2020年北师大版高中数学必修二：第一章 立体几何初步 §2 (1)
北师大版高中数学必修2第一章 立体几何初步1
第一章 立体几何初步知识精要1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零． 2．通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角．从而可以利用公式cos ||||θαβαβ=求解． 3．建立空间直角坐标系．例题1如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ， 点O 、D 分别是AC 、PC ABC ．(Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ；(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．解答OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面，，，arcsin30OD PBC ∴ 与平面所成的角为．练习1如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．1（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 的大小；（Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离解答 在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直 角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面1AA为030DBA ∠=又2,,1,AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(,(0,223E D （Ⅰ）13(,,0),(1,0,1)22AE BF ==-cos ,AE BF AE BF AE BF∴<>=14-==即异面直线AE、BF所成的角为（Ⅱ）易知平面1AA B的一个法向量(0,1,0)m=(,,)n x y z=是平面BDF的一个法向量．(2,,0)3BD=-由n BFn BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n BFn BD⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩203x xx y-+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x zy=⎧⎪⇒=取(1,3,1)n=∴3cos,515m nm nm n<>===⨯即平面BDF 与平面1AA B所成二面角（锐角）大小为5（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n=<>||||||ABnABAB n=||2||55AB nn===所以点A 到平面BDF5例题2 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．解答（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1．所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ． 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3）O 1（0，0，3）．从而图11A .0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO AC BO AC所以AC ⊥BO 1．（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅OC BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量，由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x C O n AC n 取得)3,0,1(=n ．设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，所以COS <=cos θn ，1BO .43||||11=⋅BO n BO n 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos练习2 如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB (Ⅰ)求证1AC BC ⊥； (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面；(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 解答∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长C 1A 1xz3,4,5AC BC AB ===，1,,AC BC CC 两两垂直标系，则C (0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B (0,4,0),B 1(0,4,4),D (32,2,0)(Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥(Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，则E (0,2,2)(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-=1111112cos ,5||||AC CB AC CB AC CB ∴<>==∴异面直线1AC 与1B C 例题3 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求SINA ．解答 以B 为坐标原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象限由630sin =B ，则44(,sin )(,)3333BA B B ==，设BC =（x ，0），则43(,63x BD +=，由条件得5)352()634(||22=++=x BD ，从而x=2，314-=x （舍去），故2(,)33CA =-．于是 ∴1470cos 1sin 2=-=A A 练习3 在平面上给定ABC ∆，对于平面上的一点P ，建立如下的变换 :f AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为'P ，'()f P P =，求证 f 只有一个不动点（指P 与'P 重合的点）． 解答：依提意，有12AQ AP =，且111()224AR AB AQ AB AP=+=+，'1111()2248AP AC AR AC AB AP =+=+++，要使'P 与P 重合，应111248AP AC AB AP =++，得1(42)7AP AC AB =+，对于给定的ABC ∆，满足条件的不动点P 只有一个． 例题4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC ． 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小．解答 （Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 由已知可得D （0，0，0），P （0，0C （0，2，0）设0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即,0432=-x 故由DE CE DE =-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线PD 、CE 的距离为1．（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，Y ，Z ）．由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y ,即),2,1,0(,2==DG y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，M ，N ），则 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得，111又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角． 故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π练习4如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，BB 1=2，BC =1，∠BCC 1=3π，求：（Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值．解答（I ）以B 为原点，1BB 、BA 分别为Y 、Z 轴建立空间直角坐标系． 由于BC =1，BB 1=2，∠BCC 1=3π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EA EB EA a E 又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE ． 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线，则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1．（II ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角．。
2020秋新版高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步 1.7.1 .pptx
l= (2������-������)2 + ( 3������)2=2x,
∴S上底=πx2,S下底=π(2x)2=4πx2,
S侧=π(x+2x)·2x=6πx2,
∴S上底∶S下底∶S侧=(πx2)∶(4πx2)∶(6πx2)=1∶4∶6. ∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.
反思对于此类问题常作圆台的轴截面,把圆台的轴截面等腰梯形 转化为直角梯形,进而转化为直角三角形,从而将上、下底面的半 径、高、母线长集中在一个直角三角形中研究.
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3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
多面体 侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S 直棱柱=ch,c 为底面周 长,h 为高
正棱锥
S 正棱锥=12ch',c 为底面周 长,h'为斜高
-8-
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
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D典例透析 IANLI TOUXI
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题型一 题型二 题型三 题型四
解:如图所示,在△ABC 中,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.
由 AC=3,BC=4,AB=5,
知 AC2+BC2=AB2,则 AC⊥BC. 由 AC·BC=AB·CD,解得 CD=152. 则△ABC 以 AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两 个同底的圆锥,且底面半径 r=152,母线长分别是 AC=3,BC=4,所以 S 表面积=πr·(AC+BC)=π×152×(3+4)=845π, 故所求旋转体的表面积是845π.
