几何概型是高中概率部分的一个难点,高考中

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几何概型的方法破析高三数学一轮热点难点一网打尽

【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第43讲几何概型的方法破析考纲要求：1．了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型）．基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：（1)无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个．（2）等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式:P(A)＝错误!应用举例：类型一、与长度角度有关的几何概型例1、如图1所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为____．解析:如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为错误!＝错误!。

例2、在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（）．A ．22B ．32C ．21-D ．31-例3、在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()222f x x mx =++在R 上有零点的概率为．解析：若()222f x xmx =++有零点，则2280m∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-，由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =.点评：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型"的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度）．类型二、与体积有关的几何概型例4、有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为。

解析:先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝错误!×错误!π×13＝错误!π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为错误!＝错误!,故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－错误!＝错误!.例5、如图2，长方体ABCD 。

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。

对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。

下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。

一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。

它的特点是试验结果有限且等可能。

例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。

答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。

然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。

2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。

常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。

比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。

答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。

例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。

然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。

3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。

答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。

4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。

二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。

【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高一数学：几何概型的重难点突破

1. 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

2. 几何概型中，事件A 的概率计算公式P （A ）＝A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 3.几何概型试验的特点（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。

4. 几何概型两种类型的使用条件（1）线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时。

（2）面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决。

例题1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________。

解析：由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4。

即A ＝{m |－1<m <4}。

由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是（0，4），故所求概率为P ＝404(1)---＝45。

答案：45点拨：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。

当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算。

事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比。

例题2 在区间[]1,1-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到12之间的概率为（）A ．13 B ．2π C ． 12 D ． 23解析：在区间[-1，1]上随机取一个数x ，即[1,1]x ∈-时，要使cos2xπ的值介于0到21之间，需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.答案： A例题3 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0。

高考中的几何概型

ｊ
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、
几何概型中长度的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。
二、与面积有关的几何概型
三、与体积有关的几何概型－
例４、［２０１１长沙模拟］在棱长为２的正方体ＡＢＣＤ一４Ｇ日中，点０为底面ＡＢＣＤ的中心，在正方体ＡＢＣＤ一４最Ｇ日内随机取
一
例２、［２０１２・湖北卷】如图，在圆心角为直角的扇形ＯＡＢ
中，分别以ＯＡ，ＯＢ为直径作两个半圆，在扇形ＯＡＢ内随机取
一
点Ｐ，则点Ｐ到点０的距离大于１的概率为
。
点，则此点取自阴影部分的概率是（
１１ｌ２
使得Ｉｌ＞ＩｃＩ ” ，在ＡＢ上取点ｃ ’ 使Ｉｃ１＝ｌＡｑ，
因为ＡＡＣＣ・是等腰三角形，
由① 一 ②得Ｓｓ；
１
（。）＝１５＝所以ｃｃ ’ ＝ — １８０＂－３０＂＝７５。所以ｃ’ ＣＢ：１５。所以Ｐ
应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。下
１一一．故选ｃ．
ｆ０ ≤ｘ ≤２，
例３・［２０１２・北京卷］设不等式组１ｏ ≤ ≤ ２表示的平面区
域为Ｄ．在区域Ｄ内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于２的概率是（
Ｃ
域的面积分别为ｓ，ｓ：，两块阴影部分的面积分别为Ｓ，，ｓ，则

