2020年6月百校联考高三数学(文科)试卷及答案解析
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷(全国Ⅰ卷)文科数学试卷(一)及答案
2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷（全国Ⅰ卷）文科数学试卷（一）★祝考试顺利★注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0},B ＝{x|y 则A ∩B ＝ (A)[0,34] (B)∅ (C)[0,12] (D) [12,34] (2)设复数4273i z i-=-,则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况,研究人员在A 学校进行抽样调查,则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为,则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.2y x =±C.23y x =±D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图,若判断框中的条件为n<2019,则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤四丈,深六丈五尺,问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺,长4丈,深6丈5尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺 (B)52000立方尺 (C)63000立方尺 (D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
河北省衡水市2020届高三下学期六月联考数学(文)试题 Word版含解析
2020届高三六月联考文数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,3,5,7M =，(){}50N x x x =-<，则M N =（ ）A. {}1,3B.{}0,1,3 C. {}1,3,5D.{}0,1,3,5【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合N ，再由交集运算即可得解. 【详解】集合{}0,1,3,5,7M =，(){}50N x x x =-<，则{}05N x x =<<，所以由交集运算可得{}1,3M N ⋂=故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的虚部为（ ） A. 2- B. 3iC. 1D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，即可得z 的虚部. 【详解】由复数除法运算化简可得()133213233213i i i z i i +===-+-， 由复数的概念可知z 的虚部为3. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的概念与复数的除法运算，属于基础题. 3.已知()4cos π5α+=，则3πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.35 B.35C.45D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】首先利用诱导公式得到()4cos πcos 5αα+=-=，再利用诱导公式计算3πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 【详解】因为()4cos πcos 5αα+=-=， 所以3π4sin cos 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟记口诀：“奇变偶不变，符号看象限”为解题的关键，属于简单题.4.设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ）A. 2B. -2C. 6D. -6【答案】D 【解析】 【分析】根据//m n 可知,m n R λλ=∈，再根据2m a b =-，3()n a kb k R =+∈代入求解即可. 【详解】因为//m n ，故,m n R λλ=∈，故()323a kb kb a b a λλλ-==++，因为a ，b是两个不共线的平面向量，故132k λλ=⎧⎨-=⎩，解得136k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.故选：D【点睛】本题主要考查了向量平行求参数的问题，若//m n ，则,m n R λλ=∈，属于基础题.5.记曲线221x y a -=-（0a >且1a ≠）所过的定点为P ，若点P 在双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】易知()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率12b a =，根据公式即可求得结果. 【详解】221x y a-=-,当20x -=时，即2x =，1y =，所以定点()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率12b a =，所以双曲线的离心率为e ===. 故选：B.【点睛】本小题主要考查曲线恒过定点，考查双曲线的渐近线，双曲线的离心率的求法，属于基础题.6.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ 6.59y x =+，则表中m 的值为（ ） A. 22 B. 25.5C. 28.5D. 30【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程经过样本中心点(),x y ，即可代入回归方程求得y ；进而由表中数据求得m 的值.【详解】因为0123425x ++++==，代入回归直线方程ˆ 6.59yx =+，可得 6.52922y =⨯+=， 结合表中数据可知10152035225m ++++=，解得30m =. 故选：D.【点睛】本题考查了线性回归方程及其性质的简单应用，属于基础题.7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为，且短轴长为C 的标准方程为（ ）A. 22112x y +=B. 22143x y +=C. 22134x y +=D.221163x y += 【答案】 B 【解析】 【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为23，即可求得,a b 的值，进而由焦点在x 轴上可得C 的标准方程.【详解】由题意可得23π,223,ab b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2a =，3b =，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为22143x y+=.故选：B.【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.8.将函数()32sin x x f x x+=的图象向下平移1个单位长度.得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由条件可得()32sin 1x x g x x+=-，又()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，则()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ，根据()1sin10g =>，可排除C ，从而得到答案.【详解】易知()32sin 1x x g x x +=-，由()()()()32sin x x f x f x x-+--==- 所以函数()32sin x x f x x+=为奇函数，其图象关于原点对称， 故函数()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ； 又()sin1111sin101g +=-=>，排除C. 故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数对称性的应用，根据解析式选择函数图象时可根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）和特殊点处函数值等进行验证排除.属于中档题.9.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为（ ）A.22B. 22-C.21313D.31313【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原空间几何体，由几何体可知PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角，结合线段关系即可求得PBA ∠的值，进而得异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD .因为//AB CD ，所以PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角. 因为tan 1PAPBA AB∠==，所以45PBA ∠=︒， 所以2cos PBA ∠=. 故选:A.【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的简单应用，异面直线夹角的求法，属于基础题. 10.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB 作正方形，以点A 或点B 为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB 作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D 正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：2 1.414≈）（ ）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B 【解析】 【分析】CD，再根据木塔底层的边AB 不少于47.5米，即可求解. 【详解】解：设木塔的高度为h，有图可知， 1.41447.567.165h =≥⨯=（米），同时CD h =19.967.9181.41412h ==≈-（米）， 即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B 符合. 故选：B.【点睛】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题.11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()30f x xf x '+<，且()210f =，则不等式()()2800x f x x x>≠的解集为（ ） A. (),0-∞B. ()0,2C. ()2,+∞D.()(),00,2-∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()3g x x f x =，利用所给不等式求出()g x '的符号从而判断()g x 的单调性，由()210f =知()280g =，分0x >、0x <两类情况求解不等式.【详解】构造函数()()3g x x f x =，则()()()233g x x f x x f x ''=+，()()30f x xf x '+<，()()()230x f xf g x x x '=+∴≤⎡⎤⎣⎦'，∴函数()()3g x x f x =在R 上单调递减.()210f =，∴()280g =，解不等式()()2800x f x x x>≠， 当0x >时，得()380x f x >，则()()2g x g >，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以02x <<；当0x <时，得()380x f x <，则()()2g x g <，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以2x >，不合题意，舍去. 所以不等式()()2800x f x x x>≠的解集为()0,2. 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据题中所给不等式的形式构造新函数是解题的关键，属于中档题.12.已知函数()cos2cos f x x x =+，有下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 在[]2π,2π-上恰有8个零点， 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义可判断①正确，借助二倍角公式将函数化简为()2192cos 48f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭利用二次函数性质计算可得②错误，利用复合函数的单调性可判断22cos cos 1y x x =+-在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且22cos cos 10y x x =+-<，则()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，根据偶函数性质可得出③正确，利用函数与方程的思想解方程即可判断④错误.【详解】由()()()()cos 2cos cos2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 为偶函数，①正确；()2219cos 2cos 2cos 1cos 2cos 48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=+- ⎪⎝⎭，记[]cos 1,1t x =∈-，则22192cos cos 1248y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当1t =时，y 取得最大值2，当14t =-时，y 取9得最小值98-， 即22192cos cos 1248y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭的值域为9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为[]0,2，②错误；()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性与它在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性刚好相反，当5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos t x =单调递增，且1,2t ⎡∈--⎢⎣⎦，而221921248y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭在1,2t ⎡∈--⎢⎣⎦时单调递减，故22cos cos 1y x x =+-在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又此时221,02y t t ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是得()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，③正确； 令2210t t +-=，得1t =-或12，而当[]0,2πx ∈时，cos 1x =-及1cos 2x =恰有3个不等的实根π，π3，5π3，即()f x 在区间[]0,2π上恰有3个零点，结合奇偶性可知，即()f x 在区间[]2π,2π-上恰有6个零点，④错误. 故正确的是①③. 故选:A.【点睛】本题考查讨论余弦函数的奇偶性、单调性，以及根据已知条件求值域，考查零点问题，函数与方程的思想，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为______.