二次函数绝对值问题

二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。

二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。

一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。

它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析（1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论：（i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。

（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。

本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。

二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。

例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。

二次函数绝对值问题题

1、已知函数2||)(2+-+=a x x x f .（1）讨论函数)(x f 的奇偶性；（2）求函数)(x f 的最小值【答案】（1）0a =函数为偶函数0a ≠非奇非偶函数（2）()22117,2(),24x a f x x x a x a ≥=++-=++- ()22217,224x a f x x x a x a ⎛⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭ 2min 71,4211()2,2271,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩2、已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈（Ⅰ）当1a =时，求使()f x x =成立的x 的值;（Ⅱ）当()0,3a ∈，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值【答案】（Ⅰ）1x =…………4分（Ⅱ）当()()()2211x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥⎪=⎨-+<⎪⎩…………6分当()[]()()max 01,1,21a f x f x f a <≤==时在上递减，故；…………8分当()[][]()()max 12,1,,21a f x a a f x f a <<==时在上递增，上递减，故； (10)分()()()max 23,1,,22222130,25222a a a a f x a a a f x f a ⎡⎤⎡⎤≤<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫---=->==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时在上递减，上递增，且x=是函数的对称轴，由于表明： …………14分综上：()(01)1(12)52(23)a a f x a a a <≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤<⎩3、已知()21f x x mx =++，若()3f x ≤在(]0,1上恒成立，求实数m 的取值范围【答案】法1：利用分离变量42x m x x x ⎛⎫-+≤≤- ⎪⎝⎭ 51m ∴-≤≤ 法2：分类讨论函数图像（1）02m -≤时()13f ≤01m ∴≤≤ （2）12m -≥时()13f ≤52m ∴-≤≤- （3）012m <-<时()13,32m f f ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭20m ∴-<<4、已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点(1,13)，且函数对称轴方程为12x =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数2()()13g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求()g x 在区间[,2]t 上的最小值()H t 【答案】（1）∵ 2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，∴ 1b =． ……… 2分又2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），∴ 113b c ++=，∴ 11c =．∴ ()f x 的解析式为2()11f x x x =++． ………………………………………… 4分（2）由：（1）得：22(1)1,(0),()(2)||(1)1,(0).＝x x g x x x x x ⎧--≥=-⋅⎨--+<⎩ …………… 6分结合图象可知：当12t ≤<，2min ()2g x t t =-；当11t ≤<，min ()1g x =-；当1t <-2min ()2g x t t =-+．……………………………… 9分∴ 综上：222,()1,2,t t H t t t ⎧-⎪=-⎨⎪-+⎩(12),(11),(1t t t ≤<-<<- ……………………………………… 11分5、（15嘉兴文基础测试20）已知函数()221()f x x mx m R =-+∈（1）若2m =，[]0,3x ∈，求()()max min D f x f x =-的值（2）若[]0,2x ∈时，()8f x ≤恒成立，求m 的取值范围【答案】（1）4，（2）当0,m <()f x 在[]0,2上递增，()32804f m ≤∴-≤< 当02,m ≤≤()f x 在[]0,m 上递减，[],2m 上递增()()833428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨≤⎪⎩ 当2,m >()f x 在[]0,2上递减()132824f m ≥-∴<≤ 综上所述：31344m -≤≤。

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。

而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。

在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。

首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。

接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。

这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。

现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。

假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。

首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。

对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。

情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。

这可以通过求导数的方式来实现。

我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。

然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。

我们将这个最大值命名为M。

因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。

含绝对值的二次函数解题策略

：
例５称满足以下两个条件的有穷数列０，０，
…
０，有。。＋
：。＋。：０，由于
，
口为ｎ（凡＝２，３，４， … ）阶“ 期待数列” ： ①０＋口：
ｄ＞０，且Ⅱ ＋口＝０得０＜０，０＞０．由① 、 ②
×２ｏ１４＝１．所以数列｛。｝为２０１４阶“ 期待数
列” ．
（２）若ｇ＝１，由得，口１。２ｋ＝０，得０１＝０，
８０４０，两式相减得４ｃ一３ｃ＝０．所以｛ｃ｝＝
２０１０（｝），经检验，此通项公式满足４Ｓ＋１ — ３Ｓ
・
３０・
中学数学研究
２０１５第４期
答较困难．引导学生对高三复习经典题型进行探究与解题思想归类，有助于开拓学生思维，培养学生思
问题转化为两函数图像有公共点问题，是解决方程
根的分布情况的常用方法之一，但在操作过程中要
； ∈Ⅳ ）阶“ 期待
｝的通项公式一 … … …
＿１）
一
、
２ｋ
州・古＝．
㈩＝
．
评注：本题考查对新概念“ 期待数列”的理解及
其性质的应用．其背景新颖，注重考查创新意识及思
｛
维层次，是一道具有选拔性的好题．
１・
两式相减得

