怎样求点到平面的距离
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
点到平面的距离坐标法
点到平面的距离坐标法
点到平面的距离坐标法是一种用于计算点到平面距离的方法。
它基于平面的一般式方程，该方程描述了平面的位置和方向。
一般式方程的形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面到坐标原点的距离。
要计算一个点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离，可以按照以下步骤进行：
1. 将平面方程的系数A、B、C、D代入公式
d=|Ax+By+Cz+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)，其中d表示点P到平面的距离。
2. 将点的坐标代入平面方程，计算出点P在平面上的投影点
Q(x,y,z')，其中z'=(-Ax-By-D)/C。
3. 计算点P和点Q之间的欧几里得距离，即
d=sqrt((x-x)^2+(y-y)^2+(z-z')^2)。
点到平面的距离坐标法是一种简单而实用的方法，可以用于机器人、计算机视觉等领域的应用。
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点到平面距离的若干求解方法
点到平面距离的若干求法1 定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''= AA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E ' A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D '' AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
三维空间点到平面的距离公式
三维空间点到平面的距离公式
三维空间点到平面的距离公式是：
d=|(ax+by+cz+d)|/(a^2+b^2+c^2)^(1/2)
其中，点的坐标为(x,y,z)，平面的一般式为ax+by+cz+d=0，a、b、c是平面的法向量分量。
拓展：
除了使用一般式求点到平面距离的公式，还可以根据向量的知识
得到点到平面距离的公式。
点到平面的距离等于点到平面所在的直线
的垂直距离，而直线的方向向量为平面的法向量。
因此，点到平面的
距离公式也可以写为：
d=|(P-P0)·n|/|n|
其中，P为点的位置向量，P0为平面上任意一点的位置向量，n为平面的法向量。
这种方法可以避免用到平面的一般式，更加方便。
此外，对于三维空间中任意两个点之间的距离公式，也可以用向
量的知识轻松推导得到：
d=|P2-P1|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)^(1/2)
其中，P1和P2分别为两个点的位置向量，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为它们的坐标。
立体几何求点到面距离问题
立体几何求点到面距离问题引言立体几何是研究空间中的图形和空间关系的一个分支学科。
在立体几何中，求点到面的距离是一个常见的问题。
本文将从基本概念出发，深入探讨立体几何中求点到面距离的问题。
什么是点到面的距离点到面的距离是指空间中一个点到平面的最短距离。
这个距离可以用于求解一系列实际问题，例如工程中的装配问题、机器人导航问题等。
点到面距离的计算方法在立体几何中，求点到面的距离可以采用多种方法。
下面将介绍几种常用的计算方法。
求点到平面的公式假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，点的坐标为(x0,y0,z0)，点到平面的距离可以通过公式计算：距离= |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，|x|表示x的绝对值。
点到三角形的距离若平面上有一个三角形ABC，点P到三角形的距离可以按照以下步骤计算：1.求三角形ABC的法向量N；2.用三角形ABC的一条边向量B-A和两个边向量C-A、P-A构造Gram矩阵，记作G；3.求Gram矩阵的特征值λ1、λ2、λ3；4.计算点到三角形的距离d = √(2* (λ1^2 + λ2^2 + λ3^2) / (λ1 +λ2 + λ3))；其中，√表示平方根。
点到立方体的距离立方体是一个六个面都是正方形的多面体。
点到立方体的距离可按照以下步骤计算：1.将立方体视为六个平面；2.对于每个平面，计算点到平面的距离；3.取最小的平面距离作为点到立方体的距离。
点到面距离的应用点到面的距离在计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
计算机图形学中的应用在计算机图形学中，点到面的距离可以用于线框模型的绘制、曲面的包围盒计算等。
例如，当我们需要绘制一个线框模型时，可以通过计算点到平面的距离，来确定哪些线是显示的，哪些线是隐藏的。
计算机辅助设计中的应用在计算机辅助设计中，点到面的距离可以用于零件装配的碰撞检测、表面贴花等。
点到面距离求解技巧
点到面距离求解技巧点到面的距离是计算计算机图形学中常见的问题之一，它用于确定给定点与给定平面之间的最短距离。
在本文中，我们将介绍如何计算点到平面的距离，并提供一些求解技巧。
1.点到平面的距离公式点到平面的距离可以通过向量运算来计算。
给定平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是平面的系数。
点P(x0, y0, z0)到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|是点P到平面的有向距离，√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法向量的长度。
2.点到平面距离的向量推导我们可以将点到平面的距离表示为该点到平面投影点的距离。
设点Q(x, y, z)为点P(x0, y0, z0)在平面上的投影点，那么向量PQ与平面的法向量垂直，也就是说，它们的点积为零。
根据向量点积的定义，我们可以得到：(A, B, C)·((x - x0, y - y0, z - z0)) = 0展开上述式子并整理，得到：Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0这就是点到平面的投影点的坐标。
接下来，我们可以计算点P到平面的有向距离d。
根据直线的距离公式，我们有：d = |PQ| = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)将上述公式展开并整理后，可以得到点到平面距离的公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)3.点到平面距离的应用点到平面的距离在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
