集合与图论映射

23/25
集合与图论
逆映射的定义
定义4.1 设f:XY，如果存在一个映射g:YX， 使得fg=IY且gf=IX，则称映射f是可逆的，而g称为f的 逆映射。
按定义f可逆当且仅当fg=IY且gf=IX同时成立，缺 一不可。
定义4.2 设f:XY，如果存在一个映射g:YX，使 得gf=IX，则称映射f是左可逆的，g称为f的左逆映射。
集合与图论
第3节 映射
引言
自17世纪起，近代数学产生以来，函数概念 一直是处于数学思想的真正核心位置。
在数学分析中，把函数的定义域与值域限制 为数集是没有必要的。
如果用随便什么属性的集合代替数集，我们 就得到了函数的最一般的概念——我们采用几何 术语“映射”来代替它。
在本书中，函数和映射是一个概念，所以我 们亦不加以区分。这部分主要讲函数的基本概念、 基本性质(单射、满射和双射)、基本运算(合成、 逆)。
令A={1,2},B={3,4} ，求f(A∩B)， f(A)∩f(B)。
解: f(A∩B) =,
f(A)∩f(B) ={b}
例3： 设X={a,b,c},Y={1,2,3}。f:XY： f(a)=1,f(b)=f(c)=2。
令A={a,b},B={c}，求f(AB)，f(A)f(B)。
解：f(AB)=f((A\B)∪(B\A)) =f({a,b,c})={1,2}
f不是满射 f是满射
9/25
集合与图论
一个集合上的恒等映射只有一个。
恒等映射是双射。
例1 令X={1,2,3}, f: XX, 令f(1)=1,f(2)=2,f(3} s:NN，其定义为nN, s(n)=n+1。s称为自然数集N上的后继函数。
s是单射的，但不是满射的。
1/25
集合与图论
第3节 映射
主要内容：
• 映射的定义 • 映射的性质* • 映射的合成 • 逆映射
2/25
集合与图论
1 映射的定义
函数的定义:
设X和Y是两个数集，如果依据某一法则f，使对于 X中的每一数x总有Y中的唯一确定的数y与之对应，则 称f为定义在X上取值于Y中的函数。
映射的定义:
设X和Y是两个非空集合，一个从X到Y的映射f是 一个法则，根据f，对X中每个元素x都有Y中唯一确 定的元素y与之对应。
定义1.8 设f：XX，如果xX，f(x)=x，则称f为 X上的恒等映射。X上的恒等映射常记为Ix。
8/25
集合与图论
例：设X={a,b,c}，Y={1,2,3,4} 定义f(a)=1,f(b)=1,f(c)=3 f不是单射 定义f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3 f是单射
例：设X={a,b,c,d}, Y={1,2,3,4} 定义f(a)=1,f(b)=1,f(c)=3,f(d)=4 定义f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3,f(d)=4
4/25
集合与图论 映射的定义
例：设X={a,b,c}，Y={1,2,3,4} f(a)=1，f(b)=2，f(c)=3 {(a,1)，(b,2)，(c,3)} ={(a,f(a))，(b,f(b))，(c,f(c))} {(a,1)，(a,2)，(b,3)，(c,4)} 不是映射 {(a,1)，(c,3)} 不是映射
例3 令E为全体偶自然数之集。定义e:EN，如 果对每个偶自然数2m，令e(2m)=m。
e是从E到N的一个双射;
它不是从N到N的映射;
而是从N到N的部分映射。
10/25
集合与图论
例4 设X为整数的有限集。定义集合 X-X={x-x x, xX}。
试证：若A,B{1,2,...,n}且A•B2n-1,n>1，则 (A-A)∩(B-B)中有一个正整数。 例如: 设n=4,A={1,2,3},B={1,3,4}
22/25
集合与图论
4 逆映射
逆映射是反函数概念的推广。 例如：X={1,2,3}，Y={a,b,c}
f：XY，f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c g：YX，g(a)=1，g(b)=2，g(c)=3 观察一下gf与fg两个合成映射：
gf(1)=g(a)=1,gf(2)=g(b)=2,gf(3)=g(c)=3 gf=IX, fg(a)=f(1)=a,fg(b)=f(2)=b,fg(c)=g(3)=c fg=IY,
f-1(B)叫做在f下B的原象。
利用这种方法，由f又得到一个2Y到2X的一个映 射，记为f-1。
16/25
集合与图论
例1： 设X={1,2,3,4}，Y={a,b,c,d,e}，f：XY： f(1)=a，f(2)=b，f(3)=b，f(4)=c。
令A={1,2}，B={b,c,d}，求f(A)，f-1(B)，f-1({d})， f-1({b})。
解：f(A) ={a,b} f-1(B) ={2,3,4}。
f-1({d})=。 f-1({b})={2,3}。 为了书写方便，f({a})常记为f(a)， f-1({b})=f-1(b)。
17/25
集合与图论
定理2.1 设f：XY，CY，DY，则: (1)f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D); (2)f-1(C∩D)=f-1(C)∩f-1(D); (3)f-1(CD)=f-1(C)f-1(D); (4)f-1(Cc)=(f-1(C))c。
问题：已知f(A)={f(x)xA} 若xA，则f(x)f(A)?