2020年高中数学第一章立体几何初步章末总结归纳课件北师大版必修2
2．已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示平面，下列说法正 确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n α，则 m⊥n
C．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
解析：若直线与平面垂直，则直线与该平面内的任意一条直 线都垂直．
答案：B
3．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则
∴平面 BDE⊥平面 PAC.
(3)∵PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE， ∴PA∥DE. ∵D 为 AC 的中点， ∴DE＝12PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面 ABC，∴DE⊥平面 ABC. ∴三棱锥 E－BCD 的体积 V＝16BD·DC·DE＝13.
对于规则几何体的表面积和体积问题，可直接利用公式求 解．在求解时首先判断几何体的形状及结构特征，确定基本量， 然后选择公式求解．复杂几何体可通过分割，补形，变换底面等 方式转化为基本几何体求解．
【答案】 (1)B (2)B
立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理较多， 应熟练掌握这些定理，要明确它们之间并不是彼此孤立的，做题 时要充分运用它们之间的联系，转化与化归思想是本部分内容常 用的思想，往往通过作辅助线或辅助平面达到转化的目的．
(2017·北京卷)如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC， PA＝AB＝BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点．
2020秋新版高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步 1.5.1.2 .pptx
②α内存在不共线的三点到β的距离相等.
③l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β.
④l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.
解析:①正确.②中如果平面α内三个点在平面β的两侧,满足不共
线的三点到平面β的距离相等,此时这两个平面相交,故②错误.③中
若l与m平行,则α与β可能相交,故③错误.④正确.
HE=
1 2
������������.
又
CD∥AB,且
CD=
1 2
������������,
所以CD������HE,
所以四边形 DCEH 是平行四边形,所以 CE∥DH, 又 DH⫋平面 PAD,CE⊈平面 PAD, 所以 CE∥平面 PAD.
图①
-16-
第2课时 平面与平面平行的判定
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第2课时 平面与平面平行的判定
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D典例透析 IANLI TOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
(1)证明:如图①所示,取 PA 的中点 H,连接 DH,EH.
因为
E
是
PB
的中点,所以
HE∥AB,且
因此,命题①②都不正确. 命题③正确,事实上,因为一个平面内任意一条直线都平行于另
∴OP∥平面D1BQ. 又AP∩PO=P,∴平面D1BQ∥平面PAO, ∴当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
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第2课时 平面与平面平行的判定
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第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)
小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结
北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》直线与平面平行的性质
下面我们来证 明这一结论. 明这一结论.
7
探研新知
已知：如图，a∥α， 已知：如图，a∥α， α∩β＝ a ⊂β，α∩β＝b。 求证：a∥b。 求证：a∥b。 证明：∵α∩β＝ 证明：∵α∩β＝b，∴b⊂α ∴b⊂ a∥α，∴a与 无公共点， ∵ a∥α，∴a与b无公共点， ∵a⊂ ∴a∥b。 ∵a⊂β，b⊂β，∴a∥b。 我们可以把这个结论作定理来用. 我们可以把这个结论作定理来用.
b a
b c a α γ d δ β
15
例题示范 有一块木料如图， 例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面 (1)要经过木料表面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的 一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所 BC将木料锯开 一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所 画的线和面AC有什么关系？ AC有什么关系 画的线和面AC有什么关系？ ：（1 过点P EF∥B’C ， 解：（1）过点P作EF∥B C’， 分别交棱A B ， D 于点 于点E 分别交棱A’B’，C’D’于点E， 连接BE CF， BE， F。连接BE，CF，则 D1 E EF，BE，CF就是应画的线 就是应画的线。 EF，BE，CF就是应画的线。
结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 如果一条直线与平面平行， 如果一条直线与平面平行，这条直线不会 与这个平面内的所有直线都平行, 与这个平面内的所有直线都平行,但在这个 平面内却有无数条直线与这条直线平行。 平面内却有无数条直线与这条直线平行。
5
探研新知 探究2.如果一条直线与一个平面平行， 2.如果一条直线与一个平面平行 探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
2020年新课标高中数学北师大版必修2课件1.5.2
求证：AP∥GH．
数
学
必 修
[思路分析] 欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理
·
② 可证得线线平行．
北
师
大
版
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第一章 立体几何初步
[解析] 连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM．
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①②④
数
[解析] 由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②
学 必
正确．因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个
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·
第一章 立体几何初步
(2)符号表示 a__∥____α a______ β⇒a∥b． α∩β＝b
(3)图形表示
数 学 必
(4)简记为：线面平行⇒线线平行．
修
②
·
北 师 大 版
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第一章 立体几何初步
2．平面与平面平行的性质定理
(1)定理内容 如果两个__平__行____平面同时与第三个平面相交，那么它们的__交__线____平行．
大
版
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第一章 立体几何初步
(2)若 AB、CD 不共面，如图，过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E，取 AE 中点 P，连
接 MP、PN、BE、ED．
∵AE∥CD，∴AE、CD 确定平面 AEDC．
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步
向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
添加 标题
向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
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混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质
2020秋新版高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步 1.4.2 .pptx
=
23,
∴DE∥MN,∴DE∥AC.
