抽屉原理的经典解题思路

抽屉原理的经典解题思路

抽屉原理在公务员考试中的数字运算部分时有出现。抽屉原理是用最朴素的思想解决组合数学问题的一个范例，我们可以从日常工作中的实例来体会抽屉原理的应用。抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

先来看抽屉原理的一般叙述：

抽屉原理

讲多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于

2。"抽屉原理

(1)可以进行推广，把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

抽屉原理

将多于件的物品任意放到抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少m+

1。"

也可以表述成如下语句：

把m个物品任意放入n (n

掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。一般来讲，首先得分析题意，分清什么是“物品”，

什么是“抽屉”，也就是什么作“物品”，什么可作“抽屉”。接着制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。最后运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

下面两个典型例题的解题过程充分展现了抽屉原理的解题过程，希望读者能有所体会。

例1：证明任取6 个自然数，必有两个数的差是5 的倍数。

证明：

考虑每个自然数被5 除所得的余数。即自然数可以作为物品，被5除所得余数可以作为抽屉。

显然可知，任意一个自然数被5除所得的余数有5种情况：0，1，2，3，

4。"所以构造5个抽屉，每个抽屉中所装的物品就是被5 除所得余数分别为0，1，2，3，4 的自然数。运用抽屉原理，考虑“最坏”的情况，先从每个抽屉中各取一个“物品”，共5 个，则再取一个物品总能在先取的5个中找到和它出自于同一抽屉的“物品”，即它们被5 除余数相同，所以它们的差能整除

5。"例2：黑色、白色、黄色的筷子各有8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2 双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根才能保证达到要求？解：

这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三种颜色的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2 双不同颜色的筷子，可以分两步进行。第一步先确保取出的筷子中有1 双同色的；第二步再从余下的筷子中取出若干根保证第二双筷子同

色。首先，要确保取出的筷子中至少有双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作果，根据抽屉原则，只需取出中取多少根筷子才能确保又有第一次取出的4 根筷子中，有

1

3 个抽屉，把筷子当作苹

4 根筷子即可。其次，再考虑从余下的20 根筷子

1 双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设

2 根黑色，1 根白色，1 根黄色。

这样,余下的20根筷子,有6根黑色的, 7根白色的, 7根黄色的,因此,只要再取出7 根筷子,必有1根是白色或黄色的,能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配对,从而保证有2 双筷子颜色不同,总之,在最不利的情况下,只要取出4+7=11根筷子,就能保证达到目的。

以上两个题目都考虑了“最坏”的情况,这是考虑涉及抽屉原理的最值问题的常用思路。最后看一个有趣的数学问题,它体现了抽屉原理在证明存在性问题中的应用。

“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”这个问题可以用如下方法简单明了地证出:

在平面上用6 个点

A、

B、

C、

D、

E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的

5条连线AB, AC,…，AF,它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC, AD同为红色。如果BC, BD, CD3条连线中有一条（不妨设为BC 也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，

A、

B、C代表的3个人以前彼此相识:

如果

C、B

D、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形,

B、

C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。