平面力系的平衡
平面汇交力系的平衡方程式有3个
平面汇交力系的平衡方程式有3个
在平面力学中，当存在一个平面内的力系时，可以利用平衡方程式来求解力系的平衡情况。
对于平面力系，其平衡方程式有三个，分别是：横向力平衡方程式、纵向力平衡方程式和力矩平衡方程式。
其中，横向力平衡方程式描述的是力系在横向上的平衡情况，纵向力平衡方程式描述的是力系在纵向上的平衡情况，而力矩平衡方程式则描述的是力系在转动方向上的平衡情况。
通过求解这三个平衡方程式，可以得到力系的平衡状态，并进一步研究力系的性质和应用。
- 1 -。
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
平面一般力系的平衡和应用
由 mA (Fi ) 0
P2aNB 3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
解除约束
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
衡第 三
静节 定 和物 超体 静系 定的
平
三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知
P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A和
B的约束反力.
P
1m
q
C
2m
A
2m
为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集度为 q 。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束 力。
首先在 O 点建立坐标系
y
第二步作受力分析
q
Foy
q
• 主动力为分布载荷（忽略重
力），且为一平行力系
O Fox
• 约束反力：
x
dx
l
x
Aq
FA
O 为固定铰支座，A 为活动铰 支座。
和 物 RC = 7.07 kN
B XB
YB
2m
Q
C
RC
2m
超 体 整体分析
P
静系
Q
定的 平
A
XA
mA
YA 2m
B
C
RC
2m
2m 2m
衡第
P = 30kN, Q = 20kN, = 45o
三 静节 定
Xi = 0 Yi = 0
XA - 20 cos45o = 0 XA = 14.14 kN YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA = 37.07 kN
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
建筑力学 平面一般力系的平衡
Fcy F 2 sin 60 F ND 20 0.866 8.66 8.66kN
（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)
M
A
(F
)
0,
F1
2
F
' Cy
6
F
NB
4
0
F
NB
F1 2
F
' Cy
4
6
10 2
8.66 6 4
17.99kN()
F
x
0,
F
Ax
F
' Cx
0
F
Ax
F
' Cx
10kN()
（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）
M C (F ) 0, F 2 sin 60 2 F ND 4 0
F
ND
sin
60
2
8.66 k N()
F x 0, Fcx F 2 cos60 0
Fcx F 2 cos60 20 0.5 10kN
F y 0, F cy F ND F 2 sin 60 0
F
y
0,
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
0
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
17.99
10
8.66
0.67k
N()
求解物体系统平衡问题的要领如下： （1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用 相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若 干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。 （2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此 相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体 组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。 （3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常 可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适 当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。 （4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作 用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解 未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知 的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可 见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。 （5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽 可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。
平面任意力系的平衡资料
' FDx FE cos 45 2 F
MB o
' FDx a F 2a 0
得
' FDx 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
例311 如图所示，静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连 接而成。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝450，求支座A、C处 的约束反力和中间铰B处两梁之间的相互作用力。
O1 B O2 A
