高等数学图形演示
高等数学：第五节--截痕法图示
x
（1）椭球锥面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2
用平行于xoy面的平面
z=t载此曲面，得平面
o
z=t上的椭圆 .
x2 (at)2
y2 (bt)2
1
z y
一、椭球面
（2）椭球面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
6、 xoy 面上的双曲线x2 y2 1, y ； 4
7、 yoz 面 上的直线 z y a, z ；
8、平行于 y 轴的一条直线,与yoz 面 面平行的平面；
这样单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动大小位置都改变而产生的这个椭圆在变动中xoy保持所在的平面与面平行且两对顶点分别沿着两个定双曲线2与3滑动单叶双曲面上一页下一页直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两族直母线含两族直母线例如储水塔电视塔等建筑都有用这种结构的
8.8 二次曲面
一、椭球面 二、抛物面 三、双曲面 四、二次锥面 五、空间区域简图
y2 b2
1
z 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y2 z2 y z y z
b2
c2
( b
)( cb
)0 c
平面 x a的截痕是
高等数学公式大全及常见函数图像
高等数学公式大全及常见函数图像文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
12
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高等数学中的基本图形
常见曲线 y x2 sin 1
x
y x2 y x2 sin 1 x
o
y x2
y=x2 sin(1/x)
7
常见曲线 y sin x
x
o
y=sinx/x
8
常见曲线 y sin x, y x, y tan x
o
y=sinx, y=x, y=tanx
9
常见曲线
y
1
1 x
x
ye
o
y= (1+1/x)2
10
箕舌线
y
8a 3 x2 4a2
2a
a o
11
蔓叶线 y2 2a x x3
oa
2a
12
阿基米德螺线 r a
o
13
对数螺线 r ea
o
14
2
2
2
星形线 x 3 y 3 a 3
x a cos3 ,
y
a
sin3
.
o
15
三叶玫瑰线 r a sin 3
o
16
三叶玫瑰线 r a cos 3
o
17
四叶玫瑰线 r a sin 2
o
18
四叶玫瑰线 r a cos 2
o
19
心形线 r a(1 cos )
o
20
心形线 r a(1 cos )
o
21
伯努利双纽线 r2 a2 cos 2
o
22
伯努利双纽线 r 2 a2 sin 2
o
23
x2 y2 a2 b2 1
25
旋转抛物面 z x2 y2
26
圆锥面 z2 x2 y2
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
2020/4/4
67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
2020/4/4
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图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
2020/4/4
40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
2020/4/4
35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
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图7：
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37
图7：
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38
图7：
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图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
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椭圆抛物面的图形
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双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
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双曲抛物面（马鞍面） 图形
2020/4/4
12
高等数学课件PPT5
（1）分割
T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1
部分路程值
si v( i )t i
若干个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
n 把区间[a , b] 分成 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
1 sin xdx. 0
i x i
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， 即 f ( x )dx _________________ .
b a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是_______________________ . 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
i i 1
小区间的长度x i q q
取 i q
i 1
q
i 1
(q 1) ,
，（i 1,2, , n ）
n
i 1
n
1 i 1 f ( i )xi xi i 1 q (q 1) i 1 q i 1 i
1
n
(q 1) n(q 1)
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 xdx ，( a b ) .
高等数学上3.7平面曲线的曲率PPT
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
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结束
小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支—
—微分几何学.
1. 弧长微分 ds 1 y2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
3
要使 k最大， 必有 (4 5cos2 t )2 最小，
t , 3 此时 k最大，
22
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结束
补充:参数方程曲率公式
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy dx
(t ) (t )
,
d2y dx 2
(t)
(t) (t) 3(t)
(t) .
高等数学上3.7平面曲线的曲率
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结束
一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
的凹向一侧法线上取点 D 使
CR
T
M (x, y)
DM R 1
o
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心.