例如，在三维计算机图形中，我们可以使用点到平面距离来实现碰撞检测、裁剪算法和视景体计算等。
同时，点到平面的距离也可以用于优化算法，例如最小二乘法中的参数估计和误差优化。
4.求解技巧求解点到平面距离的过程中，有一些技巧可以加速计算。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本）中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离,求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ,作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ，易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝，ＰＮ＝,由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ,得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ—ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ,交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，Ａ求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题,概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离,延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ，作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ,则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ,易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝,ＰＮ＝，由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ，得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．(１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α,Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ,易知ＢＰ＝,这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２,ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/,于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝· ＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ,易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝,ＥＢ＝２,所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝（１/４）Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ,求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ,Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ,交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关,所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝,Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２３，得ｄ＝为所求之距离．。
点到曲面的距离公式
点到曲面的距离公式
求点到面的距离公式：k=a-gh。
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离，特殊的有当点在平面内，则点到平面的距离为零。
平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。
是由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直
线的无限延展性又是相通的。
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
在实际应用中，点到面的距离计算常常用于计算三维模型的碰撞检测、物体运动轨迹的计算等方面。
本文将介绍几种常用的点到面距离计算方法。
一、点到平面的距离公式点到平面的距离公式是最基本的点到面距离计算方法。
假设点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|.|表示绝对值，sqrt(.)表示开方运算。
这个公式的推导可以通过向量的方法得到，具体可以参考相关的线性代数教材。
二、点到三角形的距离计算点到三角形的距离计算是点到面距离计算的一个特例，因为三角形是一个平面图形。
假设点P(x,y,z)到三角形ABC的距离为d，则有：d = |(P-A)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n为三角形ABC的法向量，|.|表示向量的模长。
这个公式的推导也可以通过向量的方法得到。
三、点到网格模型的距离计算在实际应用中，我们通常需要计算点到网格模型的距离，而不是单个平面或三角形的距离。
这个问题可以通过以下步骤解决：1. 遍历网格模型的所有三角形，计算每个三角形到点的距离。
2. 找到距离最小的三角形，将其距离作为点到网格模型的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要遍历整个网格模型，计算量较大。
四、点到包围盒的距离计算包围盒是一个能够完全包含三维模型的最小立方体或最小球体。
点到包围盒的距离计算可以通过以下步骤解决：1. 判断点是否在包围盒内部，如果是，则距离为0。
2. 如果点在包围盒外部，计算点到包围盒各个面的距离。
3. 找到距离最小的面，将其距离作为点到包围盒的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要先计算包围盒，然后再计算点到包围盒的距离。
