独立性检验讲解
独立性检验
74
26
100
（3）根据列联表中的数据可得
K2
n(ad bc)2
100 (6410 1610)2
(a b)(c d)(a c)(b d ) 80 20 74 26
3600 7.4844 6.635 481
所以有 99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度 有关.
(2017年海南卷第19题)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对 比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其 频率分布直方图如图所示。
K2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
P(K 2 k) k
0.050 0.010
0.001
3.841 6.635 10.828
（2）由所给数据，可得列联表为：
SO2
0,150
150, 475
合计
PM 2.5
0, 75
64
16
80
75,115
10
10
20
合计
若K2 < k,则认为“在犯错误的概率不超过a的前提下不能 推断这两个分类变量有关系”（或者可以表达为“没有1-a的 把握认为两个分类变量有关系”）
（2020年海南卷第19题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对 某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
SO2 PM2.5 [0, 35] (35, 75]
独立性检验及其应用
一、定义：
利用随机变量K2 来判断“两个分类变量有关系” 的方法称为独立性检验
二、独立性检验的具体步骤：
1、完成列联表 2、根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系” 犯错误概率的上界a，然后查表确定对应的临界值k； 3、利用公式，计算随机变量K2； 4、若K2 > k ，则推断“在犯错误的概率不超过a的前提下认 为两个分类变量有关系”（或者可以表达为“有1-a的把握认 为两个分类变量有关系”）；
统计学中的独立性检验
统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。
通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。
本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。
一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。
在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。
二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。
它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。
2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。
在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。
3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。
三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。
2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。
3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。
4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。
高考数学一轮复习专题04 独立性检验(解析版)
概率与统计 专题四：独立性检验一、知识储备 1．22⨯列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为12{}x x ,和12{}y y ,，其样本频数列联表(22⨯列联表)如下：2．独立性检验利用随机变量2K (也可表示为2χ)2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出22⨯列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查下表确定临界值k 0：(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．【注意】(1)通常认为 2.706k ≤时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．二、例题讲解1．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））随着经济的发展，人们的生活水平显著提高，健康意识不断增强，健康管理理念深入人心，人们参加体育锻炼的次数与时间在逐渐增加.某校一个课外学习小组为研究居民参加体育锻炼的时长（时长不超过60分钟）是否与性别有关，对某小区居民进行调查，并随机抽取了100名居民的调查结果，其中男性有55人，根据调查结果绘制了居民日均锻炼时间的频率分布直方图如下：(1)求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)将日均锻炼时间不低于40分钟的居民称为“健生达人”（健康生活达人），已知样本中“健生达人”中有10名女性，根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“健生达人”与性别有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】(1)32.8分钟；(2)表格见解析，没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关. 【分析】(1)根据中位数的定义求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)分析数据，完成列联表，计算2K ，通过比较其与临界值的大小，确定是否接受假设. 【详解】解：本题考查独立性检验.(1)由频率分布直方图知日均锻炼时间在[)0,30对应的频率为0.050.180.20.43++=，则中位数位于[)30,40，且中位数为0.500.43301032.80.25-+⨯=（分钟）(2)由频率分布直方图可知在抽取的100人中，“健生达人”有32人，从而22⨯列联表如下：得()210033103522 3.595 3.84155456832K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关2．（2022·江苏南京市·高三开学考试）科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)21,26，[)26,31，[)31,36，[)36,41，[]41,46（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5σ≈，请估计对照园中果径落在区间()39,50内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++；②若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，()220.954P X μσμσ-<<+=，()330.997P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为两者有关；（2）0.157. 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出采用实验方案大果和非大果数量及未采用实验方案大果和非大果数量，从而可得出列联表，再根据公式求出2K ，对照临界值表即可得出结论；（2）求出样本平均数x ，再根据正态分布的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：采用实验方案大果的数量为()50.1100.01010060⨯+⨯=个， 则非大果数量为1006040-=个，未采用实验方案大果的数量为()50.0400.02010030⨯+⨯=个， 则非大果数量为1003070-=个， 列联表如下：22006070304020010.8281001009011011K ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞，所以有99.9%的把握认为两者有关； （2）由题中数据，23.50.128.50.233.50.438.50.243.50.133.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则33.5μ=，则()()0.9970.683395030.157P X P X μσμσ-=++==＜＜＜＜.三、实战练习1．（2022·定远县育才学校高三开学考试（文））微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信､视频､图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性､女性用户各50名，将男性､女性平均每天使用微信的时间（单位：h ）分成5组：(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用微信的时间；（2）若每天玩微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 附表：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）4.76()h ；（2）有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边的中点，然后求和即可得到答案；（2）先通过频率分布直方图面积为1求出a ，进而根据参考公式求出K 2，然后将数据进行对比即可得到答案. 【详解】（1）由女性的频率分布直方图，可知女性用户平均每天使用微信的时间为0.1610.2430.2850.2070.129 4.76()h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由男性的频率分布直方图，可得2(0.040.1420.12)1a +++⨯=，解得0.08a =.由两个频率分布直方图，可得22⨯列联表如下：2K的观测值2100(38203012)2.941 2.70650506832k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关.2．（2022·河北唐山·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2022年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费､餐饮服务､交通出行､购物消费､政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的22⨯列联表；（2）若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）列联表答案见解析；（2）914；（3）没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关. 【分析】（1）根据题中所给数据完成22⨯列联表即可；（2）根据分层抽样分别求出不了解数字人民币和了解数字人民币的人数，再根据古典概型公式即可得解； （3）根据公式求出2K ，在参照临界值表即可得出结论. 【详解】解：（1）22⨯列联表如下：（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有81503400⨯=人， 了解数字人民币的有82505400⨯=人， 从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率2528C 91C 14P =-=.