一个确定性存储模型及其推论

【第一步】 求生产时间t1 t1时的最大存储量(P-R)t1应满足[t1,t2]的需求量R(t2-t1)，因此
-1-
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(P − R)t1 = R(t2 − t1) ...... ①
t1
=
R P
t2
......
②
【第二步】 求[0,T]的存储费、缺货费、订购费
-2-
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最佳订货量（最佳生产量） S (1) = Pt1(1) =
2C2C3 RP 2 C1(P − R)(C1P − C1R + C2P)
最佳存储量 Q(1) = (P − R)t1(1) =
2C2C3R(P − R) C1(C1P − C1R + C2P)
产品的合理存储对有效利用资金、提高经济效益具有十分重要的意义。以商店为例，随
着销售的进行，商品逐渐减少，到一定时间必须订货补充商品才能使销售正常进行，这时就
要考虑存储费、订购费，如允许缺货，还必须考虑缺货费。很明显，我们的要求是采用合理
的存储策略（决定何时补充及每次补充数量的策略）使平均总费用达到最小。其它许多方面
C2 →∞
t (1)
1
=
2C3 R C1(P − R)P
最小平均总费用 C(3) = lim C(1) = 2C1C3R(P − R)
C2 →∞
P
显然 H (3) = lim H (1) = 0 C2 →∞
存储函数Q3（τ）随时间τ变化如（图c）所示。 【结论 2】 在不许缺货，生产需一定时间的情况下（除忽略缺货时间外，其余假设同[模
F(3)——[模型Ⅱ]最佳平均订购费
E (1)
=
1 T (1)
C1R(P − 2P
R)
t (1)2 2
=
C1C23C3R(P − R)P2 2(C1P − C1R + C2P)3
E(3) = lim E(1) = C1C3R(P − R)
C2 →∞
2P
F (1)
=
1 T (1)
C3
=
C1C2C3R(P − R) 2(C1P − C1R + C2P)
最佳销售时间
t (4) 2
=
lim
P→∞
t (1) 2
=
C2 →∞
2C3 = T (4) C1R
最佳订货量 S (4) = lim S (1) = P→∞ C2 →∞
2C3 R C1
最佳存储量 Q(4) = lim Q(1) = P→∞ C2 →∞
2C3R = S (4) C1
最小平均总费用 C (4) = lim C (1) = P→∞
（记为[模型Ⅰ]）；不许缺货、生产需一定时间（记为[模型Ⅱ]）；不许缺货、生产时间很短
（记为[模型Ⅲ]）。由于这些模型都是各自采用相似的优化方法推导而来，这就使我们想到，
能否建立一个确定性存储模型并从中导出这三种模型呢？如可行，则既可减少模型建立的数
学推证过程，又可从中了解到这几种模型间的紧密联系起到融会贯通的效果，这就是撰写本
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一个确定性存储模型及其推论
胡科
电子科技大学应用数学学院，四川成都（610054） 摘 要：产品的合理存储对有效利用资金、提高经济效益具有十分重要的意义。本文通过建 立一个确定性存储模型并从中导出常见的三种模型，从而减少了模型建立的数学推证过程， 并从中了解到这几种模型间的内在本质联系，以达到融会贯通的效果。 关键词:确定性存储模型；最佳存储模型；存储费；订购费；缺货费
2C1C3 R
C2 →∞
显然 H (4)
=
lim
P→∞
H (1)
= 0、t1(4)
=
lim
P→∞
t (1)
1
=0
C2 →∞
C2 →∞
存储函数Q4（τ）随时间τ变化如（图d）所示。 【结论 3】 在不许缺货，生产时间很短的情况下（除忽略缺货时间、生产时间外，其
余假设同[模型 A]），每隔
2C3 ，订货 C1R
+ C3 ]
=
1 T (1)
[C1R(P − 2P
R)
t (1)2 2
+
C12 R 2C2 P 2
(P
−
R)
2
t (1)2 2
+ C3 ] =
2C1C2C3R(P − R) C1P − C1R + C2P
故，在允许缺货，生产需一定时间的情况下，每隔 2C3 (C1P − C1R + C2P) ，订货 C1C2R(P − R)
(C1
+
C2
)
最佳订货量 S (2) = lim S (1) = 2C2C3R
