高中数学不等式综合复习

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(完整版)高中数学知识汇总——不等式

必修 5 第 3 章不等式知识汇总一、常用的不等式的基天性质：（ 1 ）a b b a （反对称性）（ 2 ）a b,b c a c （传达性）（ 3 ）a b a c b c （可加性,也叫移项法例）（ 4 ）a b,c0ac bc （不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变！）a b, c0ac bc （不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变！）a ba cb d （同向不等式相加，不等号方向不变！）（ 5 ）cda b0ac bd0 （正数同向不等式相乘，不等号方向不变！）（ 6 ）cd0（ 7 ）a b0, n N , n1a n b n0 （正数乘方法例）（ 8 ）a b0, n N , n1n a n b0 （正数开方法例）二、一元二次不等式及其解法1 、三个“二次”间的关系（以下a> 0）△= b 2 - 4ac△> 0△=0△< 0二次函数y y yy=ax 2+bx+cx0x的图象x1x20x 一元二次方程有两个不等实根x1， x2有两个相等实根b无实根ax2+bx+c= 0的根x1< x2x1= x 2=2a一元二次不等式b{x|x < x1或x> x2 }R{x|x≠}2aax2+bx+c >0的解集一元二次不等式{x|x1< x < x2 }ΦΦax2+bx+c <0的解集2 、一元二次不等式的一般解法：一看二次项的系数，二算△，三绘图并据图写解集；3、含参数不等式的解法：分类议论；4 、不等式恒建立问题的解决：即不等式解集为R；5 、高次不等式的解法：数轴标根法（也叫穿针引线法）用曲线自右往左、自上往下挨次穿过，遇偶次重根穿而可是，遇奇次重根一次穿过。

三、基本不等式1 、关于随意两个正数a bab 。

a, b ，它们的算术均匀数是，几何均匀数是22 、基本不等式：关于随意 a 0, b 0 ，都有a b2 ab ）此中等号建立的条件是 a b 。

高中不等式全套知识点总结

高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。

一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。

2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。

3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。

二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。

2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。

3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。

三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。

2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。

四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。

2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答

不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆不等式的解的各种情况如下表：>∆=∆<∆ 二次函数cbx ax y ++=2（）的图象0>a cbx ax y ++=2c bx ax y++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()A x f >D D ()min f x A >若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()B x f <D D ()max f x B<二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax +By +C ，所得到实y x ,y x ,数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形：有:a+b ≥；ab ≤,当且仅当a=b 时取等号.ab 222⎪⎭⎫⎝⎛+b a 3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值;P 2如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值.42S 注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

高中数学数列、解三角形、不等式综合复习

本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。

在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。

考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。

（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。

（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。

分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。

通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。

再对m取特值验证。

也可利用二次函数的图像解决。

（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。

或取特值验证。

（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。

解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。

（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。

故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。

首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。

（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。

考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

高中不等式知识点归纳总结

高中不等式知识点总结1. 不等式的定义和基本性质不等式是数学中用来表示大小关系的符号。

一般地，设a、b是实数，可以有以下四种不等式关系：•$ a < b $ ：表示a小于b，即a严格小于b；•$ a > b $ ：表示a大于b，即a严格大于b；•$ a b $ ：表示a小于等于b，即a小于或等于b；•$ a b $ ：表示a大于等于b，即a大于或等于b。

基本性质：•对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于等于b-c（c为实数）；•对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，若c小于0，则ac大于等于bc；•对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。

2. 一元一次不等式2.1 不等式的解集表示一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。

对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式的解集：•当a>0时，不等式的解集为x<−b/a或x>−b/a；•当a<0时，不等式的解集为x>−b/a或x<−b/a。

2.2 一元一次不等式的性质•当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。

3.1 不等式的解集表示一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。

对于形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，再根据D的正负判断不等式的解集。

•当a>0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；•当a<0时，不等式的解集为抛物线顶点的外侧。