【答案】()1,x ∀∈+∞，22x x +>【分析】根据特称命题的否定形式及定义即可得解.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为“()1,x ∀∈+∞，22x x +>”. 故答案为：()1,x ∀∈+∞，22x x +>.【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于基础题.14.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =，34527a a a ++=，则10S =______. 【答案】120 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及前n 项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前n 项和公式即可求得10S 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得()141331533327a d a a d +=⎧⎨=+=⎩解得13a =，2d =， 所以101109102S a d ⨯=+10910322⨯=⨯+⨯ 120=.故答案为：120.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 15.已知长方体1111ABCD A B C D -的共顶点的三条棱长度之比为1:1:2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为______. 【答案】803【解析】计算出长方体外接球的半径，根据题意设出长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、k 、()20k k >，可得出24R ==k 的值，进而可求得该长方体的全面积.【详解】设长方体外接球的半径为R ，则2416R ππ=，2R ∴=， 设长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、k 、()20k k >，于是得24R ==，k ∴=因此，该长方体的全面积为()222222225k k kk++=⨯803=. 故答案为：803. 【点睛】本题考查利用长方体的外接球计算长方体的表面积，同时也考查了利用球体的表面积计算球体的半径，考查计算能力，属于中等题.16.已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A ，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______.【答案】 (1). (2). (4⎤⎦【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合()sin sin B A C =+可得出关于角A 的三角等式，进而可求得tan A 的值；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出4sin 3b B c π⎛⎫+= ⎝+⎪⎭，根据ABC 为锐角三角形求得角B 的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得b c +的取值范围.【详解】由2sin cos cos cos b A A C A =及正弦定理，得()sin sin sin cos sin cos B A A A C C A =+，即()sin sin sin B A A A C =+，sin sin sin B A A B ∴=，02B π<<，sin 0B ∴>，可得tan A =02A π<<，3A π∴=.又ABC 是锐角三角形，022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====，21sin sin sin cos sin 33322b c B B B B B π⎫⎡⎤⎛⎫∴+=+-=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin cos 4sin 3226B B B π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 62B ππ<<，2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 6B π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，(b c ⎤∴+∈⎦.(4⎤⎦.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形边长之和取值范围的计算，考查三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且242a a =，532a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求使得2020n S <成立的n 的最大值0n .【答案】（1）2nn a =（2）09n =【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式，设{}n a 的公比为q ，代入已知条件即可求得首项与公比，进而得{}n a 的通项公式；（2）由等比数列通项公式，代入即可得n S 的表达式，结合不等式即可试解得最大值0n . 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ， 由已知条件得32211a q a q =，4132a q =， 解得12a q ==.故112n n n a a q -==. （2）因为2nn a =，所以()12122212n n nS +-==--，由2020n S <，得1222020n +-<，即122022n +<， 而10210242022=<，11220482022=>， 所以110n +≤，即9n ≤， 所以09n =.【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=， 得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.19.在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC CC ===，3π4ACB ∠=，点D ，E 分别为棱1CC ，AB 的中点.（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求三棱锥1D AC E -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）248【解析】 【分析】(1)本题首先可以取1AB 的中点F 并连接EF 、1C F ，然后通过证明1//C D EF 即可得出四边形1C DEF 是平行四边形以及1//DE C F ，最后根据线面平行的相关判定即可得出结果； (2)本题首先可结合题意与图像将三棱锥1D AC E -的体积转化为112C ACE V -，然后通过三棱锥的体积公式即可得出结果.【详解】（1）取1AB 的中点F ，连接EF ，1C F ，则在1ABB △中，1//EF BB ，112EF BB =， 又点D 是1CC 的中点，所以1111122C D CC BB ==. 而且11//C D BB ，所以1//C D EF ，所以四边形1C DEF 是平行四边形，1//DE C F ， 又DE ⊄平面11AC B ，1C F 平面11AC B ，所以//DE 平面11AC B . （2）因为点D 是1CC 的中点， 所以1111122D ACE C AC E C ACE V V V ---==，11111113π1sin 1113262412224C ACE ABC V SCC CA CB CC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，所以三棱锥1D AC E -的体积为148D ACE V -=. 【点睛】本题考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求法，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则线面平行，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.20.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点.（1）若直线l 与圆221:4O x y +=相切，求直线l 的方程； （2）若直线l 与x 轴交点为D ，且DA AF λ=，DB BF μ=，试探究：λμ+是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.【答案】（1）1y =+；（2）λμ+为定值1-. 【解析】 【分析】 （1）对直线l斜率是否存在进行分类讨论，由直线l 与圆O 相切，得出圆心到直线l 的距离等于半径，进而可求得直线l 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，可知当直线l 的斜率不存在时不满足题意，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出关于λ、μ的表达式，代入韦达定理化简计算可求得λμ+的值.【详解】（1）由已知得()0,1F .当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时，直线l 与圆O 相交，不合乎题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=， 由直线l 与圆221:4O x y +=12=，解得k =综上所述，直线l的方程为1y =+；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y . 若0k =，则直线l 与x 轴平行，不合乎题意，所以0k ≠.联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得2440x kx --=，由韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩，易知1,0D k ⎛⎫-⎪⎝⎭，由DA AF λ=，得()111111,,x x k y y λ⎛⎫=-- ⎪⎝+⎭，则111x x k λ+=-，111kx λ∴=--，同理可得211kx μ=--，所以12121211422214x x kkx kx kx x kλμ++=---=--=--=--， 所以λμ+为定值1-.【点睛】本题考查直线与圆相切，同时也考查了抛物线中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()()()211xf x mx x e m =+-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()23f x mx x >+【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，对0m ≥、0m <两类进行分类讨论判断导数符号从而确定单调性；（2）设()()23F x f x mx x =--，通过导数判断函数()F x 的单调性，证明()0F x >在1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立即可得证.【详解】（1）()()22x xf x mx xe x e m '=+=+.①当0m ≥时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <， 故()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增. ②当0m <时，令()0f x '=，得0x =或()ln 2x m =-. 当12m =-时，()()10xf x x e '=-≥，故()f x 在R 上单调递增. 当102m -<<时，令()0f x '>，得0x >或()ln 2x m <-；令()0f x '<，得()ln 20m x -<<，即()f x 在()()ln 2,0m -上单调递减，在()(),ln 2m -∞-，()0,∞+上单调递增. 当12m <-时，令()0f x '>，得0x <或()ln 2x m >-；令()0f x '<，得()0ln 2x m <<-， 即()f x 在()()0,ln 2m -上单调递减，在(),0-∞，()()ln 2,m -+∞上单调递增. （2）设()()()23311xF x f x mx x x e x =--=--+，则()()()2133xxxF x e x e x x e x '=+--=-，设()3xx e x ϕ=-，则()3xx e ϕ'=-，∵1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()30x e ϕ'<-<，∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又1103ϕ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()130e ϕ=-<，∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点，设为0x . 则当013x x <<时.()0x ϕ>，()0F x '>，()F x 单调递增； 当01x x <<时，()0x ϕ<，()0F x '<，()F x 单调递减， 又1133126226*********e F e -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()10F =，∴()0F x >在1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，∴当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()23f x mx x >+.【点睛】本题考查分类讨论含参函数的单调区间、利用导数证明不等式，属于较难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求证：2PQ ≤. 【答案】（1）22149x y +=；2240x y x +-=（2）证明见解析；【解析】 【分析】（1）消去参数α即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标与直角坐标的转化公式即可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）由参数方程可设()2cos ,3sin P αα，由两点间距离公式可求得2PC ，并求得2PC的最大值，由点和圆的位置关系即可证明结论.【详解】（1）由2cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）消去α，得22149x y +=， 即曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，而222,cos x y x ρρθ==+，所以曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设点()2cos ,3sin P αα，则2PC ==当4cos 5α=-时，2max PC =，故max2PQ =+，即25PQ ≤+. 不等式得证.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，由参数方程求点到圆上距离的最值问题，属于中档题.选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>.（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 【答案】（1）{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）2.【解析】【分析】（1）可知所求不等式为122x x x -++≥-，然后分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况解该不等式，即可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得()min 22f x a b =+=，然后将所求代数式变形为2222442222a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可求得2242a b b a +的最小值. 【详解】（1）根据题意得原不等式为122x x x -++≥-.当2x -≤时，则有122x x x ---≥-，解得3x ≤-，此时3x ≤-；当21x -<<时，则有122x x x -++≥-，解得1x ≥-，此时11x -≤<；当1x ≥时，则有122x x x -++≥-，解得13x ≥，此时1x ≥. 综上所述，不等式()2f x x ≥-的解集为{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）()222f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+，当且仅当()()20x a x b -+≤时等号成立， 0a >，0b >，函数()y f x =的值域为[)2,+∞，即22a b +=.()2222224442222222a b a b a b a b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b ≥=+-=，当且仅当21a b ==时取等号，因此，2242a b b a+的最小值为2. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
