离散数学(高教)概念整理
离散的数学定义
离散的数学定义
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构之间的关系，重点关注离散的整数值、集合和图论等。
以下是离散数学的一些主要概念和定义：
1. 集合论：
- 集合是离散数学中最基本的概念之一，表示一组独立对象的总体。
集合论研究集合之间的关系、运算和性质。
2. 逻辑：
- 逻辑是研究命题和推理的学科，离散数学中的逻辑主要包括命题逻辑和谓词逻辑，用于研究命题的真假和推理规则。
3. 图论：
- 图论是离散数学的一个重要分支，研究图（vertices 和edges组成的结构）之间的关系和性质，包括图的遍历、连通性、最短路径等问题。
4. 离散结构：
- 离散结构指的是离散对象之间的关系和结构，如排列组合、树、图等。
离散数学研究这些结构的性质和应用。
5. 组合数学：
- 组合数学是离散数学的一个重要分支，研究离散对象的排列组合方式，包括排列、组合、二项式定理等。
6. 概率论：
- 离散概率论研究离散随机变量的概率分布和性质，包
括概率空间、随机变量、概率分布等。
7. 离散数学的应用：
- 离散数学在计算机科学、信息技术、密码学、通信等领域有着广泛的应用，如算法设计、数据结构、网络设计等。
总的来说，离散数学是研究离散对象和结构的数学分支，涉及集合论、逻辑、图论、组合数学等内容，在计算机科学和信息技术等领域具有重要的理论和实际应用。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学中的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集就是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合的关系有包含、相等、真包含等。
二、数理逻辑数理逻辑是用数学方法来研究逻辑问题。
命题是具有真假值的陈述句。
比如，“今天是晴天”就是一个命题。
命题逻辑中的连接词有“非”“与”“或”“蕴含”“等价”等。
通过这些连接词，可以将简单命题组合成复合命题，并研究其真假性。
谓词逻辑则是对命题逻辑的扩展，它引入了量词“存在”和“任意”，能够更精确地表达命题。
三、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如，在整数集合中，“大于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
等价关系是一种特殊的关系，满足自反性、对称性和传递性。
比如，在整数集合中，“模 n 同余”就是一种等价关系。
偏序关系则是满足自反性、反对称性和传递性的关系。
四、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于整个目标集合；双射则是既单射又满射。
五、图论图由顶点和边组成。
可以分为无向图和有向图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
最短路径问题是图论中的一个重要问题，比如迪杰斯特拉算法可以用来求解单源最短路径。
六、树树是一种特殊的图，没有回路且连通。
考试必备离散数学概念总结
考试必备离散数学概念总结1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,?,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<=""></k3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L 的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式?xA 和?xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在?x和?x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A?B??x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B?A?B∧B?A6.3、A?B?A?B∧A≠BA?B??x ( x∈A ∧x?B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ?A } （一定包含空集）6.5、并A?B = {x | x∈A∨x∈B}交A?B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x?B}对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并?A = { x | ?z ( z∈A∧x∈z )}广义交?A= { x | ?z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A?B，且A?B = {| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(⌝Q)、(Q∧R) 