2020年全国统考卷重庆市高三数学(理)二诊试卷
重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题 含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =（ ）A. {}2B. {}3C. {}2,3D. {}3,5【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<， 所以{}{}{}2,3,5,7|243x Ax B <<==.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ） 2 B. 210D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解.【详解】由题意()22213i i iz i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题. 3.下列说法正确的是（ ）A. “若2a >，则24a >”的否命题为“若2a >，则24a ≤”B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题 【答案】B 【解析】 【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a >”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误； 对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确； 对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误； 对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【答案】D 【解析】 【分析】由题意()26.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解.【详解】由题意27K =，()26.6350.01P K ≥=，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关. 故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A. 144厘米 B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（ ）A. -252B. -45C. 45D. 252【答案】C 【解析】 【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()105110101rrr rr rr T C C x --+⎛=⋅=-⋅⋅ ⎝， 令53r -=-即8r =，()()8583310101145rr r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=，所以103x 的展开式中，常数项为45.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+取值范围是（ ）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )1,+∞D.)⎡+∞⎣【答案】C 【解析】【分析】 由题意112b b aa b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当2b aa b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题. 8.函数x xy e=的部分图象是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解. 【详解】令()x x f x e =，则()()x xf x f x e ---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项； 当0x >时，()1x xf x e-'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数， 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题.10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）B.3C.5D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y =，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得115212p p+⋅=-，求得5p =即可得解. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -，32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y =， 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即1212p =-，∴p =由//PQ y轴可得所求距离为522p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知ABC 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）B.2【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos A =即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin B C =sin b B =，sin c C =，则212sin sin 2ABC S a B C =⋅△即可得解.【详解】由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==()0,A π∈可得34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin 10B C =，由正弦定理知sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△，所以a =故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 42πC. 54πD.【答案】C 【解析】 【分析】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =，所以AC ⊥平面DGB ，所以AC BD ⊥， 又BD CE ⊥，CEAC C =，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球， 由6AB =得32DA =，故正方体外接球直径232336R ==所以球O 的表面积为223644542R πππ⎛== ⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =，()1,2a b +=，若()//3a a b +，则实数m =______________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得()1,2b m =--，进而可得()31,62a b m +=--，再由平面向量共线的特征即可得解. 【详解】()2,a m =，()1,2a b +=，∴()1,2b m =--，∴()31,62a b m +=--，又()//3a a b +，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9452π- 【解析】 【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解. 【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-. 故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.【答案】132n +⋅ 【解析】 【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd =，进而可得132n n b a d +=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a 公差为d ，由题知()()24284424a a a a d a d ==-+，即44a d =，故413d d a a =-=， ∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故新等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【解析】 【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解. 【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+， 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭a =1c =，求ABC 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2【解析】 【分析】 （1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解； （2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈， 故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减； （2）由题意2sin 323A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=， 由正弦定理得sin sin c a C A=即13sin 32C =，1sin 2C =， 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6B A C， ∴1113sin 31222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题. 18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【解析】 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）131131-【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m 、平面ABD 的一个法向量n ，由cos ,m nm n m n⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE 面PDC EF =，∴//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD =， 又12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点， 取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CDAD D =，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA ，AB ，OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(0,0,22P ，故(F -，()4,3,0DB =，(DF =， 设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =，则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3x =得3,4,2m ⎛=- ⎝⎭， 显然()0,0,1n =是平面ABD 的一个法向量，∴922c 13os ,1311m n m n m n ⋅===⋅， 由题知二面角A BD F --的余弦值为131-. 【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1,3⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【解析】 【分析】 （1）由题意可得3c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+= ⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解.【详解】（1）由题知c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =得()112,2P x y ， 由NQ NP λ=得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--， ∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆， 则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-， ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12xf x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解； （2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g =，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，()00f x x'>⇔<<，所以()f x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减； （2）()2111ln 0222xx f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>， 令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x e ax x=--，()1,x ∈+∞， ∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意； 综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<； （2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-， 又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b +++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解； （2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解. 【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立，故2m =；（2）由题意222a b +=， 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。