绝对值二次函数

例6、设函数f ( x ) x 2 | 2 x a | (a为常数) (1)若f ( x )为偶函数，求实数a的值 (2)设a 2, 求函数f ( x )的最小值
Байду номын сангаас
含绝对值的二次函数
例1：已知函数f ( x ) x 2 | x | 2与y m有4个零点，求m的取值范围
变式：直线y 1与曲线y x 2 | x | a有4个交点，求实数a的取值范围
变式：已知函数f ( x ) | x 2 2 x a | 与y 3有四个交点，求a的取值范围
变式：偶函数f ( x )在[0, )上为减函数，不等式 f (ax 1) f (2 x )恒成立，求实数a的取值范围
2
1 例4：已知函数f ( x ) | x 2 x | a在R上有4个零 2 点x1 , x2 , x3 , x4 (互不相同)
2
(1)求x1 +x2 +x3 +x4的值 (2)求x1 x2 x3 x4的范围
例2：函数f ( x ) x | x m | 2 x 3在R上单调递增，求m的取值范围
变式：设函数f ( x ) x 2 | x 2 ax 9 | (a为实数)，在区间( , 3)和(3, )上单调递增，求实数a 的取值范围
例3：已知函数f ( x ) x | x |,当x [a , a 1]时，不等式 f ( x 2a ) f (4 x )恒成立，求实数a的范围
例5、已知函数f ( x ) x 2 2ax 5(a 1), 若f ( x )在区间 ( , 2]上是减函数，且对任意的x1 , x2 [1, a 1], 总有 | f ( x1 ) f ( x2 ) | 4, 求实数a的取值范围

二次函数中的a的绝对值

二次函数中的a的绝对值
二次函数是一种有广泛应用的函数，也叫做二次形式。

它由一个参数构成，其中参数a可以是任意数值。

一般来说，a的绝对值能够用来决定一个二次函数的特点。

本文将对a的绝对值的影响进行介绍。

首先，要理解a的绝对值，需要回顾一下标准的二次函数的形式：y=ax²+bx+c。

在这个函数中，参量a就是绝对值。

这样，a的绝对值就决定了函数的特点，也就是
决定了函数图像的一般形状。

如果a是正数，这说明变量x与y成正比，因此函数图像开口朝上，即为凸函数。

而如果a是负数，这就表明变量x与y成反比，函数图像开口就朝下，即为凹函数。

这就是a的绝对值对函数图像的影响。

另外，a的绝对值也影响函数的极限值。

如果a的绝对
值越大，就会使函数的极限值越大，反之亦然，a的绝
对值越小，函数的极限值也越小。

因此，a的绝对值能
够影响函数的极限值，也就是函数曲线的上升或下降。

最后，a的绝对值还能影响函数的极值点，也就是说，
a的绝对值能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。

如果a的绝对值大于0，函数就会具有极大值和极小值，反之亦然，a的绝对值小于0，就不具有极大值和极小值。

总之，a的绝对值对二次函数影响十分重要，它能够决
定函数的特点，以及函数曲线是否具有极大值和极小值。

以下是了解a的绝对值所需知道的几点：它能够决定函数曲线开口朝上还是朝下，它能够决定函数的极限值大小，以及它能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。