高中数学不等式复习

高中数学不等式复习高中数学-不等式复习不等式是数学中一个重要的概念，它描述了数与数之间的大小关系。

在高中数学中，学生需要掌握不等式的基本性质和解法，以应对各类与不等式相关的题目。

本文将对高中数学中的不等式进行复习总结，帮助学生加深对不等式的理解和应用。

一、基本概念与性质1. 不等式的定义：不等式是用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等连接的两个数或两个代数式。

2. 不等式的解集：不等式的解集是满足不等式中给定条件的数的集合。

3. 不等式的表示方法：不等式可以通过图形、文字或代数式等形式进行表示。

4. 不等式性质：不等式具有传递性、加减性、乘除性等基本性质。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：通过加减、乘除等运算对不等式两边同时进行操作，得到等价的不等式，最终确定解集。

2. 一元一次不等式的图像：将一元一次不等式表示为一条直线，并用阴影部分表示不等式的解集。

三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：通过移项、配方、开方等方法将一元二次不等式转化为一元二次方程，并通过求解一元二次方程得到解集。

2. 一元二次不等式的图像：将一元二次不等式表示为抛物线，并用阴影部分表示不等式的解集。

四、复合不等式1. 复合不等式的解法：通过逐个考虑不等式的条件，将复合不等式分解成多个简单的不等式，并求解每个简单不等式得到解集，最终求得复合不等式的解集。

2. 复合不等式的图像：将复合不等式的图像表示为多个简单不等式的图像的交集或并集。

五、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：将绝对值不等式根据绝对值的定义进行分类讨论，分别求解不等式得到解集。

2. 绝对值不等式的图像：将绝对值不等式的图像表示为绝对值函数的图像。

六、常见不等式的应用1. 不等式的应用：不等式在数学中有广泛的应用，如求解优化问题、证明不等式、判断数的范围等。

2. 常见不等式：包括加权平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。

以上就是对高中数学中不等式的复习总结。

高一数学不等式知识点整理归纳

高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 $a > b$，则 $b a$；若 $a b$，则$b > a$。

2. 传递性：若 $a > b$ 且 $b > c$，则 $a > c$；若$a b$ 且 $b c$，则 $a c$。

3. 加法性质：若 $a > b$，则 $a + c > b + c$。

4. 乘法性质：若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$；若 $a > b$ 且 $c 0$，则 $ac bc$。

二、一元一次不等式形如 $ax + b > 0$ 或 $ax + b 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。

2. 化简：将 $x$ 的系数化为 $1$，注意当系数为负数时，不等号方向改变。

三、一元二次不等式形如 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c 0$（$a \neq 0$）的不等式。

解法：1. 求出方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根（可用求根公式 $x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ ）。

2. 根据二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴的交点，确定不等式的解集。

当 $a > 0$ 时：若方程有两个不同实根 $x_1$ ， $x_2$ （$x_1x_2$），则不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x x_1$或 $x > x_2$ ；不等式 $ax^2 + bx + c 0$ 的解集为 $x_1x x_2$ 。

高一数学不等式知识点总结及例题

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

高中数学基本不等式专题复习

高中数学基本不等式专题复习第11课：基本不等式与双根号函数一、双根号函数形如y=√(px+q)，p>0，q>0.图像如右图所示：1）x>0时，当x=0时取到最小值min=2√(pq)；2）值域：当x=q/p时取到最小值min=2p；3）当p<0，q<0时，函数图像关于X轴对称，为二、四象限倒双根号；4）当pq<0时，不是双根号函数。

2、研究：以y=3√(x-)为例二、基本不等式a+b≥2√(ab)1、一正：只要a、b为正，上式就恒成立！2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！积定和最小，取等于ab/2；3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！示例：求函数y=x+3/(x-2)（x>2）的最小值。

错误解法：当x>2时，得a=x，b=3/(x-2)，则a+b=x+3/(x-2)≥2√(3)，当且仅当x=2时，函数有最小值2√(3)。

正确解法：将y=x+3/(x-2)（x>2）化为y=(x-2)/2+3/(2(x-2))，即y=√(3/2)√(x-2)+√(3/2)√(3/(x-2))，此时a=√(3/2)，b=√(3/2)，则a+b=2√(3/2)，取等于ab/2，即函数有最小值2√(3)。