总结点到面的距离计算是计算机图形学中的一个重要问题，涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
浅谈空间距离的几种计算方法
空间距离常见问题：（1）点到平面的距离；（2）两条异面直线的距离；（3）与平面平行的直线到平面的距离；（4）两平行平面间的距离。
一、点到平面的距离求解点到平面的距离常用的方法有以下几种：1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。
2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。
例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。
又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。
3、用等体积法求解点面距离。
例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。
解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22，41=∴FC ,3482511=++=EC , 1091=+=EF101041023416102cos 1212121-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FC EF EC FC EF EFC 101031011sin 1=-=∠∴EFC 61010341021sin 21111=⨯⨯=∠⋅=∴∆EFC FC EF S EFC 设1C 到EF 的距离为d ，则5106101212,621===∴=⋅EF d d EF （2）设C 到平面EF C 1的距离为hEFC C EF C C V V --=11 131311CC S h S EFC EF C ⋅=⋅∴∆∆ 又451212221132125=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆EFCS3246224111=⨯=⋅=∴∆∆EFC EF C S CC S h 二、两条异面直线的距离1、对于特殊的图形，可以作出异面直线的公垂线段并证明，然后算出公垂线段的长度。
透视点到平面距离的求法
透视点到平面距离的求法一、定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5Q AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又Q 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=IAA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'Q A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''I AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
求点到平面距离地基本方法
求点到平面距离地基本方法求点到平面的距离是一个经典的几何问题，可以通过多种方法来解决。
在本文中，我们将介绍三种基本方法来求点到平面的距离，包括：1.基于向量法的点到平面距离计算方法2.基于公式法的点到平面距离计算方法3.基于投影法的点到平面距离计算方法这三种方法分别适用于不同的情况和问题，可以根据具体的需求选择使用。
1.基于向量法的点到平面距离计算方法：首先，我们可以将平面表示为一个点和法向量的组合，即可以表示为平面上任意一点P和法向量n。
对于给定的点Q，设到平面的距离为d，可得：d=，PQ·n，/，n其中，PQ·n，表示点PQ与法向量n的点乘的绝对值，n，表示法向量n的模。
这样就可以得到点到平面的距离。
2.基于公式法的点到平面距离计算方法：如果我们已知平面的解析式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D分别是平面的系数，我们可以将点Q的坐标代入平面的解析式中，计算平面方程的值。
将得到的结果代入到下面的公式中：d = ，Ax + By + Cz + D， / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)这样就可以得到点到平面的距离。
3.基于投影法的点到平面距离计算方法：对于给定的点Q，我们可以先将点Q在平面上的投影点P求出来，然后计算点P到点Q的距离，即为点到平面的距离。
为了求点Q在平面上的投影点P，首先需要计算平面的法向量n和平面上的任意一点A的连线向量V，然后计算点Q到点A的连线向量QV在法向量n上的投影向量PV。
最后，将点Q与投影向量PV的和即为点P的坐标，然后计算点P到点Q的距离即可得到点到平面的距离。
综上所述，我们介绍了三种基本方法来求点到平面的距离。
根据具体的问题和需求，可以选择适用的方法来计算点到平面的距离。
求点到平面的距离的方法
求点到平面的距离的方法
在学习几何学时，有些对于求点到平面的距离的问题会困惑很多学生。
其实，从数学的角度来看，求点到平面的距离是一个广泛而普遍的问题，而且其解决方案也有很多。
下面，我将介绍求点到平面的距离的几种方法。
第一种方法是直线和平面交点法。
首先，我们需要找到平面上与某一点最近的直线。
然后求出该直线和平面的交点，直线和点所组成的三角形的高即是点到平面的距离。
第二种方法是利用向量来求解。
根据几何学习的知识，我们知道，点到平面的距离是点到平面的垂线的长度。
从而可以通过向量的计算求出垂线的长度，从而求出点到平面的距离。
第三种方法称为“分段法”。
首先，我们需要将平面上的点进行分隔，每个分隔的点都可以用一条直线来描述，从而可以计算出每个点到每条直线的距离。
之后，该点到整个平面的距离就可以得到，因为点到平面的距离就等于点到每条直线的最短距离。
最后，我再介绍一种求点到平面的距离的方法，称为“三维空间中的点分层法”。
首先，将该点投影到三维空间中，然后求出点到每个层的距离，最后加总求出该点到整个空间的距离。
以上就是求点到平面的几种方法。
这些方法在现实生活中都有着广泛的应用，比如在测量物体时会使用。
同时，在解决一些几何学问题时，也会需要用到这些算法。
