概率的加法公式
概率的加法公式
U ∑
∑
(
)
∑
(
)
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例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P( AB) = P( A) P( AB) = 0.7 0.1 = 0.6 (2) P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8 (3) P( AB) = P( A∪ B) = 0.2
第一章 概率论的基本概念
11.3 概率的加法公式
P( AU B) = P( A) + P(B) P( AB) 。
A
B S
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第一章 概率论的基本概念
加法公式的推广
1) P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)
课后同学问： 例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P( A A2 ) = P( A )P( A2 ) 我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A2 相互独立. 1
2) 对任意 n 个事件 A1, A2 , L, An , 有 n n P( Ai ) P Ai = P Ai A j + P Ai A j Ak 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 L + ( 1)n 1 P( A1 A2 L An )
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
有关概率的公式
有关概率的公式概率是描述事件发生可能性的一种数学概念。
它可以帮助我们预测和分析事件发生的可能性，而概率公式则是用来计算概率的数学公式。
首先，我们需要了解一些基本的概率概念。
在概率论中，事件的概率通常用P(A)来表示，其中A是一个事件。
概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
在计算概率时，我们尝试使用一些公式和规则来辅助计算。
下面是一些常用的概率公式：1.加法法则：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)加法法则用于计算两个事件中至少一个事件发生的概率。
P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2.乘法法则：P(A且B)=P(A)某P(B，A)乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
3.条件概率：P(A，B)=P(A且B)/P(B)条件概率用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
4.独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的，那么P(A且B)=P(A)某P(B)。
5.贝叶斯定理：P(A，B)=(P(B，A)某P(A))/P(B)贝叶斯定理用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
6.全概率公式：P(B)=Σ(P(Ai)某P(B，Ai))全概率公式用于计算事件B的概率。
假设事件A1，A2，...，An是样本空间的一个划分（即这些事件互不相交且并集等于样本空间），P(Ai)表示事件Ai的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。
原创1：3.1.4概率的加法公式
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请
问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他
乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可
则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与
B的并(或和)
如下图中阴影部分所表示的就是A∪B.
A
B
A
B
例2.判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加
演讲比赛，其中
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.
即小明考试不及格的概率是0.07.
例5. 某战士射击一次，问：
（1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则A的概率为多少？
（2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7 ，那么事件C=“
中靶环数小于6”的概率为多少？
（3）事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因
此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为
易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验
是否满足它的前提条件“彼此互斥”.
例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“
出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和
，即
1 1 2
P(C)=P(A)+P(B)=
任取1张：
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
大学概率论必背公式
，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
概率加法公式
概率加法公式
概率加法公式是应用频率概率理论的一种基本概率公式，它可以用来计算一组事件发生的概率。
这个公式表明，两个或多个独立事件发生的可能性总和比任何一个事件发生的可能性大。
概率加法公式可以表达为：P（A或B）=P（A）+P（B）-P（A和B）。
其中，P （A）和P（B）表示事件A和B发生的概率，而P（A和B）表示事件A和B同时发生的概率。
概率加法公式可以用来计算很多不同的类别的概率，包括交通事故、犯罪率、医疗疾病等。
例如，如果要计算一个城市发生交通事故的概率，可以使用概率加法公式：P（交通事故）=P（车辆撞毁）+P （车辆相撞）+P（车辆失控）-P（车辆同时撞毁和相撞）。
概率加法公式也可以用来计算不同概率事件发生的条件概率，即在某一条件下不同事件发生的概率。
例如，如果要计算受过驾驶培训的司机发生交通事故的概率，可以使用概率加法公式来计算：P（受过驾驶培训的司机发生交通事故）=P（受过驾驶培训的司机车辆撞毁）+P（受过驾驶培训的司机车辆相撞）+P（受过驾驶培训的司机车辆失控）-P（受过驾驶培训的司机车辆同时撞毁和相撞）。
总之，概率加法公式是一种非常实用的概率公式，可以用来计算多种不同类别的概率，也可以用来计算条件概率。
它是频率概率理论中一个重要的公式，在实际应用中有着重要的作用。
概率的一般加法公式
5 概率为 36
显然，A与B不是互斥事件，我们把事 件A和事件B同时发生所构成的事件D， 称为事件A与事件B的交(或积)，记作 D=A∩B(或D=AB) 事件A∩B是由事件A和B所共同含有的 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B.