二次函数绝对值的问题练习及答案

二次函数绝对值的问题练习及答案二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明例1 设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈ （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求()f x 的最小值解；（1）0a =时，()f x 为偶函数0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）22222131,24()||1131,24x x a x a x af x x x a x x a x a x a ⎧⎛⎫+-+=++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=+-+=⎨⎪⎛⎫-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩当()min 13,24a f x a≤-=- 当()2min 11,122a f x a -<<=+ 当()min 13,24a f x a≥=+例2 已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.解：（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得0a <.（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减，在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递增，在[1,2]上递减，故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =. 综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.练习：1. 已知函数2||)(2+-+=a x x x f . （1）讨论函数)(x f 的奇偶性；（2）求函数)(x f 的最小值 2. 已知函数()221()f x x mx m R =-+∈（1）若2m =，[]0,3x ∈，求()()max minD f x f x =-的值（2）若[]0,2x ∈时，()8f x ≤恒成立，求m 的取值范围3. 已知函数|21|21)(2a x x x f -++=，其中a 是实数.（1）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最小值为221a，求a 的值答案：1.（1）0a =函数为偶函数0a ≠非奇非偶函数（2）()22117,2(),24x a f x x x a x a ≥=++-=++-()22217,224x a f x x x a x a⎛⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭2min 71,4211()2,2271,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩2.（1）4（2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置当0,m <()f x 在[]0,2上递增，()32804f m ≤∴-≤<当02,m ≤≤()f x 在[]0,m 上递减，[],2m 上递增()()833428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨≤⎪⎩当2,m >()f x 在[]0,2上递减()132824f m ≥-∴<≤综上所述：31344m -≤≤3.（1）①当21=a 时，||21)(2x x x f +=，有)()(-x f x f =，所以)(x f 为偶函数；②当21≠a 时，0|21|)0(≠-=a f ，所以)(x f 不是奇函数；又因为2)12(21)1-2(-=a a f ，而|21|2)12(21)2-(12a a a f -+-=，即)12()2-(1-≠a f a f ，所以)(x f 不是偶函数；综上，当21≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数.（2）2213(1)2,2122()11(1)2,2122x a x a f x x a x a ⎧--+<-⎪⎪=⎨⎪++-≥-⎪⎩①若112-≤-a ，即0≤a ，当]1,1[-∈x 时，a x a x x x f 221)1(212121)(22-++=-++=，故)(x f 在]1,1[-上递增，所以=-=-=a f x f 221)1()(min 221a ，得52--=a .②若112≥-a ，即1≥a ，当]1,1[-∈x 时，a x a x x x f 223)1(212121)(22+--=+--=，故)(x f 在]1,1[-上递减，所以=+-==a f x f 223)1()(min 221a ，得1=a 或3=a .③若1121<-<-a ，即10<<a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--++-<≤-+--=)112(221)1(21)121(223)1(21)(22x a a x a x a x x f故)(x f 在]12,1[--a 上递减，在]1,1[2-a 上递增；所以22min 212122)12()(a a a a f x f =+-=-=，得31=a .综上，52--=a 或31=a 或1=a 或3=a .。

含有绝对值的二次函数最值求解问题

含有绝对值的二次函数最值求解问题作者：夏良娟来源：《新课程学习·中》2013年第05期2009年江苏省高考题最后一题考了含参带有绝对值的二次函数，本质是含有绝对值的二次函数最值求解问题，重点考查了分类讨论、数形结合的思想。

此类题目有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。

在教学过程中，我对这类题目进行了小结，总结了两种方法。

二次函数是最简单的非线性函数之一，它有着丰富的内容，对近代数学乃至现代数学影响深远，与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。

本文通过几个例子，归纳解决这类问题的一些常见题型与基本方法。

例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。

解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a3x2-2ax+a2，x≥a注意函数在x=a处相接，分段时两侧都取闭区间，以防止有一侧无最值。

法一：分段求各部分的最小值，再比较。

当x≥a时，如图1所示。

若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a处取得，f（x）min=f （a）=2a2；若ax=处取得，f（x）min=f（）=a2；当x≤a时，如图2所示。

若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在x=-a处取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a这种方法是大部分学生所喜欢采用的方法，可是做到这里之后就结束了，不知道或不会综合，难以写出最终答案。

由于f（x）分段，故需比较各段上的最小值，可以通过画数轴的方法得出最后的结论。

当a当a≥0时，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.综上，f（x）min=a2，a-2a2，a≥0法二：讨论a的位置，画出完整的对接图形，由图直接得出最小值。

由于对称轴是，-a，它们与a的分界点为a=0。

若不能直接得到，则令=a，-a=a，找到分界点a=0。

一般有两个，此题较特殊，只有一个。

二次函数与绝对值函数2

【二轮复习】再谈含绝对值的二次函数高考题中的函数解答题目前对同学们来说仍是个难点，尤其当出现含绝对值的“二次”函数时，很多同学感觉无从下手，画不出图、找不出分类讨论的依据，本专题就结合大家所研究过的典型例题，进行归类、对比、体验、感悟，期望大家能总结规律，看透本质，攻克此类题。