全国名校2020年高三6月大联考(新课标全国卷1)文科数学试题及答案解析
文科数学试卷 第1页（共4页） 文科数学试卷 第2页（共4页）………………………○……○……○……○……○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校： 班级： 姓名： 准考证号：全国名校2020年高三6月大联考（新课标Ⅰ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合1{|2}2A x x =<<，{|13}B x x =<<，则B I ()=A R ð A ．[2,3] B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2,3] 2．已知i 为虚数单位，若复数z 满足2(1i)3(1i)z -=++，则复数z 的共轭复数z =A ．15i 22-+ B ．15i 22-C ．15i -D ．15i -+3．已知0.2log 7a =，90.2b =，ln 25c =，则A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<4．在应对某突发公共卫生事件中，某公司研究决定采用“办公室+远程协作”的办公方案，结合管理实际情况，对于符合办公室工作的员工，计划工作日内每天安排2位员工在办公室办公（每位员工每周仅在办公室办公2天）．已知该公司有5位员工符合条件，其中甲、乙两人必须安排在周一、周二两天同时办公，其余3位员工随机安排，则不同的安排方法有 A ．6种B ．8种C ．9种D ．12种5．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α=A ．2±B ．3±C ．2D ．3-6．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4 7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以AD u u u r ，BE u u u r为基底，则DC u u u r 可表示为A ．2133AD BE +u u u r u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u r D ．1233AD BE +u u u r u u u r8．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为9．已知函数()3sin cos()(0)f x x x ωωω=+π+>的最小正周期为π，则下列说法错误的是A ．函数()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得函数的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间5(,)36ππ上单调递减10．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 满足12a =，*142()n n n a a S n +=-∈N ，则20212020a a -=A ．3B ．3-C ．13-D ．1311．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若对0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+ D ．15[1,]e e +12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且3FP FQ +=0u u u r u u u r，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于A ．3B ．23C ．23D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
湖南省百所重点高中2020届高三大联考文科数学试卷(word档含答案)
高三数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷共150分，考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：集合、函数、导数、三角函数、向量、数列、不等式、立体几何.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|25A x N x =∈>，()(){}|270B x x x =--≤，则A B I 的元素的个数为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 62. 若向量()3,2a =r ，()1,b m =-r，且//a b r r ，则m =（ ）A.23B. 23-C.32D. 32-3. 若x ，y 满足约束条件04x y x y -≤⎧⎨+≥⎩，且2z x y =+，则（ ）A. z 的最大值为6B. z 的最大值为8C. z 的最小值为6D. z 的最小值为84. 设函数()()()ln ,01,0x x g x x f x -<⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x 是奇函数，则()2g e =（ ）A. -3B. -2C. -1D. 15. 已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列判断正确的是（ ） A. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D. 若m γ⊥，n γ⊥，则//m n6. 函数()348xxf x =+-的零点所在的区间为（ ） A. ()0,1B. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A. 16B. 19C. 20D. 258. 已知函数()()sin30,f a x a R x b a x -++>∈=的值域为[]5,3-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A. (),54k k Z π⎛⎫-∈⎪⎝⎭B. (),548k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭C. (),45k k Z π⎛⎫-∈⎪⎝⎭D. (),4510k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭9. 设tan 211a ︒=，则sin17cos17sin17cos17︒+=︒-︒︒（ ）A.221aa - B. 221a a - C. 21a a - D.241aa - 10. 若函数()()211ln 2x a x x x a f =+--没有极值，则（ ） A. 1a =- B. 0a ≥ C. 1a <-D. 10a -<<11. 在直角坐标系xOy 中，直线l ：4y kx =+与抛物线C ：21y x =-相交于A ，B 两点，()0,1M ，且MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则OA OB ⋅=u u u r u u u r （ ）A. 7B. 8C. 9D. 1012. 棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的内切球半径为（ ）A.12aB.12aC. aD.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 设向量(1,a =r ，2b =r ，1cos ,3a b =-r r ，则()a ab ⋅+=r r r ______.14. 若函数()xf x e mx =-在[]2,0-上为减函数，则m 的取值范围为______.15. 现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______. ①若01x <<，则lg log 10x x +的最大值为-2；②若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则41a =-； ③“23x >”的一个必要不充分条件是“2log 3x >”；④“0x Z ∃∈，0tan x Z ∈”的否定为“x Z ∀∈，tan x Z ∉”. 16. 若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在()0,2π内存在唯一的0x ，使得()01f x =-，则()f x 的最小正周期的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设函数()1xf x e =-.（1）若曲线()y f x =与x 轴的交点为A ，求曲线()y f x =在点A 处的切线方程； （2）证明：()f x x ≥.18. 设*n N ∈，向量()31,3AB n =+u u u r ，()0,32BC n =-u u u r，n a AB AC =⋅u u u r u u u r .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？ （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 19. 已知四棱锥P ABCD -的直观图如图所示，其中AB ，AP ，AD 两两垂直，2AB AD AP ===，且底面ABCD 为平行四边形.（1）证明：PA BD ⊥.（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥P ABCD -的表面积. 20. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos a Ab c C=-. （1）求角A 的大小；（2）求2sin sin B C -的取值范围.21. 如图，在各棱长均为4的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，60BAD ∠=︒，E 为棱1BB 上一点.（1）证明：平面ACE ⊥平面11BDD B .（2）在图中作出点A 在平面1A BD 内的正投影H （说明作法及理由），并求三棱锥B CDH -的体积. 22. 已知函数()()2ln f x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1,x ∃∈+∞，()f x a >-，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（文科）一、选择题 1-5：CBCAD6-10：BBBAA11-12：CD1. C ∵[]2,7B =，∴{}3,4,5,6,7A B =I .2. B 因为//a b r r ，所以32m =-，则23m =-.3. C 作出约束条件表示的可行域（图略），由图可知，当直线2z x y =+经过点()2,2时，z 取得最小值6，z 无最大值.4. A ∵()()222ln 2f e f e e =--=-=-，∴()()2213f e g e =-=-. 5. D 因为同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，故D 正确.6. B 因为()110f =-<，302f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，且()f x 为增函数，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 7. B 因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1519S =.8. B 因为()[],2f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[]5,3-，所以4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--.令()42x k k Z ππ=+∈，得()48k x k Z ππ=+∈，则()g x 的图象的对称中心为(),548k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭. 9. Asin17cos17tan171sin17cos17tan171︒+︒︒+=︒-︒︒-()tan 1745tan62=-︒+︒=-︒，tan 211tan31a ︒=︒=，222tan 312tan 621tan 311a a ︒︒==-︒-，故2sin17cos172sin17cos171aa ︒+︒=︒-︒-. 10. A ()()'11a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0x >， 当0a ≥时，10ax+>.令()'0f x <，得01x <<；令()'0f x >，得1x >. 当0a <时，方程10ax+=必有一个正数解x a =-，（1）若1a =-，此正数解为1x =，此时()()21'0x f x x-=≥，()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值.（2）若1a ≠-，此正数解为1x ≠，()'0f x =必有2个不同的正数解，()f x 存在2个极值. 综上，1a =-. 11. C 由241y kx y x =+⎧⎨=-⎩，得250x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x k +=，125x x =-. 因为MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，则()()121233MA MB x x kx kx ⋅=+++u u u r u u u r()()()222121213951390k x x k x x k k =++++=-+++=，所以22k =.所以1212x x y y OA OB ⋅=+u u u r u u u r()()212121416k x x k x x =++++()358169=⨯-++=.12. D 由题意，多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球，且其外接球的直径为AE ，易求正四面体ABCD 的高为，外接球的半径为.设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==+，所以h =.因为底面BCD ∆的边长为a ，所以2EB EC ED a ===，则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直.易求正三棱锥E BCD -的表面积2S =，体积3113222224E BCD V a a a -=⋅⋅⋅⋅=.