、(Q∨R) 、(Q→R) 、(Q↔R) 、(Q⊕R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,A n是由S生成的公式，则FA1…A n 是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=⌝B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1∧ B2，或A=B1∨ B2，或A=B1→B2，或A=B1↔ B2，或A=B1⊕ B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{⌝，∧，∨，⊕，→，↔}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= ⌝Q1，则v(Q)= ⌝v(Q1)▪若Q=Q1 ∧ Q2，则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1→ Q2，则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2)▪若Q=Q1 ↔ Q2，则v(Q)=v(Q1)↔ v(Q2)▪若Q=Q1⊕ Q2，则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
高三离散数学知识点汇总
高三离散数学知识点汇总离散数学是计算机科学、信息技术以及其他相关领域中的重要基础学科，是高中阶段的数学课程之一。
下面将对高三离散数学的主要知识点进行汇总，以帮助学生更好地复习和掌握这门学科。
一、命题逻辑命题逻辑是离散数学的基础，它研究命题的逻辑关系及其合成。
以下是命题逻辑中常见的知识点：1. 命题与命题的合取（与）、析取（或）、非（非）运算；2. 命题的真值表与真值；3. 命题的等价、蕴含、互斥等逻辑关系；4. 命题的可满足性与有效性。
二、集合与关系集合论是离散数学中的另一重要组成部分，它研究集合及其间的关系。
以下是集合与关系中的主要知识点：1. 集合的表示方式与基本操作，如并集、交集、差集和补集；2. 笛卡尔积与关系的定义；3. 关系的性质，如自反性、对称性、传递性等；4. 等价关系与偏序关系的概念与判断；5. 关系的闭包与传递闭包。
三、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究图及其相关的性质与算法。
以下是图论中的常见知识点：1. 图的基本概念与表示方式，如顶点、边、度、路径等；2. 树与森林的定义与性质，包括最小生成树与最短路径树等；3. 图的连通性与强连通性的判定；4. 图的着色与平面图的概念；5. 图的网络流与匹配等问题。
四、代数系统代数系统是离散数学的重要组成部分，它研究运算规则及其相应的结构。
以下是代数系统中的主要知识点：1. 半群、幺半群、群的概念与性质；2. 环、域的定义与性质；3. 线性方程组与矩阵的基本运算；4. 同余与剩余类的概念与应用。
五、概率与统计概率与统计是离散数学的重要应用领域，它研究随机事件及其规律性。
以下是概率与统计中的常见知识点：1. 随机事件的基本概念与性质；2. 概率的计算方法，包括古典概型、几何概型、条件概率等；3. 随机变量与概率分布的概念与应用；4. 抽样与统计推断，包括参数估计与假设检验等。
综上所述，高三离散数学的知识点涵盖了命题逻辑、集合与关系、图论、代数系统以及概率与统计等方面。
离散数学的概念总结
图论基本概念重要定义：有向图：每条边都是有向边的图。
无向图：每条边都是无向边的图。
混合图：既有有向边又有无向边的图。
自回路：一条边的两端重合。
重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。
多重图：含有平行边的图。
简单图：不含平行边和自回路的图。
注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。
定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。
称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。
逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。
赋权图：每条边都赋上了值。
出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。
入度：以该定点为终边的边数为入度。
特殊！度数为零的定点称为孤立点。
度数为一的点为悬挂点。
无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。
Kn完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。
竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。