绝对值的函数的本质是分段函数，常见的是两段（或三段）均为二次函数或一次、二次组合，就从涉及到的抛物线的对称轴条数，对此类题进行归类。

类型一、同轴型（单轴型）例1、求函数2()|3|f x x ax =--（（a 为常数）在[]0,3x ∈上的最大值变式1、已知函数2()|2|f x x x a =-+在[]0,5上的最大值是8，求a 的值变式2、求()||f x x x a =-在[]2,4x ∈时的最大值类型二、异轴型（双轴型）例2、设a R ∈，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值例3、已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈(1) 若f (x )在R 上是增函数，求a 的范围； (2)试求函数f (x )的单调区间； (3)若存在[]2,2a ∈-使方程f (x )－m =0有三个不同的根，求m 的范围(4)若方程有三个不同的根，记为x 1,x 2,x 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围例4、已知函数2()|2|f x x x ax a =-++，求()f x 的最小值类型三、异次混合型例5、定义在R 上的函数2()||(1)f x x x a x =---，1a >-若f (x )在[0,1]上的最大值与最小值分别记为M(a )，N(a )，求g(a )= M(a )—N(a )。

含绝对值的二次函数

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配套精练
方法二：因为 f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx 在(0，4)上有两个不同的零点，所以方程－k＝ |x2－4x|＋x2在(0，4)上有两个不同的解，所以直线 y＝－k 与函数 y＝24xx，－04x＜，x2≤＜2x，＜4 的图象在(0，4)上有两个不同的交点．作出函数 y＝24xx，－04x＜，x≤ 2＜2， x＜4的图象如图所示，由图可知 2＜－k ＜7，即－7＜k＜－2．
含绝对值的二次函数
视角 1 单调性
1 若函数f(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是 ____[_－__2_，__0_]___．
【解析】当 0≤x＜1 时，f(x)＝x2－mx＋m，由 f(x)单调递增，可得m2 ≤0，即 m≤0；当 x≥1 时，f(x)＝x2＋mx－m，由 f(x)单调递增，可得－m2 ≤1，则 m≥－2．
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配套精练
5．已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m＞0，且函数f(x)的值域为[0，4]，则
实数m的取值范围是___[_2_，__2_＋__2__2_]___．
【解析】如图，由函数 f(x)＝x|x－4|的图象可知，当 x＞4 时，令 x|x －4|＝4，即 x2－4x－4＝0，解得 x＝2＋2 2．因为 x∈[0，m]，函数 f(x)的值域为[0，4]，所以实数 m 的取值范围是[2，2＋2 2]．
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二次函数绝对值问题的解法探究

１
点评数形结合是解决函数零点问题的有效方法，
本题难度不大，只需要正确作出函数图象就可以．在作图时要注意规范准确性，注意题目中的细节，防止增解和漏解，必要时要对图形进行推理论证，保证解答的准确性．三、运用转化思想问题求解的过程，就是将未知解法的问题，逐步转化
—
≤ 。（毕
１
＝
）．（毕
）：２，当且仅当。：
２
÷时，等号成立，所以ｇ（ｏ）ｇ（１） ≤ 由于方程）一
＝
０的根在（０，１）内，所以ｇ（Ｏ）＞０，ｇ（１）＞０．又ａ，ｂ，Ｃ ∈
文献标识码：Ｂ
文章编号：１００８— ０３３３（２０１６）３１－００４２－０１
二次函数是最简单的非线性函数之一，内容丰富．二次函数与绝对值结合，使题型变得新颖，解题方法灵活多样，是高考的热点题型．掌握解决含有绝对值的二次函数的解法对学生的解题能力的提高有很大帮助．许多学生解这类题有一定的难度，本文结合实例，归纳这类问题的常见题型和基本方法，供学习参考．
的最小值．
点评当问题中含有未知数值的参数时，常常需要
用分类讨论的方法来求解．分类讨论时，要做到 “ 不重复，不遗漏 ” ，最后对各段结论进行归纳总结，得出最终结论．
在分类叙述时，学生要尽量做到条理清晰，语言精炼．二、运用数形结合思想数形结合的思想一直与二次函数的解题密不可分．图象可以直观地显示函数的性质，利用图象可以让学生更好地把握题目中的定量和定性关系，有助于学生对问题的分析和理解，寻找解决问题的途径．很多时候在解

