流体力学-第四章

dp p p p p u v w dt t x y z
密度变化：
d u v w dt t x y z
温度变化：
dT T T T T u v w dt t x y z
§1
描述方法
描述流体运动方法
随体法 当地法 拉格朗日法 欧拉法 质点轨迹： r r (a,b,c,t ) 参数分布：B = B（x, y, z, t）
x et c1 tet dt et c1 (t 1)e t c1et t 1 y et c2 tet dt et c2 (t 1)e t c2et t 1



(b)
xa 上式中c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 ,可确 y b c1 a 1 定 ，代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为
c 2 b 1
x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1
讨论： 本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速 度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－指定流体质点在不 同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。
第四章
§1
§2
d 2 y 2 ya, b, c, t ay 2 a y a, b, c, t dt t 2
dx xa, b, c, t u u a, b, c, t dt t
dy y a, b, c, t v va, b, c, t dt t
§3
流动的分类
为了便于研究流体流动，可将流体流动分类如下：
1、按流体性质分类 理想流体流动和粘性流体流动
可压缩流体流动与不可压缩流体流动
2、按流体运动状态分类 定常流动和非定常流动，有旋流动和无旋流动，层流流动和紊流
流动，亚声速流动和超声速流动
3 、按流动空间的坐标变量数分类 一维流动、二维流动、三维流动
三维速度廓线
u u ( x, y, z , t ) v v( x, y, z, t ) w w( x, y, z, t )
B）一维，二维与三维流动
1. 流动维数的确定：
三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数
二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t)
A）速度场
• 速度场是最基本的场
速度分量：
v = v (x, y, z, t )
u u ( x, y, z , t ) v v( x, y, z, t ) w w( x, y, z, t )
• 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布
二维速度剖面 u ＝u ( x, y)
已知: 求： 解：
u xt 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。 对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点
u dx x t dt dy v y t dt
v y t
(a)
求解一阶常微分方程（a）可得
流体运动学
描述流体运动方法
流场的几何描述
§3
§4 §5 §6
流动的分类
流管与流量 连续性方程 流体微团的运动分析
§2
—
流场的几何描述
一、迹线与流线
1、迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。这 在拉格朗日研究法中运用。 2、流线 — 在欧拉法中流线是流场中的瞬时光 滑曲线，曲线上各点的切线方向与 各该点的瞬时速度方向一致。
流体力学
（第四章 流体运动学）
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目
前言 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
绪论 流体的物理性质及作用力 流体静力学 流体运动学 理想流体动力学基础 流体漩涡运动的基本理论 相似原理和量纲分析 粘性流体力学 气体动力学
第四章
§1
§2
流体运动学
描述流体运动方法
讨论：
dN 1、物理量的质点导数 有两部分组成。 dt
N 2、 t 项为当地导数、局部导数或时变导数。它代表质点在没有空 间变位时，物理量 N 对时间的变化率，反映流场的非定常性。
N N N v w 3、 x y z 项为迁移导数或位变导数。它代表质点经过 dt 时间处于不同位置时，物理量 N 对时间的变化率，反映流场的 非均匀性。 u
3）两种描述流动的方法之比较
拉格朗日法 分别描述有限质点的轨迹 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数
表达式复杂
不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体微元的运动变形特性
表达式简单
直接反映参数的空间分布 适合描述流体微元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的
流体力学最常用的解析方法
[例1] 由速度分布求质点轨迹
dx u dt
dy v dt
dz w dt
DN N N N N u v w Dt t x y z
DN N v N Dt t
i j k x y z
§1
描述流体运动方法
dN N N N N u v w dt t x y z
§2 流场的几何描述
总流：微元流束的总和
在有效截面上取平均值，按一维流动处理 缓变流与急变流：流束内流线间的夹角很小、流线曲率很大，近乎平行 直线的流动为缓变流。不符合上述条件的流动成为急 变流。
第四章
§1
§2
流体运动学
描述流体运动方法
流场的几何描述
§3
§4 §5 §6
流动的分类
流管与流量 连续性方程 流体微团的运动分析
点，由于流场的非定常性和非均匀性，质点 M 所具
有的物理量 N 在运动中不仅经历了 t 时间的 变化，而且也经历了空间 s xi yj zk 的变化。
§1
描述流体运动方法
s 这种空间的变化量即为质点的位移与 t 时间有关，故流体质点 M 所具有的
物理量 N 是
§1
描述流体运动方法
压强变化：
4、各物理量的随体导数
加速度：
du u u u u ax u v w dt t x y z dv v v v v ay u v w dt t x y z
dw w w w w az u v w dt t x y z
v=v ( x, y, z, t)
一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数
v=v( x ) 或 v=v ( s )
2. 常用的流动简化形式：
dz z a, b, c, t w wa, b, c, t dt t
流体质点的其它物理量：
d 2 z 2 z a, b, c, t az 2 az a, b, c, t 2 dt t
p pa, b, c, t
a, b, c, t
§1
描述流体运动方法
t
的坐标位置
1）拉格朗日法
拉格朗日法是利用质点在任意时刻
x、 y、 z
来确定
质点的运动轨迹流。要研究整个流体流动就必须着眼于每一个流体质点
的研究，综合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律。 拉格朗日法选取初始时刻 t 0 ，以每一个质点的初 始坐标 a、b、c 作为标记，用 (a、b、c) 的不同值区分不同的质点。流体质点的坐标可以表 示为时间 t 及初始位置 a、b、c 的函数，即：
3）物理量的质点导数
动量、动能等）对时间的变化率为物理量的质点导数（随体导数）。
运动中的流体质点所具有的物理量 N （例如速度、压强、密度、温度、质量、
dN N lim dt t 0 t 流体质点 M 在瞬时 t 从某一空间点 Ax, y, z 以瞬时速 度 v x u(t )i vt j wt k 携带某个物理量 N N x, y, z, t 在流场中流动，经过 t 时间，质点到达 Bx x, y y, z z
x xt
z za, b, c, t
§1
描述流体运动方法
y ya, b, c, t
流体质点的坐标：
x xa, b, c, t
流体质点的速度：
z za, b, c, t
流体质点的加速度：
d 2 x 2 xa, b, c, t ax 2 ax a, b, c, t 2 dt t
T T a, b, c, t
§1
描述流体运动方法
2）欧拉法
欧拉法着眼于研究空间固定点的流动情况，即研究流体质点经过某一空间点的 速度、压强、密度等变化的规律， 将许多空间点在不同时刻的流体质点的运动情况 记录下来，就可以知道整个流体的运动规律。显然，欧拉法不研究个别流体质点的 运动规律，对于流体质点从哪里来，又流到何处去，并不加以研究。因此，欧拉法 不能直接给定流体质点的运动轨迹。
v ds 0
写成投影式，则
dx dy dz u ( x, y, z, t ) v( x, y, z, t ) w( x, y, z, t )
§2
流场的几何描述
4、流线与迹线的性质 a、 流线与迹线的共同点是，它们都是与速度相切的曲线。但流线是同 一瞬时、不同质点所形成的曲线；迹线是同一质点在不同瞬时所 经过的位置的轨迹。 b、在给定瞬时空间一个点只能作一条流线，因为在同一点上不可能同 时有几个流动方向，所以流线不能相交、也不能突然折转。
§2
流场的几何描述
c、定常流动时，流线的形状始终不变，与时间无关。任意流体质点必定
沿某 一 确定的流线运动，其迹线和流线相重合。