集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系

集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系

一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集

合，也简称集。

通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

非负整数集（或自然数集），记作N；

；N内排除0的集.

正整数集，记作N*或N

+

整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；

⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：

1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人

⑷倒数等于它本身的数

⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点

7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4

∉A ，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.

巩固练习分析：

练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实

数m 的值。

练2下面有四个命题:

①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2

③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}

其中正确命题的个数是( )

3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?

4若

t 1t 1+-∈{t},求t 的值.

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{

}”括起来表

示

2．用列举法表示下列集合：

(1) 小于5的正奇数组成的集合；

(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。 一般格式：{}()x A p x ∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2

+1}，{x|直角三角形}，…；

。

3．用描述法表示下列集合：

(1)由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;

(2)方程220x -=的所有实数根组成的集合 例4.判断下列两组集合是否相等？

（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}

集合的分类:::()empty set ⎧⎪⎨⎪∅-⎩有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含有任何元素的集合

三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

元素与集合的关系

例5、设集合A ＝｛１，a ,b ｝,B=｛a ,a ２,ab ｝,且A=B ，求实数a ，b.

A 表示任意一个集合A

3,9,27 表示{3，9，27}

【变式练习】以实数a ２，2-a .,4为元素组成一个集合A ，A 中含有２个元素，则的a 值为 . 例6.下列说法正确的是( )

A.｛0｝是空集

B. ｛x ∈Q ∣x

6∈Z ｝是有限集 C.｛x ∈Q ∣x 2+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合

四、集合与集合的关系

子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，

我们说这 两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含A

集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B

真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：φ

练习：用适当的符号填空：

φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ}

几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。

⑵空集是任何非空集合的真子集；

⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。

练习：填空：

⑴2 N ； {2} N ； φ A;

⑵已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

A B； A C； {2} C； 2 C

特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

例7写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

【变式练习】已知集合M满足｛2,3｝⊆M⊆｛1,2,3,4,5｝求集合M

例8有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。

五、

1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，

称为集合A与集合B 的并集，即A与B的所有部分，

记作A∪B，读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

Venn图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A