高考数学复习点拨认识几何概型新人教A版

高考数学复习点拨认识几何概型新人教A 版几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置，我们理解并掌握几何概型的两个基本特征，即每次试验中基本事件个数的无限性和每个事件发生的等可能性，并会求简单的几何概型试验的概率．一、必记知识1．几何概型的定义c 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ())()(A 面积或体积的区间长度试验的全部结果所构成面积或体积的区间长度构成事件=A P 3．随机数：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．二、必记知识讲解1．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的，二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的，因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积(体积或长度)”与“试验的基本事件所占总面积(体积或长度)”之比来表示．2．古典概型与几何概型的区别：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件为有限个，几何概型要求基本事件为无限多个.三、重点难点突破本节课的重点和难点是几何概率的求解．计算几何概率就要先计算基本事件空间与事件A 所包含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)，而这往往遇到计算上的困难，这是本节难点之一，实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题，为此可参考如下方法：(1)适当选择观察角度；(2)找到基本事件空间与之对应的区域，(3)找到事件A 与之对应的区域，(4)如果事件A 对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维；(5)利用概率公式计算．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断.四、易错点及问题解析1.在几何概型的建立上易错且易忽略.2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准也是出错的原因之一.例在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.错解:因为⎪⎩⎪⎨⎧<+>+121y x y x 所以121<+<y x ,于是()211211,01,21==⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 。

高考数学复习点拨 3.3几何概型教材解读新人教A版

3.3几何概型教材解读一、几何概型1．几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点：（1）每个基本事件的发生都是等可能的．（2）所有基本事件为无限个． 3．古典概型与几何概型的比较：（1）相同点：试验中每个基本事件出现的可能性都是相等的；（2）相似点：两种概型的求法相似，同属于“比例求法”，即通过求比例得到结果，但其具体公式中的分子与分母不同．（3）不同点：古典概型问题中，所有可能出现的基本事件只有有限个；而几何概型问题中，所有可能出现的基本事件有无限个． 4．几何概型的判断：几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长度、面积或体积，许多相关或类似问题其性质与长度、面积或体积相似，也可归结为几何概型问题．如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与时间相关的概率问题也可以看作几何概型问题． 5．几何概型概率公式：．A A μμΩ=构成事件的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域的长度(面积或体积) 其中：表示区域的几何度量；表示子区域的几何度量．μΩΩn μA 6．计算几何概型的概率的基本步骤为：（1）计算构成所求概率的事件的区域的长度（面积或体积）m ；（2）计算试验全部结果所构成的区域的长度（面积或体积）n ；（3）应用公式，计算概率．()m P A n=二、均匀随机数的产生 1．间随机数的产生：[]01，在计算器中应用随机函数可连续产生范围内的均匀随机数．不同的计算器[]01，具体操作过程可能会不同． 2．随机模拟法的应用：随机模拟法可用来求某些特殊图形（特别是不规则图形）的面积的近似值，或求某些量（如）的近似值．π 3．随机模拟方法求面积的具体步骤：（1）用计算器或计算机产生一系列内的随机数；[]01，11x y ，（2）经平移和伸缩变换，，，使得随机数的范1()x x b a a =⨯-+1()y y d c c =⨯-+x 围在内，随机数的范围在内；[]a b ，y []c d ，（3）计算落在所求面积的区域内的随机数组的个数，有时需计算检验；()x y ，N （4）应用公式计算近似面积，其中为相应的矩形面积N s S M=⨯S ，为总的随机数组的个数，为所求图形的面积的近似值()()b a d c -⨯-M ()x y ，s ．三、特别提示１．计算几何概型问题的重点是怎样把具体问题（如时间问题）转化为相应类型的几何概型问题；难点是基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度、面积、体积的运算． 2．几何概型中基本事件的“等可能性”的判断切勿忽略，否则易致错．3．“单点事件”不影响几何概型问题概率的计算，所以计算概率时，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．4．如果事件A所对应的区域的长度、面积、体积等较难运算，可从对立区域入手P A P A=-()1()考虑，然后应用对立事件的概率公式来解决问题．5．随机模拟法应用前可先对问题进行一定的简化，以使得试验更加方便易行．。

高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析

高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，几何概型是一个重要的考点，也是许多同学感到困惑和容易出错的部分。

为了帮助同学们在高考中更好地应对这一考点，我们将对几何概型进行深度剖析。

一、几何概型的概念几何概型是概率论中的一个重要概念，与古典概型相对应。

在古典概型中，试验的结果是有限个等可能的基本事件；而在几何概型中，试验的结果是无限个的，且每个结果出现的可能性相等，通常借助几何图形的长度、面积或体积来计算概率。

例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机取一点，求该点到正方形某个顶点的距离小于 1/2 的概率。