（3）根据列联表得()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.3．（2022·广东实验中学高三月考）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）．．．．．．．．．．．是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）5.4天；（2）列联表见解析，没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人.【分析】（1）根据频率直方表求平均值即可.（2）由题设写出列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，比照参考值即可知是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）由题意知潜伏期超过6天的人数2(20,)5X B ，则202032()()()55k k kP X k C -==，应用不等法求最大概率时的k 值即可. 【详解】（1）10.08530.20550.3170.2590.13110.015130.005x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.4=天.（2）由题设知：[0,6]的频率为0.6，(6,14]的频率为0.4，故200人中潜伏期在[0,6]上有120人，在(6,14]上有80人. 列联表如下：∴22200(65453555) 2.083 3.84110010012080K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）由患者潜伏期超过6天发生的概率400210005=， 设潜伏期超过6天的人数为X ，则2(20,)5XB ，∴202032()()()55k k kP X k C -==且020k ≤≤，*k N ∈，由题意，()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩，即2019112020202111202032325555{32325555k k k k k k k k k k k k C C C C --++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3(1)2(20)2(21)3k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得374255k ≤≤， ∴8k ，即潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人. 4．（2022·黑龙江高三其他模拟（文））据有关部门统计，2021年本科生的平均签约薪酬为每月4300元.2021年某高校毕业生就业指导中心为了分析本校本科毕业生的专业课成绩优秀与否与本科毕业生就业后获得薪酬的关系，随机调查了从学校毕业的200名本科毕业学进行研究.研究结果表明：在专业课成绩优秀的120名本科毕业生中有90人每月工资超过人民币4300元，另30人每月工资低于人民币4300元；在专业课成绩不优秀的80名本科毕业生中有20人每月工资超过人民币4300元，另60人每月工资低于人民币4300元. （1）试根据上述数据完成22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该高校本科毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；（2）能. 【分析】（1）根据题目已知数据完成22⨯列联表；（2）计算2K，根据临界值表判断即可【详解】（1）22⨯列联表如下：（2）因为()22009060302016004810.828 120801109033K⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯.所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该校毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系.【点睛】方法点睛：本题考查22⨯联表判断相关性，独立性检验的一般步骤：第一步，提出假设0H：两个分类变量A和B没有关系；第二步，根据22⨯列联表和公式计算2K统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断。
高中数学选修课件第三章§独立性检验
针对性解决策略和建议
深入理解独立性概念
明确事件独立与随机变量独立的区别，熟练掌握 相关公式和定理的适用条件。
正确选择统计性检验。
ABCD
重视样本容量的选择
在进行独立性检验时，应根据实际情况选择合适 的样本容量，以保证结果的准确性。
明确显著性水平的意义
结果分析与讨论
结果描述
详细阐述检验结果，包 括统计量、显著性水平
等信息。
结果解释
结合研究问题和假设， 对检验结果进行合理解
释。
结果比较
将本研究结果与已有研 究进行比较，分析异同
点。
结果推广与应用
探讨本研究结果的推广 价值和应用前景。
06
独立性检验常见问题及解决方法
常见错误类型及原因剖析
错误理解独立性概念
在判断两个分类变量是否独立时，需 要结合实际情况和专业知识进行综合 判断，避免盲目依赖统计结果。
在计算卡方统计量时，需要注意期望 频数的计算方法，避免出现计算错误 。
需要注意独立性检验只能判断两个分 类变量之间是否存在关联，但不能确 定它们之间的因果关系。
03
独立性检验在统计学中应用
统计分析中作用
实际操作流程演示
确定研究问题和假设
明确研究目的，提出假设并确定检验标准 。
结果解释与报告
对检验结果进行解释，得出结论并撰写报 告。
收集数据
根据研究问题和假设，选择合适的方法收 集数据。
进行独立性检验
根据所选用的检验方法，对数据进行计算 和分析。
数据整理与预处理
对收集到的数据进行整理、清洗和转换， 以便于后续分析。
独立性检验可以帮助我们更好 地理解概率论中的基本概念， 如条件概率、联合概率等。
高中数学选修课件第一章：独立性检验
注意事项与误区提示
在进行独立性检验前，需要确保样本 的随机性和代表性，以避免因样本偏 差导致结果失真。
需要注意的是，独立性检验只能判断 两个变量之间是否存在统计上的独立 性，并不能说明它们之间是否存在因 果关系或其他形式的关联。
在解读结果时，需要注意概率值（p 值）或临界值表的具体含义和适用条 件，避免误用或滥用。
高中数学选修课件第一 章：独立性检验
汇报人：XX 20XX-01-30
contents
目录
• 独立性检验基本概念 • 独立性检验基本思想解读 • 独立性检验方法介绍及应用场景分析 • 独立性检验结果解读与注意事项 • 独立性检验在统计学中地位和作用 • 高中数学选修课程中其他相关知识点回
顾与拓展
01
在实际应用中，还需要结合其他统计 方法和专业知识进行综合分析和判断 。
05
独立性检验在统计学中地位和作用
独立性检验在统计学中地位
独立性检验是统计学 中一种重要的假设检 验方法。
在数据分析、市场调 研、医学研究等领域 具有广泛应用。
它用于判断两个或多 个分类变量之间是否 相互独立。
独立性检验对后续统计分析影响
高中数学选修课程中其他相关知识点梳理
排列组合与二项式定理
回顾排列组合的基本概念、计算公式及应用，掌握二项式定理的展开式及通项公式的应 用。
概率与统计的综合应用
梳理概率与统计在高中数学选修课程中的综合应用，如概率与统计在解决实际问题中的 结合，以及概率与统计在其他数学知识点中的交叉应用等。
数学建模与数学探究
独立性检验的基本思想
通过抽样调查获取数据，根据样本数据来判断两个分类变量 是否独立。
独立性检验的方法
通常采用列联表的形式整理数据，然后计算相关统计量的值 （如χ²值），并根据统计量的值及给定的显著性水平作出判 断。
解读独立性检验
解读独立性检验陕西汉中市405学校 侯有岐 723312一．知识详解 （一） 条件概率 1.概念对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()P B A 来表示.2.性质条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0(1P B A ≤≤）;如果B 和C 是两个互斥事件,则(())()()P B C A P B A P C A =+ .3.求法(1)利用定义,分别求()(),P A P AB 和得()()P AB P B A P A =（）. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数()n A ,再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数,即()n AB ,得)()()n AB P B A n A =(. (二) 事件的相互独立性 1.概念设A 、B 为两个事件，如果()()(),P AB P A P B =则称事件A 与时间B 相互独立. 2.性质(1)事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响.(2)一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A B,A B A 与B,与与也都是相互独立的. 3.计算公式(1)两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即()()()P AB P A P B =.(2) 一般地,如果事件12,,,n A A A n 相互独立，那么这个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A = .(三)独立性检验 1.基本思想“独立性检验”的基本思想类似于反证法：要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.在假设下构造的2χ统计量应该很小,计算的结果如果很大,则在一定程度上说明假设不合理,即认为这两个变量在一定程度上有关.2.基本方法“独立性检验”是检验两个变量是否独立的统计方法,是卡方检验的一个应用.对独立性检验解析如下:(1) “独立性检验”的统计假设0H :两个变量之间是独立的,无关的;(2)卡方的计算公式是: 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++;（3）卡方的临界值：2.706，3.841和6.635； （4）20χ≥.3.基本步骤(1)分析题意,作出2⨯2列联表; (2)根据卡方计算公式,求出2χ的值; (3)和临界值比较,作出统计判断:若2χ≤2.706,接受统计假设0H ,即认为两个变量无关,是独立的; 若2χ>2.706,有0090的把握判定两变量有关; 若2χ>3.841, 有0095的把握判定两变量有关; 若2χ>6.635, 有0099的把握判定两变量有关.二、考点解读考点一：条件概率的求法 例1 盒中装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球.玻璃球中有2个是红色的,4个是蓝色的;木质球中有3个是红色的,7个是蓝色的.现从中任取1个,已知取到的是蓝球,问该球是玻璃球的概率是多少?分析:由题意知,待求问题是条件概率问题,可利用条件概率公式求解.解:设事件A 为任取一个球是蓝球, 事件B 为任取一个球是玻璃球,则事件AB 为一个蓝色的玻璃球.方法一:由于任取一个球是等可能的,且A 包含的基本事件数()n A =11,事件AB 包含的基本事件数()n AB =4,故所求事件的概率)4()()11n AB P B A n A ==(. 方法二:由题意可知474()(),1616P A P AB +==11=，16所以4416()11()1116P AB P B A P A ===（）.点评:解答此类问题的关键是搞清题设的先定条件,即在什么条件下求事件的概率,在此基础上,运用条件概率的两种求法求解.变式练习1:在题设不变的情况下,求已知取到是木质球的前提下,问该球是红色球的概率.考点二：相互独立事件的概率例2 某省甲、乙、丙三名队员竞选2008年奥运火炬手，已知甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710. (1) 求恰有一名队员当选的概率；（2）求至多两名队员当选的概率.