抽屉原理的经典解题思路
抽屉原理(二)— 数论中的抽屉原理
数论中的抽屉原理（组合）一、数论中的抽屉原理& 最不利原则——“和差倍”1. 题型（1）两数之和或两数之差是m（2）两数之和或两数之差是m的倍数2. 解题思路题型（1）根据题意构造抽屉题型（2）根据余数的特征进行分组，构造抽屉二、注意事项1. 相邻两数必互质。
题型一：根据题意构造抽屉1.从2、4、6、…、30这15个偶数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是34 .2.从1 ~ 11这11个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是12 .3.从1 ~ 99这99个自然数中，最多选出多少个数，使得其中每两个数之和都不等于100？4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
5.从1 ~ 21这21个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？6.从1 ~ 99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数之差都不等于5？7.如果在1，2，… …，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？8.从1 ~ 50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？题型二：根据余数构造抽屉1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
2.至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？3. 1 ~ 17中，至少拿出多少个数才能保证：（1）里面一定有5的倍数？（2）一定有两个数的和是5的倍数？4. 1 ~ 35中，至少拿出多少个数才能保证一定有两个数的和是8的倍数？5.从1至17这17个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被5整除．请问：最多能取出多少个数？6.任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
巩固练习1.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？2.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差是4的倍数？3.从1 ~ 25这25个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的和是6的倍数？4.从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？。
奥数-18抽屉原理+答案
请你说明理由。
2. 一个旅行团在北京游玩 5 天，他们想去 6 个景点游玩，导游说你们至少有一天游 玩两个景点，请你说明理由。
二、 解题方法
抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣 的问题，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使 问题得到解决。
1. 公式 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：① 余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里。 ② 余数＞0，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里。
抽屉原理
一、 抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，至少有一个抽 屉里面至少放两个苹果。如果把 n＋1 个物体放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉 中放着 2 个或更多的物体，我们称这种现象为抽屉原理。
抽屉原理可以推广为：如果有 m 个抽屉，有 k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至 少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个 数的 k 倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。
6. 四个连续的自然数分别被 3 除后，必有两个余数相同，请说明理由。
2
【例3】 一养鸽户有 10 只鸽笼，每天鸽子回家他都要数一数，并作记录。他发现 每天都会出现 3 只鸽子住同一个鸽笼，请问：他至少养了几只鸽子？
解析：本题需要求“苹果”的数量，需要反用抽屉原理，并结合最“坏”情况。 最坏的情况是每个笼子都有 2 只鸽子，出现 3 只鸽子住同一个鸽笼，是因为比这些 鸽子还至少多 1 只鸽子，所以至少需要养 21 只鸽子。
小学奥数--抽屉原理
⼩学奥数--抽屉原理⼩学奥数--抽屉原理抽屉原理(⼀)解题要点:要从最不利情况考虑，准确地建⽴抽屉和确定元素的总个数(如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。
道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相⽭盾，因此⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽⼦飞进4个鸽笼⾥，那么⼀定有⼀个鸽笼⾄少飞进了2只鸽⼦。
以上两个简单的例⼦所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么⾄少有⼀个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。
假定这n个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件，那么每⼀个抽屉中的物品或者是⼀件，或者没有。
这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相⽭盾，所以前⾯假定“这n 个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件”不能成⽴，从⽽抽屉原理1成⽴。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。
为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放⼊1件物品，共放⼊n 件物品，此时再放⼊1件物品，⽆论放⼊哪个抽屉，都⾄少有1个抽屉不少于2件物品。
这就说明了抽屉原理1。
例1 某幼⼉园有367名1996年出⽣的⼩朋友，是否有⽣⽇相同的⼩朋友,分析与解:1996年是闰年，这年应有366天。
把366天看作366个抽屉，将367名⼩朋友看作367个物品。
这样，把367个物品放进366个抽屉⾥，⾄少有⼀个抽屉⾥不⽌放⼀个物品。
因此⾄少有2名⼩朋友的⽣⽇相同。
例2在任意的四个⾃然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除, 分析与解:因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。
我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。
⼀个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”⾥。
抽屉原理[1].