高等数学公式大全以及初等函数图像
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
大一高数上-PPT课件
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-aBiblioteka |<}。O a- a a+ x
精品课件
二、函数的概念
1. 常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不
同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同 一数值，这种量叫做常量。
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。
理论性更强 概念更复杂 表达形式更加抽象 推理更加严谨
精品课件
因此在学习高等数学时，应当认真阅读 和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象 的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内 涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确 领会一些重要的数学思想方法，另一方面也 要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习 题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且 也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想 方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能 认为，只要做了题，就算学好了数学。
精品课件
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以 下显著特点：
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞ 同济大学编（同济大学出版社）
精品课件
高等数学(解析几何)图形
P M
Sz
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y2 , z) 0.
x
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
图形
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体 图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
的截口椭圆任意接近，即： x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 z
a2 b2
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的若：F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z). t是任意数
曲面S外的每一点都不满足方程
6. 一般柱面 F(y,
z)=0
(不含x)
z 准线
高等数学图形演示系统(7)三重积分
双曲抛物面
y
1
Dxy
0
是曲顶柱体
。 。
上顶： z xy 下底： z =0
Dxy: x , y , x y 围成
xy
I dxdy0 f ( x , y,z)dz
Dxy
1
x
1
1 x
xy
0 dx0 dy0 f ( x, y, z)dz
6. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
2 6 Ω:双曲抛物面 z xy 和平面 x y 1, z 0 所围成的区域.
7 Ω :曲面 z x2 y 2 1与平面 x y 4及三个坐标平面所围区域.
8 Ω:抛物柱面2y 2 x和平面 x y z 1, z 0 所围区域。 422
9 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）
。
y
1 找出上顶、下底及投影区域
。 。
2 画出投影区域图
y x
上顶：
Dxy:
z x
2
y x , y ,
下底： z = 0
x ？ 围成
0
Dxy
π x
I dxdy02 f ( x, y,z)dz
x
Dxy π
π
2
x
x
2 dx dy 2 f ( x, y, z)dz
4
x
7. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
Ω:曲面 z Ωx 2 y2 1,平面z x y 4 及三个坐标面所围区域
z x2 y2 1
取第一卦限部分
y
x+ y = 4
.
11
高等数学基础PPT第一章
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.2初等函数与建立函数关系式—初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式ห้องสมุดไป่ตู้初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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本章结束
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高等数学基础
第一章 函数及其图形
主讲:
函数及其图形
函数的概念与特性
集合与区间 函数 函数的几种简单性态
初等函数与建立函数关系式
初等函数 建立函数关系式举例
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
高等数学课件完整版
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D. 则称f ( x)为周
期函数, l称为f ( x)的周期. 且f ( x l) f ( x)恒成立.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
1,
高等数学基本图形
为了方便教与学，对于《高等数学》中经常 出现的基本图形，在此给出了它们的图像.
1
3 立方抛物线 y ax
o
2
2 3 y ax 半立方抛物线
o
3
概率曲线
ye
x2
o
4
1 常见曲线 y sin x
o
y= sin(1/x)
5
1 常见曲线 y x sin x
9
1 常见曲线 y 1 x
x
ye
o
y= (1+1/x)2
10
箕舌线
8a 3 y 2 x 4a 2
2a
a
o
11
蔓叶线 y 2 2a x x 3
o
a
2a
12
阿基米德螺线
r a
o
13
对数螺线
r e a
o
14
星形线 x y a
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 , 3 y a sin .
o
15
三叶玫瑰线 r a sin 3
o
16
三叶玫瑰线 r a cos 3
o
17
四叶玫瑰线
r a sin 2
o
18
四叶玫瑰线 r a cos 2
o
19
心形线 r a(1 cos )
o
y=xsin(1/x)
6
1 常见曲线 y x sin x
2
y x2
1 y x sin x
2
o
y x2
y=x2 sin(1/x)
7
sin x 常见曲线 y x
高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘
2πe
2πe
（4）因为lim
1
x2
e2
0，所以y 0为曲线的渐近线.
x 2π
（5）将在区间[0,)上的讨论列表如下：
x
0
(0,1)
1
(1,+)
y
0
y
0
y
1 极大
1 拐点
2π
2πe
（6）在[0, ) 上作图，并利用对称性得函数在 (, )上的图形.这条曲线称为概率曲线（图 3-11）.