分析:由题意知,解答本题可以根据相互独立事件的概率计算公式进行计算. 解:记甲、乙、丙当选的事件分别为A B C 、、，则有4()5P A =,3()5P B =,7()10P C =. (1)因为事件A B C 、、相互独立，恰有一名队员当选的概率为()())()()()()()()()()()42313312747.551055105510250P A B C P A B C P A B C P A P B P CP A P B P C P A P B P C ++=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（ (2) 至多两名队员当选的概率为437831()1()()()1.5510125P A B C P A P B P C -=-=-⨯⨯= 点评: (1)含有“至多”、“至少”等量词的概率问题，在解答过程中常利用独立事件间的关系求解.(2)正确处理好互斥事件与独立事件的概率问题,如本例中“恰有一名队员当选”，实际包含三个事件,,,ABC ABC ABC 而这三个事件是彼此互斥的.变式练习2:在题设不变的情况下,求下列事件的概率: (1)至少有一名队员当选的概率; (2)恰有两名队员当选的概率. 考点三：独立性检验的应用例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm ）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500件,量其内径尺寸,得结果如下表： 甲厂乙厂（1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2） 由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：221122122114244142(),n n n n n x n n n n -=分析:解答本题第(2)问只需用2χ公式计算,对照临界值便可以确定这种关系.解：（I ）(略) （Ⅱ）,635.635.7 320680500500)140320180360(100022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=x 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.点评: (1)本题是2009年辽宁高考文科题.解决此类题目的关键在于正确利用卡方公式计算2χ的值,再利用该值与临界值3.841和6.635进行比较,最终作出判断.(2)利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题做出合理的推断和预测。
独立性检验的诠释与备考
独立性检验的诠释与备考
独立性检验，又称为卡方检验，是一种常用的统计技术，用于检验两个变量之间是否存在独立性的关系。
它的原理是比较两组数据之间的差异，从而判断数据是否独立。
首先，我们要明确独立性检验的定义：两个变量之间的独立性，指的是两个变量是否有着相互独立的关系，也就是说，这两个变量之间没有因果关系。
其次，我们要了解独立性检验的用途：它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在相互独立的关系，也可以用来测试不同类别的变量之间的关系，从而推断出这两个变量是否有着相互独立的关系。
再次，我们要了解独立性检验的方法：它的基本步骤是：首先，确定两个变量的分类；其次，计算每类变量的频率；最后，使用卡方检验（Chi-Square Test）来检验两个变量是否相互独立。
最后，要了解独立性检验的备考方法：
1.了解变量的定义和分类：在备考独立性检验时，要先明确变量的定义和分类，以便于更好地理解相关的概念和计算公式。
2.研究卡方检验：卡方检验是独立性检验的基础，要了解它的概念以及计算公式。
3.练独立性检验：复时要多练独立性检验，比如说可以尝试某些实际例子，这样可以加深对独立性检验的理解。
总之，独立性检验是一种非常有用的统计技术，在备考时要搞清楚它的定义、用途和方法，并多练，以便在考试中取得良好的成绩。
高二独立性检验知识点总结
高二独立性检验知识点总结独立性检验是统计学中的一种重要方法，用于确定两个或多个变量之间是否存在关联性。
在高二阶段的学习中，独立性检验是一个必不可少的统计学概念。
本文将对高二独立性检验的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用该概念。
1. 独立性检验的概念独立性检验用于判断两个分类变量之间是否存在显著关联。
其中，第一个分类变量称为自变量或行变量，第二个分类变量称为因变量或列变量。
独立性检验的目标是确定两个分类变量之间的关联性程度。
2. 卡方检验卡方检验是一种常用的独立性检验方法。
它基于卡方统计量，通过比较实际观察频数与期望频数之间的差异，判断两个分类变量是否独立。
卡方检验可以应用于两个或多个分类变量的关联性检验。
3. 单样本卡方检验单样本卡方检验用于检验一个分类变量在整体上是否符合期望分布。
通过计算观察频数与期望频数之间的差异，判断观察结果是否与期望分布存在显著差异。
单样本卡方检验是独立性检验的基础，可以帮助我们理解和掌握更复杂的卡方检验方法。
4. 独立性卡方检验独立性卡方检验用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
它的原假设为两个分类变量独立，备择假设为两个分类变量不独立。
通过计算卡方统计量和查阅卡方分布表，我们可以得出检验结果，确定两个分类变量之间的关联性。
5. 列联表和期望频数独立性检验的前提是我们需要有观察数据和期望数据。
观察数据是指我们实际获得的数据，期望数据是指两个分类变量独立时的理论分布情况。
为了进行独立性检验，我们通常会将观察数据整理成列联表形式，并计算期望频数，以便进行后续分析。
6. 自由度和显著性水平在独立性检验中，自由度是一个重要的概念。
自由度取决于列联表的行数和列数。
自由度的选择会影响卡方统计量的分布。
显著性水平是我们设定的接受或拒绝原假设的临界点。
通常情况下，我们使用0.05的显著性水平作为判断标准。
7. 应用案例独立性检验广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、市场调研等。
独立性检验基本思想及应用
独立性检验基本思想及应用独立性检验是一种用于确定两个变量之间是否存在关联的统计方法。
其基本思想是通过比较观察到的数据与预期的数据之间的差异来推断这两个变量之间的关系。
独立性检验的应用非常广泛。
在社会科学中，独立性检验常被用于研究两个分类变量之间是否存在关联，例如性别和职业、教育水平和政治倾向等。
在医学研究中，独立性检验也可以用来检查某种治疗方法是否与疾病的发展有关，以及风险因素和某种疾病之间的关系。
此外，独立性检验还被广泛应用于市场调查、品牌定位以及质量控制等领域。
独立性检验的基本思想是建立一个零假设（H0）和一个备择假设（H1）。
零假设认为两个变量是独立的，即它们之间没有关联；备择假设则认为两个变量之间存在关联。
独立性检验的步骤可以分为以下几步：1. 收集数据：需要收集两个分类变量的数据，例如通过问卷调查或观察获得数据。
2. 建立列联表：将数据整理成列联表形式，列联表是一种用于描述两个或多个分类变量之间关系的矩阵。
表格的行表示一个变量的不同类别，列表示另一个变量的不同类别，表格中的每个单元格表示两个类别的交叉数量。
3. 计算期望频数：在独立性检验中，我们假设两个变量是独立的，因此可以基于各类别的边际总数以及样本总数来计算期望频数。
期望频数是在两个变量独立情况下，各个类别的交叉数量。
4. 计算卡方统计量：卡方统计量用于衡量观察到的数据与期望数据之间的差异程度。
计算公式为：χ2 = Σ（（观察频数- 期望频数）^2 / 期望频数）。
其中，Σ表示对所有单元格进行求和。
5. 设定显著性水平：显著性水平α为决策的临界点，用于决定是否拒绝零假设。
通常，α的常见选择为0.05或0.01。
6. 判断和解释结果：根据计算出的卡方统计量与临界值进行比较，如果计算出的卡方值大于临界值，拒绝零假设，认为两个变量之间存在关联；反之，接受零假设，认为两个变量是独立的。
独立性检验的结果常常以卡方统计量和p值的形式呈现。
p值是在零假设成立的条件下，观察到的数据与期望数据之间差异的概率。
《§118 独立性检验》教学讲解课件
（教学讲解课件）
结构性特征值的作用
①频率：……
② 3δ原则：参《选修2-3》P：79～80
已知某组数据Y1,Y2,Y3,……的平均值为μ,标准差为σ 则在正常状态下，可以认为：
①数值Yi分布在区间（μ-σ, μ+σ)内的概率为0.6826 ②数值Yi分布在区间(μ-2σ, μ+2σ)内的概率为0.9544 ③数值Yi分布在区间(μ-3σ, μ+3σ)内的概率为0.9974
3.独立性检验的基本思想：
与反证法很类似 S1：先假设两个变量之间独立(没有关系): S2：然后根据小概率事件原理
检验“假设”是否具有“矛盾”
4.回归分析与独立性检验的区别：
①回归分析重在分析两变量是否具有因果关系 ②独立性检验重在分析两变量是否相互影响
一、有关概念： 二、独立性检验的简介： 三、检验独立性的方法：
<一>.频率法： <二>.等高条形图法： <三>.卡方检验：
1.卡方检验简述： 2.操作步骤及三个细节： 3.书写格式：
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
(独立性检验)
概率 计数
回归分析重在分析两变量是否具有因果关系 相关分析重在分析两变量是否相互影响 (独立性检验)
法1：散点图法：
3.拟合效果的判定：
法2：残差法：
①残差图法： ②残差平方和法：
法3：相关指数R2法：
误差 e (Error)
残差 ＝真实值－预报值 yi yˆi 点(个体)误差 偏差 ＝真实值－均值 yi y
回归差 ＝预报值－均值 yˆi y
随机(整体)误差
独立性检验-高中数学知识点讲解
独立性检验
1．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量和之间没有关系，通过计算值，然后查表对照相应的概率，发现这种假
X Y K2 P
设正确的概率很小，从而推翻假设，最后得出和之间有关系的可能性为，也就是“和有关P X Y （1﹣P）X Y 系”．（表中的就是的观测值，即）．
k K2 k＝K 2
其中（考试给出）
n＝a b c d
3、列联表：
2 2
4、范围：；性质：越大，说明变量间越有关系．
K2 （0，）K 2
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出列联表；
2 2
（2）根据列联表中的数据，计算的观测值；
2 2 K2 k
（3）通过观测值k 与临界值k 比较，得出事件有关的可能性大小．
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独立性检验原理
独立性检验原理
一、独立性检验原理
独立性检验是一种统计学方法，用来检验两个变量之间是否具有某种特定的关联。
这种检验通常被称为卡方检验，也称为假设检验，可用于衡量总体比例的差异。
独立性检验的原理是基于卡方检验的假设。
卡方检验是一种假定检验，由卡方分布检验构成，它主要对两个及以上的分类字段进行检验，以确定两个或多个字段是否存在某种统计关联。
此外，在独立性检验中，被检验的时间变量不能过剩或不足。
检验的内容取决于所检验的变量是多变量还是单变量。
如果是多变量检验，可以分析多个变量之间的时间关系；而如果是单变量检验，则只能测量单变量之间的关系。
独立性检验也是针对总体比例的，因此它可以用于衡量独立变量和因变量间的关系。
例如，独立性检验可用于测量某种健康行为的总体比例，以及分析事件发生的不同国家或地区之间是否具有某种统计关联性。
另外，独立性检验也可用于分析多项结果之间具有相互影响的概率，以及分析某种疾病的发病率。
例如，它可以用于确定一个人决定一种某种疾病发病的概率是否与另一个人的不同因素（例如性别）有关。
8.3.2独立性检验(解析版)