注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。
下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。
②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。
子图：删去一条边或一点剩下的图。
生成子图：只删边不删点。
主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。
补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。
重要定理：定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v)deg+(vi)=deg-(vi)=m定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v)deg(vi)=2m推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。
离散数学基础概念汇总
离散数学基础概念汇总离散数学是数学的一个分支领域，它研究离散化的数学对象和离散化的数学结构。
它与连续数学形成鲜明对比，涉及的内容包括集合论、图论、逻辑、数字逻辑、关系代数等。
在计算机科学、信息技术和其他领域中有广泛的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合及其元素之间的关系和操作。
以下是集合论中常见的基本概念：1. 集合：集合是一组具有共同特征的对象的总体。
例如，{1, 2, 3}就是一个集合，其中包含了元素1、2和3。
2. 元素：集合中的个体被称为元素。
在上述例子中，1、2和3是集合的元素。
3. 包含关系：如果一个集合的所有元素都同时也是另一个集合的元素，则称前者包含于后者。
用符号表示为A ⊆ B，读作“A包含于B”。
4. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集是包含了A和B中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
5. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集是同时属于A和B的所有元素构成的集合。
用符号表示为A ∩ B。
6. 补集：给定一个集合A和它所在的全集U，除去A中所有元素后剩下的元素构成的集合称为A的补集。
用符号表示为A'。
二、图论图论是离散数学中的又一个重要分支，它研究图及其性质和应用。
以下是图论中常见的概念：1. 图：图由节点（顶点）和边组成。
节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
2. 顶点度：有向图中，顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量。
无向图中，顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。
3. 路径：路径是指图中一系列顶点和边的序列。
路径的长度是指路径中边的数量。
4. 连通图：在无向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，则称该图为连通图。
5. 强连通图：在有向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，并且逆向也成立，则称该图为强连通图。
三、逻辑逻辑是离散数学中研究命题、推理和证明的科学。
以下是逻辑中常见的概念：1. 命题：命题是陈述某个事实的句子，每个命题要么是真的，要么是假的。
高三离散数学知识点归纳
高三离散数学知识点归纳离散数学是一门重要的数学学科，它针对离散对象及其相互关系展开研究，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要作用。
在高三阶段，学生需要系统学习离散数学的知识点，为高考备战做好准备。
本文将对高三离散数学知识点进行归纳，包括集合论、命题逻辑、组合数学等内容。
一、集合论1. 集合的基本概念集合是由确定的、无序的、互异的对象组成的总体。
集合的元素可以是数字、字母、符号等。
2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合的四种基本运算，它们分别表示两个集合的共有元素、所有元素和剩余元素。
3. 集合的关系包含关系、相等关系和互斥关系是集合之间的三种常见关系，它们描述了集合之间的包含、相等和互斥的关系。
二、命题逻辑1. 命题与命题联结词命题是陈述句，它可以为真或者为假。
命题联结词包括非、与、或、蕴含和等价等，用于描述命题之间的逻辑关系。
2. 命题的真值表和逻辑运算真值表是描述命题与命题联结词之间关系的表格，通过真值表可以确定复合命题的真假性。
3. 命题的等价和蕴含两个命题等价表示它们具有相同的真值，而一个命题蕴含另一个命题表示当前者为真时，后者一定为真。