Ω A A∩B B
在本例中，A∩B为{(4，4)，(4，5)，(4， 6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4),不是 互斥事件，那么公式是否成立？ 来看下面的例子： 例1. 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子 的点数大于3}，事件B={蓝骰子的点数大 于3}，求事件A∪B={至少有一颗骰子的 点数大于3}发生的概率。
1.事件的交： 显然，A与B不是互斥事 件，我们把事件A和事件B同时发生所构 成的事件D，称为事件A与事件B的交(或 积)，记作D=A∩B(或D=AB) 事件A∩B是由事件A和B所共同含有的 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B.
8.从1，2，3，…，9 这9个数字中任取2个 数字，
5 （1）2个数字都是奇数的概率为______； 18 4 （2）2个数字之和为偶数的概率为_____. 9
9.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币 出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含 哪几个基本事件? 解：（1）这个试验的基本事件空间 Ω={(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,正)， (正,反,反)，(反,正,正)，(反,正,反)，(反,反, 正)，(反,反,反)}；
20 11 2 29 100 100
概率的加法公式与事件的独立性
A1 + A2 + L + An
n
∑A 或
n
i
U Ai
n =1
例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一 个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”， C=“至少一个正面朝上”，则 C=A+B 又如，向一目标连续射击30次，设 30 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标” 则
例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是 正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”， 则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正 面朝上”，则A，B，C互不相容。
事件的互不相容性相当于集合的互不相 交性。
概率的可加性： 若事件A与B互不相容，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
直观上，概率的可加性可由概率的统计 定义推得。
例7 从10件产品（7件正品，3件次品）中 每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一 次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问： P(A|B)=P(A)成立吗？
当P(A|B)=P(A)时，表明事件B的发生并不 影响事件A发生的概率。 而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A的发 生并不影响事件B发生的概率。 这就是事件A与B的所谓独立性。
古典概型中的条件概率计算公式：
在B发生的前提下 A包含的基本事件数 P( A | B) = 在B发生的前提下基本事件 总数
AB包含的基本事件数 = B包含的基本事件数
例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球， 另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红 色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红 色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已 知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的 概率。
由条件概率计算公式不难知， P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 这三个等式是相互等价的。 于是我们引入 定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称 事件A与B相互独立（简称独立）。
概率加法公式
概率加法公式
概率加法公式是统计学中重要的概率公式，用于计算某事件发生的概率和。
它指的是一组独立事件中每个事件发生的概率和等于所有事件发生的概率之和。
概率加法公式也常称作概率和定理，也可以称作独立事件加法定理。
概率加法公式的数学形式为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中P(A∪B)表示A和B事件发生的概率，P(A)表示A事件发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率，P(A∩B)表示A和B事件同时发生的概率。
概率加法公式的核心思想是利用事件的独立性，计算出某个事件发生的概率。
如果某个事件和另一个事件独立，则两个事件发生的概率可以相加，而不必考虑两个事件之间的关联性。
概率加法公式用于计算某事件发生的概率，可以在多个不同的场景中应用。
例如，投掷两枚硬币，出现正反面概率各为50%，正反面同时出现的概率则为25%，可以用概率加法公式计算出投掷两枚硬币出现任意一面的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=50%+50%-25%=75%。
概率加法公式也可用于计算多种可能性的概率和。
例如，计算投掷三枚硬币出现任意一面的概率，可以用概率加法公式计算出
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-
P(B∩C)+P(A∩B∩C)=50%+50%+50%-25%-25%-25%+12.5%=87.5%。
总之，概率加法公式是统计学中重要的概率公式，它可以用于计算某事件发生的概率和以及多种可能性的概率和，它的核心思想是利用事件的独立性，计算出某个事件发生的概率。
三个事件的概率计算公式
三个事件的概率计算公式1. 三个互斥事件的概率加法公式。
- 如果事件A、B、C两两互斥（即A∩ B=varnothing，A∩ C=varnothing，B∩ C=varnothing），那么P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)。
- 例如：掷骰子，事件A为掷出1点，事件B为掷出2点，事件C为掷出3点。
这三个事件两两互斥，P(A)=(1)/(6)，P(B)=(1)/(6)，P(C)=(1)/(6)，P(A∪ B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=(1)/(6)+(1)/(6)+(1)/(6)=(1)/(2)。
2. 三个相互独立事件的概率乘法公式。
- 如果事件A、B、C相互独立（即P(A∩ B)=P(A)P(B)，P(A∩ C)=P(A)P(C)，P(B∩ C)=P(B)P(C)，P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)）。