独立性检验【学习目标】1.了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用2.理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中K2的含义及其实施步骤【自主学习】知识点独立性检验(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．(2)K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.(3)独立性检验的具体做法①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.②利用公式计算随机变量K2的观测值k.③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.【合作探究】探究一 有关“相关的检验”【例1】某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？解 判断方法如下：假设H 0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H 0成立，则K 2应该很小． ∵a ＝21，b ＝23，c ＝6，d ＝29，n ＝79， ∴K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝79×（21×29－23×6）244×35×27×52≈8.106.且P (K 2≥7.879)≈0.005即我们得到的K 2的观测值k ≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．归纳总结：(1)利用K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）求出K 2的观测值k 的值．再利用临界值的大小来判断假设是否成立．(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．【练习1】为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据：判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？ 解 由公式得K 2的观测值k ＝189×（64×73－22×30）286×103×95×94≈38.459.∵38.459＞10.828，∴有99.9%的把握说学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的．探究二 有关“无关的检验”【例2】为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？ 解 列出2×2列联表代入公式得K 2的观测值k ＝361×（138×52－73×98）2236×125×211×150≈1.871×10－4.∵1.871×10－4＜2.706，∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．归纳总结：运用独立性检验的方法：(1)列出2×2列联表，根据公式计算K 2的观测值k . (2)比较k 与k 0的大小作出结论．【练习2】第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． (1)根据以上数据完成以下2×2列联表：(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？ 解 (1)(2)假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得： K 2＝30×（10×8－6×6）2（10＋6）（6＋8）（10＋6）（6＋8）≈1.157 5＜2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．探究三 独立性检验的基本思想【例3】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表： 甲厂乙厂(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2＝1 000×（360×180－320×140）2500×500×680×320≈7.353＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．归纳总结：(1)解答此类题目的关键在于正确利用K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）计算k 的值，再用它与临界值k 0的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．(2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握．【练习3】下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．解 (1)假设H 0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：K 2的观测值k ＝830×（52×218－466×94）2146×684×518×312≈54.21，∵54.21＞10.828，所以拒绝H 0.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得2×2列联表：此时，K 2的观测值k ＝86×（5×22－50×9）14×72×55×31≈5.785.由于5.785＞5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定.课后作业A组基础题一、选择题1．经过对K2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k>3.841时，我们() A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为X与Y有关B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为X与Y无关C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下可认为X与Y有关D．没有充分理由说明事件X与Y有关系【答案】A2．用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值() A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关【答案】B3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2的观测值k＝7.097，则这两个变量间有关系的可能性为()A．99% B．99.5%C．99.9% D．无关系【答案】A解析K2的观测值6.635<k<7.879，所以有99%的把握认为两个变量有关系．4．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B解析①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A 与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：根据以上数据，可得出()A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的【答案】B解析由K2＝407×（32×213－61×101）293×314×133×274≈0.164<2.706，即没有把握认为种子是否经过处理跟是否生病有关． 二、填空题 6．根据下表计算：K 2的观测值k ≈________(保留3位小数)． 【答案】 4.514解析 k ＝300×（37×143－85×35）2122×178×72×228≈4.514.7．如果K 2的观测值为6.645，可以认为“x 与y 无关”的可信度是________． 【答案】 1%解析 查表可知可信度为1%.8．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到K 2的观测值k ≈9.643，根据临界值表，有________把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关． 【答案】 99.5%解析根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．9．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈________(小数点后保留三位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．【答案】 4.8825%解析由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．三、解答题10．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得数据，试问：在出错概率不超过0.025的前提下，能否判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”？解依题意，计算随机变量K2的观测值：k ＝913×（478×24－399×12）2490×423×877×36≈6.233>5.024，所以在出错概率不超过0.025的前提下，可以判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．11．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：请问喜欢吃零食与性别是否有关？解K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），把相关数据代入公式，得 K 2的观测值k ＝85×（5×28－40×12）217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”． 12．在某校对有心理障碍学生进行测试得到如下列联表：试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？解 对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量K 21，K 22，K 23.其观测值分别为k 1，k 2，k 3.由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表可得k 1＝110×（5×60－25×20）30×80×25×85≈0.863<2.706，同理，k 2＝110×（10×70－20×10）230×80×20×90≈6.366>5.024，k 3＝110×（15×30－15×50）230×80×65×45≈1.410<2.706.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为说谎与性别有关，没有充分的证据显示焦虑、懒惰与性别有关．B组能力提升一、选择题1.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：0010并计算得到219.05K≈，下列小波对地区A天气判断不正确的是（）A. 夜晚下雨的概率约为1 2B. 未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为5 14C. 有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关D. 出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨【答案】：D【分析】把频率看作概率，即可判断,A B的正误；根据独立性检验可判断,C D的正误，即得【答案】.【详解】由题意，把频率看作概率可得：夜晚下雨的概率约为252511002+=，故A正确；未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为255254514=+，故B正确；由219.0510.828K≈>，根据临界值表，可得有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故C正确；故D错误.故选：D.2.