场论张量坐标
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
ijk l
ijk l i'i jj' k'k ll'
i' j'k'l'
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
张量与场论
标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
设 M 0 为标量场 u uM 中的一点，从 M 0 出发引一条
射线 l ，在 l 上点 M 0 的邻近取一动点 M ，记 M0M
．若当 M M0 时比式 u uM u(M 0 ) 的极限存在，则
M0M
称它为函数 l u uM 在点 M 0 处沿 方向的方
29
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
30
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
i, j, k 奇排列， 213，321，132
23
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
13
笛卡尔张量
14
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
教材张量分析与场论
一个表达式中，哑指标必须是成对出现的，其名称是可以改变的，每一项的自由指标的多少以及名称都应是一样的。一个表达式中的自由指标的名称要换必须同时换，而且不能与其它指标的名称相同。如线性变换 这个表达式中有三项 ， ， ，其中第二项有哑指标j，可以换成k，或l，但不能换成i，因为这一项中i为自由指标。在这三项中都有自由指标i，要换必须同时换，如换成k，即可写为 ，但不能换成j，因为第二项中j为哑指标。
标量
矢量分量
张量分量
这里所说的张量可以称为二阶张量，因为有两个自由指标。矢量有一个自由指标，类似地可以称为一阶张量。类似地，标量可以称为零阶张量。
张量的定义还可以推广到高阶的情况，可以定义一般的n阶张量，一般张量的定义：在每一个坐标系下都有3n个量，它们按关系
从一个坐标系变换到另一个坐标系，这样的量称为n阶张量。
对点积运算可以按如下形式进行
其中用到了上边的推导的结果，即 。这与前边点积可写为 = 的结果一致。由此可以看出， 的作用是使该式中的指标j变为指标i， 也称为换标符号。
利用 的换标作用，一个函数的微分可以进行如下的推导
利用 及约定求和使得推导变得很方便了。
1.2记号 、矢积（叉乘）、 关系
在介绍矢积之前，我们先定义另一个记号 ，
由ε的定义可知 ； 。
可以用ε来表示三阶行列式
=
=
或=
也可以写成
在直角坐标系中基矢量{ }的矢积（叉乘）定义如下：设（ ）构成右手系，则定义
； ；
；
例如
例如
容易把矢积推广到一般矢量的情况，设 ； ； 叉乘 仍为一个矢量
的分量为 ，例如 中不为零的项只有 和 ，因此
一般的情况下由 推不出 。只有在任意的 上成立时，才能推得出该式。
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
10.01.2021
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
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二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
《大学物理教学资料》张量的定义
§1 张量的定义在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u1,u2,u3，缩写记为u i，i=1, 2, 3。
对于坐标x,y, z可以表示为x i。
对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。
例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分别表示为σij和εij，其中σ11, σ22分别表示σx, σxy（就是τxy)；ε11 , ε22分别表示εx, εxy(）等。
同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。
为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。
在坐标系Ox1x2x3中。
矢量OP的三个分量ζ 1， ζ 2，ζ3可以缩写作ζ i，同一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作ζ '1，ζ '2，ζ '3，缩写为ζ'i。
设坐标系Ox1x2x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示方向余弦n i'j的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标对应于原坐标轴。
则矢量在新老坐标系中的关系为或者上式可以缩写为或者。
a2, a3)和OP(ζ1, ζ2, ζ3)，作它们的标量积，则考察矢量A(a1,显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则反之，如ζ ' 为已知矢量，而a i为与坐标有关的三个标量，使一次形式在坐标变换时保持不变。
