常微第五,六讲-初等积分法
微积分学讲义
微积分学讲义
微积分是理工类学科中一门重要的数学课程，它既涵盖了初等数学的知识，又具有独特的特点和重要价值。
本讲义旨在为学习者介绍微积分学，让学习者掌握微积分的基本概念、基本技能和基本知识，从而为学习者从事有关的应用领域打下坚实的基础。
第一章介绍了微积分的基本概念，包括定义、定义域、函数的不同层次以及定义域的概念。
其中，定义是指对于某一对象的特点的详细说明；定义域是指某个对象的所有可能值的集合；函数的不同层次分别指定义在定义域上的有穷个元素的集合。
第二章介绍了微分学，介绍了微分的定义以及它和积分的联系。
此外，也介绍了微分运算的一些基本理论，如极限和连续性、导数的概念、性质和运算规则，以及导数的几何意义。
第三章介绍了积分学，介绍了积分的定义、基本积分法和特殊积分法，以及求解定积分和不定积分的方法。
此外，还介绍了定积分和分之的联系以及分的几何意义。
第四章介绍了常微分方程，其中介绍了普通微分方程、拉普拉斯方程和偏微分方程的概念、性质以及求解方法，并介绍了常微分方程的几何意义。
本讲义旨在介绍微积分学的基本概念、基本技能和基本知识，供学习者参考。
而学习微积分的学习者，需要结合练习，努力掌握和理解各种基本概念和基本原理，进而在实践中运用微积分，取得更好的成绩。
常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
初等积分法
初等积分法一、什么是积分法？积分法是微积分中的一种重要方法，用于求解函数的不定积分。
它利用导数和原函数的关系，将导数运算的逆运算——积分运算应用于各种函数的定积分问题上。
二、初等积分的概念初等积分又称为不定积分，是指可以用常见的初等函数表达出来的积分。
在初等积分法中，我们通过研究常见的初等函数及其性质，掌握一些基本的积分公式和方法，从而解决各种函数的积分问题。
三、常见的初等积分公式下面是一些常见的初等积分公式：1.∫1 dx=x+Cx n+1+C，其中n为实数且n≠−12.∫x n dx=1n+13.∫e x dx=e x+C4.∫sinx dx=−cosx+C5.∫cosx dx=sinx+C dx=arctanx+C6.∫11+x2这些公式在初等积分中非常常用，掌握它们有助于快速求解各类函数的不定积分问题。
四、常见的初等积分方法除了上述基本公式外，我们还可以通过一些特殊的积分方法来求解一些特定的积分问题。
以下是一些常见的初等积分方法。
1. 分部积分法分部积分法是求解乘积函数积分的一种方法。
根据分部积分法，对于两个可导的函数u(x)和v(x)，有如下公式：∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx通过适当选择u(x)和v′(x)，我们可以将复杂的积分问题化简为简单的形式，从而求解出积分的结果。
2. 三角代换法三角代换法是通过引入三角函数来进行代换，从而简化积分问题的一种方法。
常见的三角代换包括正弦代换、余弦代换和正切代换。
通过适当选择三角函数和变量的取值范围，我们可以将原函数转化为简单的三角函数的积分，然后再进行求解。
3. 有理函数分解法有理函数分解法主要用于分解有理函数为更简单的部分分式形式，并进而求解不定积分。
通过将有理函数展开为若干个分式的和，我们可以利用基本的初等积分公式求解每一个分式，最终得到整个有理函数的积分结果。
4. 特殊函数积分法在初等积分中，还可以通过引入一些特殊函数或定义积分函数来求解一些特殊的积分问题。
初等积分法
初等积分法初等积分法是求解函数的不定积分的一种方法，也是微积分中的重要内容之一。
它在许多科学领域的计算中都有广泛的应用，如物理、工程、经济等。
掌握初等积分法不仅可以解决各种实际问题，还可以深化对函数性质和变化规律的理解。
在学习初等积分法之前，我们需要先了解积分的概念。
积分是微积分的两大基本运算之一，它是求解函数的面积、图形的曲线长度以及变化速率的逆运算。
而初等积分法则是通过列式、逐步分解或使用特定的换元和恰当的积分技巧，将被积函数转化为已知的标准积分形式，从而求解出不定积分。
初等积分法中最基本的积分公式是幂函数的积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n（其中n是一个实数，n≠-1），其不定积分可以表示为F(x)=∫x^n dx=C+x^(n+1)/(n+1)，其中C是任意常数。
这个公式是初等积分法的基础，其他许多函数的积分都可以通过变形、换元等方法转化为幂函数的积分来求解。
除了幂函数的积分公式外，初等积分法还包括三角函数、指数函数、对数函数、反三角函数等的积分。
例如，当需要求解∫sin(x) dx 时，我们可以利用三角函数的性质进行换元，在变换后的积分形式中找到对应的已知积分，再将结果代回原积分中求解。
类似地，对于其他函数，我们可以根据其特性和已知的初等函数积分公式，选取合适的变换和积分方法进行计算。
在使用初等积分法求解不定积分时，常常会遇到一些特殊的情况和技巧。
例如，利用分部积分法可以解决乘积型的积分问题，利用有理函数的积分性质和分解可约因式可以简化计算过程。
此外，选择适当的放缩、替换变量、换元等方式，也可以使积分的求解更加简便和高效。
初等积分法的应用范围非常广泛。
在物理学中，初等积分法可以用于求解力、功、能量以及速度、加速度等的变化规律。
在工程学中，初等积分法可以用于解决电路、力学、热传导等问题。