![抽屉原理[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/69c28463aef8941ea66e055b.png)
一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
抽屉原理公式及例题
抽屉原理公式及例题
抽屉原则一：如果把n+1个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体;例：把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体;
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有：①k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时;
②k=n/m个物体：当n能被m整除时;
理解知识点：表示不超过X的最大整数;
键问题：构造物体和抽屉;也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算;
例1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球
解：把3种颜色看作3个抽屉,若要符合题意,则小球的数目必须大于3,故至少取出4个小球才能符合要求;
例2．一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有2张牌有相同的点数
解：点数为1A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11J、12Q、13K的牌各取1张,再取大王、小王各1张,一共15张,这15张牌中,没有两张的点数相同;这样,如果任意再取1张的话,它的点数必为1～13中的一个,于是有2张点数相同;。
抽屉原理
抽屉原理一、抽屉原理的定义（1）举例桌上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽展里，无论怎样放，有的抽屉可以放1个，有的可以放2个，有的可以放5个，但最终我们会发规至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
二、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉=商……余数余数：（1）余数=1，结论：至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数=x至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数=0，结论至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（ニ）、利用最值原理解题（最不利原则：一切最不利情况+1=成功）将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。
类型：“必有2个”原理；必有m+1个”原理要点：最不利原则；保证与至少精讲例题一：某校六年级有367名学生，请问有没有2名学生的生日是在同一天?为什么?【思路导航】把一年的天数看成是抽屉，把学生数看成是元素即至少有2名学生的生日是在同一天。
把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，至少在一个抽屉里有2名学生，因此肯定有2名学生的生日是在同一天。
试一试：1.某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是在同一天，为什么?2.某校有30名学生是2月份出生的。
能否至少有2名学生的生日是在同一天?3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生?精讲例题二：某班学生去买语文书、数学书、英语书。
买书的情况是:有买一本的、两本的，也有买三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)试一试：1.某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。
买书的情况是：有买一本的，有买两本的，有买三本、四本的。
问至少去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)2学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。
抽屉原理类问题的解题方法
抽屉原理类问题的解题方法
做抽屉问题关键是确定“抽屉”和“苹果”，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者为“苹果”，数量较少者为“抽屉”。
苹果÷抽屉＝商……余数，得到的结论为：至少有一个抽屉里有（商＋1）个苹果。
例如：证明：（1）任意28个人中，至少有3个人的属相相同。
（2）要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人（3）要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内
分析：
（1）把12种属相看作12个抽屉，28÷12＝2……4，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。
（2）要保证有至少4个人的属相相同，总人数最少为：3×12＋1＝37（人）
（3）要保证有5个人的属相相同，总人数最少为：4×12＋1＝49（人），不能保证有6个人属相相同的最多人数为：
1。
行测辅导：抽屉原理解题技巧
一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。
一、抽屉原理简介
一、抽屉原理简介抽屉原理又称鸽巢原理，“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
原理2：把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。
在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。
现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。
二、运用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“要分的物体”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
三、理解抽屉原理要注意几点（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