若xA，则f(x)f(A)?
若f(x)f(A)，则xA？
15/25
集合与图论
原象的扩展
(2)如果BY，则由f和B唯一确定了X的一个子集。 {xf(x)B，xX}
这个子集习惯上用f-1(B)表示。f-1(B)是X中在f下 的象落在B里的那些元素组成的。
定理2.2 设f：XY,AX,BX，则: (5)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (6)f(A∩B)f(A)∩f(B); (7)f(AB)f(A)f(B)。
18/25
集合与图论
例2：设X={1,2,3,4},Y={a,b,c,d,e}。 f:XY： f(1)=a,f(2)=b,f(3)=b,f(4)=c。
定义1.1 设X和Y是两个非空集合，一个从X到Y 的映射是一个满足以下两个条件的XY的子集f：
(1)对X的每一个元素x，存在一个yY，使得 (x, y)f;
(2)若(x, y)、(x, y)f，则y=y。
在这个定义中，性质(2)称为“单值性”。
5/25
集合与图论
限制与扩张
定义1.2 设f:XY,AX，当把f的定义域限制在A 上时，就得到了一个:AY，xA，(x)=f(x)， 被称为f在A上的限制，并且常用f A来代替。反过 来，我们说f是在X上的扩张。
3/25
集合与图论
映射的定义
f给x规定的对应元素y称为x在f下的象，而x称 为y的原象。X称为f的定义域。
“f是X到Y的映射”这句话常记为f: XY. x在f下的象y常记为f(x)。
集合{f(x) xX}称为f的值域或象，记为Im(f)。
什么是法则? x与x在f下的象f(x)可以组成有序对，(x, f(x))。 这样的有序对的全体是XY的子集。
映射的诱导：
(1) 若AX，则由f和A就唯一地确定了Y的一个 子集，记为f(A): f(A)={f(x)xA}。
f(A)称为A在f下的象。利用这种方法，由f就 确定了一个从2X到2Y的映射，习惯上这个映射仍记 为f。
14/25
集合与图论
f()=，f(X)=Imf。 f是X到Y的满射当且仅当f(X)=Y。 如果ABX，则f(A)f(B)。
按定义，xX，我们有gf(x)=gf(x)=g(f(x))。
注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。
20/25
集合与图论 映射合成的性质
定理3.1 设f:XY，g:YZ，h:ZW，则 h(gf)=(hg)f
即映射的合成运算满足结合律。
映射的合成运算满足结合律是合成运算的基本 性质。据此h(gf)和(hg)f就可简记为hgf。
定理4.4 设f:XY，则: (1)f左可逆的充分必要条件是f为单射； (2)f右可逆的充分必要条件是f为满射。
25/25
从X到Y的所有映射之集记为YX，即YX={ff:XY}。
性质1 设X,Y均为有穷集合，X=n，Y=m， 且n≥1，m≥1，则YX=mn。
性质2 设X为有穷集合，X=n，且n≥1，则从 X到X共有n!个双射。
12/25
集合与图论
例如：设X={1,2} Y={a,b,c}，则从X到Y共有9个映射。 例如：设X={1,2,3}，则从X到 X共有6个双射。
例: X={1,2,3,4}，Y={a,b,c}
定义法则f为：f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c,
f是A={1,2,3}到Y的映射。 f是X到Y的一个部分映射。
7/25
集合与图论
几个重要概念
定义1.4 两个映射f与g称为是相等的当且仅当f和g 都是X到Y的映射，并且xX, 总有f(x)=g(x)。
定义1.5 设f：XY，如果x,xX，只要xx， 就有f(x)f(x)，则称f为从X到Y的单射。
定义1.6 设f：XY，如果yY，xX使得 f(x)=y，则称f为从X到Y上的映射，或称为满射。
定义1.7 设f：XY,若f既是单射又是满射，则称f为 双射，或称为一一对应。也称X与Y对等，记为X~Y。
而如果存在一个映射h:YX，使得fh=IY，则称映 射f是右可逆的，h称为f的右逆映射。
24/25
集合与图论
逆映射的性质
定理4.1 设f:XY，则f是可逆的充分必要条件 是f为双射（一一对应）。
定理4.2 设f:XY，则如果f是可逆的，则f的 逆映射是唯一的。f的逆记作f-1。
定理4.3 设f:XY，g:YZ都是可逆的，则gf 也可逆且(gf)-1=f-1g-1，(f-1)-1=f。