在经济学中，初等积分法可以用于求解经济模型中的变量关系。
而对于一些不能直接求解的特殊函数，我们也可以通过初等积分法计算数值近似解，进一步提高求解精度。
常微分方程-第一章-初等积分法
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程初值问题
y H = f (x; y )的含义 如果将 y 视为系统状态变量，则导数 y H 就是状态的变化率；如果 将自变量视为时间，微分方程 y H = f (x; y ) 可解释为：
=
y (x) 或 x = x(t); y = y (t)。
有：
C 的 速 度 矢 量 为 (xH (t); y H (t)), 则 b=
=
q
(xH (t))2 + (y H (t))2
xH (t) dy dx
s
1+
dy 2
dx
(1)
另：
=
at y x
(2)
黄丹
danh_m@
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程 微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t = 0 时，在距地 面高度为H 处以初始速度 v (0) = v0 垂直地面下落，求此物体下 落时距离与时间的关系。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
《常微分方程》课程大纲
《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。
面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。
二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。
本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。
（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。
2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。
3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。
4．常微分方程所讨论的基本问题。
第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。
本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。
并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。
（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
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常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
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传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
高数常微分方程-微分方程及初等积分法
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例 3 验证:函数 x C 1 cos kt C 2 sin kt 是微分
d x 2 方程 2 k x 0 的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC 1 sin kt kC 2 cos kt , dt 2 d x k 2 C 1 cos kt k 2 C 2 sin kt , dt 2 2 d x 将 2 和 x 的表达式代入原方程 , dt
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y ( x )
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时 , y 2
10
2
k 2 ( C 1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 ( C 1 cos kt C 2 sin kt ) 0 .
故 x C 1 cos kt C 2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0
dx A, 0, dt t 0
C 1 A, C 2 0.
可分离变量的方程
29
当 f ( u ) u 0时 , 得
即 x Ce
(u)
du ln C 1 x , f (u) u
,
（ (u)
du ） f (u) u
y ( ) x
y 将 u 代入 , x
得通解 x Ce
,
当 u0 , 使 f ( u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
初等积分法
初等积分法初等积分法是微积分的重要内容之一，它是求解不定积分的一种方法。