设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由31324S r a ⋅=，得12r a =.二、填空题13. 7 14. [)1,+∞ 15. ①④ 16. 1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13. 7 ()21183273a a b a a b ⎛⎫=++⨯⨯-= ⎪⋅+⋅⎭+=⎝r r r r r r .14. [)1,+∞ 由题意可知()'0xf x e m =-≤，即x m e ≥对[]2,0x ∈-恒成立，所以01m e ≥=.15. ①④ 若01x <<，则lg 0x <，11lg log 10lg lg 2lg lg x x x x x x ⎛⎫+=+=--+≤- ⎪-⎝⎭，当且仅当110x =时，等号成立，所以①正确；若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则()112314a a a a +-=-⇒=，()()4521314a a a =---=-，所以②不正确；因为2443log 3log 9log 82=>=，所以③不正确；因为特称命题的否定是全称命题，所以④也正确.故所有正确结论的编号是①④. 16. 1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为()0,2x π∈，0ω>，所以,2666x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭.依题意可得372,622ππππω⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，解得511,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则21212,115T πππω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭. 三、解答题17.（1）解：令()10xf x e =-=，得0x =，所以A 的坐标为()0,0.因为()'xf x e =，所以()'01f =，故曲线()y f x =在点A 处的切线方程为y x =.（2）证明：设函数()()1xg x f x x e x =-=--，()'1xg x e =-，令()'0g x <，得0x <；令()'0g x >，得0x >. 所以()()min 00g x g ==， 从而()0g x ≥，即()f x x ≥.18. 解：（1）∵()31,31AC AB BC n n =+=++u u u r u u u r u u u r，∴()()()()2313313134n a n n n n =+++=++.∵()()()()134373134n n a a n n n n +-=++-++()634n =+， ∴()()21118n n n n a a a a +++---=为常数， ∴{}1n n a a +-是等差数列. （2）∵111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， ∴11111113477103134n S n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭11134341216nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19.（1）证明：因为AB ，AP ，AD 两两垂直，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥. 因为AB AD A =I ， 所以PA ⊥平面ABCD .因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥. （2）解：该四棱锥的侧视图如图所示：依题意可得四边形ABCD 为正方形，易证CD ⊥平面PAD ，BC ⊥平面PAB ，所以CD PD ⊥，BC PB ⊥，所以PCD ∆与PBC ∆的面积均为122⨯=四棱锥P ABCD -的表面积为211222222822+⨯⨯++⨯⨯=+.20. 解：（1）由cos 2cos a A b c C =-，结合正弦定理可得sin cos 2sin sin cos A AB C C=-， 即sin cos 2cos sin cos sin A C A B A C =-， 即sin cos cos sin 2cos sin A C A C A B +=， 即()sin 2cos sin A C A B +=， 所以()sin 2cos sin B A B π-=，即sin 2cos sin B A B =.因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以1cos 2A =. 又()0,A π∈，所以3A π=.（2）22sin sin 2sin sin 3B C C C π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭12sin sin 22C C C C ⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12C ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 又cos 0C ≠，所以()1cos ,00,12C ⎛⎫∈-⎪⎝⎭U . 所以2sin sin B C -的取值范围是(⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭U . 21.（1）证明：∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，∴1BB AC ⊥. ∵1BB BD B =I ，∴AC ⊥平面11BDD B ， 又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面11BDD B . （2）解：设AC 与BD 交于点O ，连接1A O ，过A 作1AH A O ⊥，H 为垂足，H 即为A 在平面1A BD 内的正投影.（若只是作图而不写作法，则不给分） 理由如下：∵1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥，又BD AO ⊥，1AO AA A =I ，∴BD ⊥平面1A AO ，∴BD AH ⊥，又1AO BD O =I ，∴AH ⊥平面1A BD .∵4sin 60AO =︒=14AA =，∴1AO =，由21AO OH A O =⨯，得OH = 过H 作HK AO ⊥，垂足为K ，由11HK OH AA A O =，得127HK =.∴111244sin 603277B CDH H BCD V V --=⨯⨯⨯⨯︒⨯==.22. 解：（1）()211'22ax ax x xf x -=-+=，当0a ≤时，()'0f x >，则()f x 在()0,+∞上单调递增. 当0a >时，令()'0f x =，得x =令()'0f x >，得x ⎛∈ ⎝；令()'0f x <，得x ⎫∈+∞⎪⎭. 故()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减. （2）由()f x a >-，得()21ln 0a x x --<.∵()1,x ∈+∞，∴ln 0x -<，210x ->. 当0a ≤时，()21ln 0a x x --<，满足题意.当12a ≥时，设()()()21ln 1g x x a x x =-->，()2'210ax g x x -=>， ∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10g x g >=，不合题意. 当102a <<时，令()'0g x >，得x ⎫∈+∞⎪⎭；令()'0g x <，得x ⎛∈ ⎝. ∴()()min 10g g g x =<=，则()1,x ∃∈+∞，()0g x <. 综上，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(12)x≤4},B={x∈Z|−4≤x≤0}，则A∩B=()A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2.设复数z=4−2i7−3i，则复数z的虚部为()A. −1729B. 1729C. −129D. 1293.唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，则乙、丙两人同时被选中的概率为()A. 12B. 15C. 310D. 254.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，则双曲线C的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√22x C. y=±23x D. y=±32x5.已知命题p：∃x∈(0,π2)，tanx≤sinx，命题q：直线l1：2x−my+3=0与直线l2：x+my−1=0相互垂直的充要条件为m=±√2.则下列命题是真命题的为()A. ￢qB. p∨(￢q)C. ￢p∧qD. p∧q6.cos240°+2sin35°sin55°sin10°=()A. 34B. 14C. 12+√32D. 3√347.执行如图所示的程序框图，若输入x∈[−3,16]的，则输出的y属于()A. [3,8]B. [4,8]C. [−1,3]D. [−1,8]8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=3√2,b=4√3,B=2C，则△ABC的面积为()A. 20√2B. 20√3C. 10√2D. 10√311.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331612.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知实数x，y满足{y≥14x≥yx+y≤6，则z=3x−y的最小值为______．15.《九章算术(卷第五)商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为______.(注：1丈=10尺，墓坑相对的侧面坡度相同),π]上的取值范围为16.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a n=(2a n+1)a n+1，其中a2=1．3}的前n项和S n；(1)求数列{1a n(2)若b n=a n+1a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1．618.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知离心率为12的椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(−1,−32)，直线l ：y =kx +m 与椭圆C 交于M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)两点，其中x 1，x 2≠±a ． (1)求椭圆C 的方程；(2)若A(−a,0)，且AM ⊥AN ，探究：直线l 是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3√5cosθy =3+3√5sinθ(θ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=6cosα．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 1，C 2交于M ，N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及M ，N 的极坐标(要求写出的极径非负，极角在[0,2π)上)．23.已知函数f(x)=|x+3|+|2x−4|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m>|x+3|−x2的解集为R，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵(12)x ≤4=(12)−2， ∴x ≥−2， ∴A =[−2,+∞)，B ={x ∈Z|−4≤x ≤0}={−4,−3,−2,−1,0}， 则A ∩B ={−2,−1,0}， 故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，指数不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z =4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i 58=1729−129i ，∴复数z 的虚部为−129． 故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，基本事件总数n =C 53=10，乙、丙两人同时被选中包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，则乙、丙两人同时被选中的概率为p =m n=310．故选：C ．基本事件总数n =C 53=10，乙、丙两人同时被选中包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，由此能求出乙、丙两人同时被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】C【解析】解：依题意得，∀x∈(0,π2)，tanx=sinxcosx>sinx，故命题p为假命题；若直线l1：2x−my+3=0与直线l2：x+my−1=0相互垂直，则2−m2=0，解得m=±√2，故命题q是真命题；故￢q，p∨(￢q)，p∧q为假命题；￢p∧q为真命题．故选：C．先判断命题p，q的真假，再根据含逻辑连接词的命题真假表判断正误即可．本题考查了复合命题及其真假的判定，同时考查了三角函数和两直线垂直的充要条件，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：原式=cos240°+2sin35°cos35°sin10°=cos240°+sin70°sin10°=12+12cos80°+sin70°sin10°=12+12(cos70°cos10°−sin70°sin10°+2sin70°sin10°) =12+12(cos70°cos10°+sin70°sin10°) =12+12cos60°=34． 故选：A ．根据二倍角公式的关系将原式变形为12+12cos80°+sin70°sin10°，而80°=70°+10°，利用两角和的余弦公式化简即可得解．本题考查根据三角恒等变换化简求值，关键在于熟练掌握倍角公式和差公式及其逆用．7.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y ={log 2x x >1x 2−1x ≤1的值．若：−3≤x ≤1，则满足条件输出y =x 2−1∈[−1,8]， 若：1<x ≤16，则不满足条件，此时y =log 2x ∈(0,4]， 则：输出y ∈[−1,8]， 故选：D ．根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱． 则其表面积：S =2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于一般题．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用二倍角公式可求sinB，cosB，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求sinA，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵c=3√2,b=4√3,B=2C，∴由正弦定理bsinB =csinC，可得4√3sinB=3√2sinC，∴可得4√3sin2C =4√32sinCcosC=3√2sinC，可得cosC=√63，sinC=√33，∴sinB =2sinCcosC =2√23，cosB =cos2C =2cos 2C −1=13，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =2√23×√63+13×√33=5√39， ∴S △ABC =12bcsinA =12×4√3×3√2×5√39=10√2．