- 例如：有三个口袋，第一个口袋中有2个红球3个白球，从第一个口袋中取到红球的概率P(A)=(2)/(5)；第二个口袋中有3个红球2个白球，从第二个口袋中取到红球的概率P(B)=(3)/(5)；第三个口袋中有4个红球1个白球，从第三个口袋中取到红球的概率P(C)=(4)/(5)。
因为从每个口袋取球的事件相互独立，所以从三个口袋中都取到红球的概率P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)=(2)/(5)×(3)/(5)×(4)/(5)=(24)/(125)。
3. 一般情况下（非互斥、非独立）三个事件的概率公式。
- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。
- 例如：在一个班级中，事件A表示学生喜欢数学，P(A) = 0.6；事件B表示学生喜欢语文，P(B)=0.5；事件C表示学生喜欢英语，P(C)=0.4。
同时喜欢数学和语文的概率P(A∩ B)=0.3，同时喜欢数学和英语的概率P(A∩ C)=0.2，同时喜欢语文和英语的概率P(B∩ C)=0.15，同时喜欢三门课的概率P(A∩ B∩ C)=0.1。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率论的常用公式：1.概率的公式：对于事件A，其概率表示为P(A)，满足0≤P(A)≤1。
2.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其概率表示为P(A∪B)，满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.减法公式：对于事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。
4.乘法公式：对于两个独立事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)某P(B)。
5.条件概率公式：对于事件A和B，其条件概率表示为P(A，B)，满足P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
6.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(A)=∑(P(A，Bi)某P(Bi))。
7.贝叶斯公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/(∑(P(A，Bj)某P(Bj))。
二、数理统计的常用公式：1.均值公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值表示为μ=∑(某i)/n。
2.方差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其方差表示为σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。
3.标准差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其标准差表示为σ=√(σ^2)。
4. 协方差公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。
5. 相关系数公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其相关系数表示为 r = Cov(某,y) / (σ某某σy)。
6.正态分布的概率计算：对于满足正态分布的一组数据某1，某2，...，某n，可以利用标准正态分布表或计算工具来计算概率P(X≤某)或P(X>某)。
7.置信区间公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值μ和置信水平α，可以计算置信区间为某̄±Z(α/2)某(σ/√n)。
概率计算公式解释
概率计算公式解释
概率计算公式是一种数学工具，用于计算事件发生的可能性。
在概率论中，常用的概率计算公式有三个：加法法则、乘法法则和条件概率。
1.加法法则：加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。
如果事件A和事件B是互斥的（即不能同时发生），那么加法法则可以表示为：
P(A或B)=P(A)+P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.乘法法则：乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不受另一个事件的影响），那么乘法法则可以表示为：P(A且B)=P(A)*P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
3.条件概率：条件概率用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以表示为：
P(A|B)=P(A且B)/P(B)
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
以上是概率计算中常用的三个公式，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性。
1。
概率论公式
概率论公式
概率论中常用的公式有：
1. 总概率公式：对于事件A和B，如果A和B构成一个完备事件组，则P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')，其中B'
表示事件B的补集。
（该公式可以推广到多个事件的情况）
2. 乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B) = P(A|B)P(B) =
P(B|A)P(A)。
3. 加法公式：对于不互斥的事件A和B，P(A∪B) = P(A)
+ P(B) - P(A∩B)。
4. 条件概率公式：对于事件A和B，如果P(B) > 0，则
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
5. 贝叶斯公式：对于事件A和B，如果P(A) > 0和P(B) > 0，则P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)。
6. 期望值公式：对于一个离散型随机变量X，其期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中x为X的所有可能取值。
7. 方差公式：对于一个离散型随机变量X，其方差Var(X) = E[(X-E(X))^2] = Σ(x-E(X))^2P(X=x)，其中E(X)为X的期望值。
请注意，以上公式只是概率论中的一部分常用公式，还有
许多其他公式可根据具体概率问题的性质和假设来使用。
概率的基本公式
发生, 故P(A|B)= 2×4!/ 5!=2/5.
解二: 用条件概率公式. P(A|B)=P(AB)/P(B)=(1/15)/(1/6)=6/15=2/5. 类似, P(B |A)=2/15. 由条件概率定义的表达式，很容易推导出
P ( AB) P( A) P( B A) P ( B ) P ( A B )
医用高等数学
例6-15 一批小白鼠中, 有30%注射过药物A, 25%注
射过药物B, 两种药物都注射过的占20%. 若取到是1只已知
没有注射过药物B小白鼠的条件下，它也没有注射过药物
A的可能性有多大?