通过初等积分法，我们可以将一个函数的不定积分求出来，从而得到它的原函数。
初等积分法的基本思想是利用已知函数的导数与原函数的关系，将待求函数进行分解，然后对每一部分进行积分。
在这个过程中，我们需要借助一些已知的基本积分公式和一些基本的积分技巧。
我们需要明确一点，就是初等积分法只适用于可积的函数。
所谓可积函数，是指在一个给定的区间上，函数的导函数存在且连续。
对于不可积函数，我们需要使用其他的积分方法来求解。
在初等积分法中，常见的基本积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分以及一些特殊函数的积分等。
这些基本积分公式是我们在进行具体计算时的重要工具。
在使用初等积分法时，我们需要注意一些常见的积分技巧。
例如，对于形如$\int f(x) g'(x) dx$的积分，我们可以通过换元法或者分部积分法来进行求解。
而对于一些特殊的函数，如反函数、对数函数等，我们也需要采用相应的积分技巧来求解。
当我们求得一个函数的原函数后，我们可以通过求极限的方法来确定积分的常数项。
这一步骤是非常重要的，因为不定积分的结果是一个函数族，其中包含了无穷多个函数。
我们需要通过给定的边界条件来确定具体的函数。
初等积分法在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过初等积分法来求解质点的位移、速度、加速度等问题；在经济学中，我们可以利用初等积分法来求解消费函数、边际效用函数等问题。
初等积分法作为微积分的重要工具之一，不仅具有理论意义，而且在实际问题的解决中也发挥着重要的作用。
通过初等积分法，我们可以将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而得到问题的解析解。
这大大提高了问题的求解效率和准确性。
初等积分法是求解不定积分的一种重要方法。
它通过利用已知函数的导数与原函数的关系，将待求函数进行分解，然后对每一部分进行积分。
初等积分法不仅适用于可积的函数，而且在实际问题中有广泛的应用。
高数常微分方程-微分方程及初等积分法PPT共77页
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要ຫໍສະໝຸດ 敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组共32页
第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
高数常微分方程-微分方程及初等积分法共77页PPT
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
初等积分法
初等积分法初等积分法是微积分中的重要内容之一，它是求解函数的不定积分的一种常用方法。
通过初等积分法，我们可以将一个函数的原函数求出来，从而得到函数的积分表达式。
在本文中，我们将介绍初等积分法的基本概念、常见的积分公式和一些常见的积分技巧。
初等积分法是微积分中的一种基本方法，它是通过找到一个函数的原函数，从而求出函数的积分表达式。
在求解不定积分时，我们可以使用一些常见的积分公式来简化计算。
例如，对于幂函数，我们可以使用幂函数的积分公式来求解。
对于指数函数和三角函数，我们也可以使用相应的积分公式来求解。
除了使用积分公式外，我们还可以使用一些常见的积分技巧来简化计算。
例如，我们可以使用换元积分法将一个复杂的积分转化为一个简单的积分。
换元积分法是通过引入一个新的变量来进行变量代换，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
此外，我们还可以使用分部积分法来求解一些特殊的积分，例如乘积函数的积分。
在实际应用中，初等积分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
例如，在物理学中，我们可以使用初等积分法来求解物体的位移、速度和加速度等问题。
在工程学中，我们可以使用初等积分法来求解电路中的电流和电压等问题。
在经济学中，我们可以使用初等积分法来求解经济模型中的各种变量。
初等积分法的研究和应用离不开数学家们的努力和智慧。
在过去的几个世纪里，许多数学家为初等积分法的发展做出了重要贡献。
他们不断创造性地提出新的积分技巧和积分公式，从而丰富了初等积分法的内容。
同时，他们还研究了初等积分法的理论基础，从而使初等积分法更加严谨和完善。
初等积分法是微积分中的重要内容之一，它是求解函数的不定积分的一种常用方法。
通过初等积分法，我们可以将一个函数的原函数求出来，从而得到函数的积分表达式。
初等积分法的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等多个领域。
在实际应用中，我们可以使用一些常见的积分公式和积分技巧来简化计算。
初等积分法的发展离不开数学家们的努力和智慧，他们不断创造性地提出新的积分技巧和积分公式，从而丰富了初等积分法的内容。
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11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！பைடு நூலகம்