两者联系：1）基本不等式去等号时的值即为双根号函数的拐点；2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双根号函数！三、利用基本不等式求最值类型一：形如y=(ax+b)/(ax^2+bx+c)1、求y=4x+3/(x-2)的最小值；2、求y=x/(x+1)的最小值；3、求y=sin(x)+cos(x)的最大值。

类型二：形如y=(cx+d)/(x^2+x+9)1、求y=3x-5/(4x-5)的最小值；2、求y=2x/(x+4e+4)的值域；3、求y=e^x/(x+1)的最小值；4、求y=(x^2+2x+1)/(x+2)的最小值；5、求y=√(2x/(1-2x))的最小值；6、求y=x/(2x+1)的值域。

高一数学基本不等式综合复习

第5讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)b a＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．考点1利用基本不等式求最值[典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++=，则22a b +的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（）A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C 的最大值为4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．15，＋BC ∞D ∞，15[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（）A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（）A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．114a b+≥B ．2212a b +≥CD ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________．8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++的最小值；考点2利用基本不等式证明不等式（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证：(1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数.(1)求24a a +的最小值；(2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>.(1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值；(2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1.(1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=．(1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．考点3基本不等式中的恒成立问题典例1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-+≥+则（）A ．实数λ有最小值1B ．实数λ有最大值1C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()x a x y ++对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．考点4基本不等式与其他专题综合典例1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2016)＝2018x 2017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（）A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（）A ．tan tan tan tanBC B C +=B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)b a＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．考点1利用基本不等式求最值[典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++=，则22a b +的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++=≥，当且仅当33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（）A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C的最大值为4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥ 1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；22224⎡⎤≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．15，＋BC ∞D ∞，15[答案]A[解析]由x >0，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，令t ＝x ＋1x ，则t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2.x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()4433112153131y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立，故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5．故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（）A ．40B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694.故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++884222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号.故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（）A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥，∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确；对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()21122123321212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎣⎦++++⎝⎭当且仅当()21212++=++x x y x x y ，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+，故C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．114a b+≥B ．2212a b +≥CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确；对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥.记u =，则0u >，所以211336u a b =++++≤+=，所以u <≤≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误.故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________．【答案】6-63+【解析】 a ,b 为正实数,且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=+++2111a b a b =++-++2111a b =+++()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331b a a b ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭(1133≥++当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-63+8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.【答案】9【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy y x y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥，当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>Q ，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n +≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________.【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭.因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23.故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(324≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274. 考点2利用基本不等式证明不等式（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证：(1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b acab bc abc++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥，当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝()19322222=+++=，当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数.(1)求24a a +的最小值；(2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥，所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>.(1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值；(2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>，又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号.即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1.(1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.【解】(1)111abc abc abc bc ac ab a b c a b c++=++=++222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立.(2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=，当且仅当b c =时等号成立.所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=．(1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号．又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a bc a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．考点3基本不等式中的恒成立问题1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥ ⎪--⎝⎭，()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a ba b b c --=++≥+=+--故得到211,n n N +≥∈则n 的最大值是4.故选：C.[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥．故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-+≥+则（）A ．实数λ有最小值1B ．实数λ有最大值1C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫-≥ ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++，当a b =时，不等式恒成立；当a b¹时，222aba ba b aba bλ+≥+-+12，a b=时等号成立，a b¹12<，故12λ≥.故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x>，0y>，Rm∈时，2222y x m m kx y+>-++恒成立，则k的取值可能是（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】AB【解析】因为0x>，0y>，所以222y xx y+≥=，当且仅当2x y=时，等号成立．因为()222111m m k m k k-++=--++≤+．若2222y x m m kx y+>-++恒成立，则12k+<，解得1k<．故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a ax y z++-++≤对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．【答案】1【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yzx y z x y y z xy yz+++==++++++≤，当x y z==时取等号，所以2222xy yzx y z+++的最大值是12，即211122a a+-≥，解得112a-≤≤，所以a的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x，y，恒有()2222x y a x xy y+-+≤，则实数a的最小值是___________.【答案】2【解析】解：因为0,0x y>>，则()2220x xy y x y xy-+=-+>，则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y +-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+，即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()x a x y ++对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．【答案】2【解析】()()22=22x a x y x x x y x y ++∴++++ ，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >> 0x y ∴+>()x a x y ++maxa ∴≥⎝⎭222x yx y +≤=+max=2a ∴≥⎝⎭，a ∴的最小值为2故答案为：2考点4基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]33-【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin 33a x x ≤+，当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈，当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而4221sin (2sin )33sin 3sin x x x x +=+≥当且仅当12sin sin x x =，即sin 2x =时取“=”，则有3a ≤，当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而4221sin [(2sin )]33sin 3sin x x x x +=--+≤--当且仅当12sin sin x x -=-，即sin x =时取“=”，则有a ≥综上得，33a -≤≤所以实数a 的取值范围是[]33-.故答案为：,33⎡-⎢⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2016)＝2018x 2017的实数解的个数为________．[答案]1[解析]由题意知x >0，∴(x 2018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2016)≥2x 2018·1×12(21·x 2016＋2x 2·x 2014＋…＋2x 2016·1)＝2018x 2017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 1289696962612x x x PMQ x x x x x x x -∠=-===≤=++⋅+⋅βα，当且仅当96x x =，即96x =9610≈，所以BM 大约为10米.故选：C.[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（）A ．30B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+3300022306010Q Q≥⋅⨯=，当且仅当3300010Q Q=，即当100Q =时等号成立.所以f （Q ）的最小值是60.故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（）A ．tan tan tan tanBC B C +=B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=，两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误．故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】448【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+，则()1248433242448AMPN S x x x x ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当483xx=，即4x=时等号成立，故矩形花坛的AMPN面积最小值为48．即当4BM=时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为48.故答案为：4；48.。