四、教学建议1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。
抽屉原理全部题型及解析
抽屉原理全部题型及解析抽屉原理是一个重要的数学原理，也称为鸽巢原理。
它的核心思想是：如果将 n+1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里会放入两个或两个以上的物体。
这个原理在解决一些计数问题、证明存在性等数学问题时经常使用。
下面将介绍一些常见的抽屉原理题型及解析。
题型一：生日问题假设一个教室里有 n 个学生，他们的生日都在同一年中，现在要证明至少有两个学生的生日在同一天。
解析：将一年分为 365 天，学生个数作为抽屉数 n，将每个学生的生日作为物体。
由于一年只有 365 天，而学生的个数是 n，根据抽屉原理，必然存在至少一个抽屉放入了两个或两个以上的学生的生日，即至少存在两个学生的生日在同一天。
题型二：配对问题假设有 n 对袜子，每对袜子颜色相同，但对于每一对袜子，左右脚袜子的顺序是随机的。
现在要证明至少存在一双袜子的左脚和右脚颜色相同。
解析：将 n 对袜子分为 n 个抽屉，将每双袜子的颜色作为物体。
由于每对袜子的颜色是相同的，而袜子的数量是 n 对，根据抽屉原理，必然存在至少一个抽屉放入了两个或两个以上的袜子，即至少存在一双袜子的左脚和右脚颜色相同。
题型三：数字问题任给一个长度为 n+1 的序列 a1, a2, ..., an+1，其中的元素取值范围为 1 到 n，证明至少存在一个数字在序列中出现至少两次。
解析：将长度为 n+1 的序列分为 n 个抽屉，将每个数字作为物体。
由于序列的长度是 n+1，而数字的取值范围是 1 到 n，根据抽屉原理，必然存在至少一个抽屉放入了两个或两个以上的数字，即至少存在一个数字在序列中出现至少两次。
题型四：整数问题将任意 101 个整数分成 10 个集合，证明至少存在一个集合中包含两个整数，它们的和可以被 10 整除。
解析：将 101 个整数分为 10 个抽屉，将每个整数作为物体。
由于整数的数量是 101 个，而抽屉的数量是 10 个，根据抽屉原理，必然存在至少一个抽屉放入了两个或两个以上的整数，即至少存在一个集合中包含两个整数，它们的和可以被 10 整除。
小学六年级奥数《抽屉原理》经典题解题技巧大全
小学六年级奥数《抽屉原理》经典题解题技巧大全抽屉原理问题例1：袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至少要摸出______粒珠子，才能保证达到目的。
讲析：从最好的情况着手，则摸5粒刚好是同色的，但是不能保证做到。
要保证5粒同色，必然从最坏情况着手。
最坏情况是摸了16粒，这16粒珠子中没有一种是5粒同色，也就是说有4粒红色、4粒黄色、4粒黑色和4粒白色的。
现在再去摸一粒，这一粒只能是四色之一。
所以，至少要摸17粒。
例2：在一个3×9的方格里，将每一格随意涂上黑色或白色，试说明不管怎样涂，至少有两列的着色是完全相同的。
讲析：可用两种颜色涂每一列的三格，它共有8种情况，如图5.89所示。
那么，剩下的一列不管怎样涂色，一定是上面8种中的一种。
所以它至少有两列的着色是完全相同的。
例3：把1、2、3、……、10这十个自然数以任意顺序排成一圈，试说明一定有相邻三个数之和不小于17。
讲析：因为1＋2＋3＋……＋10=55。
这十个数不管怎样排列，按每相邻三个数相加，共分成了10组，每个数都加了3次。
10组之和是165，平均每组为16，还余5。
然后把5分成几个数再加到其中一组或几组中，则肯定有一组相邻三个数之和不小于17。
橱柜里有木筷子6根，竹筷子8根，从中最少摸出多少根筷子，才能保证有两双不同的筷子?答案与解析：“有两双不同的筷子”，实际上就是指木筷子、竹筷子各一双，即起码要有2+2=4(根)。
题目要求“保证有两双不同的筷子”，只摸出4根筷子是保证不了的。
从最坏的情况来考虑，一个人先摸出8根筷子，可能都是竹筷子，实际只满足了有一双筷子的要求，那么再摸两根，必然出现一双木筷子，合起来就是10根筷子。
这就是所说的“最不利情况”。
解：由于先摸出8根筷子，都是竹筷子，只满足两双不同筷子要求的一部分，是最坏的情况，在摸出2根，必有一双筷子出现。
8+2=10(根)，所以，从中最少摸出10根筷子，才能保证有两双不同的筷子。
数量关系答题技巧：抽屉原理问题解题思路（样例5）
数量关系答题技巧：抽屉原理问题解题思路（样例5）第一篇：数量关系答题技巧：抽屉原理问题解题思路数量关系答题技巧：抽屉原理问题解题思路数量关系技巧包含了数学运算技巧和数字推理技巧两大部分，公务员考试数学运算是最为考生所头疼，其所占分值高并且难度也高。
今天中公教育为考生整理了数量关系答题技巧中的抽屉原理问题解题思路，希望对考生有所帮助！抽屉原理可以表述为：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
解答抽屉问题的关键是要注意区分哪些是“抽屉”，哪些是放在抽屉里的“东西”。
【例题1】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同()A.8 B.9 C.10 D.11 【中公教育解析】从最不利原则出发，三种球先各摸3个，再任意摸1个，共3×3+1=10个，即可保证至少有4个小球颜色相同。
故答案为C。
【例题2】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少()A.5 B.8 C.10 D.12 【中公教育解析】从最不利原则出发，先摸3个红球，4个黄球，4个蓝球，再任意摸1个，即可保证这n个小球至少有5个同色，所以n的最小值是3+4+4+1=12个。
故答案为D。
【例题3】从一副完整的扑克牌中，至少抽出()张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。
A.21 B.22 C.23 D.24 【中公教育解析】“一副完整的扑克牌”，也就是有大、小鬼各1张，其他4种花色的扑克各有13张。
根据题意，大、小鬼仅各1张，所以，同色的6张牌只能四种花色中的一种。
把四种花色看成是四只抽屉，如果在每只抽屉里放5张牌，就要取出4×5=20张牌，如果再多取1张牌，就能保证至少有一个抽屉里有6张牌，也就是至少有6张同色的牌。
抽屉原理(二)— 数论中的抽屉原理
数论中的抽屉原理（组合）一、数论中的抽屉原理& 最不利原则——“和差倍”1. 题型（1）两数之和或两数之差是m（2）两数之和或两数之差是m的倍数2. 解题思路题型（1）根据题意构造抽屉题型（2）根据余数的特征进行分组，构造抽屉二、注意事项1. 相邻两数必互质。