P→∞
C1(C1 + C2 )
最佳存储量 Q(2) = lim Q(1) = 2C2C3R = S (2)
P→∞
C1(C1 + C2 )
最佳销售时间
t (2) 2
=
lim
P→∞
t (1) 2
=
2C2C3 C1R(C1 + C2 )
∫ [0,T]的缺货费为：
T t2
C2 R(τ
−
t2 )dτ
=
C2 R 2
(T
−
t2
)2
[0,T]的订购费为：C3
【第三步】 求使平均总费用最小的存储模型
平均总费用函数
C (t2
,T
)
=
1 T
[C1R(P − 2P
R)
t22
+
C2 R 2
(T
−
t2
)2
+
C3
]
∂C(t2 ,T ) ∂t2
=
1 T
[ C1R( P P
最佳缺货量 H (1)
=
R(T (1)
−
t (1) 2
)
=
2C1C3 (P − R) C2R(C1P − C1R + C2P)
利用③式得：最小平均总费用
C (1)
=
C(t2(1) ,T (1) )
=
1 T (1)
[C1R(P − 2P
R
)
t (1)2 2
+
C2 R 2
(T (1)
−
t (1) 2
)
2
型 A]），每隔
2C3P ，订货 2C3RP ，可使平均总费用最小为 2C1C3R(P − R)
C1R(P − R)
C1(P − R)
P
（此即为[模型Ⅱ]）。
【推论 3】 当P→∞、C2→∞时
最佳订货周期 T (4) = lim T (1) = P→∞ C2 →∞
2C3 C1R
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t2(2) T(2)
H(2)
τ
图b [模型Ⅰ]中存储函数Q2(τ)
随时间τ的变化趋势
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Q3(τ) Q(3)
Q4(τ) Q(4)
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t1(3) T(3)
τ
图cFra Baidu bibliotek
[模型Ⅱ]中存储函数Q3(τ) 随时间τ的变化趋势
T(4)
τ
图d
[模型Ⅲ]中存储函数Q4(τ) 随时间τ的变化趋势
【注】 缺货是一种损失，一般不许缺货，其代价是增加库存量和订货次数，因而要多
付存储费和订购费。允许缺货时，虽然要多付缺货费，但换来了库存量和订货次数的减少，
因而可少付存储费和订购费，而且节约的费用有可能大于缺货损失，在不影响需求，销售单
位除少量缺货损失外无其他损失，这时对该单位是有利的。以下通过[模型 A]、[模型Ⅱ]在
2C3R ，可使平均总费用最小为 C1
2C1C3R （此即
为[模型Ⅲ]）。
到此，我们通过建立允许缺货、生产需一定时间的确定性存储模型导出了本文开始提到
的三种模型，从中清楚地看到了这几种模型间的内在本质联系。
Q1(τ)
Q2(τ)
Q
Q(2)
t1 t2 T
τ
图a [模型A]中存储函数Q1(τ)
随时间τ的变化趋势
F (3) = lim F (1) = C1C3R(P − R)
C2 →∞
2P
G (1)
=
1 T (1)
C12 R 2C2 P 2
文的基本思想。
【问题】 某销售单位出售产品允许缺货，而缺货量在下次订货时不予补偿。每次向生
产单位订货后，生产与销售同时进行，达到一定存储量时不再生产，以后销售产品直至存储
为零。设需求速度R、生产速度P（>R）、单位存储费C1、 单位缺货费C2、每次订购费C3均 为恒定不变的正数，试求最佳存储模型使平均总费用最小。
−
R)
t2
−
C2 R(T
− t2 )]
∂C(t2 ,T ) ∂T
=
−
1 2PT
2
[R(C1P
− C1R
+
C2 P)t22
+
2C3P
−
C2 RPT
2]
令 ∂C(t2 ,T ) = 0、∂C(t2 ,T ) = 0
∂t2
∂T
得： C2PT = (C1P − C1R + C2P)t2 ...... ③ C2RPT 2 = R(C1P − C1R + C2P)t22 + 2C3P ...... ④
也涉及到类似问题，如水库蓄水，既要保证电站需求又要防止洪灾发生，那么到底应蓄水多
少？在工厂多道工序的连续生产中，既要防止停工待料又要避免原料积压，那么究竟采用多
大供给速度？如此等等，研究这类与存储有关的问题构成了运筹学的一个分支——存储论。