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第2课时 异面直线所成的角
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D典例透析 IANLI TOUXI
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题型一 题型二 题型三
【例2】
题型二 等角定理的应用
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱 AD,AB,B1C1,C1D1的中点.
∴△EFG为等腰直角三角形,
∴∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.
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第2课时 异面直线所成的角
题型一 题型二 题型三
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D典例透析 IANLI TOUXI
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反思构造异面直线所成的角的方法:①过其中一条直线上的已知
点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线,使异面直线所成的角转
化为相交直线所成的角(或其补角).②当异面直线依附于某几何体,
且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两
条异面直线分别平移相交于该点.③当两条异面直线互相垂直时,
欲求它们所成的角,实际上是要通过证明得出结论.
-20-
第2课时 异面直线所成的角
当 θ=90°时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b
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第2课时 异面直线所成的角
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2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步本章知识体系ppt课件北师大版必修2
解析：①三线平行公理，②两直线同时平行于一平面，这两 直线可相交、平行或异面，③两平面同时平行于一直线，这两个 平面相交或平行，④面面平行的传递性，⑤一直线和一平面同时 平行于另一直线，这条直线和这个平面平行或直线在平面内，⑥ 一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和这个平面可能 平行也可能直线在平面内，故①④正确．故选 C.
【例 5】 如图所示一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它 们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等， 且液面高度 h 正好相同，求 h.
【解答】 设圆锥形容器的液体面的半径为 R，
则液体的体积为13πR2h.
圆柱形容器内的液体体积为 π(a2)2h，
根据题意，有13πR2h＝π(a2)2h.解得 R＝ 23a.
证明：EF∥B1C.
证明：由正方形的性质可知 A1B1∥AB∥DC，且 A1B1＝AB＝ DC，所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，从而 B1C∥A1D，又 A1D 平面 A1DFE，B1C⃘平面 A1DFE，于是 B1C∥平面 A1DFE.又 B1C ⊂平面 B1CD1，平面 A1DFE∩平面 B1CD1＝EF，所以 EF∥B1C.
【例 3】 如图，直棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是直角梯形．∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面 BB1C1C； (2)在 A1B1 上是否存在一点 P，使得 DP 与平面 ACB1 和平面 BCB1 都平行？请证明你的结论． 【思路探究】 A1B1 的中点即是存在的 P 点，可证明 B1P ∥DC，且 B1P＝DC.
3
再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得
2a a
＝ha，所以
【精品推荐】2019-2020学年高中数学北师大版必修2 第一章 1简单几何体 课件(25张)
出下列说法：
（1）圆柱的底面是圆面；
（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
（3）圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；
（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.
其中正确的是
.（填序号）
【答案】（1）（2） 【解析】 （1）正确，圆柱的底面是圆面； （2）正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）不正确，圆台的母线延长相交于一点； （4）不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
如图②中的正棱锥记作：正四棱锥S-ABCD.
棱台
定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作 棱台，如图①中棱台记作：三棱台ABC-A1B1C1.
①
②
用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是全等的等腰梯形，
如图②中的正棱台记作：正四棱台ABCD-A1B1C1D1.
常考题型
判断简单旋转体结构特征的方法 （1）明确旋转体由哪个平面图形旋转而成. （2）明确旋转轴是哪条直线. 【注意】 圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边（弦）所在的直线旋转而成的几何 体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.只有理解了各旋转体的生成过程，才 能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误.
设圆柱的底面半径为r，
则由相似三角形的性质可得 x 2 r ，解得r＝2- x ，x∈（0，6）.
62
3
（1）圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2x·
2
x 3
＝- 2 x2+4x，x∈（0，6）.
3
（2）∵ S＝- 2 x2+4x＝- 2 （x-3）2+6，∴ 当x＝3时，Smax＝6.