这就是一个典型的几何概型问题。

二、几何概型的特点1、无限性几何概型的基本事件有无限多个。

2、等可能性每个基本事件发生的可能性相等。

3、几何度量通过计算几何图形的长度、面积或体积等几何度量来确定概率。

三、几何概型的计算公式若几何概型中的随机事件 A 对应的区域长度（面积或体积）为 m，全部结果构成的区域长度（面积或体积）为 n，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。

四、常见的几何概型类型1、长度型几何概型例如，在一条线段上取一点，求该点落在某一区间内的概率。

2、面积型几何概型比如，在一个平面区域内随机投点，求点落在某个特定区域内的概率。

3、体积型几何概型像在一个立体空间内随机取点，求点落在某个体积内的概率。

五、解题步骤1、理解题意明确题目中所描述的随机试验和所求概率的事件。

2、确定几何区域找出与随机试验对应的几何图形，并确定其度量（长度、面积或体积）。

3、计算概率根据几何概型的计算公式，计算出所求事件的概率。

六、经典例题解析例 1：在区间0, 5上随机取一个数 x ，求 x 满足 2 ＜ x ＜ 4 的概率。

解：区间0, 5的长度为 5，满足 2 ＜ x ＜ 4 的区间长度为 2，所以概率 P ＝ 2 ／ 5 。

例 2：在半径为 1 的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于 1/2 的概率。

高中数学概率与统计常考题型归纳

高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳题型一:常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【变式训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.题型二:离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝2 9，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝10 81，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8 81 .故X的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×81＝81.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×2＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.题型三:概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5××40＝12.第4组的人数为5××40＝8.第5组的人数为5××40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【变式训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝.题型四:统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n∑ni ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝lxylxx＝2480＝，a^＝y－b^x＝2－×8＝－，故所求线性回归方程为y^＝－.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b^＝>0)，故x与y之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝×7－＝(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【变式训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K2＝10060×40×55×45≈＞，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。