三矩式平衡方程为：
相比较二矩式最简单
M M M
O1 O2 C
0 :N B 2a W cos a W sin b 0 0 : N A 2a W cos a W sin b 0 0 : T b N Aa N B a 0
二矩式平衡方程为：
X 0 : T W sin 0 M 0 :N 2a W cos a W sin b 0 M 0 : N 2a W cos a W sin b 0
O1 B O2 A
解得：
T W sin 5kN W cos a W sin b NA 3.33kN 2a W cos a W sin b NB 5.33kN 2a
解得
FAy q 2a P FB 0
P 3 FAy qa 4 2
已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
1 其中 F1 q 3l 30kN 2
m
,
3-2平面一般力系的平衡与应用
一、导入由上节课的简化结果可知：若平面一般力系平衡，则作用于简化中心的平面汇交力系和附加力偶也必须同时满足平衡条件。
由此可知，物体在平面一般力系的作用下，既不发生移动，也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的所有各力在两个不同方向的X\Y轴上投影的代数和均为零，且力系中各力对平面内任意一点的力矩大代数和也等于零。
二、新授3-2平面一般力系的平衡与应用一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用平面一般力系平衡的充要条件是力系主矢F R/ 和力系对某一点的主矩m o都等于零。
即：F R/ =0，m o =0要使F R/ =0，必须满足：∑F x =0 ∑F y =0要使m o =0，必须满足：∑m o（F）=0于是，平面一般力系的平衡条件可表达为：∑F x =0基本形式∑F y =0∑m o（F）=0 力矩方程平面一般力系有三个独立方程。
例1：钢筋混凝土钢架的受力及支座情况如图。
已知F=10KN，m=15KN.m，钢架自重不计，求支座反力。
平面一般力系平衡必须同时满足三个平衡方程式，这三个方程彼此独立，可求解三个未知量。
因此，平面一般力系平衡的充要条件又可叙述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对任一点力矩的代数和也等于零。
解：1、刚架为研究对象，画刚架的受力图， 建立坐标轴2、列平衡方程求解未知力 ∑F x =0 F －F BX ＝0 F BX ＝F ＝10KN∑m A （F ）=0 －F ×3－m ＋F BY ×3＝0 F BY ＝15KN （） ∑F y =0 F A ＋F BY ＝0 F A ＝－F BY ＝－15KN （） 二、平面一般力系平衡方程的其他形式 1、二力矩式平衡方程的基本形式并不是唯一的形式，还可以写成其他的形式,它与基本形式的平衡方程是等效的,但往往应用起来会方便一些。
形式：三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程00===∑∑∑xBA Fm m如果力系满足0=∑A m 的方程,简化结果就不可能是个合力偶,而只能是合力或平衡；若是合力则合力应通过A 点,同理,力系又满足0=∑B m ，则此合力还应通过B 点,也就是说,力系如果有合力则合力作用为AB 连线,又因为力系还满足=∑xF的方程，则进一步表明力系即使有合力,这合力也只是能与X 轴相垂直,但附加条件是AB 连线不与OX 轴垂直。
5-2 平面一般力系的平衡
FL
11
答案：
m
FA y
A
F Ax
A
AB梁:
Q 1 qL 2
Fx 0
B
F Ax 0
Fy 0
F Ay Q 0
1 F Ay 2 qL
mA 0
mA
Q
L 3
0
mA
qL2 6
12
其他例题
P92-94例5-2，例5-3，例5-5 。
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梁的自重不计
求：A、B支座反力。 解：取简支梁AB为研究对象
Q
1 2
qc
L 2
3kN
AD 2 L L 2m 32 3
yQ F
F L/3 L
x
αF
mA 0
F B cos 300 L m Q AD 0
F B 1.54kN （ ）
FX 0
α
F Ax F B sin 300 0
e G1
由(4)、(5)式 得：
G3
G1(b a
e)
6
A
B
FN A
b
FN B
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致
翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G2L G1e ab
G3
G1(b a
e)
8
例4.匀质刚杆ABC
θ
FA
P
θ θ
θ 2P
已知: BC=2AB=2L
mA 0
求：当刚杆ABC平衡时 BC与水平面的倾角θ? 解：取刚杆ABC为研究
2P
L
cos
L
cos(900
)
P
L 2
cos(900
平面力系的平衡方程及应用
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
平面任意力系的平衡
[例6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
根据∑mi=0有:
解: 各力偶的合力偶距为
m m1 m2 m3 m4 4(15) 60N m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
y
F2
O
F1
x
mO (Fi ) 0
于是，由平面一般力系平衡方 程的基本形式，得平面汇交力 系的平衡方程：
Fn
∑FXi=0
∑FYi=0
18
三、平面平行力系的平衡方程
图示平行力系， 取如图所示直角坐标系，则
y
F1
O
F2 Fn
∑FXi≡0 于是，由平面一般力系平衡方程的 基本形式及二力矩式，得平面平行 力系的平衡方程：
0.45m
d
mA 1m
B
0.5m 0.45m
FAy
W1
W2
mA(Fi) = 0
mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0
mA = 5.043 kN.m
11
例题2-5. 一容器连同
2m
盛装物共重W=10kN,
作用在容器上的风荷
载q=1kN/m,在容器的
Fxi= 0 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.
(c)三力矩式
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0
三个矩心A ,B 和 C不在一直线上.
