2020年高考考前大冲刺卷 文科数学(十)解析

2020年高考大冲刺卷文 科 数 学（十）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．复数2i1iz =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2答案：C 解：2i 2i(1i)i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，所以z 的虚部为1． 2．已知集合{}20A x x x =><或，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}26x x << B ．{}2610x x x <<-<<或 C ．{}25x x -<<D ．{}2610x x x <<-≤<或答案：D解：由{}20A x x x =><或，{}16B x x =-≤<， 所以{}2610A B x x x =<<-≤<I 或．3．若向量(0,2)=a ，(1,4)=-b ，则()⋅-a b a b 等于（ ） A ．()8,16- B ．()2,4C ．()0,6-D ．()5,6-答案：A解：0(1)248⋅=⨯-+⨯=a b ，(1,2)-=-a b ，()8(1,2)(8,16)∴⋅-=⨯-=-a b a b ． 4．在集合{}1,0,1,2,3,4A =-中随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35 D ．23答案：B 解：由题意，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，集合A 中满足条件的数有2个， ∴使得301x x -≥-成立的概率为2163=． 5．设1tan 2α=，4cos(π)((0,π)5ββ+=-∈，则tan(2)αβ-的值为（ ） A ．724-B ．524-C ．524D ．724答案：D解：1tan 2α=，22tan 4tan 21tan 3ααα==-，4cos(π)cos 5ββ+=-=-，((0,π)β∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，43tan 2tan 734tan(2)431tan 2tan 24134αβαβαβ---===++⨯． 6．已知圆C 的圆心为抛物线28x y =的焦点，直线4320x y -+=与圆C 相交的弦长为65， 则该圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y -+= C ．22(2)4x y +-= D ．22(2)4x y -+= 答案：A解：抛物线的焦点坐标为(0,2)，其到直线4320x y -+=的距离062455d -+==， 设圆C 的半径为r ，则有2223()15r d =+=，所以圆C 的标准方程为22(2)1x y +-=．7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．35B ．23C ．53D ．32答案：A解：程序运行过程如下：1,1,26x y z ===<；1,2,36x y z ===<；2,3,56x y z ===<；3,5,86x y z ===>，此时退出循环，输出35x y =． 8．连接双曲线22122:1x y C a b-=及22222:1y x C b a -=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12SS 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）A ．52B ．322C ．3D ．2答案：D解：四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=， 所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+，当12S S 取得最大值时有a b =，2c a =， 离心率2ce a==． 9．已知函数()()61477x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)2答案：A解：由于()f x 为R 上的减函数，则有10017(1)4a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<，所以当a 取最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点． 画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点(0,4)，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．4π3B ．5π3C ．2π23+D ．2π43+答案：B解：由三视图可知其是由半个球及半个倒立的圆柱拼接而成， 其中球的半径为1，其体积为31142π1π233V =⨯⨯=， 半圆柱的体积为221π12π2V =⨯⨯⨯=，所以总体积5π3V =． 11．函数)sin(2)(ϕω+=x x f (0,0π)ωϕ><<的部分图像如图所示，若5=AB ，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．π3D ．π2答案：B解：由于5=AB ，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T=，所以2ππ63T ωω==⇒=， 又(1,2)A -，0πϕ<<，则有π2sin(1)23ϕ-⨯+=，可得5π6ϕ=， 所以π5πππππ()2sin()2sin()2cos (1)363323f x x x x =+=++=+， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1． 12．已知函数21()log (0,1)1am mxf x a a x --=>≠+是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．当[,)x A a b ∈=(A D ⊂≠，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，则a b +等于（ ） A ．21- B ．2C ．21+D ．22答案：B解：∵()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011aa m mx m mxx x---++=+-，化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=，又此方程有无穷多解(D 是区间)，必有2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =． ∴1()log 1axf x x-=+，(1,1)D =-， ∵[,)A a b D ⊂=≠，∴01a <<，1a b <≤，当01a <<时，函数1()log 1axf x x-=+在A 上是增函数， 即()1f a =，1log 11aaa-=+，解得21(21)a a =-=--舍去． 若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1,log )1a bb-+， 不满足函数值组成的集合是[1,)+∞的要求， ∴必有1b =，2a b +=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．下图是某厂某批次的产品抽检10件所得的产品尺寸的茎叶图，则其中位数为 ．答案：78解：由茎叶图可知中间两个数为77及79，所以其中位数为7779782+=． 14．已知长方体同一顶点的三条棱长分别为2，2，22，则其外接球的表面积为 ． 答案：16π解：由于长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，所以2444816R =++=，24R ∴=，所以外接球的表面积为24π16πR =．15．在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，所对的边，3ABC S =△且2cos 2b C a c =-， 则b 的最小值为 ． 答案：2解：由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A C B C -=， 又因为π()A B C =-+，所以sin sin()A B C =+，可得1sin cos cos sin sin sin cos 2B C B C C B C +=+，1cos 2B ∴=，π3B ∴=，又因为3ABC S =△，所以1πsin 323ac =，所以4ac =， 由余弦定理可知22224b a c ac ac ac ac =+-≥-==， 所以24b ≥，即2b ≥，所以b 的最小值为2．16．实数x y ，满足121y y x x y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则y x 的最小值为 ． 答案：17解：先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由z x y =-，得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为2(2)y x x -=-=+，作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点，由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得35x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=，所以点C 的坐标为()7,1，yx等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以经过点C 时，yx取得最小值，最小值为17．