根据矢量定义，则a i 也是矢量。
推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。
设(ζ 1, ζ 2, ζ3)和(η 1, η 2, η3)是矢量，a ij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合a ij为二阶张量。
电磁现象的基本规律-1
1.1 场论和张量分析
3. 本节目的：
在直角坐标的正交线性变换下简介张量及其运算 回顾和介绍场论相关知识： 正交曲线坐标系（给出结果，不予证明） 高斯公式、斯托克斯公式和格林公式（推广） δ 函数（基本性质及其应用） 张量分析运算技巧 在直角坐标下推导和证明张量微分恒等式：“下标法”和“符号法” 推导矢量和二阶张量的不变量 为狭义相对论铺垫：构建张量和张量微分方程（参见第8章）
xi = a ji x′j
d xi = xi( 2 ) − xi(1) ,
对上式再用一次条件(1.1.4): a ji ali = δ jl , 或 A ⋅ AT = 方向也不变（整个矢量不变） x ′ = x′e ′ = x e = x i i j j x j e j = aij xi′e j = xi′ei′ 将逆变换式 x j = aij xi′ 代入上式得
ei′ ⋅ e ′j = ail el ⋅ a jk e k = ail a jk el ⋅ e k = ail a jl = δ ij
′ 由基矢等于坐标梯度也可导出基矢变换关系： ei
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= ∇xi′ = aij ∇x j = aij e j
7
第一章 电磁现象的基本规律
第一章 电磁现象的基本规律
第一章 电磁现象的基本规律（13课时）
节次
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
1.1 场论和张量分析
1. 问题的由来 为描述时空中的物质运动，必须
a) 引入参考系(4维)和坐标系(3维) ─ 实现对时空的定量描述 b) 引入物理量 ─ 实现对物质运动的定量描述 c) 建立相关物理量的联系 ─ 基本物理规律
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第一章 电磁现象的基本规律
第一章-场论及张量初步分析
全国范围内温度场分布
速度场
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.2 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
rotxa
az y
a y z
rot y a
ax z
az x
rot z a
a y x
ax y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
i jk
rota
x y z
ax ay az
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
矢量线：线上每一点的切线方向与该 点的矢量方向重合
dr
r r
根据矢量定义有： a dr 0
直角坐标形式：
1.3 梯度-标量场不均匀性的量度
对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度
来表明在任一时刻标量场中每点邻域 内的函数变化。
函数在M点上沿曲线S方 向的方向导数：
表明函数φ(r,t)在M点上 沿曲线S方向的变化率
p31
p13
1 2
p23
p32
0
二阶反对称张量
2 1
0
张量分解定理
二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张 量和一个反对称张量之和。
P
1 2
P
Pc
1 2
P
Pc
1第一章-场论与张量基本知识
(r), a(r)
1.1 标量、矢量、场
场的几何表示
标量场可用函数等值面（线）来表示。 可直观看出函数值的大小分布，以及变 化快慢
矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出；也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。
1.2 标量场的梯度
方向导数（Directional Gradient）
1. 如果一个方程式或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则 称之为自由指标，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只 出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次， 则称之为哑指标，它表示从1到3求和。哑指标在其他任何项中 可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程中的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的。
2 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
