概率论与数理统计答案 (4)

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

求E （X ）【解】(1) 11111()(1)012;82

8

4

2

E X =-⨯

+⨯+⨯+⨯=

(2) 222

2

2

11115()(1)012;8

2

8

4

4E X =-⨯

+⨯+⨯+⨯

=

(3) 1(23)2()32342

E X E X +=+=⨯+=

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为

故 ()0.5830

0.34010.07020.0073E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,

=

5

20

()[()]i

i i D X x

E X P ==

-∑222

(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=

3.设随机变量X 的分布律为

且已知E （X ）123【解】因1231P P P ++=……①,

又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②,

2

2

2

2

12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③

由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===

4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多

少？

【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

(){|}{}N

k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式

1{}{}

1().

N

N

k k k P X k k P X

k N

N

n E X N

N ===

==

==

=

∑

∑

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）.

【解】1

2

2

1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞

=

=+

-⎰

⎰⎰

2

1

33201

1 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤

=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

1

2

2

2

3

2

1

7()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞-∞

=

=+

-=⎰

⎰⎰

故 221()()[()].6

D X

E X E X =-=

6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++25311144.=⨯+⨯+=

(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立

1184568

=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=

(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X D Y -=+-=⨯+⨯=

8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<<.

,

0,

0,10,其他x y x k 试确定常数k ，并求E （XY ）.

【解】因10

1(,)d d d d 1,2

x

f x y x y x k y k +∞+∞-∞

-∞

=

=

=⎰⎰

⎰

⎰故k =2

1

()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞

-∞

=

=

=⎰⎰

⎰

⎰.

9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x ）=⎩⎨

⎧≤≤;,

0,

10,

2其他x x f Y （y ）=(5)e ,

5,0,

.

y y --⎧>⎨⎩其他 求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值 10

2()2d ,3

E X x x x =

=⎰

5

(5)

5

()e

d

5

e d e d 516.

z y y z

z

E Y y y z z

z +∞

+∞+∞=-----=

+=+=⎰

⎰⎰

令 由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3

E X Y E X E Y ==

⨯=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为

(5)2e ,

01,5,(,)()()0,

,

y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨

⎩ 其他