离散数学(高教)概念整理

研究对象中独立存在的客体。 取值范围叫做“个体域”。默认个体域为“全总个体域”
2 谓词 F（ａ） G（ａ，ｂ） Ｈ……
刻画个体词性质或关系的词。比如说“是无理数”。 含有ｎ个命题变项的谓词叫做ｎ元谓词。以个体域为定义域，｛０,１｝为值域的ｎ元函数或 关系。
３量词∀
全称量词“任意”∀ 存在量词“存在”
赋值（解释）
给公式 A 中的每个命题变项各指定一个真值。 这组值使 A 为 1，则称为成真赋值。
2
含 n 个命题变项的公式有 2 的 n 次方个不同赋值。 含 n 个命题变项的公式有 2 的 2 的 n 次方个不同真值表情况。
重言式（永真式）
命题公式 A 在各种赋值下取值均为真
矛盾式（永假式）
命题公式 A 在各种赋值下取值均为假
R 为非空集合 A 上的等价关系，R 的所有等价类作为元素的集合称为 A 关于 R 的商集，记作
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A/R,即={[x]|x∈A}。也就是元素是集合的集合。
A 的子集族π
π P(A),A 的某些子集构成的集合
A 的一个划分π
子集族π满足下面三个条件时，π叫做 A 的一个划分，π中的元素（就是 A 的子集）叫做 A 的划分块 ①空集不属于π ②π中的任意两个元素（集合）交集为空 ③π的广义并（π中的元素（A 的子集）的元素的并集）就是 A 商集就是一个划分
空集∅是 A×A 的子集，叫做 A 上的空关系
全域关系
恒等关系
小于等于关系 关系矩阵，关系图
p105
关系的运算 R 的定义域 domR
R 中所有有序对的第一元素构成的集合
R 的值域 ranR
R 中所有有序对的第二元素构成的集合
R 的域 fldR
定义域和值域的并集
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R 的逆关系（R 的逆）
这个集合的元素(有序对)为 R 中的有序对第一元素第二元素互换
一阶逻辑前束范式
就是要求把所有量词放到最前方。去掉重名变量。
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集合论
集合基本概念 A={}
无序，唯一，确定
幂集 P（A）或花体 pA，
A 的全体子集构成的集合
集合的运算 ∪并集 A∪B ∩交集 A∩B -相对补集 A-B
x 属于 A 但是不属于 B 的部分组成的集合
⊕对称差集 A⊕B
x 属于 A 和 x 属于 B 的部分，不包括既属于 A 又属于 B
集合 A 中的元素作为第一元素，集合 B 中的元素作为第二元素，构成有序对。这样的有序 对组成的集合叫做 A 和 B 的笛卡尔积 笛卡尔积，对并和交运算满足分配率 A 包含于 C 并且 B 包含于 D 的时候可以推出，A×B 包含于 C×D
二元关系 R（关系） 是个集合
一个集合。如果它是空集，或者他的元素都是有序对，则这个集合是一个二元关系，记作 R。 如果<x,y>∈R，可记作 xRy.
等价联结词↔
p 等价 q 当且仅当，同时为真或假。（复合命题“p 当且仅当 q”称作 p 与 q 的等价式）
真值表
命题公式及其赋值 命题常项
原子命题（简单命题）的另一称呼，由于其真值确定
命题变项
真值可以变化的陈述句
合式公式（命题公式）A，B……
命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串，简称公式
偏序集<A,≤>
A 和 A 上的偏序关系一起组成的集合，记作<A,≤>
y 覆盖 x(y 是 x 的后继)
x＜y 且不存在 z 使得 x＜z＜y，则称 y 覆盖 x
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偏序集的哈斯图
如果 x＜y，就把 x 画在 y 的下方，并且如果 y 还覆盖 x，就用一条线段连接 xy
最小元，极小元，最大元，极大元
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联结词完备集 S={￢, ∨}
s 是一个联结词集合，任何 n 元真值函数都可以仅用 s 中的联结词构成的公式表示.s 就是联 结词完备集。
命题逻辑的推理理论
推理{ … }┠B
是指从前提触发推出结论的思维过程。 前提是已知的命题公式集合，结论是推出的命题公式。
有效的结论
命题集合 的合取式有 0 和 1 两种取值，只要不出现某一种赋值情况下命题集合为假，结论 B 为真。那么就称结论 B 是有效的结论。称这一种推理是正确的。
A 在 R 下的像 R[A]
