i 1,2,, m) ( j 1,2,, n)
产 量
A1
A2
2
16
3
11
9
②
8
8
8 14
2
5 6
10 22
A3
销 量
12 10
14
48
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11 9
产 量
A1
A2
2
6 16 10
② 10
3
2
11
12 10 14
8
8
8 14
A3
销 量
5
6
22 48
①
③
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11 9
10 5 14 6
16
6
10
②
4
A3
销 量
6 22 48
8
①
③
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
min z cij xij 4 x11 12x12 4 x13 11x14 2 x21
i 1 j 1 3 4
10x22 3x23 9 x24 8x31 5x32 11x33 6 x34
x11 x 21 x31 x11 x12 x13 x14 xij
运输问题
运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步讨论
4.1 运输问题及其数学模型
例1：某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品 由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、各销售点的销售
量（假定单位均为t）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t）
示于下表中 要求研究产品如何调运才能使总运费最小
1 | pm 0 0 1 1 0 1 0 0
所以 r(A)=m+n-1.
对于产销平衡运输问题，除了上述特点外，还有以下特点：
1 所有结构约束条件都是等式约束
2 各产地产量之和等于各销地销量之和
运输问题数学模型的特点
3、运输问题的解
运输问题是一种线性规划问题。前面讲述的单纯形法是 求解线性规划问题十分有效的一般方法，因而可用单纯
(1,1,,1)mn
所以A的行向量是线性相关
的。从而 r(A)≤m+n.
去掉A的第一行，并取如下m+n-1列，得到m+n-1阶子式
p12 D | p11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
n p21 p31 p1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
( ai b j )
当产小于销时，其模型是：
min Z cij xij xij ai xij b j x 0 ij ( ai b j )
运输问题数学模型的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也 必有最优解；
证明 记
a b
规划问题。
pij ei em j
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
0 0 0 1 1 0 0 0 0 pij ei em j 1 0 1 0 0 0 ( m n )1 ( m n )1 ( m n )1
产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11
9
产 量
A1
A2
2 8 8 8 10
10
3
2
11
6 16
10
⑥
②
⑤
A3
销 量
5
14 14
④
6
8
14
22
12 10
6
⑥
48
①
③
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x13 10,
x14 6, x21 8, x23 2, x32 14, x34 8,
A2
2 8
16 8
8
10
6 22 48
A3
销 量
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
x12
B3
4 3
B4
11 9
产 量
12 10
A1
A2
8
2
16
8
10
A3
销 量
8
5
14
11
12 14
6
22 48
8
①
表 3-2
销地 产地
B1
4
B2
12 10 5 14 6
B3
4 3 11 12 14
B4
11 9
产 量
A1
位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表4-2 中，问如何调运才能使总运费最小？
表 4-2
销地
产地
B1
4
x11
B2
12
x12
B3
4
x13
B4
11
x14
产 量
A1
A2
16 9 10 6 22 48
2
x21
10
x22
3
x23
x24
A3
销 量
8
x31 x32
5
x33
11
x34
8
14
12
14
该运输问题的数学模型为：
其余变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
z cij xij 10 4 6 11 8 2 2 3 14 5 8 6 246
i 1 j 1
3
4
⒉
西北角法
x12 x22 x32 x21 x22 x23 x24 0,
x13 x23 x33 x31 x32 x33 x34 i 1,
x14 x24 x34 8 14 12 14 2,3;
16 10 22
j 1,2,3,4
对运输问题数学模型的结构约束加以整理，可 知其系数矩阵具有下述形式：
x11 , x12 ,, x1n ; x21 , x22 , x2n ,,,,, xm1, xm2 , xmn
1 1 1 1 1 1 m行 （4－1） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n行 1 1 1 1．运输问题是一个具有m×n个变量和n+m个等型约束的线性