1.4 张量表示法
自由指标： 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
i j k x y z
是一个矢性微分算子，即在运算中具有矢量和微分的双重性质， 其运算规则是：
u u u u i j k x y z
Ay Ax A A i j z k x y z
Az Ay Ax Az Ay Ax A y z i z x j x y k
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
1.5 坐标变换与张量定义
「第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2」
§２ 场论初步一、 场论的基本概念及梯度、散度与旋度［标量场] 空间区域D 的每点M (x ,y ,z )对应一个数量值ϕ(ｘ,y ,z )，它在此空间区域D 上就构成一个标量场,用点M （x,y,z )的标函数ϕ(x ,y ，z )表示.若M 的位置用矢径ｒ确定，则标量ϕ可以看作变矢r 的函数ϕ＝ϕ(r ).例如温度场u (x ,ｙ,z ),密度场),,(z y x ρ,电位场ｅ（x ,y ,z )都是标量场.[矢量场] 空间区域D 的每点M (x ，ｙ，z )对应一个矢量值R (x ，ｙ，ｚ)，它在此空间区域D 上就构成一个矢量场,用点M (x ,y ，z )的矢量函数Ｒ(x ，ｙ,ｚ)表示.若M 的位置用矢径r 确定,则矢量R 可以看作变矢ｒ的矢函数R (ｒ)：R （r )＝Ｘ(x ，ｙ，z )i ＋Ｙ（x ，y ,z ）j ＋Z (x ，ｙ,z )k例如流速场 υ(x ,y ,z ），电场E (ｘ，ｙ，z )，磁场H (x ，y ，z )都是矢量场.与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义．[梯度]ｇrad ϕ＝(x ∂∂ϕ，y ∂∂ϕ,z ∂∂ϕ)=∇ϕ＝x ∂∂ϕi ＋y ∂∂ϕｊ＋z∂∂ϕk 式中∇=ix ∂∂＋ｊy ∂∂+ｋz∂∂称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.ｇr ａd ϕ有的书刊中记作de ｌϕ.ｇrad ϕ的方向与过点(x ，y ,z )的等量面ϕ=Ｃ的法线方向Ｎ重合,并指向ϕ增加的一方,是函数ϕ变化率最大的方向,它的长度等于N∂∂ϕ. 梯度具有性质:ｇrad(λϕ+μψ)＝λ gr ａd ϕ＋μgrad ψ （λ、μ为常数)grad(ϕψ)=ϕ grad ψ＋ψ gr ａd ϕ gra ｄF (ϕ)＝()ϕϕgrad F ' [方向导数]l ∂∂ϕ＝ｌ·g ｒa ｄϕ=x ∂∂ϕcos α+y ∂∂ϕcos β+z∂∂ϕc ｏs γ式中l =(ｃｏs α，c ｏs β，ｃｏs γ)为方向l 的单位矢量，α,β，γ为其方向角.方向导数为ϕ在方向l 上的变化律，它等于梯度在方向l 上的投影. [散度]d ｉv R =x X ∂∂＋y Y ∂∂＋zZ ∂∂=∇·R =div （X , Y , Ｚ) 式中∇为哈密顿算子. 散度具有性质：d ｉv （λa +μｂ)=λ div a ＋μdi ｖb (λ、μ为常数) div(ϕa )＝ϕdiv ａ＋a g ｒad ϕ ｄiv(a ×b ）＝ｂ·ｒo ｔ ａ－a ·ｒot b[旋度]rot R =（z Y y Z ∂∂-∂∂)i +(xZ z X ∂∂-∂∂)j ＋(y X x Y ∂∂-∂∂)k =∇×Ｒ=ZYXz y x ∂∂∂∂∂∂k j i式中∇为哈密顿算子,旋度也称涡度，rot Ｒ有的书刊中记作cu ｒl R ．旋度具有性质：r ｏt(λa +μb )＝λ rot a ＋μro ｔ b (λ、μ为常数) ｒot(ϕa )=ϕrot a +a ×ｇrad ϕro ｔ(a ×b )＝(b ·∇）a －(a ·∇)b +(ｄiv b )a －（di ｖ ａ）b[梯度、散度、旋度混合运算］ 运算g ｒad 作用到一个标量场ϕ产生矢量场grad ϕ,运算d ｉv 作用到一个矢量场 Ｒ产生标量场d ｉv Ｒ,运算ｒot 作用到一个矢量场R 产生新的矢量场r ｏt R .这三种运算的混合运算公式如下：d ｉｖ ｒｏt R =０ ｒot ｇr ａd ϕ＝0div gr ａｄϕ=22x ∂∂ϕ ＋22y∂∂ϕ+22z ∂∂ϕ=∆ϕg ｒａd ｄi ｖ Ｒ＝∇（∇R ) ro ｔ ｒot R =∇×(∇×R )ｄiv gra ｄ(λϕ+μψ）=λ d ｉｖ g ｒad ϕ+μｄiv gra ｄψ （λ、μ为常数)d ｉｖ grad(ϕψ）＝ϕd ｉv g ｒad ψ+ψｄｉv grad ϕ＋２gra ｄϕ·grad ψg ｒad div Ｒ-ｒo ｔ ro ｔ R =∆R式中 ∇为哈密顿算子,∆=∇·∇＝∇２为拉普拉斯算子.[势量场（守恒场)］ 若矢量场R (ｘ，y ，z )是某一标函数ϕ(x ,y ,z ）的梯度，即R ＝ｇra ｄϕ 或 Ｘ＝x ∂∂ϕ,Y ＝y ∂∂ϕ,Z ＝z∂∂ϕ则Ｒ称为势量场，标函数ϕ称为R 的势函数.矢量场R 为势量场的充分必要条件是：rot R ＝０，或y X ∂∂ =x Y ∂∂,z Y ∂∂=y Z ∂∂,x Z ∂∂=zX∂∂ 势函数计算公式ϕ(ｘ，y ，z )＝ϕ(ｘ０，y 0，z 0)＋()⎰xx x z y x X 0d ,,00＋()⎰yy y z y x Y 0d ,,0+()⎰zz z z y x Z 0d ,,[无散场(管形场)] 若矢量场R 的散度为零,即div R ＝0，则R 称为无散场．