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）若数列{}n a 中，11a =-，且前n 项和n S 满足21n n S an n=⨯+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等差数列，且11a b =，45a b =-，设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．答案：（1）21n n a =-+；（2）122222n n T n +=-+-+．解：（1）∵2n n S a n =+，∴()11212()n n S a n n =+-≥－－， 两式相减并整理得121n n a a =-－，即()1112)2(n n a a n --=≥－， ∴数列{1}n a -是以2为公比的等比数列，首项为112a -=-，∴11222n n n a -=⨯-=--，21nn a =-+．（2）由（1）可知111b a ==-，4442115b a =-=-=，所以公差4d =，45n b n =-，n n n c a b =+，122(145)2(12)(222)22212n nn n n T n n n-+--∴=-++⋅⋅⋅+++=-+--122222n n +=-+-+．18．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF ∥平面11ABC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1． 解：（1）连结1BD ，在1DD B △中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111EF D B D B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥平面∥平面平面． （2）11111111111111111,B C ABB C BC B C BD B C ABC D EF B C AB B C ABC D EF BD BD ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⊥⊥⎫⎫⎪⇒⇒⇒⊥⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪⎪=⎭I 平面平面∥平面．（3）11CF BDD B ⊥Q 平面，1CF EFB ∴⊥平面且2CF BF ==，1132EF BD ==Q ，222211(2)26B F BF BB =+=+=， 222211111(22)3B E B D D E =+=+=，∴22211EF B F B E +=，即190EFB ∠=︒，111111111362133232B EFC C B EF B EF V V S CF EF B F CF --∴==⋅⋅=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△．19．（12分）某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数X 依次为A ，B ，C ，D ，E ．现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）在所抽取的20件样品中，等级系数为D 的恰有3件，等级系数为E 的恰有2件，求a ，b ，c 的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为D 的3件样品记为1x ，2x ，3x ，等级系数为E 的2件样品记为1y ，2y ，现从1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，这5件样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)，试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率． 答案：（1）0.1a =，0.15b =，0.1c =；（2）所有可能的结果见解析，0.4． 解：（1）由频率分布表得145.02.0=++++c b a ，即35.0=++c b a ， 因为抽取的20件样品中，等级系数为D 的恰有3件，所以15.0203==b ， 等级系数为E 的恰有2件，所以1.0202==c ， 从而1.035.0=--=c b a ，所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．（2）从样品1x ，2x ，3x ，1y ，2y 中任取两件，所有可能的结果为：),(21x x ，),(31x x ，),(11y x ，),(21y x ，),(32x x ，),(12y x ，),(22y x ，),(13y x ，),(23y x ，),(21y y ，共计10个，设事件A 表示“从样品1x ，2x ，3x ，1y ，2y 中任取两件，其等级系数相等”， 则A 包含的基本事件为：),(21x x ，),(31x x ，),(32x x ，),(21y y ，共4个， 故所求的概率4.0104)(==A P ． 20．（12分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1((0,))f x x x a x x =-+-∈+∞．（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．答案：（1）()g x 的最小值为22ln 22a -+，(2)0g >；（2）证明见解析；（2）证明见解析． 解：（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞， ∴1122ln 2()1[ln (ln )]1a x a f x x x x x x x x'=-⨯+⨯+=-+， ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞， ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =，列表如下：x (0,2)2 (2,)+∞()g x ' -0 +()g x↘极小值(2)g↗∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+， ∵ln 21<，∴1ln 20->， 又0a ≥，∴(2)0g >．（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数， ∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>，从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上是增函数． （3）由（2）知：()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ∴2ln 2ln 1x x a x >-+，故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 21．（12分）已知椭圆2222:1x a C y b+=(0a b >>)的离心率为22，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）2212x y +=；（2）存在，5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：（1）由离心率为22，可得22c e a ==，22c a ∴=， 且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为222x y a +=， 因与直线20x y +-=2a =，即2a =1c =，1b ∴=， 故而椭圆方程为2212x y +=．（2）假设在x 轴上存在点(),0Q m ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，12,2A ⎛ ⎝⎭，12,2B ⎛- ⎝⎭， 由于5252711,424216⎛⎛-⋅--=- ⎝⎭⎝⎭，所以54m =， 下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立．（直线方程其它设法通过验证也相应给分）当直线l 的斜率为0时，)2,0A ，()2,0B -，则5572,02,04416⎫⎛⎫⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭，符合题意． 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得22(2)210t y ty ++-=，有0Δ>， ∴12222ty y t +=-+，12212y y t =-+， 111x ty =+Q ，221x ty =+，∴2112212121212551111(,)(,)()()(1)()4444416x y x y ty ty y y t y y t y y -⋅-=--+=+-++ 22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+=-++⋅+=+=-+++，综上所述：在x 轴上存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．。