重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题
2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学理科数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （ ） A.{}2B.{}3C.{}2,3D.{}3,52.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）B.2D.103.下列说法正确的是（ ）A.“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a≤” B.命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C.“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈ .随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A.144厘米B.233厘米C.250厘米D.377厘米6.在103x 的展开式中，常数项为（ ） A.-252B.-45C.45D.2527.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+的取值范围是（ ） A.()0,+∞ B.[)2,+∞C.)1,+∞D.)⎡+∞⎣8.函数x xy e=的部分图象是（ ） A. B.C. D.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ） A.2B.1C.0D.-110.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A.5B.3C.5D.11.已知ABC △的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.2B.212.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC △是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC △的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A.36πB.42πC.54πD.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________.14.已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a =1c =，求ABC △的面积. 18.（12分）国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4AD =，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点. （1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.21.（12分）已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学参考答案一、选择题 1-6 BCBDBC7-12 CABCDC第7题提示：由题知，211122ba b b a a b a b ++=++≥=，当且仅当2b aa b=，即2a =，2b =- C.第8题提示：由xx y e=为奇函数可排除C 选项，当0x >时，1x x y e -'=，故x xy e =在()0,1上单增，()1,+∞上单减，故选A.第9题提示：由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数，故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =，故选B. 第10题提示：由题知32p p FP x p =+=，∴52p x p =，设点()0,1A -，由题知AP AF ⊥，即111522p y p p +⋅=-，p y =，∴p =522p p -=，故选C.第11题提示：由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==，故34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin B C =sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 22210S bc A a B C a ==⋅⋅=，所以a =，故选D.第12题提示：设ABC △的中心为G ，延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF .由题知DG ⊥平面ABC ，AC GB ⊥，由三垂线定理得AC BD ⊥，又BD CE ⊥，∴BD ⊥平面ACD ，又D ABC -为正三棱锥， ∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得DA =故正方体外接球直径为= 所以球O 的表面积为2454R ππ=，故选C.二、填空题13. 414.9452π-15.132n +⋅ 16.⎡⎣第14题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球， 如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-.第15题提示：设公差为d ，由题知()()244424a a d a d =-+，即44a d =，故1a d =，∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故此等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.第16题提示：[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，由题知在区间[]2,2a a -+内存在两数之积为-1，故只需()()221a a -+≤-，即a ≤≤ 三、解答题17.（12分）解：（1）())sin 21cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，………………2分 由222232k x k πππππ-≤-≤+得51212k x k ππππ-≤≤+，………………4分 故()f x 在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单减，k Z ∈；………6分（2）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，……………………………………………………8分由正弦定理得1sin C=1sin 2C =，∴6C π=，故6B π=，∴1sin 24ABC S ac B ==△.…………………………12分 18.（12分）解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………2分22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075 4.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；……4分（2）由题知170μ=， 2.145σ==≈，………………5分 （i ）()()0.95440.6826167.86174.2820.68260.81852P X P X μσμσ-<<=-<<+=+=，……8分 （ii ）()10.9544174.280.02282P X ->==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率10101(10.0228)10.977210.790.21P =--=-≈-=………………12分19.（12分）解：（1）∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ， 取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，∴EF PD ⊥；………………6分（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴6PD =，即PD =12EF AB DC ==， ∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，故PO ⊥平面ABCD ，………………7分以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(P ，故(F -，()4,3,0DB =u u u r，(DF =u u u r ，设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则43030x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令3x =得3,m ⎛=- ⎝⎭r ，…………9分 显然()0,0,1n =r 是平面ABD的一个法向量，∴cos ,m n ==r r，…………11分由题知二面角A BD F --的余弦值为………………12分 20.（12分）解（1）由题知3c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=；…………4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q 在椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，………………8分 由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，…………10分 ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=………………12分 21.（12分）解：（1）()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单增， 当0a <时()00f x x'>⇔<<，()f x 在⎛ ⎝上单增，在⎫+∞⎪⎭上单减；…4分 （2）221111ln ln 02222x x x ax e e a e ax x e a +<-+⇔---+>，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，()10g =，()1x g x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾，故1a e ≤-，………………7分当1a e ≤-时，∵()1,x ∈+∞，∴()2112x g x e a e a x''=-+>+-≥，∴()g x '单增， ∴()()10g x g ''>≥，∴()g x 单增，∴()()10g x g >=，符合题意，∴1a e ≤-.………12分 22.（10分）解：（1）曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；…………5分（2）设圆C 的圆心为1O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ， ∴04cos 5θ=-，03sin 5θ=，或04cos 5θ=，03sin 5θ=-，故点221,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭……10分 23.（10分）解：（1）()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立， 故2m =；……………………5分（2）222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11)12a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45…………10分。
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题(含答案0