2
FX i 0 FY i 0
mO (Fi ) 0
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0
平面力系的平衡条件
例4－5 如图4－8所示简支梁结构，跨中 承受均布荷载q ，悬臂端承受集中力F = 2ql,试求各支座的支座反力。
解 画简支梁受力图4-8b.
x
例 4－ 5
F 0
M A (F ) 0
FAx 0
FBy 3.5ql
1 FBy l ql 2 F 1.5l 0 2
A
（4－13）
例4－7 如图4－10所示简单塔吊结构，悬 臂端承受重量为W。试计算支座A及钢索 BC的受力。 解：画塔吊结构受力图为(4－10b)
例 4－ 7
M
A
0
FBC sin 30 4 W 6 0
M
FBC 3W
C
0
FAy 4 W 2 0
M
FAy W 2
例 4－ 3
F
y
0 FAC sin60 FW 0
FW 2FW sin60 3
FAC
F
x
0 - FAC cos60 FBC 0
2FW 1 FW -FAC cos60 3 2 3
FBC
FAC为正，表明AC杆受力与原来假设方向相同是拉力。 而FBC为负，表明BC杆受力与原来假设方向相反是压力。
F 0
x
y
F
0
o
（4－11）
M
(F) 0
式（4－11）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一矩式方程。 这是一组三个独立的方程，只能求解出三个未知量。
二、 平衡方程的应用 用平面任意力系平衡方程求解工程实际问题，一般 有以下步骤： 1、为工程真实空间结构选择合适的简化平面，画出 其平面简图； 2、确定研究对象，取分离体，画受力图，标示未知 力； 3、列平衡方程求解未知力。列平衡方程时要注意坐 标轴和矩心的选择方法： a. 坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上； b. 矩心可选在尽量多的未知力共同作用点（或汇 交点）上或不需求解的未知力作用线上。
3-2平面力系的平衡条件
G3 A
1.8 m
G2 G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
例题
3-5
解： 1.取汽车及起重机为研究 取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。 列平衡方程。 列平衡方程
G3 G2 G
3.0 m
A
1.8 m
G1
2.0 m
B
2.5 m
∑F = 0,
F y
F
c
C
α
B
FAy
A
FAx
α D C E B xA来自WDaWE
b
解：
WD W
WE
l
1.取伸臂 为研究对象。 取伸臂AB为研究对象 取伸臂 为研究对象。 2.受力分析如图。 受力分析如图。 受力分析如图
3.选如图坐标系，列平衡方程。 3.选如图坐标系，列平衡方程。 选如图坐标系
∑F = 0, ∑Fy = 0, ∑M (F) = 0,
∑F = 0 , ∑F
x
y
= 0,
∑m (F) = 0
O
力系中的各力在其作用平面内两坐轴上的 投影的代数和分 力系中的 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 分 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 对任一点矩的代数和也等于零
∑F = 0,
x
FAx = 0
∑F
y
= 0,
FAy − F + FD = 0
AB −F× + FD × 2 − M = 0 2
y M FAy
平面力系的平衡
[例] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力
F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的
几何条件，力多边形封闭，故
S AB
cos
P 2
cot
5.72
kN
[例] 已知 P=2kN 求SCD , RA 解：①选AB杆为研究对象
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 RA cos SCD cos 450 0
Y 0 P RA sin SCD sin 450 0
平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是： 力多边形自行封闭
例3-1 如图所示，钢梁的重量P 6103 N 6kN , 30，试求平 衡时钢丝绳的约束力。
解：1.取钢梁为研究对象，作受力图。 2.作力多边形，求未知量
1 P
FA 2 cos 30o 3.45kN
FB FA 3.45kN