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初等微积分
初等微积分《初等微积分指南》嘿，朋友们！今天咱来聊聊初等微积分这玩意儿。
啥是微积分呀？简单来说，它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开好多好多未知世界的大门。
你想啊，这世界上好多东西都不是一成不变的呀，它们总是在变来变去的，那我们怎么去研究它们呢？这时候微积分就派上用场啦！比如说，你看那汽车在路上跑，它的速度可不是一直不变的吧，一会儿快一会儿慢的。
那我们怎么知道它在某个时刻到底跑多快呢？这就需要微积分啦！它能让我们算出瞬间的速度，是不是很厉害！再来说说曲线，那些弯弯绕绕的曲线可不好对付。
但有了微积分，我们就能知道它们的各种特性，就好像我们能看透它们的心思一样。
那怎么学微积分呢？首先呢，你得有一颗好奇的心，别害怕那些奇怪的符号和式子，要勇敢地去探索。
就像你去一个陌生的地方探险，一开始可能会有点害怕，但只要你鼓起勇气往前走，就会发现好多有趣的东西。
然后呢，要多做练习题。
别小看练习题哦，它们就像是你的练功秘籍，做得越多，你的功夫就越厉害。
就像学骑自行车，一开始你可能会摔倒，但多骑几次，你就会越来越熟练啦。
还有哦，一定要认真听老师讲课。
老师就像是你的向导，能带你走在正确的道路上，少走弯路。
我记得我刚开始学微积分的时候，也是一头雾水，那些公式和概念就像一团乱麻。
但我没有放弃，我一点点地去理解，去琢磨，慢慢地就找到感觉了。
有一次我做一道题，做了好久都没做出来，都快急哭了。
但我咬咬牙，坚持下去，最后终于做出来了，那种成就感简直爆棚！其实学微积分就像爬山，一开始你会觉得很累，很辛苦，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，你就会觉得一切都值得了。
它能让你看到不一样的世界，让你对周围的事物有更深的理解。
所以啊，朋友们，不要害怕初等微积分，勇敢地去挑战它吧！只要你有耐心，有毅力，就一定能学好它！相信我，你会在这个过程中收获很多很多的乐趣和知识。
加油吧！。
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( y 0)
1 dy d( . ) 2 1 d y 1 dy 2 y dx 2( ) 0 方程化为: 2 y dx y dx dx
故有 解得
1 dy c1 y dx
y c2 e (c2 0)
c1 x
c1 x
显然 y 0 也是原方程的解. 故原方程的解为 y c2 e
时间记为
初值问题
，此时
14
C 含量为
，则由假设，
（1）
的解为
其中，k＞0为常数，k前置负号表示 上式表明
14
14
C 的存量是递减的.
即有
C是按指数曲线递减，而常数k可由半衰期确定.记
从而
其半衰期为T，则有
（2）
碳定年代法的根据
由于活着的生物通过新陈代射不断摄取
生物体内的 它停止摄取
14 14
14
C ，使得活着的
d 2 y dp dp dy dp p , 2 dy dx dx dy dx
dy p, dx
dp dp d( p ) d( p ) 3 d y dp 2 d2p dy dy dy p( ) p 2 2 dx3 dx dy dx dy dy
由数学归纳法知, y
(k )
C 与空气中的
14
C 有相同的含量，而生物死之后，
14
C 因而尸体内的
C 由于不断蜕变而不断减少.
14
碳定年代法就是根据死亡之后生物体内的 变化情况来判定生物的死亡时间的.
C
蜕变减少量的
碳定年代法的计算 由(2)式得 由于
（3）
不便于测量，我们可把(3)做如下修改.
对(1)式两边求导，得 而 将上式代入(3)，得
例: 求解微分方程
dy 2 dy ( ) ( x y ) xy 0. dx dx
解：方程右端分解因式，得
dy dy ( x)( y ) 0. dx dx
从而得到两个方程
dy x 0, dx
分别解这两个方程得到： 1 2 y C2 e x . y x C1 ,
II．求解方程 III．分析问题 通过已求得的解的性质，分析实际问题.
1. 等角轨线 我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲 线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线称为己 知曲线的等角轨线. 当所给定的角为直角时，等角轨线就 称为正交轨线. 等角轨线在其它很多学科(如天文、气象 等)中都有应用. 下面就来介绍求等角轨线的方法.
就不能用初等积分求解．
这说明初等积分法有相当的局限性．
但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认 为是常微分方程中非常有用的解题方法之一，也是初 学者的基本训练之一．
作 业
P48: 4 (9),(14)
2.3 模型
一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的 过程分以下三个步骤： I．建立方程
对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些 等量关系列出微分方程和相应初值条件
即
y ( k ) ( x, c1 , c2 , cn k )
对上式进行k次积分,可求出原方程的解.