2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学理科数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （ ） A.{}2B.{}3C.{}2,3D.{}3,52.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）B.2D.103.下列说法正确的是（ ）A.“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a≤” B.命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C.“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈ .随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A.144厘米B.233厘米C.250厘米D.377厘米6.在103x 的展开式中，常数项为（ ） A.-252B.-45C.45D.2527.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+的取值范围是（ ） A.()0,+∞ B.[)2,+∞C.)1,+∞D.)⎡+∞⎣8.函数x xy e=的部分图象是（ ） A. B.C. D.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ） A.2B.1C.0D.-110.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A.5B.3C.5D.11.已知ABC △的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.2B.212.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC △是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC △的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A.36πB.42πC.54πD.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________.14.已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a =1c =，求ABC △的面积. 18.（12分）国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4AD =，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点. （1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.21.（12分）已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学参考答案一、选择题 1-6 BCBDBC7-12 CABCDC第7题提示：由题知，211122ba b b a a b a b ++=++≥=，当且仅当2b aa b=，即2a =，2b =- C.第8题提示：由xx y e=为奇函数可排除C 选项，当0x >时，1x x y e -'=，故x xy e =在()0,1上单增，()1,+∞上单减，故选A.第9题提示：由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数，故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =，故选B. 第10题提示：由题知32p p FP x p =+=，∴52p x p =，设点()0,1A -，由题知AP AF ⊥，即111522p y p p +⋅=-，p y =，∴p =522p p -=，故选C.第11题提示：由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==，故34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin B C =sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 22210S bc A a B C a ==⋅⋅=，所以a =，故选D.第12题提示：设ABC △的中心为G ，延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF .由题知DG ⊥平面ABC ，AC GB ⊥，由三垂线定理得AC BD ⊥，又BD CE ⊥，∴BD ⊥平面ACD ，又D ABC -为正三棱锥， ∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得DA =故正方体外接球直径为= 所以球O 的表面积为2454R ππ=，故选C.二、填空题13. 414.9452π-15.132n +⋅ 16.⎡⎣第14题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球， 如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-.第15题提示：设公差为d ，由题知()()244424a a d a d =-+，即44a d =，故1a d =，∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故此等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.第16题提示：[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，由题知在区间[]2,2a a -+内存在两数之积为-1，故只需()()221a a -+≤-，即a ≤≤ 三、解答题17.（12分）解：（1）())sin 21cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，………………2分 由222232k x k πππππ-≤-≤+得51212k x k ππππ-≤≤+，………………4分 故()f x 在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单减，k Z ∈；………6分（2）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，……………………………………………………8分由正弦定理得1sin C=1sin 2C =，∴6C π=，故6B π=，∴1sin 24ABC S ac B ==△.…………………………12分 18.（12分）解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………2分22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075 4.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；……4分（2）由题知170μ=， 2.145σ==≈，………………5分 （i ）()()0.95440.6826167.86174.2820.68260.81852P X P X μσμσ-<<=-<<+=+=，……8分 （ii ）()10.9544174.280.02282P X ->==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率10101(10.0228)10.977210.790.21P =--=-≈-=………………12分19.（12分）解：（1）∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ， 取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，∴EF PD ⊥；………………6分（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴6PD =，即PD =12EF AB DC ==， ∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，故PO ⊥平面ABCD ，………………7分以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(P ，故(F -，()4,3,0DB =u u u r，(DF =u u u r ，设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则43030x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令3x =得3,m ⎛=- ⎝⎭r ，…………9分 显然()0,0,1n =r 是平面ABD的一个法向量，∴cos ,m n ==r r，…………11分由题知二面角A BD F --的余弦值为………………12分 20.（12分）解（1）由题知3c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=；…………4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q 在椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，………………8分 由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，…………10分 ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=………………12分 21.（12分）解：（1）()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单增， 当0a <时()00f x x'>⇔<<，()f x 在⎛ ⎝上单增，在⎫+∞⎪⎭上单减；…4分 （2）221111ln ln 02222x x x ax e e a e ax x e a +<-+⇔---+>，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，()10g =，()1x g x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾，故1a e ≤-，………………7分当1a e ≤-时，∵()1,x ∈+∞，∴()2112x g x e a e a x''=-+>+-≥，∴()g x '单增， ∴()()10g x g ''>≥，∴()g x 单增，∴()()10g x g >=，符合题意，∴1a e ≤-.………12分 22.（10分）解：（1）曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；…………5分（2）设圆C 的圆心为1O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ， ∴04cos 5θ=-，03sin 5θ=，或04cos 5θ=，03sin 5θ=-，故点221,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭……10分 23.（10分）解：（1）()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立， 故2m =；……………………5分（2）222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11)12a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45…………10分。
重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（ ）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（ ） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（ ）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 ．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 ．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是 ． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4， 则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12， 即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作， 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作， 基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积． 解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心． 又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π． 故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3； 故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用， 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”． （Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ． 