④解平衡方程
P
SCD sin 450 cos 450 tg 4.24 kN
cos 450
RA SCD cos 3.16 kN
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力，选投影轴列方程为
X 0 T2cos T10
①
Y 0 T2 sin Q N D 0 ②
1 R
球离开地面时NB=0
h(2Rh) PNsin
NN
N FR h (2R h)
平面一般力系平衡的平衡方程是
平面一般力系的平衡方程
平面一般力系的平衡方程可以根据牛顿的第二定律得出。
对于一个处于平衡状态的物体，所有作用在物体上的力的合力和合力矩（力的转矩）都必须为零。
在平面内，我们可以将这些平衡条件表达为以下方程：
1.合力平衡方程：
∑Fx=0
∑Fy=0
这两个方程表示物体在x轴和y轴方向上的合力分量之和都为零。
所有作用在物体上的力的x分量和y分量的代数和都应该等于零。
2.合力矩平衡方程：
∑Mo=0
这个方程表示物体关于某一点O的合力矩（力的转矩）之和为零。
这意味着所有作用在物体上的力产生的矩（转矩）关于点O的代数和应该为零。
通常，这个点O可以是物体的任意一点，但通常选择一个方便计算的点。
在使用这些平衡方程时，需要注意以下几点：
-所有的力和矩都应该以相同的单位进行计算，例如牛顿和米。
-对于力矩，需要注意力的杠杆臂（力臂）和力的大小，因为力矩等于力乘以杠杆臂。
-可以将力和矩的方向选择为正方向，然后根据实际情况，确定力和矩的正负值。
这些平衡方程对于分析平面内的物体平衡状态非常有用，无论是在物理学、工程学还是其他领域。
它们帮助我们理解物体在力的作用下保持平衡的条件，并可以应用于解决静力学和力学平衡的问题。
平面任意力系平衡的充分与必要条件
平面任意力系平衡的充分与必要条件1.介绍微分力学可以用来研究物体的运动问题，这种研究以物体每一时刻的运动所受到的外力作为切入点，通过推导其受约束情况下的运动律，用来描述物体运动的变化。
直角坐标系中的物体平面动作平衡，是指物体处于静止或一直相对于平面的状态，并且受到的外力的结果是零。
平面任意力系平衡是指任意数目的物体作用于该物体的所有外力的合力等于零。
2.平衡的充分条件确定物体在运动结束后的轨迹的物理过程就是平衡的特性，只有在满足某些条件的情况下，物体才会保持稳定的坐标，从而使运动律满足施加在物体上的合力为零。
平面任意力系平衡的充分条件包括：（1）所有外力合力为零；即，$\Sigma F=0$（2）所有抗力（界于物体与其他物体之间的力）之和为零；即，$\Sigma R=0$（3）有关每一自由度的力学平衡方程定义为：$\Sigma \tau =0$其中$\tau$表示力矩，F和R分别表示外力与抗力，而$\Sigma$表示所有的力的总和。
每一自由度方面的力学平衡得到的结果$\tau$都必须是零，力学平衡方程中的所有外力和抗力的合力以及所有的力矩的和为零。
3.平衡的必要条件由于物体的状态是动态的，因此一定要注意外力系统的时变特性，通常情况下，当物体处于平衡状态时，其时变特性也是满足必要条件的。
同时，物体还要满足一定的力学平衡方程，也就是对自由度的约束，对由外力影响的边界条件也是必要条件。
例如，如果一个悬臂梁受到的外力的弯矩，它必须满足约束条件，方程为：$M=\Sigma \tau=EA \theta$ 其中M表示外力弯矩，E和A分别表示梁材料的弹性模量和断面积，$\theta$表示梁上每一点与坐标系X轴之间的夹角。
此外，还有一些特殊的必要条件，比如抗力小于等于外力，或者抗力与外力向量方向一致。
4.结论通过以上分析，我们可以得出结论，平衡的充分条件为：所有外力以及抗力的合。
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件可以根据力的合力和力矩的平衡来描述。
下面是平面汇交力系的平衡条件：
1.力的合力平衡条件：平面上的力系处于平衡状态时，所有力在x轴和y轴方向的合力均为零。
即：
ΣFx=0（所有力在x轴方向的合力为零）
ΣFy=0（所有力在y轴方向的合力为零）
2.力矩平衡条件：平面上的力系处于平衡状态时，所有力对于任意选定的旋转中心（或称为力矩中心）的力矩合为零。
即：ΣM=0（所有力对于力矩中心的力矩合为零）
在力矩平衡条件中，可以选择合适的力矩中心。
常见的选择是使得其中一些力的力臂为零，从而简化计算。
力臂是力在力矩中心到力的作用线的垂直距离。
通过同时应用力的合力平衡条件和力矩平衡条件，可以解决平面汇交力系的平衡问题。
需要注意的是，平衡条件只适用于静态平衡，即系统中力和物体的位置不发生变化。
1/ 1。
平面汇交力系平衡条件
平面汇交力系平衡条件平面汇交力系平衡条件是力学中的一个基本概念，它用于描述一个平面上多个力的合力为零的情况。