三、组合数学1. 排列与组合排列是从一组元素中取出若干元素进行排序，组合是从一组元素中取出若干元素不考虑排序。
排列和组合分别具有不同的计算公式。
2. 二项式定理二项式定理描述了两个数的幂展开的结果，它在组合数学中有重要应用。
四、图论1. 图的基本概念图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。
顶点之间的边表示两个顶点之间的联系。
2. 图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种常见的图的遍历算法，用于查找图中的特定路径或者寻找与某个顶点相关的其他顶点。
五、数理逻辑1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的形式系统化的学科，主要包括语言、公式、推理规则等内容。
2. 形式系统和推导规则形式系统是由一组公理和一组推导规则组成的，通过推导规则可以从公理出发推导出其他命题。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学(高教)概念整理
数理逻辑命题逻辑命题p,q,r,s……非真即假的陈述句命题的真值0 1命题的陈述句所表达的判断结果原子命题（简单命题）不能被分解成更简单的命题简单命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题命题的符号化p:4是素数用小写英文字母（如p:4是素数）表示命题。
用小写英文字母（如p:4是素数）表示原子命题，用联结词联结原子命题表示复合命题。
联结词否定连接词￢否p为真当且仅当p为假合取联结词∧p合取q为真当且仅当p，q同时为真（复合命题“p并且q”称为p与q的合取式）析取联结词∨p析取q为假当且仅当p，q同时为假（复合命题“p或q”称为p与q的析取式）蕴含连接词→p蕴含q为假当且仅当p为真，q为假。
（复合命题“如果p,则q”（因为p所以q，除非q 才p）称为p与q的蕴含式，p是蕴含式的前件，q是蕴含式的后件）q是p的必要条件。
等价联结词↔p等价q当且仅当，同时为真或假。
（复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式）真值表命题公式及其赋值命题常项原子命题（简单命题）的另一称呼，由于其真值确定命题变项真值可以变化的陈述句合式公式（命题公式）A，B……命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串，简称公式赋值（解释）给公式A中的每个命题变项各指定一个真值。
这组值使A为1，则称为成真赋值。
含n个命题变项的公式有2的n次方个不同赋值。
含n个命题变项的公式有2的2的n次方个不同真值表情况。
重言式（永真式）命题公式A在各种赋值下取值均为真矛盾式（永假式）命题公式A在各种赋值下取值均为假可满足式命题公式A至少存在一个成真赋值哑元对公式A和B进行比较讨论，可知A和B共含有n个命题变项，其中A不含有的命题变项称为A的哑元，其取值不影响A的值命题逻辑等值演算等值式⇔如果命题A和B有相同的真值表，则有命题A↔B为重言式，这种情况下称A与B是等值的，记作A⇔B（重要）等值式模式常用的16条命题间的等值模式，书p18析取范式与合取范式文字命题变项及其否定的统称简单析取式，简单合取式由有限个文字构成的析取式，合取式析取范式，合取范式由有限个简单合取式的析取构成的命题公式，称为析取范式。
离散数学部分概念和公式总结 精简版
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
高三离散数学知识点总结
高三离散数学知识点总结离散数学是高中数学中的一门重要学科，它研究的是离散的数值和对象，而非连续的数学领域。
在高三阶段，离散数学作为一门选修课程，为学生提供了解决实际问题和培养逻辑思维能力的机会。
本文将对高三离散数学的主要知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和应用这门学科。
一、集合论集合论是离散数学的基础知识点之一，它研究元素的集合。
在集合论中，常见的概念包括空集、全集、子集、交集、并集、差集等。
在高三离散数学中，集合论主要应用于概率论和组合数学等领域。
二、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间逻辑关系的数学分支。
命题是陈述性句子，或者说是可以判断真假的陈述。
在高三离散数学中，命题逻辑主要包括命题的连接词与、或、非的运算规则，以及命题的等价、充要条件等知识点。
通过学习命题逻辑，可以提高学生的逻辑思维和表达能力。
三、图论图论是离散数学中的重要分支，研究的是由结点和边构成的图的性质和应用。
图论在计算机科学、通信网络等领域有着广泛的应用。
在高三离散数学中，图论的主要知识点包括图的表示方法、连通性、路径和回路、树等。
通过学习图论，可以培养学生的抽象思维和问题解决能力。
四、模块算术模块算术是研究整数的除法与取余运算，以及同余关系的数学分支。
在高三离散数学中，模块算术主要应用于密码学和编码理论等领域。