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的（）附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【答案】：D 【分析】由题意()26.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解.【详解】由题意27K =，()26.6350.01P K ≥=，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关. 故选：D.3.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22⨯列联表：由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++算得，22110(40302020)7.860506050χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.附表：参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．【答案】：C【分析】根据给定的2K的值，结合附表，即可得到结论.【详解】由22110(40302020)7.8 6.63560506050χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关.故选：C.4.在一次独立性检验中得到如下列联表：若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是() A. 200 B. 720C. 100D. 180【答案】：B 【分析】令2k 的观测值为零，解方程即得解.【详解】当a ＝720时，k ＝0，易知此时两个分类变量没有关系． 故【答案】为B5.（多选题）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A. 25 B. 45C. 60D. 75【答案】：BC 【分析】设男生的人数为()5n n N*∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值.【详解】设男生的人数为()5n n N*∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<，即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选：BC. 二、填空题6.某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()20P K k ≥0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.841 6.635 7.879 10.828【答案】：有依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以，而，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.7.给给给给给给给 给线性回归方程y bx a =+必过点(),x y ；给相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱； ()22200606040408100100100100K ⨯-⨯==⨯⨯⨯87.879>给相关指数2R 越接近1，表明回归的效果越好；给在一个2×2列联表中，由计算得2K 的观测值k =13.079，则有99%以上的把握认为这两个变量之间没有关系；给设有一个线性回归方程35y x =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位. 其中正确的说法有 （填序号）．【答案】：给给对于给，应该是相关系数r 的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱.所以它是错误的.对于给，应该是有99%以上的把握认为这两个变量之间有关系.对于给，应该是变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位.故填给给.三、解答题8.随着现代教育技术的不断发展，我市部分学校开办智慧班教学，某校从甲乙两智慧班各随机抽取45名学生，调查两个班学生对智慧课堂的评价：“满意”与“不满意”，调查中发现甲班评价“满意”的学生人数比乙班评价“满意”的学生人数多9人，根据调查情况制成如下图所示的2×2列联表：（1）完成2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为评价与班级有关系？（2）从甲乙两班调查评价为“不满意”的学生中按照分层抽样的方法随机抽取7人，现从这7人中选派3人到校外参加智慧课堂研究活动，求其中至少有2人选自乙班学生的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】：（1）表格见解析，有97.5%的把握认为评价与班级有关系；（2）67. 【分析】 （1）首先根据题意填写22⨯列联表，再计算2 5.031 5.024=>K 即可得到结论.（2）首先根据题意得到甲班选取2人，乙班选取5人，再计算概率即可.【详解】（1）完成列联表如下：2290(3915306)=5.031 5.024********⨯-⨯=>⨯⨯⨯K . 所以有97.5%的把握认为评价与班级有关系.（2）抽样比17213==，甲班选取2人，乙班选取5人，则1232553767C C CpC+==.9.盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个．（1）若每个盲盒装有A、B、C三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%．请根据以上信息填写下表，并分析是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验．①请用4、5、6周的数据求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（注：()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？③如果通过②的检验得到的回归直线方程可靠，我们可以认为第2周卖出的盒数误差也不超过2盒，请你求出第2周卖出的盒数的可能取值；如果不可靠，请你设计一个估计第2周卖出的盒数的方案．【答案】：（1）29；（2）表格见解析，有95%把握认为购买该款盲盒与性别有关；（3）给2.514.5y x=+；给是可靠的；给第2周卖出的盒数的可能值为18、19、20、21．【分析】（1）用列举法写出所有基本事件，再从中找出满足要求的基本事件，用古典概型的公式即可求得结果；（2）通过计算，完成列联表，再计算出观测值2 4.714k ≈，比表中0.05所对应的数据3.841大，故得出结论“有95%把握认为购买该款盲盒与性别有关”；（3）给将第4、5、6周的数据代入公式，计算出b 和a ，写出回归直线方程；给将第1、3周的数据代入给所求出的回归直线方程进行检验，该方程可靠；给将2x =代入给所求出的回归直线方程，解得19.5y =，根据可靠性的要求，以及该应用题的实际要求，得出第2周卖出的盒数的可能取值.【详解】解：（1）由题意，基本事件空间为{}(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A C B A B B B C C A C B C C Ω=，其中基本事件的个数为9，设事件D 为：“他恰好能收集齐这三种样式”，则()(){},,,D B C C B =，其中基本事件的个数为2， 则他恰好能收集齐这三种样式的概率29P =； （2）22200(40702070) 4.7141109060140k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 又因为4.714 3.841>，故有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；（3）给由数据，求得5x =，27y =，由公式求得 222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5(45)(55)(65)2b --+--+--==-+-+-， 527514.52a =-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为 2.514.5y x =+；给当1x =时， 2.5114.517y =⨯+=，17162-<，同样，当3x =时， 2.5314.522y =⨯+=，22232-<，所以，所得到的线性回归方程是可靠的；给由给可知回归直线方程可靠，2x =时 2.5214.519.5y =⨯+=，设第二周卖出的盒数为()n n N ∈，则19.52n -≤，≤≤，n17.521.5给n能取18、19、20、21，即第2周卖出的盒数的可能值为18、19、20、21．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，独立性检验的实际应用，线性回归直线方程的求解及实际应用问题，综合性较强.10.阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：（1）完成如下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本. （i ）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望.参考数据：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 【答案】：(1)见解析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解析【分析】（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）文科生与理科生的比为310，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望.【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：计算222()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯=（人），理科生人数是70107100⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，则0337310C C 7(0)C 24P X ===⋅， 1237310C C 21(1)C 40P X ===⋅， 17213307(2)40C C P X C ⋅===， 3037310C C 1(3)C 120P X ===⋅. 其分布列为所以72171369()01232440401204010E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.31。
考点43 独立性检验