数学基本不等式知识点(高中数学知识点复习资料归纳整理)

数学基本不等式知识点（高中数学知识点复习资料归纳整理）基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决最大（小）值问题.3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。

（3）可以变形为：，可以变形为：.3. 如图，是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b，过点C作交圆于点D，连接AD、BD易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称为a,b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果a>0，b>0，我们用、分别代替a、b，可得：如果a>0，b>0，则，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a>0，b>0，，（当且仅当a=b时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

完整版高中数学不等式知识点总结3篇

完整版高中数学不等式知识点总结第一篇：基本不等式和二元平均数不等式一、基本不等式：基本不等式又称柯西不等式，是数学中重要的基本工具，对于解决不等式问题有重大意义。

基本不等式的形式如下：$$(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2$$其中$a_1,a_2,…,a_n$ 和$b_1,b_2,…,b_n$ 是任意实数。

基本不等式的证明过程多种多样，这里给出一种简单易懂的证明方法：设$x=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$，则 $x^2$ 可以表示为：$$x^2={(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)}^2$$$$={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^ 2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$又因为：$${a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2\geqslant2a_1a_2+2a_1a_3+…+2a_{n-1}a_n$$$${b_1}^2+{b_2}^2+…+{b_n}^2\geqslant2b_1b_2+2b_1b_3+…+2b_{n-1}b_n$$因此：$${a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^2 \geqslant 2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$故：$$x^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_ n}^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$$$\leqslant({a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2)({b_1}^2+{ b_2}^2+…+{b_n}^2)$$即为所求基本不等式。

高三数学函数、三角函数、不等式综合复习

函数、三角函数、不等式综合复习教学目标：掌握函数定义域、值域、极值和最值的求解方法。

会证明函数的奇偶性，周期性和单调性。

会利用三角变形公式将三角式化为一个三角函数的形式研究其性质，会利用正、余弦定理解三角形问题，掌握和函数相关的不等式解法及证明。

教学重点：综合应用函数知识和分析问题及解决问题的能力。

教学例题：1．已知函数（1）若的定义域为R，某某数a的取值X围；（2）若的值域为R，某某数a的取值X围。

解析：（1）的定义域为R∴(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立或a=－1或a＜－1或a ≤－1或∴实数a的取值X围是（2）的值域是R，即(a2－1)x2+(a+1)x+1的值域是（0，+∞）或a=1或∴实数a的取值X围是。