由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ， 又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)． 设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)． 设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切， 记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ， 所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆， 所以a =√6，c ＝2，b =√2， 故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2， 当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02， 所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0， 将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围． 解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）； （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立， 即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ， 由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3， 可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{2，3，5，7}，B ＝{x |log 2（x ﹣2）＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{3，5}2．若复数z 满足（z +i ）i ＝2﹣i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2C ．√10D ．103．下列说法正确的是（ ）A ．“若a ＞2，则2a ＞4”的否命题为“若a ＞2，则2a ≤4”B ．命题p ∨q 与￢（p ∨q ）至少有一个为真命题C ．“∀x ＞0，x 2﹣2x +2≥0”的否定为“∀x ＞0，x 2﹣2x +2＜0”D ．“这次数学考试的题目真难”是一个命题4．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828A ．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B ．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C ．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈Z ）．随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A ．144厘米 B ．233厘米C ．250厘米D ．377厘米6．在x 3(√x √x10的展开式中，常数项为（ ） A ．﹣252B ．﹣45C ．45D ．2527．已知a ，b ＞0，a +2b ＝2，则b a+1b的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．[2，+∞）C ．[√2+1，+∞)D ．[2√2，+∞)8．函数y =x|x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），且当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，若f （100）＝log 23，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣110．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F 到直线PQ 的距离为（ ） A ．2√55B ．2√33C ．4√55D ．2√311．已知△ABC 的面积为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinA −bsinB =√2csinB +csinC ，cosBcosC =3√25，则a ＝（ ） A ．√52B ．√102C ．√5D ．√1012．已知A ，B ，C ，D 四点均在球O 的球面上，△ABC 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为△ABC 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD ⊥CE ，则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．42πC ．54πD ．24√6π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a =（2，m ），a →+b →=（1，2），若a →∥（a →+3b →），则实数m ＝ ．14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为 ．15．已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，若a 3，a 6，a b 1，a b 2，…，a b n ，…成等比数列，则b n ＝ ．16．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数f(x)=cos(π2−2x)−2√3cos 2x +√3． （1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A2)=√3，a =√3，c ＝1，求△ABC 的面积．18．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[165，175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165，167），[167，169），[169，171），[171，173），[173，175]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7． （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2． （i ）求P （167.86＜X ＜174.28）；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544，√115≈10.7，0.954410≈0.63，0.97729≈0.81，0.977210≈0.79．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AP ，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝5，CD ＝6．过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点． （1）求证：PD ⊥EF ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为π3，且PA ＝PD ，EF ＝AB ，求二面角A ﹣BD ﹣F的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√33，且点(1，2√33)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足OP →=2OM →（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ →=λNP →，求λ的值． 21．已知函数f(x)=lnx +12ax 2，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若不等式f(x)＜e x −e +12a 对∀x ∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，且直线l与曲线C有两个不同的交点．（1）求实数a的取值范围；（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线l垂直，求点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣2|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若实数a，b满足a2+b2＝m，求11+a+12+b的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{3，5}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{3}．故选：B．2．若复数z满足（z+i）i＝2﹣i，则|z|＝（）A．√2B．2C．√10D．10【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵（z+i）i＝2﹣i，∴z+i=2−ii=−1﹣2i，∴z＝﹣1﹣3i，∴|z|=√(−1)2+(−3)2=√10，故选：C．3．下列说法正确的是（）A．“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a＞2，则2a≤4”B．命题p∨q与￢（p∨q）至少有一个为真命题C．“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∀x＞0，x2﹣2x+2＜0”D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题【分析】写出命题的否定判断A；由互为否命题的两个命题必有一个是真命题判断B；写出全程命题的否定判断C；由命题的概念判断D．解：“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a≤2，则2a≤4”，故A错误；命题p∨q与￢（p∨q）互为否命题，则必有一个为真命题，即至少有一个为真命题，故B正确；“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∃x＞0，x2﹣2x+2＜0”，故C错误；“这次数学考试的题目真难”不是能够判断真假的陈述句，不是命题，故D 错误． 故选：B ．4．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828A ．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B ．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C ．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【分析】根据K 的观测值K 2对照题目中的表格，得出统计结论． 解：根据题意K 2＝7＞6.635，P （K 2≥k 0）＝0.010，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关， 故选：D ．5．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈Z ）．随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A ．144厘米B ．233厘米C ．250厘米D ．377厘米【分析】设出长，根据长和宽之间的关系代入面积计算即可． 解：设该长方形的长为x 厘米，则宽为0.618x ； 故有：0.618x 2＝336平方分米＝33600平方厘米； ∴x ≈233厘米； 故选：B ． 6．在x 3(√x 1√x10的展开式中，常数项为（ ） A ．﹣252B ．﹣45C ．45D ．252【分析】本题即求(√x √x)10展开式中x ﹣3的系数，再利用通项公式求得结果． 解：在x 3(√x −√x )10的展开式中，常数项，即(√x √x)10展开式中x ﹣3的系数． 而(√x −x)10展开式的通项公式为 T r +1=C 10r •（﹣1）r •x 5﹣r ， 令5﹣r ＝﹣3，求得r ＝8，可得(√x −1√x)10展开式中x ﹣3的系数为C 108=45， 故选：C ．7．已知a ，b ＞0，a +2b ＝2，则b a+1b的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．[2，+∞）C ．[√2+1，+∞)D ．[2√2，+∞)【分析】由ba +a+2b 2b=b a+a 2b+1，直接利用基本不等式求出ba+1b的最小值即可．解：∵a ，b ＞0，a +2b ＝2， ∴ba +a+2b 2b =b a+a 2b+1≥2√b a ⋅a2b+1=√2+1，当且仅当ba=a 2b，即a =2√2−2，b =2−√2时等号成立，故选：C ． 8．函数y =xe |x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值的大小，比较即可判断函数的图象． 解：函数y =xe |x|是奇函数， 当x ＝1时，f （1）=1e ＞0，排除C ，当x ＝2时，f （2）=2e 2＜1e=f （1）， 排除选项A ，D ．故选：B ．