模块算术的主要知识点包括同余运算的性质与应用、模反元素、欧拉定理等。
通过学习模块算术，可以提高学生的问题解决能力和抽象思维能力。
五、概率论概率论是离散数学中的重要分支，研究的是随机现象的概率和统计规律。
在高三离散数学中，概率论的主要知识点包括事件的概率、条件概率、独立性、期望等。
通过学习概率论，可以培养学生的推理能力和实际问题解决能力。
六、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，研究的是离散对象的组合方式和性质。
在高三离散数学中，组合数学的主要知识点包括排列组合、二项式系数、鸽巢原理等。
组合数学在算法设计、图论等领域有着广泛的应用，通过学习组合数学，可以提高学生的问题解决能力和创新思维。
离散数学教程——的基本概念
离散数学教程——的基本概念离散数学是一门研究离散的、不连续的数学结构和对象的学科。
它涉及了数理逻辑、集合论、图论、代数、组合数学等多个领域，其基本概念构成了离散数学的基础，下面将介绍其中的几个重要概念。
1.集合：集合是离散数学中最基本的概念之一、集合是由一些对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大写字母表示，元素用小写字母表示，并用花括号括起来。
例如，{1,2,3}是一个包含了元素1、2和3的集合。
2.二元关系：二元关系是一种描述两个对象之间关系的数学概念。
通常用有序对来表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和B={4,5,6}，我们可以定义一个二元关系R，其中每个有序对(x,y)表示x属于A，y属于B。
例如，(1,4)表示1和4之间存在这个关系。
3.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中边有方向，无向图中边没有方向。
图的顶点数和边数分别用，V，和，E，表示。
图的最短路径、连通性、最大流等是图论中常见的问题。
4.排列与组合：排列和组合是组合数学中的两个重要分支。
排列是指从n个元素中取出k个，按照一定顺序排列的方式。
组合是指从n个元素中取出k个，不考虑排列顺序的方式。
排列数和组合数可以用公式来计算，例如排列数的计算公式是P(n,k)=n!/(n-k)!，组合数的计算公式是C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)。
5.布尔代数：布尔代数是对逻辑运算进行抽象和推广后所形成的一种代数系统。
它由逻辑与、或、非等运算符以及逻辑变量组成，可以表示和操作命题逻辑中的各种逻辑关系。
布尔代数在计算机科学中有广泛的应用，可以用于逻辑电路设计、布尔函数的表示与化简等。
以上是离散数学中的一些基本概念，这些概念在离散数学的理论研究和实际应用中起着重要作用。
离散数学的研究方法和思维方式与连续数学不同，强调离散结构的分析和推理，对于计算机科学、信息技术等领域的学习和研究都具有重要意义。
高中数学离散数学的基本概念与应用
高中数学离散数学的基本概念与应用在高中数学的学习中，离散数学是一个重要但相对较新的领域。
它与我们常见的连续数学有所不同，具有独特的概念和广泛的应用。
离散数学主要研究离散的对象和它们之间的关系。
这些对象可以是整数、有限集合、图形等。
与连续数学中处理的实数、函数等连续的量形成鲜明对比。
首先，让我们来了解一下离散数学中的集合概念。
集合是一些具有特定性质的对象的总体。
比如说，一个班级里所有学生的姓名就可以构成一个集合。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
确定性意味着对于一个给定的对象，我们能够明确地判断它是否属于这个集合；互异性指集合中的元素不能重复；无序性则表示集合中元素的排列顺序不影响集合的本质。
集合的运算包括并集、交集和补集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；补集则是在一个给定的全集里，某个集合之外的元素构成的集合。
接着是关系的概念。
关系可以理解为两个集合元素之间的某种对应。
例如，在一个班级中，“同学关系”就是一种关系。
我们可以用矩阵或者图表来表示关系，以便更直观地研究其性质。
关系具有自反性、对称性和传递性等特点。
再来说说图论。
图由顶点和边组成，可以用来表示各种实际问题中的关系和结构。
比如，交通网络可以用图来表示，顶点代表城市，边代表城市之间的道路。
图的遍历算法，如深度优先搜索和广度优先搜索，在解决路径规划等问题时非常有用。
还有布尔代数，它在逻辑电路设计中发挥着关键作用。
布尔代数只有两个值，0 和1，分别代表假和真。
通过布尔运算，如与、或、非等，可以处理逻辑判断和电路的开关状态。
那么，离散数学在实际中有哪些应用呢？在计算机科学领域，离散数学的应用极为广泛。
比如，在算法设计中，集合的运算、图的遍历算法等知识是优化算法效率的基础。
数据结构，如链表、树、图等，其背后都离不开离散数学的理论支持。
在信息编码和密码学中，离散数学也起着重要作用。
通过运用特定的数学关系和运算，可以对信息进行加密和解密，保障信息的安全传输。
离散数学(高教)概念整理