这时必存在一个无散场Ｔ,使Ｒ＝r ｏt Ｔ，对任意点Ｍ有T ＝14π⎰V r d rot R式中ｒ为d Ｖ到Ｍ的距离，积分是对整个空间进行的.［无旋场] 若矢量场R 的旋度为零，即r ｏt R ＝0，则R 称为无旋场．势量场总是一个无旋场,这时必存在一个标函数ϕ,使R ＝grad ϕ，而对任意点M 有ϕ=-14π ⎰V r d div R式中r 为d V 到M 的距离,积分是对整个空间进行的.二、 梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式１．单位矢量的变换［一般公式] 假定x =ｆ(ξηζ,,),y =g (ξηζ,,),z =h (ξηζ,,)把(ξηζ,,)空间的一个区域 一对一地连续映射为（ｘ,y ，z ）空间的一个区域D ,并假定f ，g ，h 都有连续偏导数,因为对应是一对一的,所以有ξ＝ϕ(x ,y ，z )，()()ηψζχ==x y z x y z ,,,,,再假定ϕψχ,,也有连续偏导数，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ζζηηξξζζηηξξζζηηξξd d d d d d d d d d d d z z z z y y y y x x x x 或逆变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=z z y y x x z z y y x x z z y y x x d d d d d d d d d d d d ζζζζηηηηξξξξ沿d ｘ,ｄy ，d z 方向的单位矢量记作i ，j ，k ,沿ζηξd ,d ,d 方向的单位矢量记作ζηξe e e ,,，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=222222222ζζζζζζηηηηηηξξξξξξζηξz y x z y x z y x zy x z y x z y x k j i e k j i e kj i e [圆柱面坐标系的单位矢量］ 对于圆柱面坐标系（图8.11)⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x ϕρϕρsin cos ()002≤≤∞≤<-∞<<∞ρϕπ,,z 单位矢量为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=k e j i e j i e zϕϕϕϕϕρcos sin sin cos 它们的偏导数为000=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂zz z zzze e e e e e e e e e e ϕρϕρρϕϕρρρρϕϕϕ,,[球面坐标系的单位矢量］ 对于球面坐标系（图８．1２）⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x ()0020≤<∞≤<≤≤r ,,ϕπθπ单位矢量为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=++=j i e k j i e k j i e ϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθcos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin r它们的偏导数为θϕϕθϕϕθθϕθθθϕθϕθϕθθθe e e e e e e 0e e e e e 0e e e cos sin ,cos ,sin ,,--=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂r rr rr rr r 2.矢量的坐标变换［一般公式] 一个由(x ,y ,ｚ)坐标系所表达的矢量可以用(ξηζ,,)坐标系来表达:υ=(x υ,υｙ,υｚ)=x υｉ＋υｙ j ＋υz ｋ＝ζζηηξξυυυe e e ++式中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=222222222222222222222222222ζζζυζηηηυηξξξυξυζζζυζηηηυηξξξυξυζζζυζηηηυηξξξυξυζηξζηξζηξz y x z z y x z z y x z z y x yz y x y z y x y z y x x z y x x z y x x z y x[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换] 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=z zy x υυϕυϕυυϕυϕυυϕρϕρcos sin sin cos 由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=z zy x y x υυϕυϕυυϕυϕυυϕρcos sin sin cos [球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-+=θυθυυϕυϕθυϕθυυϕυϕθυϕθυυθϕθϕθsin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin r zr y r x 由直角坐标系到球面坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=++=ϕυϕυυθυϕθυϕθυυθυϕθυϕθυυϕθγcos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin y x z y x z y x ３．