9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），且当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，若f （100）＝log 23，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】根据题意，由f （34+x ）＝f （34−x ）可得f （﹣x ）＝f （32+x ），结合函数的奇偶性可得f （32+x ）＝﹣f （x ），进而可得f （x +3）＝﹣f （32+x ）＝f （x ），即函数f（x ）是周期为3的周期函数，据此可得f （100）＝f （1+3×33）＝f （1）＝f （12），则有f （12）＝log 23，结合函数的解析式可得f （12）＝log 232+m ＝log 23，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），则有f （﹣x ）＝f （32+x ），又由f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有f （32+x ）＝﹣f （x ），则有f （x +3）＝﹣f （32+x ）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为3的周期函数，若f （100）＝log 23，则f （100）＝f （1+3×33）＝f （1）＝f （12），则有f （12）＝log 23，当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，则有f （12）＝log 232+m ＝log 23，解可得m ＝1； 故选：B ．10．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A ．2√55B ．2√33C ．4√55D ．2√3【分析】由抛物线的性质可得由|PF |的值可得P 的坐标，求出P 的坐标，代入抛物线的方程可得p 的值，由抛物线及圆的对称性可得Q 的坐标与P 的坐标关于x 轴对称，求出直线PQ 的方程，进而求出F 到直线PQ 的距离．解：由抛物线的性质可得可得：|FP|=x p +p2=3p ，∴x p =52p ，因为线段PF为直径的圆经过点（0，﹣1），1p2⋅y 0+15p 2=−1，可得y =−5p 24−1，所以P （52p ，−5p 24−1）将P 代入抛物线的方程可得（−5p 24−1）2＝2p ⋅52p ，∴p =2√55，由抛物线和圆的对称性可得P ，Q 关于x 轴对称，所以直线PQ 的方程x =52p ，焦点坐标F （p2，0），故所求距离为5p 2−p 2=4√55，故选：C ．11．已知△ABC 的面积为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinA −bsinB =√2csinB +csinC ，cosBcosC =3√25，则a ＝（ ） A ．√52B ．√102C ．√5D ．√10【分析】由正弦定理化简已知等式可得a 2−b 2=√2cb +c 2，利用余弦定理可求cos A ，进而可求A 的值，利用两角和的余弦函数公式可求sinBsinC =√210，由正弦定理可得b =√2asinB ，c =√2asinC ，进而利用三角形的面积公式即可求解a 的值． 解：由asinA −bsinB =√2csinB +csinC ， 得a 2−b 2=√2cb +c 2，则cosA =b 2+c 2−a 22bc =−√22，故A =34π，由cos A ＝﹣cos （B +C ）＝sin B sin C ﹣cos B cos C ，得sinBsinC =√210，由正弦定理知bsinB=c sinC=√2a ，即b =√2asinB ，c =√2asinC ，可得：S =12bcsinA =12⋅2a 2sinBsinC ⋅√22=110a 2=1，所以a =√10． 故选：D ．12．已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为（）A．36πB．42πC．54πD．24√6π【分析】根据图形特征可得DA，DB，DC两两垂直，故三棱锥D﹣ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，求得正方体外接球直径即可解：设△ABC的中心为G，延长BG交AC于F，则F为AC中点，连接DF．由题知DG⊥平面ABC，AC⊥GB，由三垂线定理得AC⊥BD，又BD⊥CE，∴BD⊥平面ACD，又D﹣ABC为正三棱锥，∴DA，DB，DC两两垂直，故三棱锥D﹣ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由AB＝6得DA=3√2，故正方体外接球直径为3√2⋅√3=3√6，所以球O的表面积为4πR2＝54π，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a=（2，m），a→+b→=（1，2），若a→∥（a→+3b→），则实数m＝4．【分析】利用向量共线定理即可得出．解：向量a→=(2，m)，a→+b→=(1，2)，∴b→=（﹣1，2﹣m）．∴a→+3b→=（﹣1，6﹣2m）．若a→∥(a→+3b→)，则实数m＝2（6﹣2m）+m＝0，解得m＝4．故答案为：4．14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为45−9π2．【分析】利用三视图画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积即可．解：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴V=3×3×5−18⋅43π⋅33=45−92π．故答案为：45−9π2．15．已知公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a4，a8依次成等比数列，若a3，a6，a b1，a b2，…，a bn，…成等比数列，则b n＝3•2n+1，n∈N*．【分析】设公差为d，d≠0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得a1＝d，进而得到等比数列的首项为3d、公比为2，运用等比数列和等差数列的通项公式，化简可得所求b n．解：设公差为d，d≠0，由a2，a4，a8依次成等比数列，可得a42＝a2a8，即a42=(a4−2d)(a4+ 4d)，即a4＝4d，即a1+3d＝4d，故a 1＝d ，∴a n ＝nd ，a 3＝3d ，a 6＝6d ， 故此等比数列的首项为3d 、公比为2， 因此a b n =3d ⋅2n+1=b n d ， 故b n =3⋅2n+1，n ∈N*． 故答案为：3•2n +1，n ∈N*．16．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 [−√3，√3] ． 【分析】先对函数求导数，然后使导数满足在[a ﹣2，a +2]上有两个互异零点，并且该两点处的导数值乘积为﹣1，以此列方程，构造函数或不等式求解解：由题得y '＝a ﹣2sin x ∈[a ﹣2，a +2]，则曲线在区间[a ﹣2，a +2]内存在两数之积为﹣1， 故只需（a ﹣2）（a +2）≤﹣1， 解得−√3≤a ≤√3． 故答案为：[−√3，√3]三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数f(x)=cos(π2−2x)−2√3cos 2x +√3． （1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A2)=√3，a =√3，c ＝1，求△ABC 的面积．【分析】（1）先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式把函数f （x ）变形成正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求其单调区间即可；（2）把x =A 2代入函数f （x ），并结合A ∈（0，π），可解得A =2π3，再利用正弦定理求出角C 的值，由于三角形的内角和为π，可求得角B ，最后利用三角形的面积公式即可得解．解：（1）f(x)=sin2x −√3(1+cos2x)+√3=2sin(2x −π3)，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ； 由2kπ+π2＜2x −π3≤2kπ+3π2，得kπ+5π12＜x ≤kπ+11π12，k ∈Z ．故f（x）在[kπ−π12，kπ+5π12]上单调递增，在(kπ+5π12，kπ+11π12]上单调递减，k∈Z．（2）f(A2)=2sin(A−π3)=√3，则sin(A−π3)=√32，∵A∈（0，π），∴A−π3=π3，即A=2π3，由正弦定理得，asinA =csinC即√3√32=1sinC，解得sinC=12，∴C=π6或5π6，当C=5π6时，A+C＞π，舍去，所以C=π6，故B=π6，∴S△ABC=12acsinB=√34．18．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间[165，175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165，167），[167，169），[169，171），[171，173），[173，175]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．（i）求P（167.86＜X＜174.28）；（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，√115≈10.7，0.954410≈0.63，0.97729≈0.81，0.977210≈0.79．【分析】（1）先算出各组的频率，再利用公式即可求出平均数和方差；（2）线根据条件求出μ，σ的值．（i ）根据题目给的数据，结合正态分布的对称性，容易求出所求结果； （ii ）可先求出对立事件（10人身高都在174.28之下）的概率，然后结果可求． 解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故x =0.1×166+0.2×168+0.375×170+0.25×172+0.075×174=170， s 2＝（170﹣166）2×0.1+（170﹣168）2×0.2+（170﹣172）2×0.25+（170﹣174）2×0.075＝4.6；（2）由题知μ＝170，σ=√4.6=√1155≈2.14，（i ）P(167.86＜X ＜174.28)=P(μ−σ＜X ＜μ+2σ)=0.6826+0.9544−0.68262=0.8185，（ii ）P(X ＞174.28)=1−0.95442=0.0228，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率P ＝1﹣（1﹣0.0228）10＝1﹣0.977210≈1﹣0.79＝0.21．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AP ，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝5，CD ＝6．过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点． （1）求证：PD ⊥EF ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为π3，且PA ＝PD ，EF ＝AB ，求二面角A ﹣BD ﹣F的余弦值．【分析】（1）通过AB ∥DC ，证明AB ∥平面PDC ，然后说明AB ∥EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，证明AD ⊥DC ，结合AB ⊥AP ，推出AB ⊥平面PAD ，然后证明EF ⊥PD ；（2）说明CPD 即为直线PC 与平面PAD 所成角，取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ，以O 为原点，OA →，AB →，OP →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量，平面ABD 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角A ﹣BD ﹣F 的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB ∥DC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB ∥平面PDC ，又面ABFE ∩面PDC ＝EF ，∴AB ∥EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴BG ＝4，又GC ＝3，BC ＝5，故∠BGC ＝90°， ∴AD ⊥DC ，∴AB ⊥AD ，又AB ⊥AP ， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥PD ；（2）解：由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴∠CPD =π3，∴6PD=√3，即PD =2√3，又EF =AB =12DC ，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ， 由CD ⊥平面PAD 可得CD ⊥PO ，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA →，AB →，OP →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A （2，0，0），D （﹣2，0，0），B （2，3，0），C （﹣2，6，0），P(0，0，2√2)， 故F(−1，3，√2)，DB →=(4，3，0)，DF →=(1，3，√2)， 设平面DBF 的法向量为m →=(x ，y ，z)，令x ＝3得m →=(3，−4，9√22)，显然n →=(0，0，1)是平面ABD 的一个法向量，∴cos〈m →，n →〉=9√22√1312=9√131， 由题知二面角A ﹣BD ﹣F 的余弦值为−9√131131．