高考理科数学专项练习-排列组合二项式定理

专题10 计数原理

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每

个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．

1

12

B ．

114

C ．

115

D ．

118

C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的

数有2

10C 种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率21031C 15

==P ，故选C ．

2．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：

有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有23

43C A 36⨯=种． 故选D ．

3．从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上

的数奇偶性不同的概率是 A ．

518 B ．49 C ．5

9

D ．79 C 【解析】不放回的抽取2次有11

98C C 9872=⨯=，如图

2

13，4，5，6，7，8，9

2，3，4，5，6，7，8，9

1

可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有1

1

542C C =40，所求概率为

405728

=． 4．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，

则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A ．24

B ．18

C ．12

D ．9

B 【解析】由题意可知E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318⨯= 种走法，故选B ．

5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

A ．24

B ．48

C ．60

D ．72

D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有1

3A 种方法，其

他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有4

4A 种方法，所以其中奇数的个数为

14

34A A 72=，故选D ．

6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A ．144个

B ．120个

C ．96个

D ．72个

B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有3

43A ⨯个.

所以共有3

42A ⨯343524120A +⨯=⨯=个，选B ．

7．(2018全国卷Ⅲ)2

52()x x

+的展开式中4

x 的系数为 A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

C 【解析】251031552C ()

()C 2r

r

r r r r

r T x x

x

--+==，由1034r -=，得2r =，所以4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ． 8．6

2

1(1)(1)x x

+

+展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 C 【解析】621(1)(1)x x +

+展开式中含2x 的项为2244

2662

1130C x C x x x

⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C ．

9．5()(2)x y x y +-的展开式中33

x y 的系数为

A ．-80

B ．-40

C ．40

D ．80

C 【解析】5

(2)x y -的展开式的通项公式为：515C (2)()r r r r T x y -+=-，

当3r =时，5(2)x x y -展开式中33

x y 的系数为3235C 2(1)40⨯⨯-=-， 当2r =时，5(2)y x y -展开式中33

x y 的系数为2325C 2(1)80⨯⨯-=，

所以33

x y 的系数为804040-=．选C ．

10． 设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含4

x 的项为

A ．－154x

B ．154x

C ．－204ix

D ．204

ix

A 【解析】通项616(0,1,2,,6)r r r r T C x i r -+==⋅⋅⋅，令2r =，得含4

x 的项为2424615C x i x =-，故选A ．

11．已知(1)n

x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

A ．122

B ．112

C ．102

D ．92

D 【解析】因为(1)n

x +的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以37C C n n =，解得10n ，

所以二项式10

(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为

10

91222

⨯=． 12．二项式(1)()n

x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

C 【解析】由122(1)(1)1n n n n n n n x x C x C x C x +=+=+++⋅⋅⋅+，知2

15n C =，

∴

(1)

152

n n -=，解得6n =或5n =-(舍去)，故选C ．

13．已知5

的展开式中含3

2x 的项的系数为30，则a =

A B ． C ．6 D ．－6 D 【解析】52

15

(1)r r r

r

r T C a x

-+=-，令1=r ，可得530a -=6a ⇒=-，故选D ．

14．在4

6

)1()1(y x ++的展开式中，记n

m

y x 项的系数为),(n m f ，

则(3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f =

A ．45

B ．60

C ．120

D ． 210

C 【解析】由题意知3064(3,0)C C f =，2164(2,1)C C f =，1264(1,2)C C f =，03

64(0,3)C C f =，因此

(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)120f f f f +++=．

15．5

1(2)2

x y -的展开式中23

x y 的系数是

A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20

A 【解析】由二项展开式的通项可得，第四项32323

451()(2)202

T C x y x y =-=-，故23

x y 的系数为－20，选