故选：C ．11.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F 到其准线l 的距离为2，可得p =2， 所以抛物线的方程为：y 2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可得E(−1,y 2)，可得k EF =y2−1−1=4，所以y 2=−8，将y 2=−8代入抛物线中，64=4x 2，x 2=16， 及B(16,−8)，所以k BF =16−1−8=−158，所以直线AB 的方程为：y =−158(x −1)，与抛物线联立可得225x 2−706x +225=0， 所以x 1x 2=1，所以x 1=116， 所以|AF|=x 1+1=1716， 故选：C ．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p ，由题意可得p 的值，可求出抛物线的方程，设A ，B 的坐标，由题意可得E 的坐标，求出直线EF 的斜率，由题意可得E 的坐标，将E 的纵坐标代入抛物线求出B 的坐标，进而求出直线AB 的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A 的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4， 根据三角函数的值cos 34>sin 34，则c =43cos 34>b =43sin 34， 由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−65【解析】解：作出实数x ，y 满足{y ≥14x ≥y x +y ≤6，对应的平面区域如图： 设z =3x −y 得y =3x −z ， 平移直线y =3x −z ，由图象可知当直线y =3x −z 经过点A 时，{4x =y x +y =6解得A(65,245)， 直线y =3x −z 的截距最大，此时z 最小， 即z min =185−245=−65．故答案为：−65．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】52000立方尺【解析】解：对墓坑抽象出来的几何体进行分割，如图所示，∴该几何体的容积为：V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−−PQFD1)+V BQFD1−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000(立方尺)，故答案为：52000立方尺．对墓坑抽象出来的几何体进行分割，分别求体积，由此能求出该几何体的体积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、几何体体积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x−6×1−cos2x2+3=3√3sin2x+3cos2x=6(√32sin2x+12cos2x)=6sin(2x+π6)，当π2≤x≤π时，π≤2x≤2π，7π6≤2x+π6≤13π6，则当2x+π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sinπ6=6×12=3，当2x+π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]，故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．17.【答案】解：(1)解：∵a n =(2a n +1)a n+1，∴a n =2a n a n+1+a n+1，∴1a n+1−1a n =2，当n =1时，有a 1=(2a 1+1)a 2，∵a 2=13，∴a 1=1.∴{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴S n =n +n(n−1)2×2=n 2；(2)证明：由(1)知1a n=1+2(n −1)=2n −1，∴a n =12n−1．∵b n =a n+1a n+2=1(2n+1)(2n+3)=12[12n+1−12n+3]，∴T n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=12(13−12n+3)<16．【解析】(1)先对a n =(2a n +1)a n+1左右两边同时除以a n a n+1，得到1a n+1−1a n=2，再求出首项，说明{1a n}是等差数列，进而求得其前n 项和S n ；(2)先求出b n ，再利用裂项相消法求出T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列的前n 项的和的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，∵AB =2CD =2，∴DC =BE ， 又∠ABC =∠BCD =90°，∴DC//BE ， 则四边形DCBE 为平行四边形，可得BC//DE ． ∵DE ⊂平面PDE ，BC ⊄平面PDE ， 则BC//平面PDE ；(2)∵BC ⊥PD ，BC ⊥CD ，且PD ∩CD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ， 可得PF ⊥平面ABCD ，在Rt △PFA 与Rt △PFD 中，∵PA =PD ，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD=V B−PAD，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得BC//DE，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE；(2)由已知证明BC⊥平面PCD，可得平面PCD⊥平面ABCD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，得PF⊥平面ABCD，求解三角形求得AF=DF=PF=1，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．(2)表2中的数据整理如下，∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)．(3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)依题意，{c a=121a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3c =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)可知A(−2,0)，联立{y =kx +mx 24+y 23=1可得，(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，则△=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk3+4k 2,x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=3m 2−12k 23+4k 2，∵AM ⊥AN ，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0，∴m =2k 或m =27k ，且均满足3+4k 2−m 2>0，当m =2k 时，直线l 的方程为y =k(x +2)，直线恒过(−2,0)，舍去； 当m =27k 时，直线l 的方程为y =k(x +27)，直线恒过(−27,0)； 综上，直线过定点(−27,0)．【解析】(1)根据离心率和椭圆经过的点，建立方程组即可求解；(2)设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理结合AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，建立等量关系求解．本题考查求椭圆的标准方程，解决直线过定点问题，关键在于熟练掌握直线与椭圆位置关系常用解题方法，利用韦达定理整体处理，属于中档题目．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C 1：x 2+(y −3)2=45，故x 2+y 2−6y =36，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2−6ρsinθ−36=0； 曲线C 2：ρ2=6ρcosα，即x 2+y 2−6x =0， 则曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−6x =0． (Ⅱ)联立{x 2+y 2−6y =36x 2+y 2−6x =0，两式相减可得x −y =6，即ρcosθ−ρsinθ=6，故√2ρcos(θ+π4)=6， 即直线MN 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=3√2； 联立{x −y =6x 2+y 2−6x =0故x 2−9x +18=0，解得{x =3y =−3或{x =6y =0 故M ，N 的极坐标为M(3√2,7π4),N(6,0)或M(6,0),N(3√2,7π4)【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用求出结果．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x +3|+|2x −4|>8，当x <−3时，原式化为−x −3+4−2x >8， 故x <−73，解得x <−3；当−3≤x ≤2时，原式化为x +3+4−2x >8， 故x <−1，解得−3≤x <−1；当x >2时，原式化为x +3+2x −4>8，即x >3，解得x >3． 综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)； (Ⅱ)依题意，|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2， 即m >−x 2−|2x −4|，∵m >−x 2−|2x −4|对x ∈R 恒成立，令g(x)=−x 2−|2x −4|={−x 2+2x −4,x ≤2−x 2−2x +4,x >2={−(x −1)2−3,x ≤2−(x +1)2+5,x >2，∴g(x)max =g(1)=−3，∴m >−3， 故实数m 的取值范围是(−3,+∞)．【解析】(Ⅰ)由题意可得|x +3|+|2x −4|>8，由零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得|x +3|+|2x −4|+m >|x +3|−x 2，即m >−x 2−|2x −4|，由题意可得m >(−x 2−|2x −4|)max ，结合二次函数的最值求法和绝对值的定义，计算可得所求最大值，进而得到m 的范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2x>1}，B={y|y=x2−1,x∈R}，则(∁U A)∩B=()A. (−1,1)B. [−1,0]C. [−1,0)D. (−∞,0]2.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i1+i对应点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)3.设O是坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，点M在C外，且MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF⃗⃗⃗⃗⃗ ，P是过点M的直线l与C的一个交点，△PMF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率等于()A. √34B. √33C. √3+14D. √324.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 3205.在ΔABC中，AC=√7,BC=2,B=60∘，则BC边上的中线AD的长为()A. 1B. √3C. 2D. √76.设函数f(x)=sin2x，将y=f(x)的图像向左平移π8个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图像，则y=g(x)在[−π12,π4]上的最大值为()A. 3B. 3√22C. √22D.17.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2B. 43C. 23D. 138.函数y=ln(2−|x|)的大致图象为()A. B.C. D.9.已知a=(13)x，b=x3，c=lnx，当x>2时，a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b10.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 411.三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 35C. 710D. 4512.已知函数f(x)满足f(2x)=2x2−2x−mln2x，若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B.C. (0,+∞)D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ 则x=______．14.已知cos(π6−α)=√33，则sin(5π6−2α)=______．15.过点P(a,5)作圆(x+2)2+(y−1)2=4的切线，切线长为2√3，则a等于______ ．16.某运输公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A型卡车和8辆B型卡车．又已知A型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元，则该公司所花的最小成本费是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等比数列{a n}满足a4=2a2+a3，a32=a6．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求a n⋅log2(a n)的前n项和T n．18.某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2040805010男性用户：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数4575906030(Ⅰ)完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不要求计算具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；(Ⅲ)如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；女性用户男性用户合计“认可”手机______ ______ ______“不认可”手机______ ______ ______合计______ ______ ______P(K2≥x0)0.050.01x0 3.841 6.635．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD的中点，点F在BC上，且BF=3FC．(Ⅰ)证明：EF⊥平面PAE；(Ⅱ)若PA=AB=4，求点C到平面PEF所成的距离．20.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|·|BF|的取值范围．21. 已知函数f(x)=(2−a)lnx +1x +2ax ．(1)当a =2时，求函数f(x)的极值； (2)当a <0时，讨论函数f(x)的单调性．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x −2m|−|x +4m|(m >0)．(1)当m =2时，求不等式f(x)≤0的解集；(2)若关于x不等式f(x)≤|t−2|+|t+1|(t∈R)的解集为R，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题． 