浅谈几何概型在高考中的应用

浅谈几何概型在高考中的应用作者：来源：《高中生学习·高二版》2017年第01期几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.古典概型与几何概型在某种意义上说又是相同的，因为它们的数学本质是一样的，属于同样的数学模型. 我们可以化无限为有限，化抽象为具体，从而化几何概型为古典概型加以解决. 几何概型在近几年的高考中出现的频率逐步加大，下面结合几个实例分析说明几何概型在高考中的应用.长度问题例1 在区间[-1，1]上随机取一个数[x]，则[cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率为（）A. [13]B. [2π]C. [12]D. [23]分析本题要求 [cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率，实质上是求[x]落在区间[-1，1]上的概率，利用区间长度比来求所求概率.解在区间[-1，1]上随机取一个数[x]，即[x∈[-1，1]]时，要使[cosπx2]的值介于0到[12]之间，需使[-π2≤πx2≤-π3]，或[π3≤πx2≤π2]，即[-1≤x≤-23]，或[23≤x≤1]，其区间长度为[23].而总的区间长度为2.由几何概型知，[cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率为[232=13].答案 A点评本题研究的基本事件构成的区域为长度.因此所求概率[P=构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.]面积问题例2 由不等式组[x≤0，y≥0，y-x-2≤0]确定的平面区域记为[Ω1]，由不等式组[x+y≤1，x+y≥-2]确定的平面区域记为[Ω2]，在[Ω1]中随机取一点，则该点恰好在[Ω2]内的概率为（）A. [18]B. [14]C. [34]D. [78]分析本题实质上也属于几何概型求概率问题，所求概率等于区域（[四边形OBCD]）的面积除以总（[△ABO]）的面积.解根据题意画出不等式组确定的区域如下图.故所求概率为[P=S四边形OBCDS三角形ABO=742=78].答案 D例3 甲、乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去. 假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率为 .A. 37.5%B. 50%C. 62.5%D. 75%分析本题先根据已知条件可以理解为两人约定是0～30分钟内见面，先来者只等15分钟就不等，实质上是几何概型，利用面积比来求所求概率.解設甲、乙两人在0～30分钟内到达的时刻分别记为[x，y]，则有当[x-y≤15]时，两人可以见面，构造模型如下图.故所求概率为[P=S阴影部分S四边形OABC=675900=34=75%].答案 D点评用几何概型解题，主要运用转化、数形结合等重要的数学思想方法.本题研究的基本事件构成的区域为面积.因此所求概率[P=构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积].体积问题例4 已知正三棱锥[S-ABC]的底面边长为[a]，高为[h]，在正三棱锥内取点[M]，则点[M]到底面的距离小于[h2]的概率为 .解析如图，分别取[SA，SB，SC]的中点[A1，B1，C1]，分别连接[A1B1，B1C1，C1A1]，则当点[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之间时，点[M]到底面的距离小于[h2].设[△ABC]的面积为[S]，由[△A1B1C1～△ABC]且相似比为[12]得，[△A1B1C1]的面积为[S4.]由题意易知，区域[D]（三棱锥[S-ABC]）的体积为[13Sh，]区域[d]（三棱台[A1B1C1-ABC]）的体积为[13Sh-13∙S4∙h2=][724Sh.]记“点[M]到底面的距离小于[h2]”为事件[A]，根据几何概型的概率计算公式得，[PA=VdVD=78.]答案 [78]点评如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件[A]的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积，再根据几何概型的概率计算公式计算即可.角度问题例5 在等腰[Rt△ABC]中，过直角顶点[C]在[∠ACB]的内部任意作一条射线[CM]交[AB]边于点[M]，则[AM小于AC]的概率为__________.分析在[∠ACB]内的射线[CM]是均匀分布的，所以射线[CM]在[∠ACB]内的任何位置都是等可能的. 因为[AM]的大小与点[M]在[AB]上的位置有关，为了确保[AM解如图所示，在[AB]上截取[AC=AC]，连接[CC]，则[∠ACC=∠ACC].在[△CAC]中，[∠A=45°，][∴∠ACC=67.5°.]故所求的概率[P=∠ACC∠ACB=67.5°90°=34.]点评解答本题时，要特别注意“在[∠ACB]的内部任意作一条射线[CM交AB]边于点[M]”这句话，由此确定“测度”是角度. 如果把这句话改为“在线段[AB]上找一点[M]”，则问题的情境立刻发生改变，相应的“测度”变为线段的长度.。

