【免费下载】1古典概率典型题解

概率论与数理统计典型题解第一章 随机事件与概率典型题解1．个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．n 解 令{甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有这个位置，A =1,2,,n n 由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么发生当且仅A 当乙坐2号或号位置，从而n 1,2,()2, 2.1n P A n n =⎧⎪=⎨>⎪-⎩2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷次，乙掷次，求甲掷出正面的1n +n 次数大于乙掷出正面次数的概率．解 令{甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，A ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，B =由硬币的均匀性知，，容易看出，，由此可知()()P A P B =,A B S AB ==∅ ．1()2P A =3．某班有个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，N 跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率．解 令{第个学生拿到自己原先使用的绳子}（），i A =i 1,2,,i N = {至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，A =则111()()()()N N i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤===-+∑∑ 1121()(1)()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑ 12311111(1)(1)(1)(2)!N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- ．11111(1)2!3!!N N -=-+-+- 4．若事件与互不相容，且，证明：．A B ()0P B ≠(|)()/()P A B P A P B =证明 由于与互不相容，则，而，故A B AB A =()0P B ≠．(|(/()()/()P A B P AB P B P A P B ==5．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为，若第一p 次及格则第二次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为p ．（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概/2p 率．（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．解 令{该学生第次考试及格}（），{该学生取得该资格}，i A =i 1,2i =A =则（1）1121121()()()()()(|)P A P A P A A P A P A P A A =+=+．23(1)222p p p p p =+-=-（2）12112121121()(|)2(|)()(|)()(|)(1)/21P A P A A p p p P A A P A P A A P A P A A p p p p p ===++-+A A A ．6．设口袋里装有个黑球，个红球，任意取出一个，然后放回并放入b r 个与取出的颜色相同的球，再从袋里取出一球，问：c （1）最初取出的球是黑球，第二次取出的也是黑球的概率；（2）如将上述手续进行次，用归纳法证明任何一次取得黑球的概率都是n ，任何一次取得红球的概率都是．b b r +r b r +解 令{第次取出的球是黑球}（），则n A =n 1,2,n = （1）；21(|)b c P A A b r c +=++（2），假设，则1()b P A b r =+()n b P A b r =+，，11(|)n b c P A A b r c ++=++11(|)n b P A A b r c +=++所以1111111()()(|)()(|)n n n P A P A P A A P A P A A +++=+，b b c r b b b r b r c b r b r c b r+=+=+++++++A A 于是（），（）．()n b P A b r =+1,2,n = ()n r P A b r=+1,2,n = 7．利用概率论的思想证明恒等式（其中，且均为正整数）A a >．()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a -----++++=----+ A 证明 设一口袋中共有只球，其中有红球，不放回地从袋中一次取一A a 只球，令{第次取出的球是红球}（），则，所以n B =n 1,2,,1n A a =-+ 11A a n n B S -+== 111212111()()()()()A a n A a A a n P S P B P B P B B P B B B B -+--+====+++ ，11111a A a a A a A a a A A A A A a a ----=+⋅+⋅⋅⋅⋅--+L 即 ．()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a -----+++⋅⋅⋅+=----+L g L 8．学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测，现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率：（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是；12（2）学生知道正确答案的概率是．0.2解　令{学生知道正确答案}，{学生题目答对}，则B =A =（1）；()(|)0.51(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯（2）．()(|)0.21(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯9．甲、乙比赛射击，每进行一次，胜者得一分，在一次射击中，甲胜的概率为，乙胜的概率为．设，且独立地进行比赛到有一人超αβ(1)αβαβ>+=过对方2分就停止，多得2分者胜．分别求甲、乙获胜的概率．解　令{甲恰好在第局比赛后获胜}，{乙恰好在第局比赛后获n A =n n B =n 胜}（），{甲获胜}，{乙获胜}．则发生当且仅当第1,2,n = A =B =22n A +局可胜可负，第局的胜负情形恰好分别与第1,3,,21n - 2,4,,2n 局的胜负情形相反，而第局连胜．因此1,3,,21n - 21,22n n ++，所以2222()2(2)n n n n n P A αβαααβ+==A A A A，222222000()()()(2)12n n n n n n P A P A P A αααβαβ∞∞∞++=======-∑∑ 同理 ．2()12P B βαβ=-10．在四次独立试验中事件至少出现一次的概率为0.59，试问一次试验A 中出现的概率是多少？A 解　令｛第次试验中发生｝（），，则n A =n A 1,2,3,4n =()P A p =，解之得．41234()1(1)0.59P A A A A p =--= ()0.1998P A =11．设相互独立，．证明相互独立的充要条件是,A B ()0P A >,,A B A B ．()1P A B = 证明 必要性．设相互独立，则，,,A B A B (())()()P A A B P A P A B = 即，而，所以 ．()()()P A P A P A B = ()0P A >()1P A B = 充分性．设，则两两独立，且()1P A B = ,,A B A B ，(())()()()()()P AB A B P AB P A B P A P B P A B == 于是相互独立．,,A B A B 12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为，击伤的概率为，击不中1312的概率为．并设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放4枚深水炸弹能击沉16潜水艇的概率．解　令｛第枚炸弹击沉潜水艇｝，｛第枚炸弹击伤潜水艇｝，n A =n n B =n ｛第枚炸弹击不中潜水艇｝，（），｛潜水艇被击沉｝，则n C =n 1,2,3,4n =A =，12341234123412341234A C C C C B C C C C B C C C C B C C C C B = 于是12341234123412341234()()()()()()P A P C C C C P B C C C P C B C C P C C B C P C C C B =++++，43(1/6)4(1/2)(1/6)0.01=+⨯⨯=所以 ．()0.99P A =13．设，试证与独立．0()1,0()1,(|)(|1P A P B P A B P A B <<<<+=A B 证明 因为，0()1,0()1,(|)(|1P A P B P A B P A B <<<<+=所以，(|)1(|(|)P A B P A B P A B =-=即，于是，因此()()()()P AB P AB P B P B =()(1())()()P AB P B P AB P B -=，从而与独立．()(()())()()()P AB P AB P AB P B P A P B =+=A B 14．已知某商场一天内来个顾客的概率为，其中k /!(0,1,2,)k e k k λλ-= ．又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其概率为．试求这个商0λ>p 场一天内有个顾客购买商品的概率．r 解　令｛一天内有个顾客到达这个商场｝，｛这k B =k (0,1,2,)k = r A =个商场一天内有个顾客购买商品｝，则r()()(|)(1)!k r r k r r k r k k k r k r P A P B P A B e C p p k λλ∞∞--====-∑∑．0()((1))()!!!rk r p k p p p e e r k r λλλλλ∞--=-==∑15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为．问对甲而,1/2p p ≥言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立．解 采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为．2212(1)p p p p =+-采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛3局（可能赛3局，也可能赛4局或5局），且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局．例如，共赛4局，则甲的胜局情况是：“甲乙甲甲”，“乙甲甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容．由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为，3332234(1)(1)22p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而 ．2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--当时；当时．故当时，对甲来说采1/2p >21p p >1/2p =211/2p p ==1/2p >用五局三胜制为有利．当时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，1/2p =都是50%．。