一次函数的应用题分类总结整理

一、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式;
特点:所给问题中已经明确告知为一次函数
．．．．关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为:y=kｘ+ｂ,然后寻找满足关系式的两个x与y的值或两个图像上的点，代入求解即可。

常见题型：销售问题中售价与销量之间常以表格形式给出的有规律的变化,蕴含着一次函数关系；行程问题中的路程与时间的关系常给出函数的图像（多是直线或折线)；
【典型例题赏析】
1.（2010 江苏连云港)（本题满分１0分）我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件6０元.经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量ｙ(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系.
售价
ｘ(元）
…７0 90 …
销售量y（件) …
３０0
０
1000 …
(１)求销售量y（件)与售价x(元)之间的函数关系式；
（2)你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 ０00 元？
2.已知A、B两城相距60０千米，甲、乙两车同时从Ａ城出发驶向Ｂ城,
甲车到达B城后立即沿原路返回.图２是它们离A城的距离y（千米）
与行驶时间x(小时)之间的函数图像。

(1）求甲车在行驶过程中y与x之间的函数关系式；
（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇．求乙车的速度.
３．（201０浙江湖州)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为ｘ(时）,两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系.
（1)根据图中信息,求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离;
（2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶４０千米,若快车从甲地到达乙地所需时间为t时,求ｔ的值;
（3)若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶,请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像。

二、根据各类信息猜测函数类型为一次函数,并验证猜想。

(课本1６8页“一起探究”）
特点:所给问题中并不明确告知函数类型，而让同学自己通过分析数据变化规律，猜测函数类型,并说明理由或加以验证，此类问题应“有猜有验”或者要文字说明推断是“一次函数”的理由,
常见题型：给问题多是表格形式出现或者通过描点观察函数图像的形状猜测类型。

【典型例题赏析】
1.(2０１1四川乐山)某学校的复印任务原来由甲复印社承接,其收费y（元）与复印页数ｘ（页)的关系如下表：
x（页) 1 0 …
y(元）40 8０1６0 ４00
⑴、若y与ｘ满足我们学过的某一函数关系，求函数的解析式;
⑵、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给２00元的承包费，则可按每页０．15元收费。