统计案例了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题.1．22⨯列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为12{}x x ,和12{}y y ,，其样本频数列联表(22⨯列联表)如下：1y2y总计1x a b a ＋b 2xc d c ＋d总计a ＋cb ＋da b c d +++2．独立性检验利用随机变量2K (也可表示为2χ)2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出22⨯列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查下表确定临界值k 0：20()P K k ≥ 0.500.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．【注意】(1)通常认为 2.706k ≤时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．考向一两类变量相关性的判断已知分类变量的数据，判断两类变量的相关性．可依据数据及公式计算2K，然后作出判断．典例 1 利用独立性检验来考查两个分类变量X和Y是否有关系时,通过查阅下表来确定“X和Y有关k>,那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为系”的可信度.如果 5.024()2>0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 P K kK0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.828 A．25%B．75%C．2.5%D．97.5%【答案】D【名师点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题，根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，从而得到结果．典例2 有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：()2P K k > 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为 A ．99.9%B ．97.5%C ．95%D ．90%【答案】A【名师点睛】本题主要考查独立性检验，意在考查学生对该知识的掌握水平和解决实际问题的能力.把所给的数据代入求独立性检验的观测值的公式，求出观测值，把观测值同独立性检验的临界值表进行比较，得到所求的值大于10.828，得到有99.9%的把握认为看电视与人变冷漠有关系．1．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀 作文成绩一般 总计课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般8 20 28 总计303060由以上数据，计算得到2K 的观测值9.643k ≈，根据临界值表，以下说法正确的是 附：P (K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.05 0.010 0.005k 00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879A ．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关考向二 独立性检验与概率统计的综合独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为中档题，高考中经常是将独立性检验与概率统计相综合进行命题，解题关键是根据独立性检验的一般步骤，作出判断，再根据概率统计的相关知识求解问题.典例3 某中学对高三甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀. （1）试分别估计两个班级的优秀率;（2）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥ 0.400.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010k0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】（1）甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%；（2）列联表见解析，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.（2）22⨯列联表如下：因为22100(30252025)1001.010 1.3235050554599K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.2．高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占25、朋友聚集的地方占310、个人空间占310.美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占35、家占15、个人空间占15.如下表：在家里最幸福在其他场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（1）请将22⨯列联表补充完整，试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（2）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.附：()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P k k≥0.050 0.025 0.010 0.001k 3.841 5.024 6.635 10.8281．观察如图所示的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间有关系的是A．B．C．D．2．在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是A．100个心脏病患者中至少有99人打酣B．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打酣C．在100个心脏病患者中一定有打酣的人D．在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有3．已知两个统计案例如下：①为了探究患肺炎与吸烟的关系，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表：患肺炎未患肺炎总计②为了解某地母亲与女儿身高的关系，随机测得10对母女的身高如下表：则对这些数据的处理所应用的统计方法是 A ．①回归分析，②取平均值B ．①独立性检验，②回归分析C ．①回归分析，②独立性检验D ．①独立性检验，②取平均值4．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是 A ．18a =B ．19b =C ．50c d +=D ．1f e -=5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是 A ．97.5% B ．99% C ．99.5%D ．99.9%6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：附：参考公式及数据： (1)统计量：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(2)独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 7．假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表为：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为 A ．5,35b d == B ．15,25b d == C ．20,20b d ==D ．30,10b d ==参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.8．某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下22⨯列联表：根据表中数据得到，已知()23.8410.05P K ≥≈，()2 5.0240.025P K ≥≈．现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为A ．97.5%B ．95%C ．2.5%D ．5%9．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为__________． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.10．已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说， k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________．11．一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下22⨯列联表:已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表22⨯补充完整，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.（2）已知在被调查的学生中有6名来自高一(1)班，其中4名喜欢游泳，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰有1人喜欢游泳的概率.附：()()()()()22=n ad bcKa b c d a c b d-++++12．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：1．(2017年高考新课标Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）， 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：P （） 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.2．(2018年高考新课标Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.8281．【答案】D【解析】因为根据临界值表，9.643>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．故选D.【名师点睛】本题考查卡方含义，考查基本求解能力.根据临界值表，确定犯错误的概率即可. 2．【答案】（1）见解析；（2）12.【解析】（1）由已知得：在家里最幸福在其他场所幸福合计中国高中生22 33 55美国高中生9 36 45合计31 69 100∴()22100223693331695545K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1001134.628 3.8413123⨯⨯=≈>⨯，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关.【思路点拨】（1）根据题意填写列联表，计算观测值2K，对照临界值表得出结论；变式拓展（2）用分层抽样方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为123,,,a a a b ，再设“含有在‘个人空间’感到幸福的学生”为事件A ，求出基本事件数，即可求得概率值.1．【答案】D【解析】在等高条形图中，x 1，x 2所占比例相差越大，分类变量x ，y 有关系的把握越大. 故答案为D【名师点睛】（1）本题主要考查通过等高条形图判断两个分类变量是否有关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）在等高条形图中，如果两个分类变量所占的比例差距越大，则说明两个分类变量有关系的把握越大. 2．【答案】D【名师点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． 3．【答案】B【解析】常用独立性检验研究两个分类变量之间是否有关系，常用回归分析研究两个具有相关关系的变量的相关程度，综上可知选B. 4．【答案】D【解析】因为725,625,6,7,50,50a c b d a e b f c d e f +==+==+=+=+=+=， 所以18,19,50,24,26,2a b c d e f f e ==+===-=. 故选D.【名师点睛】本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.先根据列联表列方程组，解得a ,b ,c ,d ,e ,f 再判断各选项. 5．