关于古典概率的计算

关于古典概率的计算（抽签问题）
1.两种抽样方法
在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。
（1）每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样。显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去。
解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k次抽到红签的概率。如考虑把签一一抽
排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法：
记Ak=“第k个人抽到一根红签”。Βιβλιοθήκη Baidu
（1）把a根红签和b根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就等于a+b根不同签的所有全排列的总数为（a+b）！
事件Ak包含的基本事件的特点是：在第k个位置上排列的一定是红签，有a种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以Ak包含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为：
（1
（2）把a根红签、b根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本事件，基本事件总数就等于（a+b）根含有相同签的全排列总数为 。
事件Ak可看成在第k个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b根是没有区别的白签，共有 种放法，所以Ak包含的基本事件数为 ，所求概率为： 。
（2）每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样。显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸球只能进行有限次。
2.计算古典概型的基本原则
初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算工具选准了，一般地说问题也就好解决了，现在把考虑的基本原则列表如下：
顺序
抽样方法
无放回抽样（元素不重复）
有放回抽样（元素可重复）
工具
考虑顺序
排列（全排列，选排列…）
有重复的排列
不考虑顺序
组合
有重复的组合
当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。
3．例1（抽签问题）袋中有a根红签，b根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别，现有a+b个人依次无放回的去抽签，求第k个人抽到红签的概率。