各种算子在不同坐标系中的表达式设U ＝U (ｘ，y ，z ）是一个标函数，V ＝V (x ，y ,z )是一个矢函数． [在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]哈密顿算子 ~∇=ρρ∂∂e +ϕρϕ∂∂1e +zz ∂∂e梯 度 grad U = ~∇Ｕ＝ρρ∂∂U e +ϕρϕ∂∂U 1e +z U z ∂∂e散 度 di ｖV ＝ ~∇·V ＝()zz ∂∂+∂∂+∂∂υϕυρρυρρϕρ11 旋 度 ro ｔＶ＝ ~∇×V =ρϕυϕυρe ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z z 1+ϕρρυυe ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z z +()z e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂ϕυρρρυρρϕ11拉普拉斯算子 ∆U ＝d ｉv grad U =2222211z UU U ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕρρρρρ [在球面坐标系中各种算子的表达式］哈密顿算子 ~~∇=r r ∂∂e +θθ∂∂r 1e ＋ϕθϕ∂∂sin r 1e梯 度 grad Ｕ＝ ~~∇U ＝r U r ∂∂e +θθ∂∂U r 1e ＋ϕθϕ∂∂U r sin 1e散 度 di ｖ V=~~∇·V =()()ϕυθθυθθυϕθ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂sin sin sin r r r r r r 11122 旋 度 rot V ＝ ~~∇×Ｖ＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ϕυθυθθθϕsin sin r 1r e ＋()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂ϕυϕυθr r r r r 11sin θe ＋()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂θυυθr r rr r 11ϕe 拉普拉斯算子 ∆U =d ｉｖ g ｒad U＝2222221111ϕθθθθθ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂U r U r r r U r r rsin sin sin三、 曲线积分、曲面积分与体积导数［矢量的曲线积分及其计算公式] 矢量场R (r )沿曲线Γ的曲线积分定义为⎰ΓR (r )·d r ＝∑=∞→→ni n r 1lim∆Ｒ(i r ~)·∆ｒｉ-１ 式中∆ｒi －１＝ｒi -r i -1，右边极限与i r ~的选择无关,曲线 Γ由A 到B （图８．１3)若矢函数R (r ）是连续的(就是它的三个分量是 连续函数）, 曲线Γ也是连续的, 且有连续转动的切线, 则曲线积分()⎰⋅Γr r R d存在.若R (ｒ)为一力场,则Ｐ＝()⎰⋅Γr r R d 就等于把一质点沿着Γ 移动时力R 所作的功. 矢量曲线积分的计算公式如下： ()⎰Γ⋅r r R d =()⎰++z Z y Y x X d d d Γ()⎰+⋅21ΓΓr r R d ＝()⎰⋅1Γr r R d +()⎰⋅2Γr r R d （图8.14)()⎰⋅Γr r R d ＝-()⎰-⋅Γr r R d()()[]⎰⋅+Γr r T r R d =()⎰⋅Γr r R d ＋()⎰⋅Γr r T d()⎰⋅Γr r R d k =k ()⎰⋅Γr r R d（k 为常数）[矢量的环流] 如果Γ为一闭曲线，则沿曲线Γ 的曲线积分()⎰⋅Γr r R d =()⎰++Γz Z y Y x X d d d 称为矢量场R (r )沿闭曲线Γ 的环流．势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(ｒ)为一势量场,且它的势函数为ϕ时，则曲线积分()⎰⋅Γr r R d =()⎰⋅B Ar r R d ＝ϕ(B )-ϕ(A ）与连接A ,B 两点的路径无关,只依赖于Ａ，B 两点的 位置(图8.１5).[矢量的曲面积分] 设S 为一曲面,令N ＝()cos ,cos ,cos αβγ表示在曲面S 上一点的法线单位矢量, 而ｄS ＝N d Ｓ表示面积矢量元素.又设ϕ(ｒ)=ϕ(x , y ,z ）是定义在曲面S 上的连续标函数,R （r ）＝(Ｘ(x , ｙ,ｚ),Y （x ， y ,z ）， Z （ｘ, y ,z ))是定义在曲面Ｓ上的连续矢函数,这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.