二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。

二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。

一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。

它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。

（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析（1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。

（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论：（i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。

（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。

本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。

二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。

绝对值与二次函数_一次函数问题的探讨

时, 总有 | g ( x ) | [ 2. ½ g( x ) = 2ax + b , 求证: 当 | x | [ 1
时, 总有 | g ( x ) | [ 4. ¾记 g( x ) = Kax + b , 求证: 当 | x | [
1 时, 总有 | g( x ) | [ 2K. ¿ 记 h( x ) = cx2 ? bx + a. 求证: 当 | x | [ 1 时, 总有 | h( x ) | [ 2.
+ b + c) + 3( a - b + c) - 3c | [ 1 + 3+ 3
= 7;
3b
若
-
b 2a
>
1,
则顶点不在闭区间
内, 函数最值在端点取得, 由 1b, 2b 知,
当 | x | [ 2, | f ( x ) | [ 7;
若
-
b 2a
[
1,
则
f (-
b 2a
)
=
4ac - b2 4a
| a - b + c | [ 1,
| c | [ 1. 所以 1b | f ( 2) | = | 4a + 2b + c | =
| 3( a + b + c) + ( a - b + c) - 3c | [ 3+ 1
+ 3 = 7;
2b | f (- 2) | = | 4a - 2b + c | = | ( a
f ( 0) = c 言, 由 f ( 1) = a + b + c 可将系数表出
f (- 1) = a - b + c

例谈含绝对值的二次函数相关题型再探讨

例谈含绝对值的二次函数相关题型再探讨
含绝对值的二次函数是高等教育中一项重要的数学概念，它最为人们所熟悉，也经常被用在诸多理工类学科中。

含绝对值的二次函数是一种把绝对值表达式和一个二次函数表达式结合起来的函数，用简洁的符号表示，例如y=|x^2|-1。

它
的特点是将一些复杂的问题拆分成更加简单的方程组，只有将它们结合起来才能求得最终解决方案，无论问题的复杂程度有多高，都可综合解决。

使用含绝对值的二次函数主要有以下几类应用。

首先，它可以用作高校对
学生的考核标准。

高校从定义中可以指定一系列绝对值函数，从而根据学生的实际能力来划分学生的分数。

其次，含绝对值的二次函数可以用作高校组织教学时的任务分配标准。

学校可以按照相同的函数模式安排和分配老师的任务，从而保证教学水平的统一。

届时，学生就可以更加密切地联系到老师，并得到学习上的更大帮助。

最后，含绝对值的二次函数可以用来学校管理活动计划。

学校可以划定一
定的绝对值函数，根据CGPA或其他标准，来指导学生和家长安排相应的课外活动，从而实现学校流动轨迹的可控性和有序性。

从以上可以看出，含绝对值的二次函数是高校和高等教育中一项重要的数
学概念，它能够广泛用于考核标准、任务分配标准、活动计划等教学管理中，有效地提高学校管理的效率与秩序，实现教育质量的可持续性提升。

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题

与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。

1．设()c bx ax x f ++=2，当1≤x 时，总有()1≤x f ，求证当2≤x 时，()7≤x f . 证明：由于()x f 是二次函数，()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，故只要证明()()72;72≤-≤f f ；当22≤-a b 时，有72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ，由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f .由()()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=01121021121f c f f b f f f a()()()()()()()0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤.()()()()()()()0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤.()()()()()()1112111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时，22444222b a b c a b c a b ac a b f ⋅-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 72212122<=⨯+≤⋅+≤b a b c . 因此当2≤x 时，()7≤x f . 点评：从函数性质的角度分析，要证2≤x 时，()7≤x f ，只要证当2≤x 时，()x f 的最大值M 满足7≤M . 而()x f 又是二次函数，不论a 、b 、c 怎么取值()x f 在[]2,2-上的最大值只能是()()2,2f f -，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，因而只要证明()()72,72≤-≤f f ，72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ，这里需要特别指出的是要将()()2,2-f f 与()()()1,1,0-f f f 建立联系，将二次函数中的系数b a ,c ,用()1f 、()1-f 、()0f 表示：()()(),20211f f f a --+=()()()0,211f c f f b =--=，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。