求出集合A ，∁U A ，B ，由此能求出(∁U A)∩B ． 解：∵集合A ={x|2x >1}={x|x >0}， ∁U A ={x|x ≤0}，B ={y|y =x 2−1,x ∈R}={x|≥−1}， ∴(∁U A)∩B =[−1,0]． 故选：B ．2.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查复数的几何意义，比较基础． 解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i 22=1+i ，则对应的点的坐标为(1,1)， 故选：A ．3.答案：B解析：解：如图，∵MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MO =3c ， ∵△PMF 是有一个内角为120°的等腰三角形， ∴MF =4c ，∠PMF =30°．∴P(−c,2c√3)．∵点P在椭圆上，∴c2a2+4c23b2=1，∴4c23b2=1−c2a2=b2a2，∴3a2−2√3ac−3c2=0．∴e=ca=−√3或√33又e>0，故e=ca =√33则椭圆C的离心率等于ca =√33．故选：B．根据题意可得MF=4c，∠PMF=30°，即可求得P的坐标．把P坐标代入椭圆即可得ca =√33，即可求得离心率．本题本题考查了椭圆的离心率，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．解：如图所示，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a，∴S阴影=S正方形ABFG+S△BCE−S△ACG=a2+12⋅2a⋅2a−12⋅a⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．5.答案：D解析：本题主要考查的是余弦定理的有关知识，先利用余弦定理求出AB ，再在△ABD 中利用余弦定理进行求解即可． 解：如图在△ABC 中，AC =√7,BC =2,B =60∘， ∴cosB =AB 2+BC 2−AC 22×AB×BC，∴cos60°=AB 2+22−(√7)22×AB×2，解得AB =3，∵AD 为BC 边上的中线， ∴BD =12BC =12×2=1，在△ABD 中，AB =3，BD =1，B =60°， ∴cosB =AB 2+BD 2−AD 22×AB×BD ，∴cos60°=32+12−AD 22×3×1，解得AD =√7， 故选D ．6.答案：A解析：本题考查正弦函数图象的平移伸缩变换问题，正弦函数在闭区间上的最值问题，属于中档题． 由已知函数y =f(x)图象的平移伸缩变换，得到，再得到，由x ∈[−π12,π4]，即可求出g(x)在[−π12,π4]上的最大值．解：由函数y=f(x)图象向左平移π8个单位，得到，再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍，得到，由x∈[−π12,π4 ]，得到，故g(x)在[−π12,π4]上的最大值为3．故选A．7.答案：C解析：本题考查通过三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．通过三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：如图所示，由三视图可知，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PA=13×12×2×1×2=23．故选C．8.答案：A解析：本题考查函数图像的识别，属于基础题．从函数的奇偶性上排除C，D，从特殊值上排除B．解：令f(x)=ln(2−|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|−2<x <2}，且f(−x)=ln(2−|−x|)=ln(2−|x|)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C ，D ．当x =32时，f (32)=ln 12<0，排除选项B ，故选A ． 9.答案：B解析：本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：当x =e 时，a =(13)e <1，b =e 3>1，c =lne =1，∴a <c <b ．故选B ． 10.答案：A解析：解：由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数，∴n =1，2，4，8，16，32，64，故选：A ．由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数．本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能 11.答案：C解析：本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，取AC 的中点为D ，建立空间直角坐标系．利用cos <AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得出． 解：如图所示，取AC 的中点为D ，建立空间直角坐标系．不妨设AC =2.则A(0,−1,0)，N(0,0，2)，B(−√3,0，0)， M(−√32,−12,2)． 则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)． ∴cos <AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=72√5×√5=710．故选：C ． 12.答案：D解析：本题考查函数的解析式，导数的应用，比较基础．根据题意可得f′(x )=x −1−m x =0在(0,+∞)上有解，即m =x 2−x ，求解即可．解：令t =2x ，则x =t 2，所以，即， 因为曲线y =f(x)存在垂直于y 轴的切线，则f′(x )=x −1−m x =0在(0,+∞)上有解，即m =x 2−x则m 的取值范围是． 故选D ．13.答案：2解析：解：向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ ，则2(x−5)+3x=0，解得x=2，故答案为：2．根据两个向量垂直的坐标表示建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．本题给出两个向量互相垂直，求参数x的值．着重考查了向量垂直的坐标表示的知识，属于基础题．14.答案：−13解析：解：∵已知cos(π6−α)=√33，则sin(5π6−2α)=sin[2(π6−α)+π2]=cos2(π6−α)=2cos2(π6−α)−1=2×13−1=−13，故答案为：−13．由条件利用诱导公式、二倍角公式，求得sin(5π6−2α)=sin[2(π6−α)+π2]的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．15.答案：−2解析：解：∵(x+2)2+(y−1)2=4的圆心为C(−2,1)、半径r=2，∴点P(a,5)到圆心的距离为|CP|=√(a+2)2+(5−1)2=√(a+2)2+16．∵过切点的半径与切线垂直，∴根据勾股定理，得切线长为2√3=√(a+2)2+16−4．解得：a=−2故答案为：−2．算出圆心为C(−2,1)、半径r=2，根据两点间的距离公式，算出圆心到点P的距离|CP|.再由切线的性质利用勾股定理加以计算，可得a的值．本题考查求圆的经过点P的切线长．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式、切线的性质与勾股定理等知识，属于中档题．16.答案：7千元解析：解：设公司每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本费为z 千元，根据题意，得{ 30x +40y ≥2800≤x ≤60≤y ≤8x 、y ∈N ∗，目标函数z =0.9x +y ， 作出该不等式组表示的可行域，如下图：考虑z =0.9x +y ，变形为y =−0.9x +z ，这是以−0.9为斜率，z 为y 轴上的截距的平行直线族． 经过可行域，平行移动直线，当直线经过点(0,7)时，直线在y 轴上的截距最小，即z 取最小值，为7， 故答案为：7千元．先根据题意，列出不等式组、目标函数，作出可行域，利用图象可求公司所花的成本费最小． 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q(q >0)，则∵a 4=2a 2+a 3，a 32=a 6，∴a 1q 3=2a 1q +a 1q 2，a 12q 4=a 1q 5，∴a 1=2，q =2，故a n =2n ．(Ⅱ)a n ⋅log 2(a n )=n ⋅2n ，∴T n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ，∴2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1，两式相减，整理可得−T n =−(n −1)2n+1−2，Tn =(n −1)2n+1+2．解析：(Ⅰ)利用方程组，即可求{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用错位相减法，求a n⋅log2(a n)的前n项和T n．本题考查等比数列的通项，考查数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题．18.答案：140；180；320；60；120；180；200；300；500解析：解：(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．(Ⅱ)由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数为75；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等．设中位数为x，则70<x<80．于是10×0.015+10×0.025+(x−70)×0.03=0.5，解得x=7313(Ⅲ)2×2列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500K2=500(140×120−180×60)2≈5.208>3.841，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有200×300×320×180关．(Ⅰ)利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；(Ⅱ)由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等，求出男性用户评分的中位数；(Ⅲ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥EF ，在正方形ABCD 中，∵E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且BF =3FC ，设AB =4，则ED =EC =2，BF =3，FC =1，∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，∴AE 2+EF 2=AF 2，即EF ⊥AE ，又PA ∩AE =A ，∴EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)解：连接PC ，由PA =AB =4，结合(Ⅰ)可得PF =√42+25=√41，PE =√42+20=6，EF =√5， ∴cos∠EPF =2×√41×6=6√4141，则sin∠EPF =√20541． ∴S △PEF =12×√41×6×√20541=3√5，S △EFC =12×2×1=1．设点C 到平面PEF 所成的距离为h ．则由V P−EFC =V C−PEF ，得13×3√5×ℎ=13×1×4，解得ℎ=4√515． 即点C 到平面PEF 所成的距离为4√515．解析：(Ⅰ)由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥EF ，再由已知解三角形证明EF ⊥AE ，可得EF ⊥平面PAE ； (Ⅱ)连接PC ，由PA =AB =4，结合(Ⅰ)求得三角形PEF 与三角形EFC 的面积，然后利用等积法求点C 到平面PEF 所成的距离．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为线段AB 中点的横坐标为3，所以x 1+x 2=6，由抛物线的定义知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1,y 2=4x,得y 2−4my +4=0.即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4． 由Δ=16m 2−16>0，得m 2>1．由抛物线的定义知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则|AF|·|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2.因为m 2>1，所以|AF|·|BF|>4．故|AF|·|BF|的取值范围是(4,+∞)．解析：本题考查抛物线的性质运用以及直线与抛物线的位置关系；(1)由线段AB 中点的横坐标为3，以及抛物线的定义得到|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8．(2)将直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理结合抛物线定义得到|AF|·|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2，利用m 范围解得所求．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =2时，函数f(x)=1x +4x ，所以f′(x)=−1x 2+4=4x 2−1x 2，令f′(x)>0，所以x >12，令f′(x)<0，所以0<x <12，所以函数f(x)单调增区间是(12,+∞)，单调减区间是(0,12)，所以函数f(x)在x =12处取得极小值，f(12)=4，无极大值；(2)f′(x)=2−a x −1x 2+2a =(2x−1)(ax+1)x 2， 令f′(x)=0，得x 1=12，x 2=−1a ，当a =−2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0,+∞)单调递减；当−2<a <0时，在区间(0,12)，(−1a ,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(12,−1a )上f′(x)>0，f(x)单调递增；当a <−2时，在区间(0,−1a )，(12,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(−1a ,12)上f′(x)>0，f(x)单调递增；综上所述，当a =−2时，函数f(x)的在定义域(0,+∞)内单调递减；当−2<a <0时，f(x)在区间(0,12)，(−1a ,+∞)内单调递减，在区间(12,−1a )内单调递增； 当a <−2时，f(x)在区间(0,−1a )，(12,+∞)内单调递减，在区间(−1a ,12)内单调递增．解析：本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．(1)当a =2时，求出函数f(x)的导数，利用导数判断函数f(x)的单调性与极值；(2)求出f(x)的导数f′(x)，讨论a 的取值范围，利用导数即可判断函数f(x)在定义域(0,+∞)的单调性．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当m =2时，f(x)=|x −4|−|x +8|={−12,x ≥4−2x −4,−8<x <412,x ≤−8，由不等式f(x)≤0，可得：−8<x <4时：−2x −4≤0，解得−2≤x <4，x ≥4时，−12≤0恒成立；综上所述，不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≥−2}；(2)关于x 的不等式f(x)≤|t −2|+|t +1|(t ∈R)的解集为R ，等价于对任意的实数x，f(x)≤[|t−2|+|t+1|]min恒成立，即[f(x)]max≤[|t−2|+|t+1|]min，∵f(x)=|x−2m|−|x+4m|≤|(x+4m)−(x−2m)|=6m，|t−2|+|t+1|≥|(t+1)−(t−2)|=3，∴6m≤3，又m>0，∴0<m≤1，2].即m的取值范围是(0,12解析：(1)m=2时利用分段函数写出f(x)，再求不等式f(x)≤0的解集；(2)由题意把问题转化为对任意的实数x，f(x)≤[|t−2|+|t+1|]min恒成立，即[f(x)]max≤[|t−2|+|t+1|]min，由此列出不等式求得m的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是中档题．。