x 除以 n 的余数与 y 除以 n 的余数相等 在整数集上，模 n 是个等价关系。
x 关于 R 的等价类 ([x]或 )
R 为 A 上的等价关系。x 关于 R 的等价类（简称 x 的等价类）是 A 中所有与 x 等价的元素构 成的集合。
A 关于 R 的商集 A/R
等价联结词↔
p 等价 q 当且仅当，同时为真或假。（复合命题“p 当且仅当 q”称作 p 与 q 的等价式）
真值表
命题公式及其赋值 命题常项
原子命题（简单命题）的另一称呼，由于其真值确定
命题变项
真值可以变化的陈述句
合式公式（命题公式）A，B……
命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串，简称公式
可满足式
命题公式 A 至少存在一个成真赋值
哑元
对公式 A 和 B 进行比较讨论，可知 A 和 B 共含有 n 个命题变项，其中 A 不含有的命题变项 称为 A 的哑元，其取值不影响 A 的值
命题逻辑等值演算 等值式⇔
如果命题 A 和 B 有相同的真值表，则有命题 A↔B 为重言式，这种情况下称 A 与 B 是等值的， 记作 A⇔B
研究对象中独立存在的客体。 取值范围叫做“个体域”。默认个体域为“全总个体域”
2 谓词 F（ａ） G（ａ，ｂ） Ｈ……
刻画个体词性质或关系的词。比如说“是无理数”。 含有ｎ个命题变项的谓词叫做ｎ元谓词。以个体域为定义域，｛０,１｝为值域的ｎ元函数或 关系。
３量词∀
全称量词“任意”∀ 存在量词“存在”
一阶逻辑前束范式
就是要求把所有量词放到最前方。去掉重名变量。
7
集合论
集合基本概念 A={}
高中数学离散数学基础
高中数学离散数学基础离散数学是数学的一个分支，它研究的是离散的数学结构。
与连续数学相对应，离散数学主要关注集合、关系、逻辑和图论等离散性质。
在高中数学中，离散数学的基础概念和技巧对于学生的学习和理解其他数学分支也非常重要。
本文将介绍高中数学离散数学的基础知识和应用。
1. 集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究元素组成的集合以及元素之间的关系。
整数集、实数集等都是集合的例子。
集合之间的运算包括交集、并集、差集和补集。
集合中的元素可以通过列举、描述特征和图形等方式表示。
2. 关系论关系论主要研究集合之间的关系。
关系可以是有序对的集合，如数对(a, b)，其中a为域，b为值。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性等。
等价关系和偏序关系是关系论中重要的概念。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系，而偏序关系则是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
3. 逻辑论逻辑是数学推理的基础，它研究命题、谓词、推理和证明等概念。
逻辑的基本运算有与、或、非和蕴含等。
命题是可以判断真假的陈述，而谓词则是关于变量的命题。
推理是从已知前提通过逻辑规则推导出结论的过程，证明则是用逻辑推理证明某个命题或命题集成立。
4. 计数原理计数原理是离散数学中的重要概念，它用于计算集合中的元素数量。
常用的计数方法包括加法原理、乘法原理和排列组合等。
加法原理用于计算不同情况下的选择数目，乘法原理用于计算多个事件发生的可能性。
排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定顺序排列的方式，组合则是指从一组元素中选取一部分元素的组合方式。
5. 图论图论是研究顶点和边组成的图的性质和关系的数学分支。
图由顶点和边组成，顶点表示对象，边则表示对象之间的关系。
图论中重要的概念包括图的连通性、路径和回路等。
图可以是有向的或无向的，有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
常见的图论问题包括最短路径、最小生成树和染色问题等。
总结：高中数学离散数学基础包括集合论、关系论、逻辑论、计数原理和图论等内容。
离散数学知识点全归纳
离散数学知识点全归纳离散数学是数学的一个分支，研究的是离散对象和离散结构。
在计算机科学、信息技术以及其他领域中，离散数学具有重要的应用价值。
以下是离散数学的一些重要知识点的全面总结。
1. 集合论和逻辑- 集合：基本概念、运算、包含关系、并集、交集、差集、幂集等。
- 命题逻辑：命题、命题的连接词、真值表、逻辑等价、析取范式、合取范式等。
- 谓词逻辑：谓词、量词、逻辑推理、存在量词和全称量词等。
2. 证明方法- 直接证明：利用已知事实和逻辑推理，直接得出结论。
- 对证法：从假设的反面出发，利用矛盾推理得出结论。
- 数学归纳法：证明基础情况成立，再证明递推步骤成立。
3. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度、连通性等。
- 图的表示：邻接矩阵、邻接表等。
- 最短路径：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。
- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法等。
4. 关系与函数- 关系及其性质：自反性、对称性、传递性、等价关系等。
- 函数及其性质：定义域、值域、单射、满射、双射等。
- 逆函数和复合函数：求逆函数、复合函数的定义和性质。
5. 组合数学- 排列和组合：排列、组合的计算公式和性质。
- 递归关系：递推公式、递归算法等。
- 图的着色：色数、四色定理等。
6. 代数系统- 半群、幺半群、群、环、整环和域的定义和性质。
- 同态：同态映射、同构等。
- 应用：编码理论、密码学等。
以上是离散数学的一些重要知识点的概括。
深入理解和掌握这些知识，对于解决实际问题和在相关领域中取得成功非常重要。
在学习过程中，建议结合实际例子和习题进行练习，加深对知识的理解和应用能力。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
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解释 I
解释就是对抽象一阶语言的在 I 的具体含义，包括四个部分： ①非空个体域 D1②每一个个体常项在 D1 中的对应③每一个 n 元函数在 D1 上的对应④每一 个谓词符号在 D1 上的对应
永真式（逻辑有效式），永假式，可满足式
同上文。在任何解释下均为真的公式为永真式。这里不存在重言式的说法。
简单合取式中的命题变项及它的否定式恰好出现一次，并按照下标拍好，这样的简单合取式 叫做极小项。同理为极大项。 n 个命题变项可以产生 2 的 n 次方个极小项，每个极小项都有且仅有一个成真赋值，这一组 成真赋值（01 组成）转化为对应的十进制数 i，将这个极小项表示为 类似的，极大项为
主析取范式
主合取范式
代换实例
用谓词公式 A1，A2……代换命题公式 A0 中的命题变项 p1,p2……得到的公式 A 叫做 A0 的 代换实例。 重言式的代换实例都是永真式。
一阶逻辑等值验算
等值式⇔
这个等值式是一阶逻辑下的等值式。定义同上。当 A 等价 B 为永真式，称 A⇔B 是等值式。
等值式类型
书 p69 比如说任意 x 有（A（x）→B）等价于存在 x 满足 A（x）并且→B
上界，下界
偏序集<A,≤>，B 包含于 A，y 是 A 的元素（注意，上面 y 是属于 B 的） ①对于任意 B 中的元素 x 都有 y 小于等于 x 成立，y 为 B 的下界 ①对于任意 B 中的元素 x 都有 x 小于等于 y 成立，y 为 B 的上界 B 的上界可知可能不止一个，最小的叫最小上界（上确界），最大下界同理。 B 的最大元一定是 B 的最小上界，反之不一定（因为可能不存在最大元）
数理逻辑
命题逻辑
命题 p,q,r,s……
非真即假的陈述句
命题的真值 0 1
命题的陈述句所表达的判断结果
原子命题（简单命题）
不能被分解成更简单的命题 简单命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题
命题的符号化 p: 4 是素数
用小写英文字母（如 p:4 是素数）表示命题。 用小写英文字母（如 p:4 是素数）表示原子命题，用联结词联结原子命题表示复合命题。
一阶逻辑前束范式
就是要求把所有量词放到最前方。去掉重名变量。
7
集合论
集合基本概念 A={}
无序，唯一，确定
幂集 P（A）或花体 pA，
A 的全体子集构成的集合
集合的运算 ∪并集 A∪B ∩交集 A∩B -相对补集 A-B
x 属于 A 但是不属于 B 的部分组成的集合
⊕对称差集 A⊕B
x 属于 A 和 x 属于 B 的部分，不包括既属于 A 又属于 B
偏序关系
偏序(=自反，反对称，传递)关系≤
如果<x,y>∈≤，记作 x≤y，表示按照这个顺序 x 排在 y 的前边或者 x 就是 y 恒等关系，小于或等于关系，乘除关系，包含关系都是偏序关系
x 与 y 可比
x 与 y 可比等价于，x≤y 或者 y≤x
全序关系（线序关系）
设 R 是非空集合 A 上的偏序关系，如果任意 x,y 属于 A，x 与 y 都是可比的（也就是 A 的所 有元素都出现在这个 R 中）则称 R 为 A 上的全序关系
x 与 y 模 n 相等 x≡y(mod n)
x 除以 n 的余数与 y 除以 n 的余数相等 在整数集上，模 n 是个等价关系。
x 关于 R 的等价类 ([x]或 )
R 为 A 上的等价关系。x 关于 R 的等价类（简称 x 的等价类）是 A 中所有与 x 等价的元素构 成的集合。
A 关于 R 的商集 A/R
4
联结词完备集 S={￢, ∨}
s 是一个联结词集合，任何 n 元真值函数都可以仅用 s 中的联结词构成的公式表示.s 就是联 结词完备集。
命题逻辑的推理理论
推理{ … }┠B
是指从前提触发推出结论的思维过程。 前提是已知的命题公式集合，结论是推出的命题公式。
有效的结论
命题集合 的合取式有 0 和 1 两种取值，只要不出现某一种赋值情况下命题集合为假，结论 B 为真。那么就称结论 B 是有效的结论。称这一种推理是正确的。
（重要）等值式模式
常用的 16 条命题间的等值模式，书 p18
3