3
3
33
在 ( , 1 ) 内 ， y 0 ， 曲 线 为 凸 的 ， 在 ( 1 , ) 内 ， y 0 ，
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
33
3
y 0 曲 线 上 升 .在 ( 1 ,1) 内 ， y 0 曲 线 下 降 .当 x 1 时 ， y
3
3
取极大值，当x 1时，y 取极小值.
(3) y 6 x 2 ，当 x 1 时 ，y 0.x 1 将 ( , 1 ), ( 1 , ) .
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
（6）将以下结果列表如下：
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1 (1 ,1) 1 (1,+) 3 3 33 3 3
高中数学新人教版B版精品教案《[图形演示]心形线》
![高中数学新人教版B版精品教案《[图形演示]心形线》](https://img.taocdn.com/s3/m/a6b5e1bfad02de80d5d840eb.png)
《[图形演示]心形线的一种生成方式》教学设计
讲述法国数学家笛卡尔和瑞典公主的浪漫爱情故事：笛卡尔于1596年出生在法
国，欧洲大陆爆发
()θρcos 1-=a
θ
ρcos 1+=
θρcos -1=1
=a
U软件可以实时统计出正确率。
最后，学生分享小组合作心得和探究活动过程中的感受，教师指出图形计算器辅助教学的利弊，强调学生应该强化自己的作图能力。
（根据课堂学生回答的实际情况，总结如下）团队合作精神深入人心，有分工、有合作，完成了单打独斗不可能完成的任务，
通过这道考
察学生本节课
所掌握的情况，
通过带点排除
选出答案。
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学生的作答情
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在合作与探
究中不仅学会
知识，还应懂得
分享知识，分享
收获。
并在研究
过程中学会发
现问题。
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为便于检索，在每一部分的主目录中每一个图题后建立
了超级链接。比如：§1中的 图8 ，读者点击该题目后的按 钮 ，可立即找到需要的图形―“ 8. 导数的几何意义”。
.
. 本图库与传统教材相比，适当地增大了信息量。例如： 常用曲线的生成、旋轮线的应用、直纹面、渐近面等。对学 生普遍感兴趣但一般教科书没有涉及的少数图形问题也做了 研究和尝试。比如，关于二重极限不存在的一个典型例题， 一般都必讲而且只讲计算，其曲面的形状历来是个谜。本课 件做出了该曲面的立体图形，给出了清晰的几何的分析。目 的是启发学生的创新思维，供读者选用。 希望同学们能利用形数结合的方法，从空间几何图形的 演示与它的分析表达式二者关系的反复联想琢磨中，认识变 量怎样刻画运动，进一步加深对高等数学重点和难点的理解； 同时得到对空间几何图形想象力的锻炼，逐步学会画图；提 高解题准确度和速度；并能理论联系实际，提高创新能力。 本图库主要用于辅助教师在课上讲课，没有配音。课件 中每个图都一步步用动画演示，公式和简要的计算也一步步
前言
《高等数学》是工科一门重要的基础课，课程长，延续
一年级上、下两个学期，课时达180或更多。学生在学习的过 程中，往往因缺乏对空间形体的想象能力，而感到学习困难。 对教师来说，课程紧，内容多，一直存在黑板画图难的问题。 怎样才能加强这种能力的训练和培养，使典型空间形式的图 像成为学生头脑中的一种常识，确实是个很值得研究、解决 的问题。
出现。每两步的时间间隔由讲课教师掌握，以便于教师的讲 解启发和学生的思考练习。
.
说明书
本课件是《高等数学》课程的图形演示库，主要为了辅 助教师在课上讲课（因此没有配音），解决高等数学教师黑 板画图难的问题，从而提高学生的空间想象能力。其中每个 图都一步步用动画演示，公式和计算也一步步出现。每两步 的时间间隔由讲课教师掌握，可以按鼠标左键，或键，或 者按空格键来控制，以便于教师的讲解启发和学生的思考。
为了检索快捷，每一页面的右下角都有返回本部分主目 录的按钮 ，读者若不想按顺序看下面的图，随时点击一 下这个按钮，就回到这一部分的主目录。再按照前述方法找 您需要的图即可。
若想选择组成某个图形的第几张幻灯片，请单击右键， 再指“定位”，在下拉菜单中指“按标题”，就可以找到您 需要的那张幻灯片，点击它即可。
形的面积.