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√33，且点(1，2√33)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足OP →=2OM→（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ →=λNP →，求λ的值． 【分析】（1）利用椭圆的离心率以及点在椭圆上，结合a ，b ，c 的关系，求解a ，b 得到椭圆方程．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →=2OM →得P （2x 1，2y 1），由NQ →=λNP →得（x Q ﹣x 2，y Q ﹣y 2）＝λ（2x 1﹣x 2，2y 1﹣y 2），求出Q 坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理，然后转化求解即可． 解：（1）由题知ca =√33，故b 2a =23，又1a 2+43b 2=1，∴a 2＝3，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23+y 22=1；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →=2OM →得P （2x 1，2y 1）， 由NQ →=λNP →得（x Q ﹣x 2，y Q ﹣y 2）＝λ（2x 1﹣x 2，2y 1﹣y 2）， ∴x Q ＝2λx 1+（1﹣λ）x 2，y Q ＝2λy 1+（1﹣λ）y 2，又点Q 在椭圆C 上， 故[2λx 1+(1−λ)x 2]23+[2λy 1+(1−λ)y 2]22=1，即4λ2(x 123+y 122)+(1−λ)2(x 223+y 222)+4λ(1−λ)(x 1x 23+y 1y 22)=1，∴4λ2+(1−λ)2+4λ(1−λ)(x 1x 23+y 1y 22)=1， 由题知直线MN ：y ＝x ﹣1，与椭圆C 的方程联立得5x 2﹣6x ﹣3＝0，则x 1+x 2=65，x 1x 2=−35，∴y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−35−65+1=−45，∴5λ2−2λ+4λ(1−λ)(−15−25)=0，解得λ=2237或0， 又N ，Q 不重合，∴λ≠0，故λ=2237． 21．已知函数f(x)=lnx +12ax 2，a ∈一、选择题． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若不等式f(x)＜e x −e +12a 对∀x ∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数f′(x)=1x +ax =ax 2+1x(x ＞0)，可得当a ≥0时，f（x ）在（0，+∞）上单增，当a ＜0时，由导函数的符号判断原函数的单调性；（2）把不等式f(x)＜e x −e +12a 变形，构造函数g(x)=e x −12ax 2−lnx −e +12a ，可得g′(x)=e x −ax −1x，结合g （1）＝0，可得g （x ）在（1，+∞）上单调递增，即g ′（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数a 可得a ≤e x x −1x 2，再由导数求最小值可得a 的范围．解：（1）f′(x)=1x +ax =ax 2+1x(x ＞0)，当a ≥0时，f '（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单增， 当a ＜0时，由f ′（x ）＞0，解得0＜x 1√−a ，由f ′（x ）＜0，解得x 1√−a， ∴f （x ）在(01√−a )上单增，在(1√−a+∞)上单减； （2）lnx +12ax 2＜e x −e +12a ⇔e x −12ax 2−lnx −e +12a ＞0， 令g(x)=e x −12ax 2−lnx −e +12a ，g′(x)=e x −ax −1x ， ∵g （1）＝0，结合（1）可知，要使g （x ）＞0＝g （1），只需g （x ）在（1，+∞）上单调递增，即g ′（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立． 即e x −ax −1x ≥0（1，+∞）上恒成立． 则a ≤e x x −1x2， 令h （x ）=e x x −1x 2，则h ′（x ）=xe x −e x x 2+2x 3=xe x (x−1)+2x 3． ∵x ＞1，∴h ′（x ）＞0，则h （x ）在（1，+∞）上单调递增． 可得h （x ）＞h （1）＝e ﹣1． ∴a ≤e ﹣1．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点． （1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用直线与圆的相交建立等量关系式求出结果．（2）利用直线的平行建立关系式，求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），转换为普通方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为4y +3x ＝a ，由直线l 与圆C 有两个交点知|6+12−a|5＜2，解得8＜a ＜28．（2）设圆C 的圆心为O 1，由圆C 的参数方程可设点M （2+2cos θ0，3+2sin θ0）， 由题知O 1M ∥l ，∴cosθ0=−45，sinθ0=35，或cosθ0=45，sinθ0=−35，故点M(25，215)，或(185，95)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足a 2+b 2＝m ，求11+a 2+12+b 2的最小值．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得m ＝2；（2）由（1）得a 2+b 2＝2，再利用柯西不等式直接得解，注意取等条件．解：（1）f （x ）＝|x |+|x |+|x ﹣2|≥|x |+|x ﹣（x ﹣2）|＝|x |+2≥2，当且仅当x ＝0时等号成立， 故m ＝2；（2）由（1）得a 2+b 2＝2，由柯西不等式得(11+a 2+12+b2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2，当且仅当a 2=32，b 2=12时，等号成立， ∴11+a 2+12+b 2≥4a 2+b 2+3=45，故11+a 2+12+b2的最小值为45．。
【2020精品高考提分卷】重庆市2020届高三4月调研测试二诊数学试题含答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =->，则()R AC B =（ ）A ． {1}-B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(,1)a x =-，(1,3)b =，若a b ⊥，则||a =（ ）A B ．2 D ． 44．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ） A ．10日 B ． 20日 C ． 30日 D ．40日5．设直线0x y a --=与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（ ）A ．． C ． 3± D ．9±6．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）A ．15B ．18C ． 19D ．208．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π 10．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A 3．13+． 23+ D ．423+11．已知函数2()(3)xf x x e =-，设关于x 的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或612．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ） A ．92π B ．92π C ． 23π D ．32π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在52(2)a x x+的展开式中4x -的系数为320，则实数a = ． 14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．15．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取值范围为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S = ．（用数字作答）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （1）求sin cos A B 的值； （2）若23a b =B ．18． 如图，矩形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM折到'D AM ∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求二面角'E AM D --的余弦值．19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，20()P K k ≥ 0．100．05 0．025 0．010 0k2．7063．8415．0246．635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设||X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．20．已知,A B分别为椭圆C：22142x y+=的左、右顶点，P为椭圆C上异于,A B两点的任意一点，直线,PA PB的斜率分别记为12,k k．（1）求12,k k；（2）过坐标原点O作与直线,PA PB平行的两条射线分别交椭圆C于点,M N，问：MON∆的面积是否为定值？请说明理由．21．已知曲线2ln ln()x a x af xx++=在点(,())e f e处的切线与直线220x e y+=平行，a R∈．（1）求a的值；（2）求证：()xf x ax e>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos1sin2x ty tαα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22244sin cosρθθ=+．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为1(1,)2-，直线l与曲线C相交于不同的两点,A B，求||||PA PB的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x a x a=-+-．（1）若()f x的最小值为2，求a的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．试卷答案2020年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学一、选择题 1～6 DCCCCD7～12 DABCAD第（11）题解析：xx x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，)1,3(-上单减又当-∞→x 时0)(→x f ，+∞→x 时+∞→)(x f ， 故)(x f 的图象大致为： 令t x f =)(，则方程0e 1222=--mt t 必有两根21,t t )(21t t <且221e 12-=t t ， 当e 21-=t 时恰有32e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根； 当e 21-<t 时必有32e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根； 当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根； 综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段11,,ADACAB上，设线段1AB上的切点为E，1AC面21OBDA=，圆柱上底面的圆心为1O，半径即为EO1记为r，则2262331312=⨯⨯==DFFO，13112==ACAO，由FOEO21//知EOAOAOEO11112122=⇒=，则圆柱的高为rAO223231-=-，232329242(322)42()42()428r rS r r r rππππ+-=-=-⋅==侧≤.二、填空题（13）2（14）53（15）]1,8[--（16）1306第（15）题解析：函数)(xf的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m时，]2,1[)(-∈xf.第（16）题解析：1122+=++naann，则12745032999832=+++=++++aaaa，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则1306100=S .