题型一：根据题意构造抽屉1.从2、4、6、…、30这15个偶数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是34 .2.从1 ~ 11这11个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是12 .3.从1 ~ 99这99个自然数中，最多选出多少个数，使得其中每两个数之和都不等于100？4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
5.从1 ~ 21这21个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？6.从1 ~ 99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数之差都不等于5？7.如果在1，2，… …，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？8.从1 ~ 50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？题型二：根据余数构造抽屉1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
2.至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？3. 1 ~ 17中，至少拿出多少个数才能保证：（1）里面一定有5的倍数？（2）一定有两个数的和是5的倍数？4. 1 ~ 35中，至少拿出多少个数才能保证一定有两个数的和是8的倍数？5.从1至17这17个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被5整除．请问：最多能取出多少个数？6.任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
巩固练习1.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？2.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差是4的倍数？3.从1 ~ 25这25个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的和是6的倍数？4.从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？。
抽屉原理例题解析
抽屉原理1：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果概念解析1、把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.3、我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。
应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
例题讲解例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
解析（首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
）例2 一副扑克牌（去掉两X王牌），每人随意摸两X牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两X牌的花某况是相同的？解析（扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2X牌的花色可以有：2X 方块，2X梅花，2X红桃，2X黑桃，1X方块1X梅花，1X方块1X黑桃，1X方块1X红桃，1X梅花1X黑桃，1X梅花1X红桃，1X黑桃1X红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。
三年级奥数(22)抽屉原理
三年级奥数（19）抽屉原理【类型一：最不利原则】 【例1】粗心的小明将他的2双黑袜子和3双白袜子散乱地放在了衣箱里，如果取得时候不看颜色，至少要取出几只袜子，才能确保组成颜色相同的一双袜子？两双袜子呢？变式1：一个口袋里有红、白、黑3色玻璃球各10个，一次最少摸出多少个，才能保证有5个玻璃球是相同颜色的？变式2：丽英小学共有684个学生，其中至少有几个学生的生日是同一天？【例2】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
那么至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？变式1：一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？变式2：一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？变式3：一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
那么至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？【例3】会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻，那么小宇就座之前，这一排至少已坐了_______人。
抽屉原理一：多于n 个“苹果”任意放入n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里的“苹果”有2个或2个以上。
抽屉原理二：将多于m ×n 个“苹果”任意放入n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉的“苹果”有（m+1）个或（m+1）个以上。
运用抽屉原理解题，可以分为以下几步：（1）确定什么是“抽屉”（2）确定什么是“苹果”（3）根据抽屉原理一或抽屉原理二得出结论变式1：圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。
当再有一人入座时，就必须和已就坐的某人相邻。
问：已就坐的最少有多少人？变式2：31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？变式3：（2007年第五届“小机灵杯”复赛第4题）一根电缆包括20根缆线，每种相同颜色的缆线有4根。
六年级奥数考点：抽屉原理问题
六年级奥数考点：抽屉原理问题考点：抽屉原理问题一、知识要点如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k （k ≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