22 曲边扇形的面积
23 旋轮线
24 旋轮线也叫摆线
25 旋轮线是最速降线
26 心形线
27 星形线
28 圆的渐伸线
29 笛卡儿叶形线
30 双纽线
31 阿基米德螺线
32 对数螺线
33 求曲线 r 3cosθ 及 r 1 cos θ 分别所围成的图形的公共部分的 面积.
34 求曲线 r 2sinθ 及 r2 cos2 θ 分别所围成的图形的公共部分的面积.
本图形演示中各图的选题，以同济大学“高等数学”教 材为线索，以比较重要的概念、定理和空间图象较为典型而 又复杂的题目为主。内容包括一元函数微分学，一元函数积分 学，空间解析几何，多元函数微分学，二重积分，三重积分， 重积分应用，付立叶级数等八个部分。演示的图形共有148个。 演示的图形构成了《高等数学》比较完整的、与文字教材基本 配套的图形系统。
题时，即使画不出立体图，也能识别曲顶柱体的上顶、下底
和投影区域，解决计算立体体积、表面积、重心等等问题。
本图库注重基础知识，并充分利用图形演示的优势改革传
统的教法。例如：各类极限定义的几何解释，导数、微分、
弧微分、偏导数、全微分、方向导数的几何意义等都是本图
库的内容。关于矢量积的分配律，证明很烦琐，略证或不证，
.
总目录
§1 一元函数微分学
1 函数极限的几何解释 2 函数的左极限
3 x时的极限
4 x趋于正无穷时的极限 5 数列的极限
6 无穷大
7 函数的连续性
8 数的几何意义
9 微分的几何意义
对函数进行全面讨论并画图：
10 y xex
11
13
1 x2 y arccos
1 x2
14
y 1 4x2 x
y x 1 x 1
16 y cos2x
cos x
17 弧微分
§2 一元函数积分学
12
y
(1
x x2
)2
15 y = x–2arctanx
18 曲率
19 曲边梯形的面积
20 求曲线 y 2 2x与 y x 4 围成的面积.
21 求抛物线 y x2 4x 3 与其在点(0,3)和点(3,0)处的 切线所围成图
CAI课件《高等数学图形演示系统》就是为解决这个问题 而制作的。本课件演示的图形形象逼真、有较强的立体感,对 于复杂的空间几何关系，能够明确、清晰地用立体形象表达 出来；同时，每一个图形的演示都力图包括它的基本思想和
形成过程，并用动画体现出来。因此，它不仅可以加深印象， 在相当程度上起到甚至超过教具的作用，而且会引起学生对 数学的学习兴趣，有利于培养联想和创造力，也有利于自学。
二重积分、三重积分涉及的立体区域画图是教与学中最大 的难点。本课件以此作为重点，给出了一系列曲面与曲面相 交的过程，交线的形状。力求清晰、逼真，突破这一难点，改 变讲到这儿时课堂上教师画不出、难讲清、用手比划的局面。.
在三重积分部分，给出立体图形演示之前，先给出了“不画
立体图做三重积分”训练，以便学生再遇到三重积分某些问
学生又常有疑问。在本课件中，利用图形的“一投一转”，
形象而又精练地完成了证明。再如：曲边梯形的面积，曲顶
柱体的体积，一般讲到这些，教师要写很多板书，而其中实
质性的思想—元素法却很难体现出来。这里用连续的图形演
示生动地表述了这个面积或体积的产生过程及其定好的效果。
35 圆ρ 1被心形线 ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两部分的面积。 36 求由双纽线(x2 y 2 )2 a 2 (x2 y 2 )所围而且在圆周 x2 y 2 a 2 内部的面积。