在物体处于静止或匀速运动时，力系的平衡条件是分析和解决力学问题的重要工具。
平面汇交力系是指在同一个平面上作用的多个力，这些力可以是切线力、法线力、摩擦力等。
在平面汇交力系中，力的大小、方向和作用点都可以不同，但要满足一定的条件才能使力系平衡。
平面汇交力系平衡条件可以分为两种情况：平行力系和非平行力系。
1. 平行力系平衡条件：当一个平面上作用的多个力都是平行的时，平行力系的平衡条件是：合力为零，即所有力的代数和等于零。
这意味着平行力系的合力的大小和方向都是由各力的代数和决定的。
当各力的代数和为零时，合力的大小为零，即力系平衡；当各力的代数和不为零时，合力的大小不为零，即力系不平衡。
2. 非平行力系平衡条件：当一个平面上作用的多个力不平行时，非平行力系的平衡条件是：合力为零，合力的力矩为零。
合力为零意味着所有力的代数和等于零，合力的大小和方向由各力的代数和决定。
合力的力矩为零意味着所有力产生的力矩的代数和等于零，即力系所产生的转动效果相互抵消。
对于非平行力系的平衡条件，我们可以利用力的平行四边形法则、三角形法则和力矩的定义来进行分析和计算。
通过绘制力的平行四边形或三角形，可以得到力的合力和合力的方向；通过计算力的力矩，可以判断力系是否平衡。
在实际应用中，平面汇交力系平衡条件可以用于解决各种物理和工程问题。
例如，我们可以利用平面汇交力系平衡条件来分析桥梁、建筑物和机械装置等结构的平衡性，以确定它们是否能够承受外部力的作用而不发生倾覆或破坏。
总结起来，平面汇交力系平衡条件是描述平面上多个力合力为零的条件，它可以分为平行力系和非平行力系两种情况。
对于平行力系，合力的大小和方向由各力代数和决定；对于非平行力系，合力的大小和方向由各力代数和决定，合力的力矩为零。
平面汇交力系平衡条件在物理和工程学中有广泛的应用，是解决力学问题的重要工具。
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平面任意（一般）力系的平衡
严格地说，平面任意力系也是空间任意力系的特殊情况。
平衡时力系的主矢（矢量）和对于平面内任一点O 简化的主矩M O （代数量）均等于零。
力系的平衡
平衡方程的解析形式
0R F =力系平衡的必要、充分条件。
因此平面任意力系的平衡问题最多可建立以上3个独立平衡方程，求解3个未知量。
平面任意力系平衡的充分必要条件：力系的各力在该平面内任意两根不相平行的坐标轴上投影的代数和及对平面内任意点的矩的代数和等于零。
以上3个方程是平面一般力系平衡的基本形式。
000===∑∑∑()xi
yi
O
i
F F M F 0
o M =
二矩式方程：
∑F x=0
∑M A(F )=0
∑M B(F )=0
条件：矩心A、B连线不垂直x轴。
三矩式方程：
∑M A(F )=0
∑M B(F )=0
∑M C(F )=0
条件：矩心A、B、C不共线。
求图示外伸梁支座A 、B 约束反力。
a
a
a
a
q M
F
A
B
C
D
E
a
a
a
a
q M
F
M F q 画约束反力
A
B
C
D
E
E
B
C
A D
By
F
M F q
E
B
C
A
D
F Ay
F Ax
F By
建立平衡方程
∑=M
A
By qa F a M F a +⨯−−⨯=21
2
23012312By
F F M a qa =+−⎛⎝ ⎫⎭⎪X
=∑F Ax =0
Y ∑=0
Ay By F F F qa +−−=0
1252Ay F F M a qa =−+−⎛⎝ ⎫
⎭⎪
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C
F 0
D
M =∑Ay
F 0
C
M
=∑Ax
F 不独立方程，用于校核
例：图示为一管道支架，其上搁有管道，设每一支架所承受的管重G 1=19kN ，G 2=14kN ，且架重不计。
求支座A 和C 处的约束反力，尺寸如图所示。
平面任意力系的特例：1. 平面汇交力系
因此平面汇交力系的平衡问题最多可建立2个独立平衡方程求解2个未知量。
2. 平面平行力系
因此平面平行力系的平衡问题最多也可建立2个独立平衡方程求解2个未知量。
0==∑∑xi
yi
F
F
00
==∑∑()yi O i F M F
3.平面力偶系
平面力偶系主矢恒为零，要使主矩M O （代数量）
为零，应有∑=M i 0因此平面力偶系的平衡问题最多只可建立1个独
立平衡方程求解1个未知量。
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力系名称平面任意力系
平面汇交力系
平面平行力系
平面力偶系
独立方程数
3221
各种力系作用下的独立方程数
力系名称空间任意力系
空间汇交力系
空间平行力系
空间力偶系独立方程数6333。