三、解答题 （17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，21cos sin =∴B A ； （Ⅱ）332sin sin ==b a B A ，由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，232sin =∴B ， 32π=∴B 或32π，6π=∴B 或3π. （18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面AM D '内过M 作直线MA NM ⊥，则⊥NM 平面ABCM ， 故以M 为原点，MN MB MA ,,分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)1,0,1(D '，于是)21,1,21(E ，)0,0,2(=MA ，)21,1,21(=，设平面EAM 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令1=y ，得平面EAM 的一个法向量)2,1,0(-=，显然平面AM D '的一个法向量为)0,1,0(=，故51,cos >=<，即二面角D AM E '--的余弦值为55.（19） 解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为81，超过10000步的概率为41，且当0==Y X 或1==Y X 时，0=ξ，12551129888464P C =⨯+⋅=；当0,1==Y X 或 1,0==Y X 时，1=ξ，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当0,2==Y X 或2,0==Y X 时，2=ξ，645)81()41(22=+=P ，即ξ的分布列为：85=ξE .（20）解：（Ⅰ）设),(00y x P ，则21242220202020000021-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ； （Ⅱ）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),,(2211y x N y x M ， 则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x xk y y x +=⇒⎩⎨⎧==+， 同理可得2222214k x +=，故有1)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又2121-=k k ，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，2=∴S . （21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e e a f a -+-'==-⇒=；（Ⅱ）2ln 3ln 3()x x f x x ++=，2ln (ln 1)()x x f x x -+'=，1()01ef x x '>⇒<<， 故()f x 在1(0,)e和(1,)+∞上递减，在1(,1)e上递增， ①当(0,1)x ∈时，1()()e e ≥f x f =，而33(1)()e e x x x x -'=，故3ex x 在(0,1)上递增， 33e e e x x ∴<<，3()e x x f x ∴>即()3ex f x x >；2 / 2②当[1,)x ∈+∞时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令23()e x x g x =，则23(2)()e x x x g x -'=故()g x在[1,2)上递增，(2,)+∞上递减，212()(2)3e≤g x g ∴=<，223ln 3ln 3e x x x x ∴++>即()3ex f x x >； 综上，对任意0x >，均有()3ex f x x >. （22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ； （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。
重庆市2020届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题 理(含解析)
重庆市2020届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，，从而得到三者之间的关系.【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D 中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误. 故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值. 【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，，，…，则，则当时，；当时，即时，，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得：又，可得：当时，，不单调，可知错误；当时，，单调递增，可知正确；当时，，单调递减，可知错误；当时，，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则又，可得则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果. 【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由……①得：……②①②得：当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，的面积为（2），，即【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）分别证得，，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用法向量夹角求得结果.【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，，为正三角形在中，，，由勾股定理知为等腰直角三角形，即平面 又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，， ，，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：（*），，结合（*）得：从而，点在椭圆上整理得：即或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值. 【答案】（1）直线: ，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案. 【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，， ∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴， 不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94]C. (1,32]D. (1,+∞) 2. 设复数z 满足1−z 1+z =i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 cos x =cos y ，则 x =y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy =0，则 x =0”的否命题为“若 xy =0，则 x ≠0”C. 命题“∃x ∈R ，使得 2x 2−1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有 2x 2−1<0”D. 若 a ∈R ，则“a >2”是“|a|>2”的充分不必要条件4. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=3，{a n }的“差数列”的通项为3n ，则数列{a n }的通项a n =( )A. 3nB. 3n −32C. 3n +32D. 3n−1+2 6. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 180 7. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 48.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈[−2,0)时，f(x)=2x，则f(2015)−f(2014)的值为()A. 34B. −34C. 14D. 1210.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 811.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，则A=()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(2,1+m),b⃗ =(3,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=______ ．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=______ ．16.若曲线y=ax+2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：ℎ)根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x¯和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．①求P(0.8<Z<8.3)②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ε，试求E(ε).附：√6.16≈2.5，若Z−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.954519.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=ax−1x 2+1，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a =1，证明：当x ∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx 2．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题． 分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}，所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32],故选C ． 2.答案：A解析：本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．先求出复数z ，再求复数z 的模即可．解：∵复数z 满足1−z 1+z =i ，∴1−z =i +zi ，∴z(1+i)=1−i∴z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ，∴|z|=1，故选A ．3.答案：D解析：本题考查四种命题间的关系、命题的否定与否命题、特称命题与全称命题、充要条件等知识，比较容易．按照相关知识，逐个判断即可．解：A.易知原命题是假命题，根据原命题与逆否命题等价可知，其逆否命题为假命题，故A错误；B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题应为“若xy≠0，则x≠0”，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得2x2−1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2−1≥0”，故C错误；D.由|a|>2⇒a>2或a<−2，所以若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件，故D 正确．故选D．4.答案：D解析：本题考查了独立性检验，属于基础题．根据K2的值，结合临界值表可得．解：K2=7>6.635，故有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关系或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选D．5.答案：C解析：本题考查数列的新定义，考查累加法，是中档题．利用已知条件及累加法可直接求解出答案．由已知得a n+1−a n=3n，a1=3，则a2−a1=3，当n≥2时，a3−a2=32，…，a n−a n−1=3n−1．．由累加法得a n=3+3+32+⋯+3n−1=3n+32∵a1=3符合上式．。
重庆市2020届5月份高三“二诊”考试理科数学试题(含答案)
故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第Leabharlann 10题提示：由题知 |FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 1页 共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
cos 0
4 5
，sin
0
3 5
，或 cos0
4 5
，sin
0
3 5
，故点
M
( 2，21) 55
，或
(18 ，9 ) 55
【精准解析】重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题
-8-
由题知 DG 平面 ABC ，所以 DG AC ，又 AC GB ， DG GB G ， 所以 AC 平面 DGB ，所以 AC BD ， 又 BD CE ， CE AC C ，∴ BD 平面 ACD ，∴ BD CD ， BD AD ， 又 D ABC 为正三棱锥，∴ DA ， DB ， DC 两两垂直， 故三棱锥 D ABC 可看作以 DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，
3i
，
所以 z 12 32 10 .
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.