则乙复印社每月收费y（元)与复印页数x(页)的函数关系为 ;
⑶、在给出的坐标系内画出(１)、（2)中的函数图象,并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社?
2．(2010重庆綦江县)“震灾无情人有情”,玉树地震牵动了全国人民的心,武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区,货车在公路Ａ处加满油后,以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360千米的灾区Ｂ处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y(升)与行驶时间x （时）之间关系：
0 1 2 ３ 4
行驶时间
x(时)
余油量y(升) 0
图15
单位：cm (1)请你用学过的函数中的一种建立y 与x 之间的函数关系式,说明选择这种函数的理由；．．．．．．．．．．．．(不要求写出自变量的取值范围）
(2)如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶４小时后到达Ｃ处，C 的前方1２千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油,才能使货车到达灾区B 处卸去货物后能顺利返回D 处加油?（根据驾驶经验,为保险起见,油箱内余油量应随时不少于10升）
三、利用问题中各个量之间的关系,变形推导所求两个变量之间的函数关系式;
特点：所给题目一般涉及三个以上的量，而这些数量之间往往互相牵制，互有联系，因此要有足够耐心审题并逐个理清两两之间的关系,书写所要求的函数关系时要注意适当的等量代换！
【典型例题赏析】
1.(２０09河北）某公司装修需用A 型板材２４0块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×3０ ｃm,Ｂ型板材规格是４0 cm×30 cm.现只能购得规格是150 c ｍ×30 ｃm 的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出Ａ型、B 型板材，共有下列三种裁法:（图１5是裁法一的裁剪示意图)
y 张、按裁法三裁ｚ张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用. (1)上表中,m = ,ｎ ＝ ; （２）分别求出ｙ与x 和z 与x 的函数关系式；
(３)若用Q 表示所购标准板材的张数,求Q 与x 的函数关系式， 并指出当x 取何值时Ｑ最小,此时按三种裁法各裁标准板材 多少张? 解:(1)０ ，3.
(2）由题意，得2240x y +=， ∴11202
y x =-．
23180x z +=，∴2603z x =-. (3）由题意，得 1
2120602
3
Q x y z x x x =++=+-+-．
整理，得 11806Q x =-. 由题意，得11202
2603x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
≥0≥0
解得 x ≤90.
【注:事实上,０≤ｘ≤90 且ｘ是6的整数倍】
由一次函数的性质可知，当x =90时，Q 最小.此时按三种裁法分别裁9０张、７5张、0张. 2．“一方有难,八方支援”．在抗击“5.１2”汶川特大地震灾害中,某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点.按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满.根据表中提供的信息,解答下列问题：
（1)设装运食品的车辆数为ｘ,装运药品的车辆数为y.求y 与x 的函数关系式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于４辆，那么车辆的安排有哪几种方案？（3）在(2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费.
解：1、设装运生活用品的车辆数为ｚ，根据题意可得如下方程： ６x+5y+4ｚ＝100 （1) x+y+z ＝20 (2)
由（2）得z=20-(x+y)，代入（１）得 y=２0-2x （3） 2、当x ≥5时 y ≤1０ 当y ≥4时 ｘ≤8
因此，由（2）、(3）可知有如下4种安排方案
1)x=5,y=10,z ＝5； 2)ｘ＝6，y ＝８,z=6； ３)ｘ＝7,ｙ=6,z ＝7; 4)x=8,y=４,z ＝8. ３、设总运费为Ｑ，则
Ｑ=１20*6x+16０＊５ｙ+１00*4ｚ
将式（2）、(3）代入得 Q=１600０-48０x
所以,当x 取最大值x=８时,Q 取最小值Ｑ=１2160
3.(2011•达州）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A 、Ｂ、C 三种化学物资共２０0吨到某地．按计划2０辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满.请结合表中提供的信息，解答下列问题:
(1）设装运A 种物资的车辆数为x ，装运Ｂ种物资的车辆数为y.求y 与ｘ的函数关系式； (２)如果装运A 种物资的车辆数不少于5辆,装运B 种物资的车辆数不少于４辆，那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；
（３）在（２）的条件下,若要求总运费最少,应采用哪种安排方案？请求出最少总运费.
200)20(81012=--++y x y x 200881601012=--++y x y x 202=+y x ∴x y 220-=……………………2分
(2）根据题意,得：
⎩⎨
⎧≥-≥4
2205
x x 解之得:85≤≤x ∵x 取正整数,∴=x 5,6,７，8……………………4分 ∴共有4种方案,即
（３）设总运费为M元,
则M=)
⨯
+
-
+
12-
-
+
x
x
⨯x
240
⨯
x
(
10
20
2
20
8
200
)
(
320
2
20
即：Ｍ＝64000
1920+
-x
∵M是x的一次函数,且Ｍ随x增大而减小，
∴当x＝8时，Ｍ最小,最少为48640元……………………７分
四、自觉运用函数思想,构建函数模型解决（最值、决策)问题（课本复习题17８页C组)
特点：当问题中并没有提到谁与谁之间的函数关系如何,而是交代了一些量的关系，最后问题往往是请同学们进行决策如何获取最大利润或者如何涉及最合算方案？
【典型例题赏析】
1.(2010 南京）甲车从A地出发以60km／h的速度沿公路匀速行驶,0.５小时后，乙车也从A地出发，以８0km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车。

请建立一次函数关系
．．．．．．．．解决上述问题。

2.某超市经销A,B两种商品,A种商品每件进价２０元,售价３０元;B种商品每件进价35元,售价48元,该超市准备用8０0元去购进Ａ、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大（其中B种商品不少于7件）?
3.某办公用品销售商店推出两种优惠方法:①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性
笔一律按9折优惠．书包每个定价2０元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于４支）．
（1)分别写出两种优惠方法购买费用ｙ(元）与所买水性笔支数x(支）之间的函数关系式；
(2)对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜;
（3）小丽和同学需买这种书包４个和水性笔1２支，请你设计怎样购买最经济.。