西安铁一中分校数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
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西安铁一中分校数学全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1
2
BC,则△ABC的顶角的度数为
_____.
【答案】30°或150°或90°
【解析】
试题分析:分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可.
解:①BC为腰,
∵AD⊥BC于点D,AD=1
2 BC,
∴∠ACD=30°,
如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°,
如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°,
②BC为底,如图3,
∵AD⊥BC于点D,AD=1
2 BC,
∴AD =BD =CD ,
∴∠B =∠BAD ,∠C =∠CAD ,
∴∠BAD +∠CAD =
12
×180°=90°, ∴顶角∠BAC =90°, 综上所述,等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°.
故答案为30°或150°或90°.
点睛:本题考查了含30°交点直角三角形的性质,等腰三角形的性质,分类讨论是解题的关键.
2.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______.
【答案】(-4,2)或(-4,3)
【解析】
【分析】
【详解】
把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等.
故答案为(-4,2)或(-4,3).
3.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (2,3),在x 轴上找一点P ,使得△AOP 是等腰三角形,则这样的点P 共有_____个.
【答案】4
【解析】
【分析】
以O 为圆心,OA 为半径画弧交x 轴于点P 1、P 3,以A 为圆心,AO 为半径画弧交x 轴于点P 4,作OA 的垂直平分线交x 轴于P 2.
【详解】
解:如图,使△AOP 是等腰三角形的点P 有4个.
故答案为4.
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形,掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键.
4.在锐角三角形ABC中.BC=32,∠ABC=45°,BD平分∠ABC.若M,N分别是边BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是____.
【答案】4
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M′,过点M′作M′N′⊥BC于N′,则CE即为CM+MN 的最小值,再根据32ABC=45°,BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.
【详解】
解:过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M′,过点M′作M′N′⊥BC于N′,
则CE即为CM+MN的最小值,
∵32ABC=45°,BD平分∠ABC,
∴△BCE 是等腰直角三角形,
∴CE=BC•cos45°=32×2=4. ∴CM+MN 的最小值为4.
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题,难度较大,根据题意作出辅助线,构造出等腰直角三角形,利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.
5.如图,线段AB ,DE 的垂直平分线交于点C ,且72ABC EDC ∠=∠=︒,
92AEB ∠=︒,则EBD ∠的度数为 ________ .
【答案】128︒
【解析】
【分析】
连接CE ,由线段AB ,DE 的垂直平分线交于点C ,得CA=CB ,CE=CD ,
ACB=∠ECD=36°,进而得∠ACE=∠BCD ,易证∆ACE ≅∆BCD ,设∠AEC=∠BDC=x ,得则
∠BDE=72°-x ,∠CEB=92°-x ,BDE 中,∠EBD=128°,根据三角形内角和定理,即可得到答案.
【详解】
连接CE ,
∵线段AB ,DE 的垂直平分线交于点C ,
∴CA=CB ,CE=CD ,
∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ,
∴∠ACB=∠ECD=36°,
∴∠ACE=∠BCD ,
在∆ACE 与∆BCD 中,
∵
CA CB
ACE BCD
CE CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴∆ACE≅∆BCD(SAS),
∴∠AEC=∠BDC,
设∠AEC=∠BDC=x,则∠BDE=72°-x,∠CEB=92°-x,
∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-(92°-x)=x-20°,
∴在∆BDE中,∠EBD=180°-(72°-x )-(x-20°)=128°.
故答案是:128︒.
【点睛】
本题主要考查中垂线的性质,三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.
6.如图,在Rt ABC
△中,AC BC
=,D是线段AB上一个动点,把ACD沿直线CD折叠,点A落在同一平面内的A'处,当A D'平行于Rt ABC
△的直角边时,ADC
∠的大小为________.
【答案】112.5︒或67.5︒
【解析】
【分析】
当A D
'平行于Rt ABC
△的直角边时,有两种情况,一是当A D BC
'时,二是当
A D AC
'时,两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可.