则曲面积分有如下的三种形式：1标量场的通量(或流量)ϕS⎰⎰ｄS =ϕS yz⎰⎰d y d z i ＋ϕS zx ⎰⎰d z d x j +ϕS xy⎰⎰d x d y k式中S ｙz ，S zx ，Ｓxy 分别表示曲面S 在Oyz 平面,Ｏz ｘ平面, O ｘｙ平面上的投影．Ｓx ｙ的正负号规定如下：当从ｚ轴正方 向看去时，看到的是曲面S 的正面，认为S xy 为正，如果 看到的是曲面的反面,则认为S xy 为负(图８．16).2矢量场的标通量S⎰⎰R ·d S =S yz⎰⎰X d ｙd z +S zx ⎰⎰Y d z d ｘ＋S xy⎰⎰Z d ｘd ｙ式中S yz 等的意义同1.３矢量场的矢通量S⎰⎰R ×d Ｓ=S yz⎰⎰（Z ｊ-Ｙk )ｄy d z ＋S zx ⎰⎰(X ｋ－Z ｉ)ｄz d x +S xy⎰⎰(Y i -Ｘj ）d x d ｙ式中S y ｚ等的意义同1.[矢量的体积导数] 如果S 是包围体积V 的闭曲面,并包含点ｒ，则沿闭曲面S 的曲面积分(S⎰ϕd S ,S⎰R ·ｄＳ,S⎰R ×d S )与体积Ｖ之比,当V 趋于零时(即它的直径→0)的极限称为标量场ϕ(或矢量场R ）在点r 处的体积导数(或空间导数). 1标量场ϕ的体积导数就是它的梯度：grad ϕ＝VSV ⎰→Sd limϕ02矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度:ｄiv Ｒ＝VSV ⎰⋅→SR d lim３矢量场R 的另一个体积导数是它的旋度： rot Ｒ=－V S V ⎰⨯→S R d lim四、 矢量的积分定理[高斯公式]⎰⎰⎰V div R ｄV ＝S ⎰⎰R ·d Ｓ=S⎰⎰R ·N d Ｓ 即()⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V SS Z Y X z y x z Z y Y x X d cos cos cos d d d γβα 式中S 为空间区域V 的边界曲面，N ＝()cos ,cos ,cos αβγ为在S 上一点的法线单位矢量,Ｒ(ｒ）=(X (x , ｙ,z ),Y (x ， ｙ,z ）,Z (x , y ，z ）)在V +Ｓ上有连续偏导数.[斯托克斯公式] S ⎰⎰r ｏｔ R ·ｄＳ=S ⎰⎰rot R ·N d S ＝L⎰R ·d r 即y x y X x Y x z x Z z X z y z Y y Z S d d d d d d ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ = ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S S y X x Y x Z z X z Y y Z d cos cos cos γβα = ⎰++L z Z y Y x X d d d式中S 为一定曲面的一侧，L 为曲面S 的闭边界曲线（L 的正向与N 构成右手系).Ｓ的每点有切面,其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线Ｌ上的每点都有切线(图8.17）. R (r )=(X (x , y ,z ),Y (x , y ,z ),Z (x , ｙ，z )）在曲面的所有点单值，并在与S 足够靠近的点处有连续偏导数．[格林公式]⎰⎰S ψϕgrad ·ｄS =()⎰⎰⎰⋅+VV d grad grad Δψϕψϕ ()⎰⎰-S ϕψψϕgrad grad ·d S ＝()⎰⎰⎰∆-∆VV d ϕψψϕ式中S 为空间区域V 的边界曲面,ϕψ,为两个标函数,在Ｓ上具有连续偏导数，且在V 上具有二阶连续偏导数,∆为拉普拉斯算子,特别⎰⎰S ϕgrad ·d S =⎰⎰⎰∆V V d ϕ 即⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂S V V z y x y x z x z y z y x d d d d d d d 222222ϕϕϕϕϕϕ。
0 场论与张量基本知识
l 上的单位向量， 设e cos i sin j 是方向
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } x y l x y gradf ( x , y ) e | gradf ( x , y ) | cos , 其中 ( gradf ( x, y ), e ) f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) 1时， 有最大值. l
如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出
边界 l 上的场，反之亦然。
1.2.6 基本运算公式列表
a、微分公式
(1) 1
(2) 1 (3) (4)
1 2 2 1 f f A B A B
数学中的高斯定理 (Gauss’s theorem) 将体积 积分与面积积分联系起来，在流体力学中，可以 利用这一定理将通量与散度联系在一起。 令 V 为一封闭曲面所包围的体积，在曲面上 考虑一微小面积 dS，其外法线方向为n， dS＝ ndS 是一向量 ( 其大小为 dS ，方向为 n) ，令 A 表示一个 标量场、向量场或张量场，则高斯公式为
1.2.2 向量场的散度