总之，求点到平面的距离的方法不仅有助于我们更好地理解它，也很实用，有助于我们更好地应用。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法北京农大附中 闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例 （2005年福建高考题）如图1，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE =，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE .(Ⅰ)求证：⊥AE 平面BCE ； (Ⅱ)求二面角E AC B --的大小； (Ⅲ)求点D 到平面ACE 的距离.FEDCBA图1(Ⅰ)、(Ⅱ)解略，(Ⅲ)解如下： 一、直接法利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离. 如图2,β∈A ,αβ⊥,l =βα , l AM ⊥,则α⊥AM .AM 为点A 到平面α的距离.图2解：如图3，过点A 作AG EC ，连结CG DG ,，则平面ADG ∥平面BCE ，∵平面BCE ⊥平面ACE ， ∴平面ADG ⊥平面ACE ，作,AG DH ⊥垂足为H ，则DH ⊥平面ACE . ∴DH 是点D 到平面ACE 的距离. 在ADG Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=AG DG AD DH ABCDEFGH图3二、平行线法如图4,l A ∈,l ∥α,B 为l 上任意一点, α⊥AM ,α⊥BN ,则BN AM =.点A 到平面α的距离转化为平行于平面α的直线l 到平面α的距离，再转化为直线l 上任意一点B 到平面α的距离.图4解：如图5，过点D 作DMAE ，连结CM ，则DM ∥平面ACE ，点D 到平面ACE 的距离转化为直线DM 到平面ACE 的距离，再转化为点M 到平面ACE 的距离.作,CE MN ⊥垂足为N ，∵平面CEM ⊥平面ACE ， ∴⊥MN 平面ACE ，∴MN 是点M 到平面ACE 的距离. 在CEM Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=CE CM EM MN N MAB CDEF图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7, O l =α ，l B A ∈,, α⊥AM ,α⊥BN ,若t BOAO=,则BN t AM ⋅=.点A 到平面α的距离转化为求直线l 上的点B 到平面α的距离.图6 图7解：如图8，BD 与AC 的交点为Q ，即 BD 平面Q ACE =， ∵BQ DQ =，∴点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. ∵平面BCE ⊥平面ACE ，⊥BF 平面ACE ， ∴BF 是点B 到平面ACE 的距离.在BCE Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=CE BE BC BF Q AB CDEF图8四、线面角法如图9，OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，A 到平面α的距离为d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有θsin l d =.经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是OP 与α所成的角θ，这里并不强求要作出A 在α上的射影B ，连结OB 得θ.图9解：如图10，∵⊥BF 平面ACE ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ，BQF ∠为DQ 与平面ACE 所成的角为θ,则点D 到平面ACE 的距离θsin DQ d =.由(Ⅱ)知二面角E AC B --的正弦值为36，得36sin =θ. ∴D 到平面ACE 的距离332362=⨯=d .Q FEDCBA图10五、二面角法如图11，l =βα ，α、β所成二面角的大小为θ，β∈A ，l AB ⊥，a AB =，点A 到平面α的距离d AO =，则有θsin a d =.θ也就是二面角的大小，而不强求作出经过AB 的二面角的平面角.图11解：如图12，∵平面ACD 平面ACE AC =，⊂DQ 平面ACD ，AC DQ ⊥，设二面角E AC D --的大小为θ，则点D 到平面ACE 的距离θsin DQ d =.由(Ⅱ)知二面角E AC B --的正弦值为36，得36sin =θ. ∴D 到平面ACE 的距离332362=⨯=d .A BCDE F Q图12六、体积法解：如图13，过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O ,1=OE . ∵二面角E AB D --为直二面角， ∴EO ⊥平面ABCD .设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --= ∴.3131EO S h S ACD ACE ⋅=⋅∆∆ ⊥AE 平面BCE ，∴EC AE ⊥.∴.3326221122212121=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=EC AE EODC AD h∴点D 到平面ACE 的距离为.332 OF EDCBA图13七、向量法解：如图14，以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，⊥AE 平面BCE ，⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥，在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点， ∴1=OE ,∴).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(C E A -).2,2,0(),0,1,1(==AC AE设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,0,0,0z y y x n AC n AE 即 解得⎩⎨⎧=-=.,x z x y令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面ACE 的一个法向量. ∵AD//z 轴，2=AD ，∴)2,0,0(=AD ， ∴点D 到平面ACE 的距离33232|||,cos |||===><⋅=n n AD AD d. DA图14。
点到面的距离求解技巧
点到面的距离求解技巧点到面的距离，是在三维空间中计算点到一个平面的距离。
这个问题常见于几何学、计算机图形学和计算机视觉等领域。
本文将介绍一些点到面距离求解的技巧，包括点到平面的公式推导、向量法求解和最小二乘法求解等。
一、点到面距离的公式推导设平面的法向量为n，平面上的一个点为p0，点p到平面的距离为d，可以通过以下公式求解：d = |(p - p0) · n| / |n|其中，“.”表示点乘操作，“| |”表示向量的模，p 表示点p的坐标。
公式的推导如下：1. 将点p表示为p = p0 + u * n + v * m，其中u和v是固定的系数。
2. 将点p代入平面的方程（n·(p - p0) = 0）中，可得：n · (p0 + u * n + v * m - p0) = 0等式化简后，可得：u * (n · n) + v * (n · m) = n · (p - p0)3. 因为n · n = |n|^2 = 1，所以上述等式可进一步化简为：u = n · (p - p0)即：p = p0 + n * (n · (p - p0))这个表达式表示点p可以由点p0和平面的法向量n 表示。