（2）如果把m ×x ×k （x ＞k ≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a 、构造抽屉，指出元素。
b 、把元素放入（或取出）抽屉。
C 、说明理由，得出结论。
本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。
课后作业1、（课后）一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米？（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米2、（课后）有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？（32×0.04+22×0.11）÷42＝0.05米＝5厘米3、（课后）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是2平方厘米。
在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？杯中水的体积是：72×2.5＝180立方厘米放入铁块后的底面积是72－62＝36平方厘米；水面的高：180÷36＝5厘米4、（课后）如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？20.56÷（1+1+3.14）＝4分米3.14×（42）2×4＝50.24立方分米二、精讲精练【例题1】某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽屉原理的经典解题思路
抽屉原理在公务员考试中的数字运算部分时有出现。
抽屉原理是用最朴素的思想解决组合数学问题的一个范例，我们可以从日常工作中的实例来体会抽屉原理的应用。
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
先来看抽屉原理的一般叙述：
抽屉原理
讲多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于
2。
"抽屉原理
(1)可以进行推广，把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
抽屉原理
将多于件的物品任意放到抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少m+
1。
"
也可以表述成如下语句：
把m个物品任意放入n (n<m)个抽屉中，则一定有一个抽屉中至多要有k 件物品。
其中k=〔m/n〕，这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n 的整数部分。
掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。
一般来讲，首先得分析题意，分清什么是“物品”，
什么是“抽屉”，也就是什么作“物品”，什么可作“抽屉”。
接着制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
最后运用抽屉原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
下面两个典型例题的解题过程充分展现了抽屉原理的解题过程，希望读者能有所体会。
例1：证明任取6 个自然数，必有两个数的差是5 的倍数。
证明：
考虑每个自然数被5 除所得的余数。
即自然数可以作为物品，被5除所得余数可以作为抽屉。
显然可知，任意一个自然数被5除所得的余数有5种情况：0，1，2，3，
4。
"所以构造5个抽屉，每个抽屉中所装的物品就是被5 除所得余数分别为0，1，2，3，4 的自然数。
运用抽屉原理，考虑“最坏”的情况，先从每个抽屉中各取一个“物品”，共5 个，则再取一个物品总能在先取的5个中找到和它出自于同一抽屉的“物品”，即它们被5 除余数相同，所以它们的差能整除
5。
"例2：黑色、白色、黄色的筷子各有8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2 双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根才能保证达到要求？解：
这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三种颜色的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2 双不同颜色的筷子，可以分两步进行。
第一步先确保取出的筷子中有1 双同色的；第二步再从余下的筷子中取出若干根保证第二双筷子同
色。
首先，要确保取出的筷子中至少有双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作果，根据抽屉原则，只需取出中取多少根筷子才能确保又有第一次取出的4 根筷子中，有
1
3 个抽屉，把筷子当作苹
4 根筷子即可。
其次，再考虑从余下的20 根筷子
1 双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设
2 根黑色，1 根白色，1 根黄色。
这样,余下的20根筷子,有6根黑色的, 7根白色的, 7根黄色的,因此,只要再取出7 根筷子,必有1根是白色或黄色的,能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配对,从而保证有2 双筷子颜色不同,总之,在最不利的情况下,只要取出4+7=11根筷子,就能保证达到目的。
以上两个题目都考虑了“最坏”的情况,这是考虑涉及抽屉原理的最值问题的常用思路。
最后看一个有趣的数学问题,它体现了抽屉原理在证明存在性问题中的应用。
“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。
”这个问题可以用如下方法简单明了地证出:
在平面上用6 个点
A、
B、
C、
D、
E、F分别代表参加集会的任意6个人。
如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。
考虑A点与其余各点间的
5条连线AB, AC,…，AF,它们的颜色不超过2种。
根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC, AD同为红色。
如果BC, BD, CD3条连线中有一条（不妨设为BC 也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，
A、
B、C代表的3个人以前彼此相识:
如果
C、B
D、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形,
B、
C、D代表的3个人以前彼此不相识。
不论哪种情形发生，都符合问题的结论。