集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系

集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集
合，也简称集。

通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

非负整数集（或自然数集），记作N；
；N内排除0的集.
正整数集，记作N*或N
+
整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；
⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：
1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人
⑷倒数等于它本身的数
⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；
⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4
∉A ，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.
巩固练习分析：
练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实
数m 的值。

练2下面有四个命题:
①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2
③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}
其中正确命题的个数是( )
3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?
4若
t 1t 1+-∈{t},求t 的值.
⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{
}”括起来表
示
2．用列举法表示下列集合：
(1) 小于5的正奇数组成的集合；
(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

一般格式：{}()x A p x ∈
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2
+1}，{x|直角三角形}，…；。

3．用描述法表示下列集合：
(1)由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;
(2)方程220x -=的所有实数根组成的集合 例4.判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
集合的分类:::()empty set ⎧⎪⎨⎪∅-⎩有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含有任何元素的集合
三、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：
元素与集合的关系
例5、设集合A ＝｛１，a ,b ｝,B=｛a ,a ２,ab ｝,且A=B ，求实数a ，b.
A 表示任意一个集合A
3,9,27 表示{3，9，27}
【变式练习】以实数a ２，2-a .,4为元素组成一个集合A ，A 中含有２个元素，则的a 值为 . 例6.下列说法正确的是( )
A.｛0｝是空集
B. ｛x ∈Q ∣x
6∈Z ｝是有限集 C.｛x ∈Q ∣x 2+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合
四、集合与集合的关系
子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，
我们说这 两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含A
集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B
真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）
空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。

记作：φ
练习：用适当的符号填空：
φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ}
几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。

⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。

练习：填空：
⑴2 N ； {2} N ； φ A;
⑵已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
A B； A C； {2} C； 2 C
特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

例7写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

【变式练习】已知集合M满足｛2,3｝⊆M⊆｛1,2,3,4,5｝求集合M
例8有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。

五、
1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，
称为集合A与集合B 的并集，即A与B的所有部分，
记作A∪B，读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

Venn图表示：
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A
A ∪
B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒ . 巩固练习（口答）： ①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;
②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ;
③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。

2.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），
记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}
Venn 图表示：
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个
集合没有交集
讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？
A ∩A ＝ A ∩φ＝ A ∩
B B ∩A
A ∩
B ＝A ⇒ A ∩B ＝B ⇒
巩固练习（口答）：
①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;
②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ;
③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。

3.一些特殊结论
⑴若A B ⊆,则A ∩B=A ； ⑵若B A ⊆,则A ⋃B=A ；
⑶若A ，B 两集合中，B=φ，,则A ∩φ=φ, A ⋃φ=A 。

例9、已知集合A ＝｛y |y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,B=｛y |y=-x 2+2x +13,x ∈R ｝求
（阴影部分即为A 与B 的交集）
A ∩
B 、A ∪B
10：设集合A ＝｛∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a 2+2a,a 2+2a-1}，当A ∩B={２，
３}时，求A ∪B
解：∵∣a+1∣＝2 ∴a ＝1或-3
当a ＝1时，集合B 的元素a 2
+2a ＝3，2a+1＝3，
由集合的元素应具有互异性的要求可知a ≠1.
当a ＝-3时，集合B={-5，２，３}
∴A ∪B={-5，２，３，5}
六、
（一）. 全集、补集概念及性质：
⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

⒉补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集,
记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{},U C A x x U x A =∈∉且
Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）
说明：补集的概念必须要有全集的限制
讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析
,
,()U U U U A C A A C A U C C A A ⋂=∅⋃==
,U U C U C U =∅∅= 巩固练习（口答）：
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ； ②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。

11、设全集{}{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，， 求U C A ，U C B ．
12、设全集U 为R ，{}{}22120,
50A x x px B x x x q =++==-+=，若
{}{}()2,()4U U C A B A C B ⋂=⋂=，求A B ⋃。

（答案：{}2,3,4）
感谢您的阅读，祝您生活愉快。