4. 点p到平面的距离d等于点p和平面上的任意一点p'的距离，即：d = |p - p'| = |p - p0 - n * (n · (p - p0))|利用向量的模的性质和分配律，可以进一步化简上述等式为：d = |(p - p0) - (n · (p - p0)) * n| = |(p - p0) · n|最后，再除以法向量的模即可得到点到面的距离。
二、向量法求解通过公式推导，我们可以看出点到面的距离与向量的点乘和模有关。
因此，我们可以通过向量法来求解点到面的距离。
具体方法如下：1. 根据给定的点坐标p和平面的法向量n，计算向量v = p - p0，其中p0是平面上的一个点。
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怎样求点到平面的距离
徐加生
在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。
本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。
一 直接法
根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。
例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，32AC ,2BC ,90ABC ==︒=∠，且C A AA ,C A AA 1111=⊥；（I ）求侧棱A A 1与底面ABC 所成角的大小；（II ）求侧面11ABB A 与底面ABC 所成二面角的大小；（III ）求顶点C 到侧面11ABB A 的距离。
图1
简析：（I ）如图1，取AC 中点D ，易得侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为︒=∠45AD A 1。
（II ）由于⊥D A 1底面ABC ，过D 作AB DE ⊥于E ，连E A 1，知AB E A 1⊥，则ED A 1∠为所求二面角的平面角。
易求得︒=∠60ED A 1。
（III ）要求C 到平面11ABB A 的距离，可直接作⊥CH 面11ABB A 于H ，CH 的长就是点到平面的距离。
关键是怎样求CH 的长。
注意到AB BC ⊥，连BH ，则由三垂线定理得AB HB ⊥，即HBC ∠为二面角的平面角。
由（II ）知HBC ∠︒=60，所以360sin BC CH =︒=为所求。
注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。
二. 找垂面法
找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到
平面的垂线段。
例2. 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，11C A 的中点为D 。
（1）求证//BC 1平面D AB 1；（2）求点B 到平面D AB 1的距离。
图2
简析：（1）连B A 1与1AB 相交于O ，连DO 。
由三角形中位线定理易得OD //BC 1，则
D AB //BC 11面。
（2）由于O 为B A 1的中点，所以点B 到平面D AB 1的距离等于点1A 到平面D AB 1的距离。
由111C A D B ⊥，得111ACC A D B 面⊥，又D AB D B 11面⊂，所以面111ACC A D AB 面⊥，交线为AD （找到了垂面）。
过1A 作AD H A 1⊥于H ，则D AB H A 11面⊥，所以H A 1的长度就是点1A 到平面D AB 1的距离。
在AD A Rt 1∆中，2
3
AD A A D A H A 111=
⋅=
所以点B 到平面D AB 1的距离为2
3。
三. 转化法
当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离。
例3. （1991年全国高考题）已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。
简析：如图3，连AC 分别与BD 相交于O ，与EF 相交于H ，由
EF ⊥G CH G CH Rt ∆G H OK ⊥11
112OK =
等积法
即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算较为复杂。
例4. 同例3。
简析：设B 到面EFG 的距离为h ，
h S 3
1
V GEF GEF B ⋅=∆-
由于112)244
3
(22221GH EF 21S 22GEF =⨯+⨯⨯=⋅⋅=
∆， 所以h 113
2
V GEF B =
- 另一方面，3
4S 41221S GC 31V V BAD BEF BEF G GEF B =⨯⨯=⋅⋅==∆∆--， 所以
3
4
h 1132=， 得11
11
2h =即为B 到平面GEF 的距离。
五. 坐标向量法
通过建立空间直角坐标系，用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。
例5. （2003年江苏高考题）如图4，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱2AA 1=，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G 。
（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II ）求点A 1到平面AED 的距离。
图4
简析：（I ）易知G BE ∠为B A 1与平面ABD 所成的角。
不难求出3
2
arcsin
GBE =∠。
（II ）分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系。
设a 2|CA |=，则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），1A （2a ，0，2），E （a ，a ，1）， )3
1
,3a 2,3a 2(
G ，
所以)1,a 2,0(BD ),2,3
a
,3a (GE -==→→
由03
2
a 32BD GE 2=+-=⋅→
→， 解得1a =。
所以A （2，0，0），1A （2，0，2），E （1，1，1）
易证平面⊥AED 平面E AA 1，交线为AE ，所以点1A 在平面AED 内的射影H 在AE 上。
设→
→
λ=AE AH ，则
)2,,(AH A A H A 11-λλλ-=+=→
→→
由0AE H A 1=⋅→
→
，即02=-λ+λ+λ，得
3
2
=
λ 所以)3
4,32,32(H A 1--=→
3
6
2|H A |1=
→
故点1A 到平面AED 的距离为
3
6
2。