高中数学人教版必修单调性与最大(小)值作业(系列一)

1.3.1 单调性与最大（小）值

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分)

1．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则( )

A ．k >12

B ．k <12

C ．k >－12

D ．k <－12

解析：由已知，得2k ＋1<0，解得k <－12.

答案：D

2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( )

A ．递减

B ．递增

C ．先递减再递增

D ．先递增再递减

解析：二次函数的对称轴为x ＝3，故函数在(2,3]上单调减，在[3,4)上单调增． 答案：C

3．函数f (x )在(a ，b )和(c ，d )都是增函数，若x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，且x 1

) A ．f (x 1)f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．无法确定

解析：因为无法确定区间的位置关系．

答案：D

4．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，若a ∈R ，则( )

A ．f (a )>f (2a )

B ．f (a 2)

C ．f (a ＋3)>f (a －2)

D ．f (6)>f (a )

解析：因为函数f (x )是增函数，且a ＋3>a －2，所以

f (a ＋3)>f (a －2)．

答案：C

5．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，40)

B ．[40,64]

C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)

D ．[64，＋∞)

解析：对称轴x ＝k 8，则k 8≤5或k 8≥8，解得k ≤40或k ≥64.

答案：C 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

a －3x ＋5，x ≤1，2a x

，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )

A ．(0,3)

B ．(0,3]

C ．(0,2)

D ．(0,2] 解析：由题意可知⎩⎨⎧ a －3<0，

a >0，

a －3＋5≥2a ，

解得0

答案：D 二、填空题(每小题8分，共计24分)

7．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是________．

解析：y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34

.其对称轴为x ＝ －12

，在对称轴左侧单调递减， ∴x ≤－12

时单调递减． 答案：(－∞，－12

] 8．函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋1 x ≥0－x 2＋1 x <0的单调递增区间是________．

解析：作出函数f (x )的图象(如图1)．

由图象可知f (x )的增区间为(－∞，＋∞)．

图1

答案：(－∞，＋∞)

9．若函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在(－∞，

－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f (1)＝________.

解析：f (x )的图象的对称轴为x ＝m 4

＝－2， ∴m ＝－8.

∴f (x )＝2x 2＋8x ＋3.

∴f (1)＝2＋8＋3＝13.

答案：13

三、解答题(共计40分)

10．(10分)已知f (x )＝x 3＋x (x ∈R )，

判断f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明．

解：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．证明如下：

设x 1

∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)

＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2

) ＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)

＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34

x 22＋1]<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．

11．(15分)讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2,2]上的单调性．

解：二次函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3＝[x －(2a ＋1)]2－(2a ＋1)2＋3.

由二次函数的图象的对称轴为直线x ＝2a ＋1.则

①若2a ＋1≤－2，即当a ≤－32

时，函数在[－2,2]上是增函数． ②若－2≤2a ＋1≤2，即当－32≤a ≤12

时，函数在 [－2,2a ＋1]上为减函数，在[2a ＋1,2]上为增函数．

③若2a ＋1≥2，即当a ≥12

时，函数在[－2,2]上为减函数． [创新应用]

12．(15分)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足f (－x )＝

－f (x )，且f (1－a )＋f (1－2a )<0.若f (x )是(－1,1)上的减函数，求实数a 的取值范围．

解：由f (1－a )＋f (1－2a )<0， 得f (1－a )<－f (1－2a )．

∵f (－x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)， ∴f (1－a )

又∵f (x )是(－1,1)上的减函数， ∴⎩⎨⎧ －1<1－a <1，

－1<1－2a <1，

1－a >2a －1，解得0

. 故实数a 的取值范围是(0，23

)．