2．已知函数的反函数为，。

（1）若，求x的取值集合D；（2）设函数，当x∈D时，求的值域。

解析：（1）∵值域为（－1，+∞）∴由∴D=[0，1]（2）由∴的值域为。

3．已知函数是奇函数，当时有最小值2，且。

（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点。

若存在，求出这两点的坐标，若不存在说明理由。

解析：（1）由是奇函数，∴∴，即∴c=0，∵a＞0，b∈N*，当x＞0时（当且仅当时等号成立）由x＞0时最小值是2∴，∴a=b2由，则，将a=b2代入∴∴，解出。

∵b∈N*，∴b=1，∴a=b2=1∴（2）设存在一点（x0，y0）在的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在图象上∴∴当时，∴图象上存在两点，关于点（1，0）对称。

4．设函数的定义域为R,对任意实数x1,x2恒有,且，。

（1）求的值；（2）求证是偶函数，且；（3）若时，，求证在[0，π]上是减函数。

解析：（1）令x1=x2=π，由则有∴∴（2）由∴，即是偶函数。

由，∴，即（3）设，则∵且在上∴，，即时恒有。

设0≤x1＜x2≤π，则，∴，∴∴故在上是单减函数。

5．已知函数，x∈R。

高一不等式知识点归纳总结

高一不等式知识点归纳总结高一阶段学习数学，不等式是一个重点知识点，也是数学建模等应用题的常见考点。

在高中阶段，学生需要对不等式的性质、解集的表示和不等式的应用等方面进行深入学习。

本文将对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。

一、不等式的性质1. 不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。

这个性质在证明不等式的过程中经常会用到。

2. 不等式的加减性：如果a<b，那么a±c<b±c。

即不等式两侧同时加（或减）一个常数，不等号的方向保持不变。

3. 不等式的乘法性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。

如果a<b，且c<0，那么ac>bc。

也就是说，不等式两侧同时乘以一个正数（或负数），则不等号的方向保持不变；若乘以一个负数，不等号的方向则反向。

4. 不等式的倒数性：如果a<b，且ab≠0，那么1/b<1/a。

当不等式两侧取倒数后，不等号的方向发生改变。

二、不等式解集的表示1. 不等式解的表示方式：不等式解集通常用区间表示，包括开区间、闭区间和无穷区间。

- 开区间：表示不包含某一值的解集，一般用(a, b)表示，表示a<b 之间的所有数但不包括a和b。

- 闭区间：表示包含某一值的解集，一般用[a, b]表示，表示a≤x≤b 之间的所有数。

- 无穷区间：表示解集没有上下界的情况，分为无穷大区间和无穷小区间。

2. 解不等式的步骤：解不等式的主要步骤有：移项、消项、分析正负、绘制数轴和表示解集。

三、不等式的类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b 为已知实数，x为未知数。

- 解一元一次不等式的步骤：先将不等式化简为ax>c或ax<c的形式，然后根据a的正负情况进行讨论，最后找出解集。

2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。

不等式专题整理

不等式专题整理1. 一次不等式：- 加减法：- 如果 a>b，则 a+c > b+c （c为任意实数）- 如果 a>b，则 a-c > b-c （c为任意实数）- 乘法：- 如果 a>b 且 c>0，则 ac > bc- 如果 a>b 且 c<0，则 ac < bc- 除法：- 如果 a>b 且 c>0，则 a/c > b/c- 如果 a>b 且 c<0，则 a/c < b/c- 平方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则 a^2 > b^2- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则 a^2 > b^2- 开方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则√a > √b- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则√a < √b2. 二次不等式：- 求根：- 如果 ax^2+bx+c > 0 且 a>0，则该二次函数有两个实根。

可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。

- 如果 ax^2+bx+c < 0 且 a<0，则该二次函数有两个实根。