2020-2021学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体 1.1.1 简单旋转体课件 北师大版必修2
所围成的几何体 侧面：不垂直于旋转
叫作圆柱
轴的边旋转而成的 ____曲__面_____；
名 称
定义
相关概念
圆 锥
以直角三角形的 __一__条__直__角__边___ 所在的直线为旋 转轴，其余各边 旋转而形成的曲 面所围成的几何 体叫作圆锥
高：在旋转轴上这 条边的长度； 底面：垂直于旋转 轴的边旋转而成的 ____圆__面_____； 侧面：不垂直于旋 转轴的边旋转而成 的__曲__面_______；
步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．问题导航 (1)连接圆柱(圆台)两底面的圆心的连线与其底面有怎样的位 置关系？ (2)有同学说：“直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所 形成的几何体是圆锥．”这种说法对吗？ (3)圆台中，上底面半径r、下底面半径R、高h与母线l之间有 怎样的关系？
图形表示
名
定义
相关概念
称
以_直__角__梯__形__垂_直___ _于__底__边__的__腰___所
母线：无 论转到什
在的直线为旋转
圆
么位置，
轴，其余各边旋
台
这条边都
转而形成的曲面
叫作侧面
所围成的几何体
的母线
叫作圆台
图形表示
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体是圆柱．( √ ) (2)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体是圆锥．( × ) (3)直角梯形绕其腰所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体是圆台．( × ) (4)圆以一条直径所在的直线为轴，旋转180°围成的几何体是 球．( √ )
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第一章立体几何初步
§2直观图
课时跟踪检测
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
解析：A显然不正确；梯形中有一组对边不相等，故直观图不可能为平行四边形，∴B错；矩形两组对边都相等，直观图不可能是梯形，∴C错；只有D正确．
★答案☆：D
2．如图，若水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则△ABC是()
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：∵A′B′∥y′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，∴∠BAC＝90°，∴△ABC 是直角三角形．
★答案☆：C
3．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形A1B1C1，则△ABC是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
解析：设A1与O′重合，如图所示．
由于∠x′O′y′在原平面图形中是直角，∠B1O′C1>∠x′O′y′，所以∠BAC>90°，即△ABC为钝角三角形．
★答案☆：C
4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()
A ．A
B B ．AD
C ．BC
D ．AC
解析：△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°，因此AC ＞AD ，AC ＞AB ，AC ＞BC .
★答案☆：D
5．一个用斜二测画法画出的三角形是斜边为2a 的等腰直角三角形，则原三角形的面积是( )
A.1
2a 2 B ．a 2 C ．2a 2
D ．22a 2
解析：直观图等腰直角三角形的直角边长为2a ·22＝a ，面积为a 2
2，∴原三角形的面积为a 22÷2
4＝2a 2.
★答案☆：C
6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．2＋ 2 B．1＋2
2
C.2＋2
2D．1＋ 2
解析：直观图梯形下底长为1＋2，原图形为上底为1，高为2，下底为1
＋2的直角梯形，其面积为S＝1
2×(1＋1＋2)×2＝2＋ 2.
★答案☆：A
二、填空题
7．平面直角坐标系中的点M(2,2)在直观图中对应点M′，则M′的找法是___________________________________________________________________ _______________________________________________________________.
★答案☆：过点(2,0)作与y′轴平行的直线，过点(0,1)作与x′轴平行的直线，两直线交点为M′
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线为2.5.
★答案☆：2.5
9．平面图形如图所示，在四边形OABC中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝3 cm，OB⊥BC，OB⊥OA，那么，用斜二测画法画出的直观图的形状是________，其周长为________cm.
解析：由斜二测画法知：直观图应为正方形，如图所示，其
中O′A′＝B′C′＝1 cm，O′B′＝ 2 cm，且∠A′O′B′＝45°，所以A′B′
＝O′A′＝1 cm，四边形O′A′B′C′为正方形，且周长为4 cm.
★答案☆：正方形 4
三、解答题
10．如图，四边形OABC是上底长为2，下底长为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，求在直观图中梯形的高．
解：按斜二测画法得梯形OABC的直观图为O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高|CD|＝2，在直
观图中|C′D′|＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直x′轴于
E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么|C′E′|＝|C′D′|sin45°＝
2 2.
11．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．
12．在水平放置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中对角线A′C′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解：四边形ABCD的真实图形如图所示．
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥CB.
∵|DA|＝2|D′A′|＝2|AC|＝|A′C′|＝2|BC|＝2|B′C′|＝2，
＝|AC|·|AD|＝2 2.
∴S
四边形ABCD
13．如图所示，A′B′C′D′是一平面图形水平放置的斜二测直
观图，在斜二测直观图中，A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，
A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求这个平面图形的实际面积．
解：原平面图形设为ABCD，
则由斜二测画法的规则知仍是直角梯形，
AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝6，CD＝4.
因为∠x′O′y′＝45°，
所以可算得B′C′＝2A′D′＝22，
由斜二测画法的规则知BC＝4 2.
所以，原图形面积为S＝1
2×(6＋4)×42＝20 2.。