排列组合及二项式定理

直接法，间接法，捆绑法，插空法，固定秩序法，元素优先法，位置优先法等。
（1）直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。
（2）间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。
【答案】48．
3.以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（）
． ； ． ． -6． ． ．
【答案】 ．
4.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）
．6种； ．9种； ．11种 ．23种
【答案】
5.设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样投放的方法总数为（）
如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值．
⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别
为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来．
(4)常用的结论：
令
令
二、同步题型分析
例1. 9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？
①若取出6，则有 种方法；
②若不取6，则有 种方法．
根据分类计数原理，一共有 + ＝602种方法．
9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.
【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有 种方法，据乘法原理共有 种方法.同理，完成第二类办法中有 种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有 种方法.
【答案】2520．
2.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________．（用数字作答）【答案】20．
3.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_______种不
（5）①千位上为9,8,7,6的四位数各有 个;
②千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有 个;
③千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有 个;
④千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有
2392种
综合题型1：会根据两个原理解决有关分配决策的问题（要正确区分分类和分步）：
（1）共有几个三位数?
（2）末位数字是4的三位数有多少？
（3）求所有三位数的和;
（4）四位偶数有多少？
（5）比5231大的四位数有多少？
【答案】（1）百位不能为“0”,因此共有 个;
（2）末位为4,百位不能为“0”,因此共有 × =64个
（3）考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:
（4）分末位数字是否为0两种情况考虑。 种；
同室四人各写一贺年卡先集中起来然后每人从中拿一别人送出的贺年卡则四贺年卡不同的分配方式有设有编号为12345的五个球和编号为的五个盒子现将这五个球投入这五个盒要求每个盒投放一个球并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同则这样投放的方法总数为个大人2个小孩约定星期日乘红色白色两辆轿车结伴郊游每辆车最多乘坐两个小孩不能独坐一辆车则不同的乘车方法种数是
（3）七个人排成一列，三个女生不全相邻
【答案】（1）捆绑法 ＝576；（2）捆绑法 ＝960；（3）间接法 ＝4320
例3.某校高一年级有6个班级，现要从中选出10人组成高一女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方法？
【答案】隔板法，相当于9个空隔了5块板， =126种
1.乘法原理和加法原理
（1）乘法原理：如果完成一件事需要 个步骤，第1步有 种不同的方法，第2步有 种不同的方法， ，第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
（2）加法原理：如果完成一件事有 类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法， ，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
1．5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（）
．15种； ．8种 ． 种 ． 种
【答案】D
2．四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，则不同的分配方案有______种．
【答案】36
3．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）
（1）排成一排
（2）排成前排4人，后排5人的两排
（3）排成一排，其中A，B两人不相邻
（4）排成一排，其中C，D两人相邻
（5）排成一排，其中E不在排首，F不在排尾
（6）排成一排，其中A必须站在B的右侧（不一定相邻）
（7）排成一排，身高最高的人站中间且向两边递减
（8）排成一排，其中H，I之间必须间隔2人
．1260种； ．2025种； ．2520种； ．5040种．
【答案】 ．
综合题型2：会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题
1.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（）
．12种； ．20种； ．24中 不在左端也不和 相邻的排法种数为（）
．70； ．140； ．280； ．840．
【答案】 ．
综合题型5：会解其它有限制条件的排列组合问题（要注意使用最常用、最本原的方法：枚举法）
1.在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）
．36个； ．24个； ．18个； ．6个．
【答案】 ．
2.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.
同的方法（用数字作答）．
【答案】1260．
综合题型4：会解与平均分组和非平均分组有关的问题
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）
．140种； ．84种； ．70种； ．35种．
【答案】 ．
2.将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）
．48； ．54； ．60； ．66．
【答案】 ．
3.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）
【答案】1152.
综合题型3：会求某些元素按指定顺序排列的问题
1.七个人排成一行，则甲在乙左边（不一定相邻）的不同排法数有_________种．
【答案】
3、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在理科学科：物理、化学、生物，文科学科：政治、历史、地理这6门学科中选择3门学科参加等级考试.小王同学对理科学科比较感兴趣，决定至少选择两门理科学科，那么小王同学的选科方案有___________种.
【答案】10
【答案】方法一：从数学课入手
（第一类）数学排在第一节，班会课排在下午，其余四科任排，得 ,
（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三节中的一节，其余三科任排，得
共有排法 （种）
方法二：从体育课入手
（第一类）体育课在上午
（第二类）体育课在下午
共有排法 （种）
例3．用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数
(3) .
【参考答案】(1) 或
或
或
经检验
(2)原式=
(3)
原式=
7、书架上有9本不同的书，若把另外3本不同的书插进去，且要求不插在两头，
有种不同的插法.
【参考答案】720
8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
【参考答案】可以分为两类情况：
（3）捆绑法：关于某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。
（4）插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，这种方法叫插空法。
二项式定理
（1）二项式定理：
经典例题：
例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（）
A．150种B. 147种C. 144种D.141种
【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，
先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．
在10个点中任取4点，有 种取法，取出的4点共面有三类
第一类：共四面体的某一个面，有4 种取法；
第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面 ，有6种取法；
第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面 ，共有3个．
故取4个不共面的点的不同取法共有 －(4 ＋6＋3)＝141，因此选D
例2.一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？