【答案】A考点冲关【解析】由已知可得222()50(2510105) 6.3492()()()()35153020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯， 由临界值表可知2( 5.024)0.025P K ≥=，所以根据表中的数据可以认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是97.5%，故选A. 6．【答案】C【解析】因为2240(141376)202021 4.91192K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈，所以3.841<K 2<6.635，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关． 7．【答案】D8．【答案】D【解析】由题意得2 4.844 3.841K ≈>，而()23.8410.05P K ≥≈，这种判断出错的可能性约为5%，故选D. 9．【答案】99.5% 【解析】因为K 2=()2502015-51025253020⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ≈8.333，且P （K 2≥7.789）=0.005=0.5%．所以，我们有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关．故答案为99.5%.【名师点睛】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到结论. 10．【答案】①②③11．【答案】（1）列联表见解析，可以；（2）815. 【解析】（1）根据条件可知喜欢游泳的人数为3100605⨯=人. 完成22⨯列联表：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计6040100根据表中数据，计算()221004030201016.66710.82860405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.（2）设“恰有一人喜欢游泳”为事件A ，设4名喜欢游泳的学生为1234,,,a a a a ，不喜欢游泳的学生为12,b b ，基本事件总数有15种：1213141112,,,,,a a a a a a a b a b 23242122343132414212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，其中恰有一人喜欢游泳的基本事件有8种：1112212231324142,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b ，所以()815P A =. 【名师点睛】本题考查了独立性检验与运算求解能力，同时考查通过列举法求概率的应用，属于中档题.（1）根据题意计算喜欢游泳的学生人数，求出女生、男生多少人，完善列联表，再计算观测值2K ，对照临界值表即可得出结论；（2）设“恰有一人喜欢游泳”为事件A ，设4名喜欢游泳的学生为1234,,,a a a a ，不喜欢游泳的学生为12,b b ，通过列举法即可得到答案.12．【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关；（2）（i ）经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人；（ii ）910.（2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别记为a ，b ，c ；偶尔或不用共享单车的2人分别记为d ，e .则从5人中选出2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为：(),d e ，共1种， 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 1．【答案】（1）0.62；（2）列联表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）新养殖法优于旧直通高考养殖法.【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2=2 2006266343815.705 10010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（）≈.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.【名师点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为1.（2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和.（3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性.2．【答案】（1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析；（2）见解析；（3）能.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m+==.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式15 5第二种生产方式 5 15。
独立性检验的方法
独立性检验的方法
独立性检验是用来判断两个变量之间是否存在关联或者依赖关系的统计方法。
常见的独立性检验方法有以下几种：
1. 卡方检验（Chi-square test）：用于检验两个分类变量之间的独立性。
它将观察到的频数与期望频数进行比较，判断是否存在显著的差异。
2. Fisher精确检验（Fisher's exact test）：在小样本数据中使用的一种精确方法，用于检验两个分类变量之间的独立性。
该方法不依赖于样本的分布假设，适用于小样本和稀有事件的情况。
3. 独立样本t检验（Independent samples t-test）：用于检验两个组的均值是否存在显著差异。
这种方法适用于两个互不相关的样本。
4. 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）：用于检验多个组之间均值的差异是否显著。
ANOVA分为单因素和多因素两种，前者适用于一个自变量，后者适用于多个自变量的情况。
5. 斯皮尔曼相关系数（Spearman's rank correlation coefficient）：用于衡量两个变量之间的非线性关系。
斯皮尔曼相关系数是一种非参数的方法，适用于顺序变量或非正态分布的变量。
以上是常见的几种独立性检验方法，不同的方法适用于不同的情况和变量类型。
在进行独立性检验时，需要根据实际情况选择合适的方法进行分析。
独立性检验的基本思想课件
独立性检验的常用方法
卡方检验
适用情况
卡方检验主要用于比较观察频率和期望频率之间的差异，常用于检验两个分类变量之间是 否独立。
原理
卡方检验基于假设，即观察频率和期望频率之间的差异是由于随机误差引起的。如果差异 过大，则拒绝原假设，认为两个分类变量之间存在依赖关系。
计算方法
卡方检验的计算方法包括计算卡方统计量、计算自由度和计算p值。卡方统计量越大，说 明观察频率和期望频率之间的差异越大。自由度等于观察频数减去期望频数减去1。p值 表示拒绝原假设的依据，通常选择0.05作为显著性水平。
计算方法
Fisher's exact test的计算方法包括选择显著性水平、计算超几何分布函数和计算概率值。超几何分布函 数的参数包括观察频数、期望频数和总样本量。
McNemar's test
01
适用情况
McNemar's test主要用于分析两个配对分类变量之间的 关联性，例如同一受试者在不同时间点的测试结果。
独立性检验的发展趋势与未来展望
发展新的统计方法
针对独立性检验的局限性，未来研究可开发新的统计方法 ，提高检验效能和可靠性。
01
结合大数据技术
利用大数据技术，对海量数据进行独立 性检验，可更全面地揭示变量之间的关 系。
02
03
跨学科交叉
将独立性检验与其他学科领域相结合 ，如机器学习、人工智能等，可为其 提供新的应用场景和发展空间。
05
独立性检验的实例分析
两个分类变量的相关性分析
总结词
通过观察两个分类变量之间的相互关系，确 定它们之间是否有联系。
详细描述
在独立性检验中，我们需要观察两个分类变 量之间的关系。例如，我们可以观察吸烟习 惯和患肺癌的可能性之间的关系。通过分析 这些数据，我们可以得出吸烟习惯和患肺癌 之间是否有联系的结论。
独立性检验
1.定性变量与定量变量： 2.2×2 列联表：
二、独立性检验的简介： 三、检验独立性的方法：
1.频率法： 2.等高条形图法： 3.卡方检验：
(1)卡方检验简述： (2)操作步骤及三个细节： (3)书写格式：
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
超几何分布与二项分布的关联
以下三种情况，按照二项分布来处理
频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
四大分布之间的关联图
正态分布
连续 二项分布 N →+∞ 超几何分布
(总数充分大) n=1
0—1分布
当
M N
1 10
1 100
,实际操作时,用二项分布近似来代替
正态分布的性质
1.对称性
f (x) , (x)
法3：相关系数 r 法 (参《必修3》P：92～93) 法4：关系式法:
主要是利用回归方程…… 法5：数表法:
主要观察是否具有单调性……
法3：相关系数 r ——衡量变量之间相关程度的指标
(1)计算公式：r
(2)性质：
n
(xi x)( yi y)
i1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
1
( x )2
e 2 2
2
2.渐近性
正态曲线是钟型 指数二次组合体
3.最大值 4.面积为1
要求概率求面积 左小右大总为 1 均值中众对称轴 比较方差武大郎 前数期望后方差 平方去π同上母
5.期望为μ，方差为δ2
小概率事件原理
一般的，当P(A)≤0.05(或0.01)时 可以认为在一次试验中事件A几乎是不可能发生的 但在多次重复试验中几乎是必然发生的
独立性检验（卡方检验）
独⽴性检验（卡⽅检验）
独⽴性检验(Test for Independence)是根据频数来判断两类因⼦是彼此独⽴还是彼此相关的⼀种假设检验。
假如对某⼀个数据集有X（值域为x1, x2）跟Y（值域为y1, y2）变量，下⾯是他们的频数表：
x1x2汇总
y1a b a+b
y2c d c+d
汇总a+c b+d n = a+b+c+d
我们可以使⽤独⽴性检验来了解变量x与y是否有关系，并且能较准确的给出这种判断的可靠程度。
具体做法是由上⾯的频数表计算出随机变量K2的值：
其中K⽅的值越⼤，说明变量X与变量Y有关系的可能性越⼤。
当频数表中a、b、c、d的值都不⼩于5的时候，可以查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度：
P(K^2≥k)0.50.40.250.150.1
k0.4550.708 1.323 2.072 2.706
P(K^2≥k)0.050.0250.010.0050.001
k 3.841 5.024 6.6357.87910.828
我们为什么不能只凭列联表中的数据和由其绘出的图形得出两个变量是否有关系的结论呢？由列联表可以粗略地估计出两个变量（两类对象）是否有关(即粗略地进⾏独⽴性检验)，但2×2列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要⽤独⽴性检验的⽅法确认所得结论在多⼤程度上适⽤于总体。
独立性检验的基本概念
独立性检验的基本概念
独立性检验是统计分析的一种方法，用来检测两个或多个事件之间的关系。
它通过测量两个变量之间的相关性来判断两个变量是否是独立的或是有因果关系的。
独立性检验中所涉及到的变量一般是分类变量，有可能变量之间存在某种因果关系，也可能不存在某种因果关系，因此这一类检验推断的重点在于检验两个分类变量之间是不是独立的，也就是说检验这两个变量之间是否有某种因果关系。
对于独立性检验，实际上是以针对某个总体的统计检验为基础的。
当在一组非相关的观测值中发现有某些潜在的统计联系时，就可以用独立性检验具体地分析这一统计联系，用来推断是否有某藸v某种因果关系。
