2020年北师大版高中数学必修二：第一章 立体几何初步 §2 (1)

第一章立体几何初步

§2直观图

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一、选择题

1．下列说法正确的是()

A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线

B．梯形的直观图可能是平行四边形

C．矩形的直观图可能是梯形

D．正方形的直观图可能是平行四边形

解析：A显然不正确；梯形中有一组对边不相等，故直观图不可能为平行四边形，∴B错；矩形两组对边都相等，直观图不可能是梯形，∴C错；只有D正确．

★答案☆：D

2．如图，若水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则△ABC是()

A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

解析：∵A′B′∥y′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，∴∠BAC＝90°，∴△ABC 是直角三角形．

★答案☆：C

3．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形A1B1C1，则△ABC是()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．任意三角形

解析：设A1与O′重合，如图所示．

由于∠x′O′y′在原平面图形中是直角，∠B1O′C1>∠x′O′y′，所以∠BAC>90°，即△ABC为钝角三角形．

★答案☆：C

4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()

A ．A

B B ．AD

C ．BC

D ．AC

解析：△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°，因此AC ＞AD ，AC ＞AB ，AC ＞BC .

★答案☆：D

5．一个用斜二测画法画出的三角形是斜边为2a 的等腰直角三角形，则原三角形的面积是( )

A.1

2a 2 B ．a 2 C ．2a 2

D ．22a 2

解析：直观图等腰直角三角形的直角边长为2a ·22＝a ，面积为a 2

2，∴原三角形的面积为a 22÷2

4＝2a 2.

★答案☆：C

6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )

A．2＋ 2 B．1＋2

2

C.2＋2

2D．1＋ 2

解析：直观图梯形下底长为1＋2，原图形为上底为1，高为2，下底为1

＋2的直角梯形，其面积为S＝1

2×(1＋1＋2)×2＝2＋ 2.

★答案☆：A

二、填空题

7．平面直角坐标系中的点M(2,2)在直观图中对应点M′，则M′的找法是___________________________________________________________________ _______________________________________________________________.

★答案☆：过点(2,0)作与y′轴平行的直线，过点(0,1)作与x′轴平行的直线，两直线交点为M′

8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线为2.5.

★答案☆：2.5

9．平面图形如图所示，在四边形OABC中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝3 cm，OB⊥BC，OB⊥OA，那么，用斜二测画法画出的直观图的形状是________，其周长为________cm.

解析：由斜二测画法知：直观图应为正方形，如图所示，其

中O′A′＝B′C′＝1 cm，O′B′＝ 2 cm，且∠A′O′B′＝45°，所以A′B′

＝O′A′＝1 cm，四边形O′A′B′C′为正方形，且周长为4 cm.

★答案☆：正方形 4

三、解答题

10．如图，四边形OABC是上底长为2，下底长为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，求在直观图中梯形的高．

解：按斜二测画法得梯形OABC的直观图为O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高|CD|＝2，在直

观图中|C′D′|＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直x′轴于

E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么|C′E′|＝|C′D′|sin45°＝

2 2.

11．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．

解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．

12．在水平放置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中对角线A′C′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．

解：四边形ABCD的真实图形如图所示．

∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，

∴在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥CB.

∵|DA|＝2|D′A′|＝2|AC|＝|A′C′|＝2|BC|＝2|B′C′|＝2，

＝|AC|·|AD|＝2 2.

∴S

四边形ABCD

13．如图所示，A′B′C′D′是一平面图形水平放置的斜二测直

观图，在斜二测直观图中，A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，

A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求这个平面图形的实际面积．

解：原平面图形设为ABCD，

则由斜二测画法的规则知仍是直角梯形，

AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝6，CD＝4.

因为∠x′O′y′＝45°，

所以可算得B′C′＝2A′D′＝22，

由斜二测画法的规则知BC＝4 2.

所以，原图形面积为S＝1

2×(6＋4)×42＝20 2.