R[A]是一个集合，元素是既是 R 中有序对的第一元素，又是 A 中元素的元素。
R 的 n 次幂
首先，R 是 A 上的二元关系，不是随便什么二元关系。 R 的 0 次幂是 A 的恒等关系 IA，即第一元素=第二元素的有序对组成的集合 R 的第 n+1 次幂=R 的 n 次幂°R 并且，必有 s,t 使得 R 的 s 次幂=R 的 t 次幂
证明
是由一个描述推理过程的命题公式序列
形式系统 I
书 p46
自然推理系统 P
数 p47 主要是用来在这个系统下构造推理的证明
附加前提证明法
结论为蕴含式时，可以把前件作为推理前提，使结论为后件
归谬法
使结论的否命题作为前提能退出矛盾，则证明
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一阶逻辑基本概念
一阶命题符号化
1 个体词 a,b,x,y……
数理逻辑
命题逻辑
命题 p,q,r,s……
非真即假的陈述句
命题的真值 0 1
命题的陈述句所表达的判断结果
原子命题（简单命题）
不能被分解成更简单的命题 简单命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题
命题wenku.baidu.com符号化 p: 4 是素数
用小写英文字母（如 p:4 是素数）表示命题。 用小写英文字母（如 p:4 是素数）表示原子命题，用联结词联结原子命题表示复合命题。
偏序集<A,≤>，B 包含于 A，y 是 B 的元素 ①对于任意 B 中的元素 x 都有 y 小于等于 x，y 为最小元 ②对于任意 B 中的元素 x 并且 x≤y 使都推出 x=y，y 是极小元 最小元存在时，要求最小元和 B 中的其他元素都可比，所以不一定存在，如果存在一定是唯 一的。 极小元不一定和 B 中所有元素都可比，所以一定存在，并且可能不唯一。
从 A 到 B 的二元关系
A×B（A 和 B 的笛卡尔积）的任何子集定义的二元关系（子集不止一个，这个就不止一个） A=B 时叫做 A 上的二元关系，A 上有 2 的 n 平方次方个不同二元关系
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R 为 A 上的二元关系
即 A 的所有元素作第一元素组合 A 的所有元素作第二元素的有序对的集合.
空关系∅
（重要）等值式模式
常用的 16 条命题间的等值模式，书 p18
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析取范式与合取范式
文字
命题变项及其否定的统称
简单析取式，简单合取式
由有限个文字构成的析取式，合取式
析取范式，合取范式
由有限个简单合取式的析取构成的命题公式，称为析取范式。 同理为合取范式。 命题公式的析取或合取范式一般不唯一
极小项，极大项
上界，下界
偏序集<A,≤>，B 包含于 A，y 是 A 的元素（注意，上面 y 是属于 B 的） ①对于任意 B 中的元素 x 都有 y 小于等于 x 成立，y 为 B 的下界 ①对于任意 B 中的元素 x 都有 x 小于等于 y 成立，y 为 B 的上界 B 的上界可知可能不止一个，最小的叫最小上界（上确界），最大下界同理。 B 的最大元一定是 B 的最小上界，反之不一定（因为可能不存在最大元）
公式中不含自由出现的个体变项.
解释 I
解释就是对抽象一阶语言的在 I 的具体含义，包括四个部分： ①非空个体域 D1②每一个个体常项在 D1 中的对应③每一个 n 元函数在 D1 上的对应④每一 个谓词符号在 D1 上的对应
永真式（逻辑有效式），永假式，可满足式
同上文。在任何解释下均为真的公式为永真式。这里不存在重言式的说法。
简单合取式中的命题变项及它的否定式恰好出现一次，并按照下标拍好，这样的简单合取式 叫做极小项。同理为极大项。 n 个命题变项可以产生 2 的 n 次方个极小项，每个极小项都有且仅有一个成真赋值，这一组 成真赋值（01 组成）转化为对应的十进制数 i，将这个极小项表示为 类似的，极大项为
主析取范式
主合取范式
代换实例
用谓词公式 A1，A2……代换命题公式 A0 中的命题变项 p1,p2……得到的公式 A 叫做 A0 的 代换实例。 重言式的代换实例都是永真式。
一阶逻辑等值验算
等值式⇔
这个等值式是一阶逻辑下的等值式。定义同上。当 A 等价 B 为永真式，称 A⇔B 是等值式。
等值式类型
书 p69 比如说任意 x 有（A（x）→B）等价于存在 x 满足 A（x）并且→B
~绝对补集~A
给定全集中不属于 A 的部分
∪A 广义并
A 的元素（是个集合）的元素构成的集合
∩A 广义交