上海高考概率知识点汇总

上海高考概率知识点汇总上海高考是每年许多学生的重要考试，而概率是高考数学考试中的重要部分之一。

掌握概率知识对于考生来说是至关重要的。

本文将梳理上海高考中常见的概率知识点，帮助学生更好地准备考试。

1. 概率基础知识概率是研究随机现象发生规律的数学分支，常用的表示方式有分数、小数和百分数。

在解决概率问题时，需要注意识别样本空间、随机事件和事件的概率大小。

2. 事件的互斥与独立互斥事件是指两个事件不可能同时发生，例如抛硬币的结果只能是正面或反面。

独立事件是指事件A的发生与事件B的发生相互独立，即事件B的发生不受事件A的发生影响。

3. 事件的概率计算在进行事件的概率计算时，常用的方法有频率法和几何概型法。

频率法是通过实验统计次数或频率来估计概率。

几何概型法是通过分析图形、排列组合等几何概念来计算概率。

4. 加法定理与乘法定理加法定理是指对于互斥事件A和事件B，其概率的和等于两个事件分别发生的概率之和。

乘法定理是指对于独立事件A和事件B，其概率的乘积等于两个事件发生的概率之积。

5. 随机变量与概率分布随机变量是指根据某种规则能够取得不同数值的变量。

离散型随机变量的取值是可数的，概率可以通过构建概率分布函数来计算。

连续型随机变量的取值是无限的，概率可以通过密度函数来计算。

6. 二项分布与正态分布二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率分布。

二项分布满足二项定理，其概率可以通过公式计算。

正态分布是一种常见的连续型概率分布，其特点是呈钟形曲线分布。

7. 高考常见概率问题在高考中，经常会出现与概率相关的问题。

例如，抽签问题、生日问题、扑克问题、排队问题等等。

通过熟练掌握概率知识，可以灵活应对这些问题，并提高解题的速度和准确性。

在备考高考概率部分时，学生可以通过以下几个方面来提高自己的应试能力：首先，要理解概率的基本概念和计算方法。

掌握事件的互斥和独立性，熟练运用加法定理和乘法定理，能够灵活应用概率计算方法解决实际问题。

高中概率知识点高考考点易错点归纳

高中概率知识点高考考点易错点归纳高中数学——概率知识要点3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率在条件S下，一定会发生的事件称为相对于条件S的必然事件。

在条件S下，一定不会发生的事件称为相对于条件S的不可能事件。

必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。

在条件S下可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件S的随机事件。

在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数nA。

事件A出现的比例称为频率f(A)=nA/nn。

随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值。

3.1.2 概率的意义随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。

认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。

抽签的公平性是游戏的公平性的一个例子。

在从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务中，“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。

极大似然法和小概率事件也与概率思想相关。

天气预报的概率解释是明天本地下雨的机会是70%。

XXX的豌豆试验是试验与发现的例子。

遗传机理中的统计规律也与概率相关。

3.1.3 概率的基本性质对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B A(或A B)。

不可能事件记作。

若B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B。

事件A与事件B的并事件（和事件）是某事件发生当且仅当事件A发生或事件B 发生。

事件A与事件B的交事件（积事件）是某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。

事件A与事件B互斥是AB为不可能事件，即AB=，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。

事件A与事件B互为对立事件是AB为不可能事件，AB为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

概率的几个基本性质包括：1）0≤P(A)≤1；2）必然事件的概率为1，即P(E)=1；3）不可能事件的概率为0，即P(F)=0.3.2 古典概型古典概型是一种具有有限个基本事件且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。

2025年高考数学重点考点汇总

2025年高考数学重点考点汇总高考数学一直是考生们重点关注的科目，随着教育改革的不断推进，数学考试的重点和趋势也在发生变化。

对于即将参加 2025 年高考的同学们来说，了解重点考点是备考的关键。

下面为大家汇总了 2025 年高考数学的重点考点。

一、函数函数是高中数学的核心内容，也是高考的重点考查对象。

包括函数的概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）、图象等。

1、函数的定义域和值域求函数定义域时，要注意分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数函数的真数大于零等限制条件。