析取范式与合取范式
文字
命题变项及其否定的统称
简单析取式，简单合取式
由有限个文字构成的析取式，合取式
析取范式，合取范式
由有限个简单合取式的析取构成的命题公式，称为析取范式。 同理为合取范式。 命题公式的析取或合取范式一般不唯一
极小项，极大项
偏序集<A,≤>
A 和 A 上的偏序关系一起组成的集合，记作<A,≤>
y 覆盖 x(y 是 x 的后继)
x＜y 且不存在 z 使得 x＜z＜y，则称 y 覆盖 x
13
偏序集的哈斯图
如果 x＜y，就把 x 画在 y 的下方，并且如果 y 还覆盖 x，就用一条线段连接 xy
最小元，极小元，最大元，极大元
可满足式
命题公式 A 至少存在一个成真赋值
哑元
对公式 A 和 B 进行比较讨论，可知 A 和 B 共含有 n 个命题变项，其中 A 不含有的命题变项 称为 A 的哑元，其取值不影响 A 的值
命题逻辑等值演算 等值式⇔
如果命题 A 和 B 有相同的真值表，则有命题 A↔B 为重言式，这种情况下称 A 与 B 是等值的， 记作 A⇔B
一阶语言（花体Ｉ）
由抽象符号构成的用于一阶逻辑的形式语言。
项
个体常项，个体变项，ｎ元函数（自变量为项）是花体Ｉ的项。
指导变元 量词的辖域
例如∀ｘＡ，ｘ就叫做指导变元，Ａ是量词的辖域，在辖域中ｘ的所有出现称为约束出现， 其他变项叫自由出现
合式公式（谓词公式）
一阶语言下的合式公式。
6
闭式（封闭的公式）
关系的性质（R 为 A 上的关系）
自反性
任意 x,如果 x 是 A 的元素可以推出<x,x>∈R
对称性 R=
任意 x,y，如果 x,y 是 A 的元素并且<x,y>属于 R 可以推出<y,x>∈R
11
传递性 R°R
任意 x,y,z，如果 x,y,z 是 A 的元素并且<x,y>属于 R 并且<y,z>属于 R 可以推出<x,z>∈R
A 在 R 下的像 R[A]
R[A]是一个集合，元素是既是 R 中有序对的第一元素，又是 A 中元素的元素。
R 的 n 次幂
首先，R 是 A 上的二元关系，不是随便什么二元关系。 R 的 0 次幂是 A 的恒等关系 IA，即第一元素=第二元素的有序对组成的集合 R 的第 n+1 次幂=R 的 n 次幂°R 并且，必有 s,t 使得 R 的 s 次幂=R 的 t 次幂
证明
是由一个描述推理过程的命题公式序列
形式系统 I
书 p46
自然推理系统 P
数 p47 主要是用来在这个系统下构造推理的证明
附加前提证明法
结论为蕴含式时，可以把前件作为推理前提，使结论为后件
归谬法
使结论的否命题作为前提能退出矛盾，则证明
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一阶逻辑基本概念
一阶命题符号化
1 个体词 a,b,x,y……
集合 A 中的元素作为第一元素，集合 B 中的元素作为第二元素，构成有序对。这样的有序 对组成的集合叫做 A 和 B 的笛卡尔积 笛卡尔积，对并和交运算满足分配率 A 包含于 C 并且 B 包含于 D 的时候可以推出，A×B 包含于 C×D
二元关系 R（关系） 是个集合
一个集合。如果它是空集，或者他的元素都是有序对，则这个集合是一个二元关系，记作 R。 如果<x,y>∈R，可记作 xRy.
关系的闭包
R 的自反闭包 R’ r(R)
在 R 中添加尽可能少的有序对，得到 R’，使 R’具有自反性
对称闭包 s(R) 传递闭包 t(R) 等价关系与划分
等价（=自反，对称，传递）关系~
等价是一个对于关系的定语。R 为 A 上的关系，如果 R 是自反的，对称的，传递的，则称 R 为 A 上的等价关系。若<x,y>∈R，称 x 等价于 y，记作 x~y
所有简单合取式都是极小项的析取式，这是唯一的主析取范式。同理。
联结词的完备集
n 元真值函数 F
函数 F 的自变量为 n 个命题变项，值域为{0,1},这样的函数叫 n 元真值函数。n 个命题变项一 共可以构成 2 的 2 的 n 次方个不同的真值函数。 每个真值函数与唯一的一个主析取范式（主合取范式）等值，同时它们都等值于无穷多个等 值的命题公式。
偏序集<A,≤>，B 包含于 A，y 是 B 的元素 ①对于任意 B 中的元素 x 都有 y 小于等于 x，y 为最小元 ②对于任意 B 中的元素 x 并且 x≤y 使都推出 x=y，y 是极小元 最小元存在时，要求最小元和 B 中的其他元素都可比，所以不一定存在，如果存在一定是唯 一的。 极小元不一定和 B 中所有元素都可比，所以一定存在，并且可能不唯一。
从 A 到 B 的二元关系
A×B（A 和 B 的笛卡尔积）的任何子集定义的二元关系（子集不止一个，这个就不止一个） A=B 时叫做 A 上的二元关系，A 上有 2 的 n 平方次方个不同二元关系
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R 为 A 上的二元关系
即 A 的所有元素作第一元素组合 A 的所有元素作第二元素的有序对的集合.
空关系∅
空集∅是 A×A 的子集，叫做 A 上的空关系
全域关系
恒等关系
小于等于关系 关系矩阵，关系图
p105
关系的运算 R 的定义域 domR
R 中所有有序对的第一元素构成的集合