A（非空）的所有元素的公共元素组成的集合
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有穷集的计数
文氏图
容斥定理
p90
集合恒等式
p92
有序对和笛卡尔积
有序对<x,y>
两个元素按一定顺序排列成的二元组，x 叫第一元素，y 叫第二元素
笛卡尔积 A×B
偏序关系
偏序(=自反，反对称，传递)关系≤
如果<x,y>∈≤，记作 x≤y，表示按照这个顺序 x 排在 y 的前边或者 x 就是 y 恒等关系，小于或等于关系，乘除关系，包含关系都是偏序关系
x 与 y 可比
x 与 y 可比等价于，x≤y 或者 y≤x
全序关系（线序关系）
设 R 是非空集合 A 上的偏序关系，如果任意 x,y 属于 A，x 与 y 都是可比的（也就是 A 的所 有元素都出现在这个 R 中）则称 R 为 A 上的全序关系
关系的闭包
R 的自反闭包 R’ r(R)
在 R 中添加尽可能少的有序对，得到 R’，使 R’具有自反性
对称闭包 s(R) 传递闭包 t(R) 等价关系与划分
等价（=自反，对称，传递）关系~
等价是一个对于关系的定语。R 为 A 上的关系，如果 R 是自反的，对称的，传递的，则称 R 为 A 上的等价关系。若<x,y>∈R，称 x 等价于 y，记作 x~y
可满足式
命题公式 A 至少存在一个成真赋值
哑元
对公式 A 和 B 进行比较讨论，可知 A 和 B 共含有 n 个命题变项，其中 A 不含有的命题变项 称为 A 的哑元，其取值不影响 A 的值
命题逻辑等值演算 等值式⇔
如果命题 A 和 B 有相同的真值表，则有命题 A↔B 为重言式，这种情况下称 A 与 B 是等值的， 记作 A⇔B
x 与 y 模 n 相等 x≡y(mod n)
x 除以 n 的余数与 y 除以 n 的余数相等 在整数集上，模 n 是个等价关系。
x 关于 R 的等价类 ([x]或 )
R 为 A 上的等价关系。x 关于 R 的等价类（简称 x 的等价类）是 A 中所有与 x 等价的元素构 成的集合。
A 关于 R 的商集 A/R
一阶语言（花体Ｉ）
由抽象符号构成的用于一阶逻辑的形式语言。
项
个体常项，个体变项，ｎ元函数（自变量为项）是花体Ｉ的项。
指导变元 量词的辖域
例如∀ｘＡ，ｘ就叫做指导变元，Ａ是量词的辖域，在辖域中ｘ的所有出现称为约束出现， 其他变项叫自由出现
合式公式（谓词公式）
一阶语言下的合式公式。
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闭式（封闭的公式）
关系的性质（R 为 A 上的关系）
自反性
任意 x,如果 x 是 A 的元素可以推出<x,x>∈R
对称性 R=
任意 x,y，如果 x,y 是 A 的元素并且<x,y>属于 R 可以推出<y,x>∈R
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传递性 R°R
任意 x,y,z，如果 x,y,z 是 A 的元素并且<x,y>属于 R 并且<y,z>属于 R 可以推出<x,z>∈R
联结词
否定连接词￢
否 p 为真当且仅当 p 为假
合取联结词∧
p 合取 q 为真当且仅当 p，q 同时为真（复合命题“p 并且 q”称为 p 与 q 的合取式）
析取联结词∨
p 析取 q 为假当且仅当 p，q 同时为假（复合命题“p 或 q”称为 p 与 q 的析取式）
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蕴含连接词→
p 蕴含 q 为假当且仅当 p 为真，q 为假。（复合命题“如果 p,则 q”（因为 p 所以 q，除非 q 才 p）称为 p 与 q 的蕴含式，p 是蕴含式的前件，q 是蕴含式的后件）q 是 p 的必要条件。
G 对 F 的右复合 F°G
={<x,y>|存在 t<x,t>∈F 并且<t,y>∈G} F 和 G 是二元关系 右复合支持结合律 A 上的二元关系和恒等关系的符合为 A 上的二元关系
R 在 A 上的限制 R↑A（半个箭头）
R 为二元关系，A 为集合，“R 在 A 上的限制”也是个二元关系（集合），其中有序对的第一 元素也是 A 的元素
所有简单合取式都是极小项的析取式，这是唯一的主析取范式。同理。
联结词的完备集
n 元真值函数 F
函数 F 的自变量为 n 个命题变项，值域为{0,1},这样的函数叫 n 元真值函数。n 个命题变项一 共可以构成 2 的 2 的 n 次方个不同的真值函数。 每个真值函数与唯一的一个主析取范式（主合取范式）等值，同时它们都等值于无穷多个等 值的命题公式。