河南省2020届高三6月大联考数学试卷文科8001C
绝密★启用前高三数学试卷（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-<，{}220B x x =->∣，则A B =（ ）A.(1,2)B.(2,1)-C.(0,1)D.(1,0)-2.已知(1)5z i i -=+，则z =（ ） A.23i -+ B.23i --C.23i -D.23i +3.是“12x ≥”是“12x x+≥”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A.25.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，阅读下图关于下列说法：①2022年我国5G 用户规模年增长率最高； ②2022年我国5G 用户规模年增长户数最多；③从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；④这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差. 其中正确的个数为（ ） A.1B.2C.3D.46知函数3e ,0()43,0x x f x x x -⎧≤=⎨-+>⎩若()23(2)f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,1]-∞B.(,3][1,)-∞-+∞C.(,1][3,)-∞+∞D.[3,1]-7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（ ）A.6?k ≥B.7?k ≥C.6?k ≤D.7?k ≤8.函数4cos ()xf x x π=的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.9.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222sin cos A A b c a =+-，则角A 的大小为（ ） A.4π B.6π C.512π D.3π 10.函数()2sin 3cos 363f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴方程为 A.29x π=B.3x π=C.49x π=D.59x π=11.饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）A.116B.18C.14D.1212.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（ ） A.14B.12C.2349D.2547二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.在ABC △中，已知(3,2)A ，(1,5)B ，(1,2)C ，则AB AC ⋅=________.14.已知函数3()ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为________.15.长方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 是正方形，O 为正方形1111A B C D 的中心，114A B =，13AA =，则异面直线1AD 与BO 所成角的正弦值为_______. 16.已知抛物线C ：22(0)x py p =>，倾斜角为4π的直线l 过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，8AB =，则AOB △的面积为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17.（12分）已知等差数列{}n a 满足833a a =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（12分）新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在(50,70)内，有三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人进步幅度在(10,20)内.如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率.附：22()()()()()n ad bc K a bc d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，E 为BS 的中点，30ASB ABS ∠=∠=︒，1tan 3ASD ∠=，3AB =.（1）证明：平面DAE ⊥平面DSB . （2）求三棱锥B SAD -的体积. 20.（12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为M 上的任意一点，124PF PF +=，且该椭圆的短轴长等于焦距. （1）求椭圆M 的标准方程.（2）已知点R ，Q 是M 上关于原点O 对称的两点，过M 的左顶点A 作直线l 交椭圆M 于另一点B ，交y轴于点C ，且BC RQ ，判断2RQAB AC是否为定值.若是，求出该值；若不是，请说明理由.21.（12分） 已知函数()e xxf x =，()f x '是()f x 的导函数. （1）求()f x 的极值；（2）当01x <时，证明：()()()000()f x f x x x f x '≤-+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos ,4sin .x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2C ：5(0)6πθρ=≥，点B 在曲线3C ：sin 4ρθ=上，且AOB △为正三角形. （1）分别求出点A ，B 的极坐标(,)ρθ（其中0ρ≥，02θπ≤<）； （2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求BM 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()3f x x =-，()4g x x =-.（1）解不等式()()3f x g x +<；（2）对于实数x ，y ，若()1f x ≤，()1g y ≤，证明：2338x y -+≤.高三数学试卷参考答案（文科）l.C 【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力. 因为{}02A x x =<<∣，{}|1B x x =<，所以{}01AB x x =<<∣.2.D 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力. 因为(1)5z i i -=+，所以5231iz i i+==+-. 3.A 【解析】本题考查常用逻辑用语，考查推理论证能力.若12x ≥，则12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号；若12x x+≥，则0x >.4.C 【解析】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力.因为渐近线b y x a =经过点，所以ba =e ==5.B 【解析】本题考查学生对柱形图和折线图的理解，考查数据处理能力.由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022年增加用户37499.9万人，②错误；从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误.6.D 【解析】本题主要考查函数的单调性及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想.函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，因此，不等式()23(2)f a f a -≥-等价于232a a -≤-，解得31a -≤≤.7.B 【解析】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力.0.5S =，2k =；1S =，3k =；3S =，4k =；12S =，5k =；60S =，6k =；360S =，7k =.所以填入“7?k ≥”，输出的结果为360.8.B 【解析】本题考查函数的奇偶性，考查识图能力与推理论证能力. 因为()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且()f x 为偶函数，排除A ，C.又当1x =时，(1)cos 10f π==-<，排除选项D ，故选B.9.A 【解析】本题考查解三角形的知识，考查运算求解能力.因为222cos 2b c a A bc +-=，所以2222cos b c a bc A +-=，所以sin cos 2cos 2cos A A bc A A ==，即sin 2A =.又ABC △为锐角三角形，所以4A π=. 10.C 【解析】本题考查三角恒等变换，三角函数的对称性，考查运算求解能力. 因为()2sin 3cos 33sin 3636f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以其图象的对称轴方程为36x π+=()2k k Z ππ+∈，解得()93k x k Z ππ=+∈，当1k =时，49x π=. 11.B 【解析】本题考查数学文化与古典概型，考查数据处理能力.点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为18. 12.D 【解析】本题考查立体几何的截面及体积问题，考查空间想象能力.如图，可以作出截面1D MEFN ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，则其体积为216，延长1D M 交DA 的延长线于点K ，连接KE ，延长1D N 交DC 的延长线于点L ，连接FL .因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，M ，N 分别为两棱的三等分点，所以3AK CL ==，2AM CN ==，1116998132D DKL V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，11233332M AKE N CFL V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81675-=，另外一部分的体积为21675141-=，所以体积比值为752514147=.13.4【解析】本题考查向量的数量积，考查运算求解能力.因为(2,3)AB =-，(2,0)AC =-，所以2(2)4AB AC ⋅=-⨯-=. 14.210x y --=【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.因为3()ln f x x x =-，所以21()3f x x x'=-，又(1)1f =，(1)2f '=，所以切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.【解析】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力. 如图因为11AD BC ，所以异面直线1AD 与BO 所成角为1OBC ∠.又115A B C B ==，O 为11A C 的中点，所以11BO A C ⊥.易知1AC =，所以111sin OC OBC BC ∠==.16.22【解析】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力. 根据题意知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p y x =+，代入抛物线得2220x px p --=，所以1212248AB y y p x x p p =++=++==，解得2p =，所以直线l 的方程为1y x =+.又原点O 到直线l 的距离2d ==，所以11822AOB S AB d =⋅=⨯=△ 17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为83123,,4a a a a =⎧⎨+=⎩所以()111732,24,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩……………………………………………………………………………………2分解得11,2,a d =⎧⎨=⎩……………………………………………………………………………………………………4分所以21n a n =-.………………………………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知1(21)(21)n b n n =-+，………………………………………………………………………7分因为11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，………………………………………………………………………………9分所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，…………………………………………………11分 即11122121n nT n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.………………………………………………………………………………12分 评分细则：（）第一问中，只要列出()111732,24,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩得2分，求出11,2,a d =⎧⎨=⎩累计得4分，正确写出通项公式累计得6分；（2）第二问中，写到11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭这一步累计得9分，写出111112335n T ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-++⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣112121n n ⎤⎛⎫- ⎪⎥-+⎝⎭⎦累计得11分，最后结果写成111221n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭不扣分； （3）其他情况根据评分标准酌情给分.18.解：（1）222000(500500300700)125 3.4728001200120080036K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，……………………………………4分 因为3.472 2.706>.所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联. …………………………………6分 （2）设a ，b 两人的进步幅度在(50,70)内，c ，d ，e 三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人f 的进步幅度在(10,20)内，则从这六人中任选两人，有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a e 、(,)a f 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b e 、(,)b f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f ，共15种不同选法，……………8分其中符合两人的进步幅度之差在20分以内的有(,)a b 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f ，共7种，…………………………………………………………………………………………………………10分 所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率715P =.