例１、 求解方程
解: 令
d4y z ,则方程可化为: 4 dx dz 1 z0 关于z的一阶方程 dx x
d y 1d y 0 5 4 dx x dx
5
4
通解是: 即
z cx
的左端是某个函数 ( x, y, y,…y n-1， 对x的导数， ) 即
dy dny d dy d n1 y F ( x, y, ，……， n ) ( x, y, , ……， n1 ) dx dx dx dx dx
则称方程为恰当导数方程。
dy d n 1 y 显然，原方程积分得： ( x, y, , ……， n 1 ) C dx dx 通过求解该n-1阶方程得到原方程的解。
x f y, y
降阶法： F y, y,..., y n 0
F x, y ,..., y
k
n
0
k 1
恰当导数方程
2．初等积分法的历史地位 自1676年微分方程的研究工作开始，其后100多 年间是初等积分发展的重要时期。1841年法国数学家 （Liouville）指出：绝大多数常微分方程不能用初等 积分求解，例如方程
注意有时还要讨论p=0时方程的解。
本节要点
1．求解隐式方程时，首先考虑用第一种解法，即 尽可能化成显式方程求解，其次再考虑用参数法求 解． 2．理解好参数解法原理。
作 业
P48: 1(1),(3)
二、几种可降阶的高阶方程
前几节介绍了一些一阶微分方程的初等积
分解法,在实际的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用中，还会遇到高阶的微
这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明 显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数. 列出微分方
程的关键就在于找到外力f和位移及其对时间的导数——速度
的关系. 只要找到这个关系，就可以由 方程了。 在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解 条件，如初值条件等. 列出微分
例2：物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的 作用，在速度不太大的情况下(低于音速的4／5)，空气阻力可看 做与速度的平方成正比。试证明在这种情况下，落体存在极限速 度 。 解 设物体质量为m,空气阻力系数为k ，又设在时刻 t
, , y ) 0
(n)
方程不显含未知函数及其直到 k 1(k 1) 阶导数。
求解方法: 令 y ( k ) z ,就可把方程化为关于
n k 阶方程:
z
的
, z ( nk ) ) 0 F ( x, z, z
若能求得其通解为:
降阶
z ( x, c1 , c2 , cnk )
第二章
初等积分法
本章主要内容
2.1 初等积分法
2.1.1 分离变量法 2.1.2 线性方程 2.1.3 全微分方程与积分因子
2.2 可化为初等积分法求解的方程
2.3 模型
一、一阶隐式微分方程
本节讨论如何求解隐式微分方程
F ( x, y, y) 0
该问题我们分两种情形讨论。
1. 若能从隐式方程中解出 y, 则得到一个或几个 显式方程，从而可利用前面介绍的方法求解。
消去C
例1 求直线束 解 首先求直线族
的等角轨线和正交轨线. 的微分方程. 消去C，就得到
1）等角轨线的微分方程为
或 积分
即
即等角轨线为 如果写成极坐标形式，不难看出为对数螺线 2）正交轨线的微分方程为
求解
故正交轨线为同心圆族
2. 动力学问题
前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律
C ，这 种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而
动物又以植物作食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内. 由于
14
14
C 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都
在不断蜕变，我们先求出这种蜕变规律。
通常假设蜕变速度与该时刻
14
C 的存量成正比.
设在时刻t(年)生物体中 14 C 的存量为x(t)，生物体的死亡
原方程的通解可以表示 为
2
1 2 ( y x C1 )( y C2e x ) 0. 2
dy y 0. dx
我们可用以下的 2. 对于不能解出 y 的隐式方程， 参数法求解。
（1）
dy ) （2） x f ( y, dx
方法概括：
1. 2. 3.
d 2 y dy 2 例3 求解方程 y ( ) 0 2 dx dx
解：原方程可以写成
故有 即
d ( yy ' ) 0 dx yy C
ydy Cdx
积分后得通解为 y 2 C1 x C2
例4 求解方程
d y dy 2 y 2 ( ) 0 dx dx
1 y2
2
解: 方程两边乘以积分因 子
（4）
上面两式相除，得
这样由(4)可知，只要知道生物体中在死亡时
14
C 的蜕变速度
x 0 和现在时刻t的蜕变速度 x t ，就可以求得生物体的
死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中 速度与生物体死亡时代生物体中
14 14
C 的蜕变
C
的蜕变速度相同.
马王堆一号墓年代的确定 马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的
d4y cx 4 dx
对上式积分四次,得原方程的通解为:
y c1 x5 c2 x3 c3 x 2 c4 x c5
（2） 第二种可降阶的高阶方程
形如： 特点：
F ( y, y,, y ( n ) ) 0
方程中不显含未知函数y的自变量x。
求解方法:
则
用
p y
作为新未知函数,
常数变易法
dy P x y Q x dx dy P x y Q x y n , n 0,1 dx
积分因子法：将方程化为全微分方程 参数法：
F x, y 0,
F y, y 0
y f x, y ,
物体的下落速度为v, 于是在时刻 t,物体所受的合外力为
重力 - 空气阻力
这里建立的坐标系，使得重力mg方向向下，与运动方向一致， 空气阻力方向向上，与运动方向相反。 从而，根据牛顿第二定律
可列出微分方程
因为是自由落体，所以有 从而 积分得：
或 当 据测定 时,有
解出v，得
,其 为物体形状有关常数, 中 为物体在地面上的投影面积.