二次函数绝对值的若干性质

二次函数绝对值的若干性质二次函数绝对值定义为y=|ax^2+bx+c|，其中a、b、c是常数，它是一个单调函数。

下面介绍二次函数绝对值的若干性质：一、总体极值1．若a>0，则二次函数绝对值的极值为：P = -b/ (2a)，yP = |aP^2 + bP + c|局部极大值；2．若 a<0，则无极值，二次函数绝对值永不等于0。

二、拐点若a>0，b^2 - 4ac>0，则二次函数绝对值在拐点处是变程函数的拐点，其拐点为：P1 =(-b+√(b^2-4ac))/2a；P2 =(-b-√(b^2-4ac))/2a；y1 = |aP1^2 + bP1 + c|；y2 = |aP2^2 + bP2 + c|三、泰勒级数展开设φ(x)=|ax^2 + bx + c|，当x=x0时：φ(x) = |a(x-x0)^2 + (bx0 + c)|= |(bx0 + c) + a(x-x0)^2|= |bx0 + c| + a(x-x0)^2 +…= |φ(x0)| + a(x-x0)^2 +…四、微分当x=P时，且a>0，则二次函数绝对值在拐点处的导数计算如下：P = -b/ (2a)，yP = |aP^2 + bP + c|=>y'P= |2aP + b|五、函数的奇偶性二次函数绝对值的奇偶性如下：1．若a>0，则二次函数绝对值在任一点上取值都为正，它是一个偶函数。

2．若a<0，则二次函数绝对值在任一点上取值都为负，它是一个奇函数。

六、函数的对称性二次函数绝对值函数有以下三种对称性：1．若a>0，b=0，则该函数关于y轴对称；2．若a<0，b=0，则该函数关于原点对称；3．关于直线x=1/a垂直于y轴的对称性。

综上所述，二次函数绝对值的若干性质有：总体极值、拐点、泰勒级数展开、微分、函数的奇偶性、函数的对称性。

熟悉了二次函数绝对值的性质，就能较为准确的求解二次函数绝对值函数的函数图像与正确值，从而得到更好的数学求解方案。

二次函数a的绝对值与开口大小的关系

一、概述二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的应用价值。

而二次函数的开口大小与函数系数a的绝对值之间存在着密切的关系。

本文将从二次函数的定义、图像特征和系数a的绝对值之间的关系进行详细探讨。

二、二次函数的定义和图像特征二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

二次函数的图像通常为抛物线，其开口方向和开口大小取决于系数a的正负和绝对值大小。

若a大于0，则抛物线开口向上；若a小于0，则抛物线开口向下。

a的绝对值的大小也会影响抛物线的开口大小，接下来我们将从数学角度分析a的绝对值与开口大小的关系。

三、a的绝对值与抛物线的开口大小1. 当|a| > 1时，抛物线开口越窄。

当系数a的绝对值大于1时，抛物线的开口越窄，抛物线的形状变得愈发细长。

这是因为系数a的绝对值越大，平方函数图像在y轴方向的变化幅度就越大，因此开口越窄。

2. 当|a| = 1时，抛物线开口适中。

当系数a的绝对值等于1时，抛物线的开口大小适中，抛物线的形状最为均衡。

此时抛物线在y轴方向的变化幅度也相对平衡。

3. 当0 < |a| < 1时，抛物线开口越宽。

当系数a的绝对值小于1时，抛物线的开口越宽，抛物线的形状变得愈发扁平。

这是因为系数a的绝对值越小，平方函数图像在y轴方向的变化幅度就越小，开口越宽。

系数a的绝对值越大，抛物线的开口越窄；系数a的绝对值越小，抛物线的开口越宽。

这一结论具有一般性，对于任意二次函数都成立。

四、实例分析接下来，我们通过实际的数值实例来验证上述结论。

1. 例一：f(x) = 2x^2当系数a=2时，抛物线开口向上且开口越窄。

该二次函数的图像在y轴方向的变化幅度随系数a=2的增大而增大，抛物线开口变得更加尖锐。

2. 例二：f(x) = -2x^2当系数a=-2时，抛物线开口向下且开口越窄。

该二次函数的图像在y轴方向的变化幅度随系数a=-2的增大而增大，抛物线开口变得更加尖锐。