P( AB ) 0.65 P( A | B ) 0.867 P( B ) 1 0.25
可以验证，条件概率具有无条件概率的所有性质. 例如：
概率的乘法公式还可能推广到有限多个事件的情况，即
P( A1 A2 An )=P( A1 )P( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )… P ( An A A A )
1 2 n 1
医用高等数学
例6-17 产妇分娩胎儿的存活率为P(L)=0.98. 又知活
解 根据医学常识，只有O型或B型的人方可给B型的
频率代替概率，有P( E1 )=0.46，P( E2 )=0.15，且 E1 与 E2 互
E1 不相容，而“可给B型病人输血”这一事件是与 E2 的事件
医用高等数学
病人输血，设 E1 =“被检者是O型”， E2 =“被检者是B型”，以
之和，由推论1，所求概率为：
P ( A2 | A1 ) 0.6 , P( A2 | A1 ) 1 P( A2 | A1 ) 0.4
两次患该病心肌未受损害的概率为
概率加法公式推导过程
概率加法公式推导过程概率加法公式是概率论中的一个基本公式，用于计算两个或多个事件的概率之和。
它是概率论中非常重要的一条定理，可以帮助我们计算复杂事件的概率。
我们来看一下概率的定义。
在概率论中，事件的概率被定义为该事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示肯定事件。
对于两个互斥事件A和B来说，它们不可能同时发生，所以它们的概率之和等于它们分别发生的概率之和。
用数学符号表示就是P(A∪B) = P(A) + P(B)。
例如，假设有一个袋子里有5个红球和3个蓝球，我们从袋子里随机抽取一个球。
事件A表示抽到红球，事件B表示抽到蓝球。
根据概率加法公式，我们可以计算出抽到红球或者抽到蓝球的概率。
事件A发生的概率是抽到红球的可能性大小。
由于袋子里一共有8个球，其中5个是红球，所以事件A发生的概率是5/8。
同样地，事件B发生的概率是抽到蓝球的可能性大小。
由于袋子里一共有8个球，其中3个是蓝球，所以事件B发生的概率是3/8。
根据概率加法公式，我们可以计算出抽到红球或者抽到蓝球的概率。
即P(A∪B) = P(A) + P(B) = 5/8 + 3/8 = 8/8 = 1。
因此，抽到红球或者抽到蓝球的概率是1，即肯定事件。
除了计算两个互斥事件的概率之和，概率加法公式还可以推广到计算两个不互斥事件的概率之和。
对于两个不互斥事件A和B来说，它们既可以同时发生，也可以只发生一个。
因此，它们的概率之和等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
用数学符号表示就是P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
例如，假设有一个班级里有40个学生，其中20个是男生，30个是喜欢足球的学生。
事件A表示是男生，事件B表示喜欢足球。
我们想要计算出是男生或者喜欢足球的学生的概率。
事件A发生的概率是是男生的可能性大小。
由于班级里一共有40个学生，其中20个是男生，所以事件A发生的概率是20/40 = 1/2。
概率运算基本公式
概率运算基本公式
概率运算基本公式包括：
1. 加法规则：对于两个事件A和B，其概率之和等于它们的联合概率加上它们的交集概率的补集。
即：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 乘法规则：对于两个独立事件A和B，其概率之积等于它们各自的概率。
即：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 条件概率：对于事件A和B，已知事件B发生的条件下，事件A 发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
4. 全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1, B2, ..., Bn，它们的并集等于样本空间S，对任意事件A，有P(A) = P(A|B1)×P(B1) + P(A|B2)×P(B2) + ... + P(A|Bn)×P(Bn)。
5. 贝叶斯公式：对于一系列互不相容的事件B1, B2, ..., Bn，已知事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率为P(Bi|A) = P(A|Bi)×P(Bi) / P(A)。
高等数学概率的基本公式
=0.3*0.9/0.97=0.278
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例题2
甲.乙.丙三人能破译某密码的概率分别为 1 , 1 , 1 .问密码能被破译出来的概率.