(2) 向量A的散度 在直角坐标系中，A＝Ax i＋Ay j＋Az k
Ax Ay Az div A A x y z
散度等于零 (divA ＝ 0) 的向量场称为无源场或管式 场。div u＝0是不可压缩流体流动的连续性方程。 散度基本运算法则：
在向量场 A 中任取一点 M ，包围 M 作一微小体积 ΔV ， 其界面的表面积为ΔS。考虑向量A通过ΔS面的通量，除以 体积ΔV，令体积ΔV向M点无限收缩，得极限
高等流体力学—场论及张量初步
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。
本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。
相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。
2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。
矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。
矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。
参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。
2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。
在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。
《物理场论》标量矢量和张量
一个数量场可以用一个数性函数 u 来表示。通 常假定数性函数 u是单值、连续且有一阶连续的
偏导数。
数量场的等值面
等值面：数性函数 u 取相同值的点连接起来构
成的一个曲面，定义为：
u(x, y, z) C （ C 为常数）
比如温度场的等温面，电位场的等电位面等。
由隐函数存在定理可知，在函数 u 为单值，且
证明：将
C
D
看作一个矢量，由矢量混合积
的旋转法则可以得到：
( A B) (C D) A [B (C D]
A [C(B D) D(B C)]
( A C)(B D) ( A D)(B C)
P(x, y, z) r
o
xex
yey
y
x
矢量的点积
矢量点积的物理背景：广泛的应用。
W
F
s
常力
F
W
F
ds
O 变力
s
矢量的点积
矢量点积的矩阵表示：矢量可以用列矩阵表示。
A Axex Ayey Azez
Ax
A
P(x, y, z)
yj
y
矢量均可以表示为基的线性组合
r xi yj zk
r xex yey zez
矢量的概念
z
矢量的模：矢量的长度
r
r
x2 y2 z2
zez
r
o
xex
单位矢量：一个矢量与其模相除。 x
r
第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
x2
A
• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶 域内转换到边界
l
x1
向二维扩展：Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
gi ( x j ) gi ( x j x j )
gi gi ( x , x , x )
1 2 3
O
是坐标的非线性函数
基矢量的导数，Christoffel符号
基矢量的导数与Christoffel符号 协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号 g j g j k k k ij gk ij i g 定义式 i x x
m Tim m T i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度 特殊张量1：度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此，Laplace算子的计算式：
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子， 即梯度算子。 Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子， 即Laplace算子。
从而可得右梯度和左梯度：
T i T T (r ) i g x
第一章 场论和张量初步
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
张量坐标变换公式
张量坐标变换公式
张量坐标变换公式是用于描述张量在不同坐标系之间转换的公式。
在物理学和工程学中，张量是一种重要的数学工具，用于描述各种物理量，如力、电场、磁场、应力等。
张量具有独立于坐标系的物理意义，但在不同的坐标系中，它的坐标表示会发生改变。
因此，需要一个公式来描述张量在不同坐标系之间的转换关系。
张量坐标变换公式是这样一个公式，它可以将张量在一个坐标系中的坐标表示转换为在另一个坐标系中的坐标表示。
这个公式是由张量的坐标变换规律所决定的，具体来说，它是基于张量在不同坐标系中的基向量之间的变换关系推导出来的。
张量坐标变换公式在物理学和工程学中有着广泛的应用，是理解和应用张量的重要基础。
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