………………………………………………………12分 评分细则：（1）第一问中写成222000(500500300700)1253.478001200120080036K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯或3.4不扣分，计算正确，结论写错扣1分；（2）第二问中，写出抽取的所有可能结果共15个得2分，写出符合条件的7种结果得2分，写出所求概率得2分；（3）其他情况根据评分标准酌情给分.19.（1）证明：因为ABCD 是矩形，所以AD AB ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD平面SAB AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面SAB .…………………………………………………………………………………………1分 又BS ⊂平面SAB ，所以AD BS ⊥. ………………………………………………………………………2分 因为ASB ABS ∠=∠，所以AS AB =，又E 为BS 的中点，所以AE BS ⊥.…………………………3分 又ADAE A =，所以BS ⊥平面DAE .…………………………………………………………………4分由于BS ⊂平面DSB ，所以平面DAE ⊥平面DSB . ……………………………………………………5分 （2）解：三棱锥B SAD -的体积B SAD D ABS V V --=， ……………………………………………………6分 因为1tan 3ASD ∠=，3AS AB ==，所以1AD =.………………………………………………………8分 由于30ASB ABS ∠=∠=︒，所以SAB 133sin1202S =⨯⨯⨯︒=△……………………………………………………………………10分从而11344D ABS V -=⨯⨯=，即三棱锥B SAD -的体积为4.……………………………………12分 评分细则：（1）第一问中，严格按线面关系的判定与性质定理，每证出一个重要结论得1分，完整证出结论得5分； （2）第二问，写出B SAD D ABS V V --=，累计得6分，求出1AD =，累计得8分，求出133sin1202SAB S =⨯⨯⨯︒△4=，累计得10分，直到正确求出11344D ABS V -=⨯⨯=得满分.20.解：（1）因为124PF PF +=，所以24a =，解得2a =.………………………………………………1分 设椭圆的焦距为2c ，所以22b c =，即b c =. ………………………………………………………………2分由222a b c =+，解得22b =，…………………………………………………………………………………3分所以椭圆M 的方程为22142x y +=. ……………………………………………………………………………4分 （2）2RQAB AC为定值2，理由如下. …………………………………………………………………………5分由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设l ：(2)(0)y k x k =+≠，令0x =，得2y k =，即(0,2)C k ，又易知(2,0)A -，所以AC =.…………………………………………………………………………6分 由221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22224,124,12B B k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即222244,1212k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，………………………………………………7分所以AB =.……………………………………………………………………………………………8分 因为BC RQ ，所以直线RQ 的方程为y kx =， 由221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222224,124,12R R x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……………………………………………………………………………9分 所以2224412k OR k +=+.…………………………………………………………………………………………10分 由2RQ OR =，得2224412k OR k +=+，………………………………………………………………………11分所以22216162k RQ AB AC +==. 故2RQ AB AC 为定值2. …………………………………………………………………………………………12分 评分细则：（1）第一问中，求出2a =，得1分，写出b c =，累计得2分，求出22b =，累计得3分，正确求出标准方程累计得4分；（2第二问中，得出2RQ AB AC 为定值2这个结论，累计得5分，求出AC =累计得6分，求出AB =累计得8分，依此类推，每写出一个重要结论得1分，直到全部正确得满分； （3）第二问中，用其他方法，参照上述步骤给分.21.（1）解：因为()ex x f x =，所以()(1)e x f x x -'=-.……………………………………………………1分 当(,1)x ∈-∞时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<.……………………………………………2分 所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，………………………………………………3分 从而()f x 有极大值，极大值为1(1)ef =，无极小值. ……………………………………………………4分 （2）证明：令()()()000()()g x f x f x x x f x '=---，则()()()000000e (1)e 1()()(1)e 1e e x x x x x x x x g x f x f x x x --+---'''=-=---=.…………………………5分 设()00()e (1)e 1x x x x x ϕ=---，则()0()e 0e 1xx x x ϕ'=---.…………………………………………6分 因为01x <，所以()0x ϕ'<，所以()x ϕ在R 上单调递减.…………………………………………………………………………………7分 又()00x ϕ=，所以当0x x <时，()0x ϕ>；当0x x >时，()0x ϕ<，……………………………………………………8分 即当0x x <时，()0g x '>；当0x x >时，()0g x '<.………………………………………………………9分 所以()g x 在区间()0,x -∞上单调递增，在区间()0,x +∞上单调递减.……………………………………10分 所以()0()0g x g x ≤=，所以()()()000()f x f x x x f x '≤-+.………………………………………………………………………12分 评分细则：（1）第一问中，如果求导正确得1分，完整讨论()f x '与0的关系得1分，讨论一半不得分，正确写出单调区间得1分，正确写出结论得1分；（2）第二问中只要构造出函数并求导得1分，完整讨论导函数与0的关系得相应的1分，讨论一半不得分，严格按步骤给分，正确解完本题得满分；（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.22.解：（1）因为点B 在曲线3C ：sin 4ρθ=上，即点B 在直线4y =上，……………………………2分 又点A 在曲线2C ：5(0)6πθρ=≥上，且AOB △为正三角形，所以在极坐标系中，54,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………4分 （2）由（1）知点A的直角坐标为(2)-，……………………………………………………………5分 设点M 的直角坐标为(,)x y，所以点(222)P x y +-.………………………………………………6分 因为曲线1C 的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩即1C 为圆2216x y +=，………………………………………7分所以22(2(22)16x y ++-=，即点M在22((1)4x y ++-=上，…………………………8分又点B 的直角坐标为(0,4)，所以BM22=.……………………………10分 评分细则：（1）第一问中，写出曲线3C 的直角坐标方程4y =得2分，正确写出A ，B 在指定范围内的极坐标方程累计得4分；（2）第二问中，求出点A的直角坐标为(2)-，得1分，写出点(222)P x y +-，得1分，求出1C 的标准方程2216x y +=，得1分，全部正确解完本题得满分；（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.23.（1）解：设()()()h x f x g x =+，则27,3,()1,34,27, 4.x x h x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩………………………………………2分因为()()3f x g x +<，所以3,273x x ≤⎧⎨-+<⎩或34,13x <<⎧⎨<⎩或4,273,x x ≥⎧⎨-<⎩…………………………………………………………3分 解得23x <≤或34x <<或45x ≤<，即25x <<，………………………………………………4分 所以不等式()()3f x g x +<的解集为(2,5).……………………………………………………………5分（2）证明：因为()1f x ≤，()1g y ≤，所以31x -≤，41y -≤.…………………………………6分 又2332(3)3(3)233(4)1x y x y x y -+=---≤-+-+， ……………………………………8分 所以233233(41)23(11)8x y x y -+≤-+-+≤+⨯+=.………………………………………10分 评分细则：（1）第一问中，写出()h x 的解析式得2分，正确求出三个不等式组的解集累计得4分，写出不等式()()3f x g x +<的解集为(2,5)累计得5分；（2）第二问中，写出31x -≤，41y -≤累计得6分，会利用绝对值的性质求出233x y -+=2(3)3(3)233(4)1x y x y ---≤-+-+累计得8分，最后证出2338x y -+≤累计得10分.。
全国名校2020年高三6月大联考(新课标Ⅰ卷)文科数学(详解版)
FP + 3FQ = 0 ，则 △OPQ(O 为坐标原点 ) 的面积 S 等于
A． 3
B． 2 3
C． 2 3 3
D． 4 3 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若函数 f ( 1 ) = ln x ，则 f (2) =__________． x −1
14．已知数列{an} 满足： a1
=
−1 ，
1 an＋1
=
an an −1
，则 a2020
=
__________．
15．设 F1(−c, 0), F2 (c, 0)
分别是双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左、右焦点，若直线 x
=c
与
双曲线 C 的两条渐近线分别交于点 M，N，且
MF1N = 60 ，则双曲线 C 的离心率为__________． 16．石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技
f (x0 ) = g(x1) = g(x2 ) ，其中 x1 x2 ，则实数 a 的取值范围是
A．[5 ,e) e
B． (1 ,e) e
C．[1 + 1 , e) e
D．[1 + 1 , 5] ee
12．已知抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点，且
anan+1 = 4Sn − 2(n N* ) ，则 a2021 − a2020 =
A． 3
B． −3
C． − 1 3
D． 1 3
11 ． 已 知 函 数 f (x) = |x − 2| + 2 ， g(x) = ax − ln x ， 若 对 x0 (0, e) ， x1, x2 (0, e) ， 使 得
河北省2020届高三上学期百校联考(文数试题)
河北省2020届高三上学期百校联考试题数 学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A= {2<|||x x }{043|2≤--x x x }，则B A I (C R B)=A. (-2，-1)B. (-2,4)C. (-1,2)D. (2,4)2.已知R b a ∈,，若i a +与bi -3互为共辄复数，则=-2)(bi aA.3B. 10C. 32D.103. 已知l 为直线，α为平面，则α∥l 的充要条件是A ．l 与α没有交点 B.存在直线，使得m ∥lC α⊄l D.在平面a 内存在无数条直线与直线α∥l 平行4.已知55sin ),2,0(=∈θπθ，则=θθtan 2cos A. 103- B. 103 C. 56- D. 56 5.若b a ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤0120-x y x y x ,则y x z -=2的最大值为A.-5B.-3C. 1D.26.已知ABC ∆ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且4b 1,a 4ccosC,bcosA acosB ===+,则=cA. 1B. 23C. 32D. 157.函数)1()1(2)(+-=x x e x e x f 的部分图象大致为8.将函数x x f sin 2)(=的图象上所有点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移12π个单位长度，得到)(x g y = 的图象，则)(x g y =的图象的一条对称轴可能是A.12π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 32π=x 9. 某校髙三年级共有1200名学生，所有同学的体重（单位：kg)在[50,75]范围内，在一次全校体质健康检查中，右图是学生体重的频率分布直方图.已知图中从左到右的前3个小组的高度之比为1:2: 3,那么体重在[55,60)的学生人数为A. 200B. 300C. 350D.400 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 34256+B.34232+ C. 3856+ D.2832+11.古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的万倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位:平方公里)是A. 32B. 34C. 63D. 6412.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤=4<2,ln 20,21)(x x x x x f ,若存在实数21,x x 满足4<021≤≤x x ,且)()(21x f x f =，则12x x -的最大值为 A. e 22- B. 1 C. 2ln 2+ D. 2ln 2-第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知平面向量)1,1(),2,1(),7,1(=-=-=c b a ，若c b a ∥)(λ+，则实数=λ ▲ .14. 本届世界军运会在中国武汉举行，这次军运会增进了各国人民的友谊，传递了热爱和平的信息，如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名运动员五次射箭比赛的成绩(满分:10环），则甲的平均成绩比乙的平 均成绩多 ▲ 环，甲的成绩的众数与乙的成绩的众数之和为 。