534
解: P(A B C) 1 P(A B C)
1 P(ABC)
1 P(A)P(B)P(C)
1 4 2 3 3 534 5
例题3 (见142页例6-18)
例题1
甲打中的概率为0.7,乙打中的概率为0.9。 设A=｛甲打中｝；B=｛乙打中｝，则:
P(A)=0.7; P(B)=0.9 1.甲乙两人都打中的概率为:
P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.63 2.目标被打中的概率为:
P(A+B)=1-(1-0.7)(1-0.9)=0.97
3.P(甲脱靶/目标击中) P(A/( A B)) P(A)P(B) P(A B)
i 1
返回
证明:
B
A1 A2 … Ai … An
P(B) P(BU ) P(B( A1 A2 An )) P( A1B A2B AnB) P( A1B) P( A2B) P( AnB)
P(A1)P(B A1) P(An )P(B An )
n
P(Ai )P(B Ai )
i 1
解：P(恰好1只白球)=P(A)
C C C = 1 1 / 2 0.2032
4
32
36
P(恰好2只白球)=P(B)
C C = 2 2 0.0095
4
36
P(至少1只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B)
解法2:
=0.2032+0.0095 =0.2127
C C P(D) 1 P(D) 1 2 32
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12．3．1 概率的加法公式
2．任意事件概率的加法公式
任意事件概率的加法公式为 P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）
公式可以推广到有限个事件的情形。
下面给出三个事件的并的概率加法公式：
P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）－P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P （ABC ）
例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a 发生故障的概率为0.08,元件b 发生故
障的概率为0.05,元件a,b ，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。
解 设A={元件a 发生故障}，B={元件b 发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识
可知
C=A ∪B 。
根据题意可知，P （A ）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得
P(C)=P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）=0.08+0.05－0.004=0.126.
课堂练习
12．3．2概率的乘法公式
1．条件概率
定义 在事件A 发生的条件下发事件B 发生的概率叫条件概率，记作P （B ︱A ）。
例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第
一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。
解 设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。
由于事件A 已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍
有三个，于是由古典概型可知 P （B ︱A ）=
43 条件概率有以下计算公式：
P （B ︱A ）=)()(A P AB P P （A ）≠0 P （A ︱B ）=)
()(B P AB P P （B ）≠0。
（12-6） 课堂练习
2．乘法公式
由条件概率的计算公式可得
P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=P （B ）P （A ︱B ） （12-7）
公式（12-7）称为概率的乘法公式。
例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次，
每次任取一只，取后不再放回。
问两次都取到正品管子的概率是多少？
解 设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。
则AB={两次都取到正品管子}。
因为 P （A ）=106， P （B ︱A ）=9
5， 所以，由公式（12-7）得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=
3195106=⋅。
概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式：
P （ABC ）=P （A ）P （B ︱A ）P （C ︱AB ）。
12．3．3 事件的独立性
定义 如果事件A （或B ）的发生不影响事件B （或A ）发生的概率，即P （B ︱A ）
=P （B ）或P （A ︱B ）=P （A ），那么事件A 、B 叫做相互独立事件。
如果事件A 、B 相互独立，那么两事件的积AB 的概率等于两个事件概率的乘积，即
P （AB ）=P （A ）P （B ）
反过来，如果上式成立，那么事件A 、B 一定相互独立。
如事件A 和事件B 相互独立，则A 与B A A B B ,与，
与都是相互独立的。
如果事件n A A A ，⋯,,21中任一事件i A （i=1，2，…，n ）发生的概率不受其他事件发生的影响，那么事件n A A A ，⋯,,21叫做相互独立事件，并且有
P （n A A A ⋯21）=P ）（）（）（n A A P A ⋯21
例5 掷甲、乙两枚硬币，事件A 表示甲币出现“正面向上”，事件B 表示乙币出现“正面向上”，计算P （A ），P （B ），P （B ︱A ）和P （A ︱B ）。
解 根据题意，全集Ω={（正正），（正反），（反正），（反反）}，
所以 P （A ）=,2142)(,2142===B P ，P （B ︱A ）=21，P （A ︱B ）=21。
由例5可以看出，P （B ︱A ）=P （B ），P （A ︱B ）=P （A ），即事件A 、B 相互独立。
例6 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： （1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率。
解 设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}。
由于甲（或乙）是否击中目标，对乙（或
甲）是否击中的概率是没有影响的，因此A 与B 是相互独立的事件，A 与B A B A B 与，
与,都是相互独立事件。
（1）“两人都击中目标”就是事件AB ，由公式（12-9）得
P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36
(2)事件”恰有1人击中目标”就是事件B A B A ⋃，所以
P （B A B A ⋃）=)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P +=+=0.6×（1－0.6）+(1－0.6)×0.6=0.48
(3)事件“至少有1人击中目标”即事件A ∪B,
所以 P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P （AB ）=P （A ）+P （B ）－P （A ）P （B ）=0.6+0.6－0.6×0.6=0.84
或用A ∪B 的逆事件“两人都未击中目标”也就是B A 来计算
P （A ∪B ）=1－P （B A ）=1－P （)()B P A =1－（1-0.6）×(1－0.6)=0.84
课堂练习：p183.1.2.3.
小结：1、互斥事件概率的加法公式
2、任意事件概率的加法公式
3、条件概率及其求法
4、概率的乘法公式
5、事件的独立性。