3.下列说法正确的是（ ）
A. “若 a 2 ，则 2a 4 ”的否命题为“若 a 2 ，则 2a 4 ”
B. 命题 p q 与 p q 至少有一个为真命题
C. “ x 0 ， x2 2x 2 0 ”的否定为“ x 0 ， x2 2x 2 0 ”
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个备选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A 2,3,5, 7 ， B x | log2 (x 2) 1 ，则 A B （ ）
A. 2
B. 3
C. 2,3
c
2a sin C
，则 S△ABC
1 2
2a 2
sin B sin C
2 即可得解. 2
【详解】由 a sin A b sin B 2c sin B c sin C 得 a2 b2 2cb c2 ，
则 cos A b2 c2 a2 2bc
2 ，由 A 0, 可得 A 3 ，
1 ，求得
重庆2020年普通高等学校招生全国统一考试调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020年普通高等学校招生全国统一考试调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则为（）A.B.C.D.2.设，则是为纯虚数的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（）A. B.C. D.4.定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，其中，则所有点构成的图形面积为（）A. B. ． C. D.6.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.7.已知椭圆为其左、右焦点，为椭圆上任意一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率（）A. B. C. D.8.设函数定义在上，给出下述三个命题：①满足条件的函数图像关于点对称；②满足条件的函数图像关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图像关于直线对称.其中，真命题的个数是（）A. B. C. D.9.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（）A. B. C. D.10.如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆。
2020届重庆市高三5月调研(二诊)数学(理)试题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （ ） A. {}2 B. {}3 C. {}2,3D. {}3,5 【答案】B【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<， 所以{}{}{}2,3,5,7|243x A x B <<==II . 故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）A. B. 2 C. D. 10【答案】C【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意()22213i i i z i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.3.下列说法正确的是（ ）A. “若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a ≤” B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题【答案】B【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误； 对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确；对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误；对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关【答案】D【分析】由题意()2 6.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解. 【详解】由题意27K =，()2 6.6350.01P K ≥=， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关.故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1n n a a +0.618≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ）A. 144厘米B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【答案】B【分析】 由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（ ） A. -252B. -45C. 45D. 252 【答案】C【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()()105110101r r r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令53r -=-即8r =，()()8583310101145r r r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=， 所以103x x x ⎛- ⎪⎭的展开式中，常数项为45. 故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b +的取值范围是（ ）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )21,⎡++∞⎣D. )22,⎡+∞⎣ 【答案】C【分析】由题意112b b a a b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当2b a a b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题.8.函数x x y e =的部分图象是（ ） A. B.C.D.【答案】A【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解.【详解】令()x x f x e =，则()()x x f x f x e---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项； 当0x >时，()1x x f x e -'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1 【答案】B【分析】 由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数， 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题. 10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A.B.C.D. 【答案】C【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y =，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得1212p =-，求得p =. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -， Q 32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y =， Q 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即115212p p+⋅=-，∴5p =， 由//PQ y轴可得所求距离为5225p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知ABC V 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.B.C.D.【答案】D【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos 2A =-即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin 10B C =，根据正弦定理得sin b B =，sin c C =，则212sin sin 22ABC S a B C =⋅⋅△即可得解.【详解】由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 22b c a A bc +-==-，由()0,A π∈可得34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin 10B C =，由正弦定理知sin sin b c B C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△，所以a =故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC V 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC V 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 42πC. 54πD.【答案】C【分析】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =I ， 所以AC ⊥平面DGB ，所以ACBD ⊥， 又BD CE ⊥，CE AC C =I ，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得32DA = 故正方体外接球直径232336R ==，所以球O 的表面积为223644542R πππ⎛== ⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________. 【答案】4【分析】由题意可得()1,2b m =--r ，进而可得()31,62a b m +=--r r ，再由平面向量共线的特征即可得解.【详解】Q ()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，∴()1,2b m =--r ，∴()31,62a b m +=--r r ，又()//3a a b +r r r，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9 452π-【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解.【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832Vππ=⨯⨯-⋅⋅=-.故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a中，2a，4a，8a依次成等比数列，若3a，6a，1b a，2b a，…，n b a，…成等比数列，则nb=_____________.【答案】132n+⋅【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd=，进而可得132nnba d+=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a公差为d，由题知()()24284424a a a a d a d==-+，即44a d=，故413dda a=-=，∴n a nd =，33a d =，66a d =，故新等比数列首项为3d 、公比为2，因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解.【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，Q 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，Q ()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC V 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2）4【分析】（1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解；（2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈，故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）由题意2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，由正弦定理得sin sin c a C A=即1sin C =1sin 2C =， 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6B A C =--=，∴111sin 12224ABC S ac B ==⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题.18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28PX <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解； （ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075， 故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=，1154.6 2.145σ==≈， （i ）()()167.86174.282PX P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P XP X μσ->=>+==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）9131131-【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m u r 、平面ABD 的一个法向量n r，由cos ,m n m n m n⋅=⋅r r r r r r 即可得解.【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ， 又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ， 取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥， 又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD =， 又12EFAB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点， 取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CD AD D =I，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(0,0,22P ，故(2F -，()4,3,0DB =u u u r，(2DF =u u u r ，设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令3x =得3,4,2m ⎛=- ⎝⎭u r ， 显然()0,0,1n =r是平面ABD 的一个法向量，∴c os ,m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r ， 由题知二面角A BD F --的余弦值为131-. 【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【分析】 （1）由题意可得c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解； （2）设()11,Mx y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解. 【详解】（1）由题知c a =2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2QQ xx y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭， 由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆， 则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；（2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g=，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()00f x x'>⇔<<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）()2111ln 0222x x f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>，令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x eax x=--，()1,x ∈+∞，∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意；综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点. （1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；（2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-，又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题. 23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值； （2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解.【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立， 故2m =； （2）由题意222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11124)a b ab ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立， ∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。
2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)
所以 CM / /DN ,又 DN 平面 AB1N ， CM 平面 AB1N ，
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.
·5·
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O
y
2t 2
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos ．
值为 π ,若将 y f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位，所得图象关于原点对称， 2
则实数 的最小值为
·1·
A. 12
B.
6
C.
3
7
D.
12
8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名员工报名参加
该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名员工均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情
所以 D 为 AB1 的中点．又因为 M 为 AB 的中点，
所以 DM
/
/BB1 ，且 DM
1 2
BB1 .
……………………………………………2 分
因为
N
为 CC1
的中点，所以 CN
1 2
CC1
，
所以 DM CN ，且 DM / /CN ，
所以四边形 CMDN 是平行四边形，………………………………………………4 分
223
n 1 n
n
18.解：（Ⅰ） K 2 200 (85 5 9515)2 50 5.556 6.635 100100 20180 9