一般教科书[1][2]讲述确定性存储模型主要涉及以下三种——允许缺货、生产时间很短
型 A]），每隔
2C3 C1C2 R
(C1
+
C2
)
，订货
2C2C3R ，可使平均总费用最小为 C1(C1 + C2 )
2C1C2C3 R C1 + C2
（此即为[模型Ⅰ]）。
【推论 2】 当C2→∞时
最佳订货周期 T (3) = lim T (1) =
2C3P
C2 →∞
C1R(P − R)
最佳销售时间
τ
)dτ
]
=
C1[
P
− 2
R
t12
+ R(t2
− t1)t2
−
1 2 R(t2
− t1)(t2
+ t1)]
=
C1[
P
− 2
R
t12
+
(P
−
R)t1t2
−
P
− 2
R
(t1
+
t2 )t1]
=
C1(P − 2
R)
t1t2
=
C1R(P − 2P
R)
t22
缺货函数 H (τ ) = R(τ − t2 ) τ ∈[t2 ,T ]
利用①、②式，[0,T]的存储费为：
∫ ∫ t1 0
C1
(
P
−
R)τ
dτ
+
t2 t1
C1[(
P
−
R)t1
−
R
(τ
− t1)]dτ
∫ ∫ =
t1 0
C1
(
P
−
R
)τ
dτ
+
t2 t1
C1[
R(t2
− t1) − R(τ
− t1)]dτ
∫ ∫ = C1[(P − R)
t1τ dτ
0
+R
(t t2
t1 2
−
2C2C3 RP 2
，可使平均总费用最小为 2C1C2C3R(P − R) 。
C1(P − R)(C1P − C1R + C2P)
C1P − C1R + C2P
【说明】
由于
P
>
R,T (1)
>
t (1) 2
>
t (1)
1
显 然 成 立 ， 直 观 上 ， T=t2 时 缺 货 费 为
0，但
∂C(t2 ,T ∂T
最佳情况下的对比来说明此问题。
设
C(1)——[模型A]最小平均总费用 E(1)——[模型A]最佳平均存储费
T(1)——[模型A]最佳订货周期 F(1)——[模型A]最佳平均订购费
G(1)——[模型A]最佳平均缺货费 C(3)——[模型Ⅱ]最小平均总费用
T(3)——[模型Ⅱ]最佳订货周期
E(3)——[模型Ⅱ]最佳平均存储费
联立③、④解得：最佳销售时间
t (1) 2
=
2C2C3 P 2 C1R(P − R)(C1P − C1R + C2P)
利用③式得：最佳订货周期 T (1) = 2C3 (C1P − C1R + C2P) C1C2R(P − R)
利用②式得：最佳生产时间
t (1)
1
=
2C2C3 R C1(P − R)(C1P − C1R + C2P)
t (3) 2
=
lim
C2 →∞
t (1) 2
=
2C3P = T (3) C1R(P − R)
最佳订货量 S (3) = lim S (1) = 2C3RP
C2 →∞
C1(P − R)
最佳存储量 Q(3) = lim Q(1) = 2C3R(P − R)
C2 →∞
C1P
最佳生产时间
t (3)
1
=
lim
最佳缺货量 H (2) = lim H (1) =
2C1C3
P→∞
C2R(C1 + C2 )
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最小平均总费用 C (2) = lim C (1) = 2C1C2C3R
P→∞
C1 + C2
显然
t (2)
1
=
lim
P→∞
t (1)
1
=
0
存储函数Q2（τ）随时间τ变化如（图b）所示。 【结论 1】 在允许缺货，生产时间很短的情况下（除忽略生产时间外，其余假设同[模
)
<
0,
∂C(t2 ,T ) ∂t2
>
0
。亦即，在T=t2达不到C(t2,T)的最小值C(1)，当T=t2时，形成[模
型Ⅱ]，本文最后将比较这两种模型优劣。 根据[模型 A]可得如下三个推论： 【推论 1】 当 P→∞时
最佳订货周期 T (2) = lim T (1) = P→∞
2C3 C1C2 R
我们以订货周期T、销售时间t2为策略变量建立使平均总费用最小的存储模型（记为[模 型A]）
设t1为生产时间，据题设
⎧ (P − R)τ
存储函数 Q1(τ
)
=
⎪ ⎨
(P
−
R)t1
−
R(τ
−
t1 )
⎪⎩0
τ ∈[0, t1] τ ∈[t1,t2 ] τ ∈[t2 ,T ]
Q1(τ)随时间τ变化如（图a）所示。其中，[0,t1]生产、销售同时进行，[t1,t2]销售进行， [t2,T]缺货（存储为 0 表示缺货）。