值域的求解方法多样，如配方法、换元法、判别式法等。

2、函数的单调性和奇偶性利用定义判断函数的单调性和奇偶性是常见的题型。

同时，要能根据函数的单调性和奇偶性来解决不等式、比较大小等问题。

3、二次函数二次函数的图象和性质是重点，包括顶点、对称轴、最值等。

此外，二次函数与一元二次方程、不等式的结合也是常考的知识点。

4、指数函数和对数函数要掌握指数函数和对数函数的图象、性质，以及它们的运算性质。

指数函数和对数函数的综合应用，如解指数、对数方程和不等式等也是考点之一。

二、三角函数三角函数在高考中占有较大的比重，涉及的知识点较多。

1、三角函数的定义和诱导公式理解三角函数的定义，熟练掌握诱导公式，能够进行三角函数的化简和求值。

2、三角函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特点、周期、振幅、相位等性质要牢记。

3、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等的运用，以及三角函数的化简、求值和证明。

4、解三角形利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的边长、角度、面积等问题。

三、数列数列是高考数学的必考内容之一。

1、数列的概念和通项公式掌握等差数列和等比数列的定义、通项公式，能根据给出的条件求出数列的通项公式。

2、数列的前 n 项和等差数列和等比数列的前 n 项和公式要熟练运用。

同时，要掌握错位相减法、裂项相消法等求数列前 n 项和的方法。

高考中几何概型的类型及其应用举例

高考中几何概型的类型及其应用举例
李凤迎;常颖超
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】<正>几何概型是高中数学教学中一种重要的概率模型,具有重要的地位.作为常见的命题形式,它常常出现在各省市的高考试题的餐桌上,常出现在选择题和填空题中,具有小巧、灵活的特点,颇受命题者的亲睐.这种题目常以几何概型为载体,全方位地考查多个重要知识点,具有较强的综合性.比如,它既可以和不等式、方程、函数、导数交汇考查,还可以和复数、圆锥曲线、定积分、线性规划、空间几何体的体积一起考查.在解题过程中,还对一
【总页数】2页(P23-24)
【作者】李凤迎;常颖超
【作者单位】河北省武邑县职教中心;河北省武邑中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.几何概型应用举例 [J], 魏立国
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2019年高考数学考点突破——概率：几何概型

几何概型【考点梳理】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.【考点突破】考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45(2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．[答案] (1) C (2) 13[解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2<x <10，故所求概率P ＝10－212＝23. (2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧D 'B 交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′. 依题意，点P ′在D 'B 上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在C ''B 上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝C Dl l ''B 'B ＝π6·1π2·1＝13.【类题通法】1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．【对点训练】1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34[答案] B[解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM <AC 的概率为________．[答案] 34[解析] 过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM <AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.考点二、与面积有关的几何概型【例2】如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A ．117B ．217C ．317D ．417[答案] B[解析] ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.【例3】在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．14 [答案] C[解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.∵a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝1－12×1×121×1＝34.【类题通法】1．与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 【对点训练】1．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1 B ．1π C ．1－1πD ．2π[答案] A[解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1.2．从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2mn[答案] C[解析] 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知P ＝S 扇形S 正方形＝14πR2R ＝π4，又P ＝m n ，所以π4＝m n ，故π＝4mn.考点三、与体积有关的几何概型【例4】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.[答案] 16[解析] 因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BDV 长方体＝16. 【例5】有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．13B ．23C ．34D ．14 [答案] B[解析] 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13. 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23.【类题通法】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．【对点训练】1．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A ．18B ．16C ．127D ．38 [答案] C[解析] 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.2．在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6[答案] B[解析] 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π2＝1－π12.。

几何概型讲义

几何概型的常见题型几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题.一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型1．与长度有关的几何概型例1．(2009山东卷·文理)在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31 B.π2C.21D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2xπ的值介于0到21之间, 需使223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.练1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是.A.21 B.31C.41D.不确定 3. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.2. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.4. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，硬币不与任一条平行线相碰的概率.5. 在半径为1的圆周上，有一定点A ，以A 为端点任连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，求弦长超过√3 的概率。

高中数学第三章概率辨析几何概型疑点及生活中的应用知识素材北师大版必修3

辨析几何概型疑点及生活中的应用一、几何概型的定义1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：())()(A 面积或体积的区间长度试验的全部结果所构成面积或体积的区间长度构成事件=A P 二、疑点辨析1.概率为零的事件不一定是不可能事件不可能事件的概率一定为零，即若∅=A ，则0)(=A P 。

但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若0)(=A P ，则不一定有∅=A 。

例如,在几何概率中，设}4:),{(22≤+=Ωy x y x ，}1:),{(22=+=y x y x A .Ω为圆域，而A 为其中一圆周.则 040)(==Ω=π的面积的面积A A P 。

显然，A 是可能发生的，即若向Ω内随机投点，点落在圆周122=+y x 上的情况是可能发生的。

仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若0)(=A P ，则∅=A 。

2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一.例在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.错解:因为⎪⎩⎪⎨⎧<+>+121y x y x 所以121<+<y x ,于是()211211,01,21==⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 。

错解分析：本题误把长度看作几何度量．正确解法：设三条线段的长度分别为,1,,y x y x --则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<1101010y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<1010x y x .在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线1,0,1,0+-====x y y x x 围成如图所示三角形区域G ，每一对()y x ,对应着G 内的点()y x ,，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+y y x x y x y x 111即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->212121y x x y因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,则P (这三条线段能构成三角形)41G ==的面积的面积g . 三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。