此外，还可以用独立性检验来检验某个统计假设是否成立。
有一些独立性检验的常用的方法，比如卡方独立性检验，可以用来检验分类变量之间的关系。
卡方检验的过程是，首先推论一个假设，比如说变量A和变量B之间没有互相关联，而将实际发现的值和理论期望值相比较，以确定它们是否相关。
继而能够判断出两个变量是否有某种因果关系，也即独立性是否成立。
总之，独立性检验是一种衡量两个变量之间是否存在因果关系的常用方法，其中最常用的方法是卡方独立性检验，可以通过比较实际发现的值和理论期望值来判断两个变量是否是相关的，以决定两个变量之间是否有某种因果关系。
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独立性检验基础训练题 姓名： 分数：1．独立性检验中的统计假设就是假设两个事件A 、B （ ）A 互斥B 不互斥C 相互独立D 不独立2．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就 ( )A. 越大B. 越小C.无法判断D. 以上都不对3．2010年3月26日，韩国军舰“天安”号发生不明原因爆炸事故离奇沉没，5月20日韩国军民联合调查团公布的调查结果说天安舰是遭受朝鲜小型潜水艇发射的鱼雷攻击而沉没的。
对此，许多网民表达了自己的意见，有的网友进行了调查，在参加调查的4258名男性公民中有2360名认为是朝鲜所为，3890名女性公民中有2386人认为朝鲜是遭陷害，在运用这些数据说明天安舰事件中朝鲜是否冤枉时用什么方法最有说服力？（ ） A 平均数 B 回归分析 C 独立性检验 D 方差 4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y 有关系”的可信度。
如果k>5.024,那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为A.25％B.75％C.2.5％D.97.5％5．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为},{21x x 和},{21y y ，其２×２列联表为：A ．5=a ，4=b ，3=c ，2=dB ．5=a ，3=b ，4=c ，2=dC ．2=a ，3=b ，4=c ，5=dD ．2=a ，3=b ，5=c ，4=d 6．考察玉米种子经过药物处理跟生病之间的关系得到如下表数据：A. 玉米种子经过药物处理跟是否生病有关;B. 玉米种子经过药物处理跟是否生病无关;C. 玉米种子是否经过药物处理决定是否生病;D.以上都是错误的.7．对长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A. 若2K的值大于6.635,我们有99%的把握认为长期吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，那么在100个长期吃含三聚氰胺的三鹿奶粉的婴幼儿中必有99人患有肾结石病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系时，我们说某一个婴幼儿吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉，那么他有99%的可能患肾结石病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吃含三聚氰胺的三鹿婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确。
8 1 000人，调查结果如下表所示：根据上述数据，试问色盲与性别关系是（）A. 相互独立B.不相互独立C. 有99.9％的把握认为色盲与性别无关D. 只有0.1％的把握认为色盲与性别有关9根据表格提供的数据，估计“成绩与班级有关系”犯错误的概率约是（）A.0.4B. 0.5C. 0.75D.0.8510．高中学生中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”。
下表是一次针对高二文科学生的调查所得的数据，得出的结论是（）A.有99%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
B. 有97.5%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
C. 有95%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
D. 有90%的把握说文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关。
11．下列变量中不是分类变量的是( )A．近视B．成绩C．性别D．饮酒12．下面是一个2×2列联表：则表中a、b处的值分别为( )A．94、96 B．52、50C．52、60 D．54、5213．下列说法正确的个数是( )①对事件A与B的检验无关时，即两个事件互不影响②事件A与B关系越密切，则K2就越大③K2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据④若判定两个事件A与B有关，则A发生B一定发生A．1 B．2C．3 D．414根据以上数据，可得出( )A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的15．下列说法中错误的是( )A．有时可以把分类变量的不同取值用数字表示，但这时的数字除了分类以外没有其他含义B．在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种方法C．在进行独立性检验时，可以先利用三维柱形图和二维条形图粗略地判断两个分类变量是否有关系D．通过三维柱形图和二维条形可以精确的给出所得结论的可靠程度16．下列关于随机变量K2的说法正确的是( )A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，说明“两个变量有关系”成立的可能性越大C．当K2的值很小时可以推定两个分类变量不相关D．K2的观测值k的计算公式为17．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )A.aa＋b与dc＋dB.ca＋b与ac＋dC.aa＋b与cc＋dD.aa＋b与cb＋c18(2011·中山四校联考、湖南六校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：A．甲B．乙C．丙D．丁19．(2011·西安模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误A．①B．①③C．③D．②20某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得≈3.918，经查对临界值表知P(≥3.841) ≈0.05．则下列结论中，正确结论的序号是A有95 %的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒C这种血清预防感冒的有效率为95 %D这种血清预防感冒的有效率为5%独立性检验基础训练题姓名：分数：1．若由一个2×2列联表中的数据计算得有95%的把握认为两个变量有关系．那么K2的取值范围为________．K≈,并且已知2．通过计算高中生的性别与喜欢唱歌列联表中的数据,得到2 4.98 2P K≥≈那么可以得到的结论是( 3.841)0.05,3．下面是一个2×2列联表则表中a、b处的值分别为，则K=5.研究人员选取170名高二学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的22名，否定的38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．你有的把握认为性别与态度之间存在某种关系.6．当χ2>2.706时，就有________的把握认为“x与y有关系”．7．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，则χ2≈__________.(结果保留3位小数)8．分类变量X和Y．(填序号)①ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱；②ad－bc越大，说明X与Y的关系越强；③(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强；④(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强．9．通过随机询问110由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是________．①在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”； ②在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”； ③有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； ④有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．10．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，则有________的把握确定吸烟量与年龄有关．11设H 0：从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________． 12．为了考察高中生学习语文与数学之间的关系，在某中学学生中随机地抽取了610名学生得到如下列表：成绩之间有关系．13．若由一个2×2列联表中的数据计算得K 2＝4.013，则两个变量有关系的概率为________． 14．随机变量χ2的值越大，说明两个分类变量间有关系的可能________．15．某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下：χ2≈4.844，因为χ2>3.841，所以可判定选修统计专业与性别有关．那么这种判断出错的可能性为________． 16．若两个分类变量X 和Y 的列联表为：则X 与Y 17．χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1＋n ＋2，用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H 0，如果x 2值较大，就拒绝H 0，即拒绝________．18．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表：19．下列说法正确的有________．①对事件A 与B 的检验无关时，即事件A 与B 互不影响． ②事件A 与B 关系越密切，则χ2就越大．③χ2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据． ④若判断事件A 与B 有关，则A 发生，B 一定发生．20设H 0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2的值约为________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．独立性检验基础训练题姓名：分数：1、某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语，2、打鼾不仅影响别人休息，而且还可能与患某种疾病有关，在某一次调查中，其中每一晚都打鼾的254人中，患心脏病的有30人，未患心脏病的有224人；在不打鼾的1379人中，患心脏病的有24人，未患心脏病的有1355人，利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗？3、某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，根据此资料，你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关？4、在一次恶劣气候的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人。