第10章 压杆稳定
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材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
第10章压杆稳定
9
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
压杆·稳定性
sin kl = 0
即
kl = nπ n = 0,1, 2,
（d）
解得 k = nπ ，又 k 2 = P ，于是得
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
EI
P
=
n2π2 EI l2
（10.1）
因为 n 是正整数，故式（10.1）表明使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。
其中使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力 Pcr 。因此，只有取 n=1，才得到压力 的最小值。于是临界压力为
x = 0 和 x = l 时， y = 0
由此求得
B = 0 ， Asin kl = 0
上式表明，A 或 sin kl 等于零。但因 B 已经等于零，如 A 再等于零，则式（c）变为 y ≡ 0 。这
表示杆件轴线上任意点的挠度皆为零，它仍为直线的情况。这就与假设杆件处于微弯平衡的
前提相矛盾。因此必须是
第 10 章 压杆·稳定性
当轴向压力 P 较小（P＜Pcr）时，当横向干扰力消失后，其横向弯曲变形也随之消失， 直杆将恢复到图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于稳定平 衡状态，如图 10.1（c）。
当轴向压力 P 适中（P =Pcr）时，干扰力消失后，将保持微弯平衡状态，而不能恢复到 图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于临界平衡状态（或随 遇平衡状态），如图 10.1（d）。
如图 10.1（a）所示一下端固定，上端自由的理想细长直杆，受一轴向压力 P 作用。此 时，该压杆如果受到一个很小的横向干扰力，杆将产生弯曲变形，如图 10.1（b）。显然，该 压杆在原初始直线位置是能够平衡的，但平衡状态会随轴向压力 P 的大小而变化。
第10章压杆稳定
第10章压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。
2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。
4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。
5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。
6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。
8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。
10、掌握提高压杆稳定性的措施。
10.2【要点分析】1、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。
失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。
．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。
．．．失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。
（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。
②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。
③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
材料力学第十章压杆稳定
π2
200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N
85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy
Iz
bh3 12
60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
材料力学 第10章 压杆稳定
Fcr (2l )2
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
材料力学-10-压杆的稳定性问题
材料力学-10-压杆的稳定 性问题
欢迎来到材料力学-10-压杆的稳定性问题演示文稿。今天，我们将探讨压杆的 定义、分类以及影响其稳定性的因素。
压杆的定义和分类
压杆是一种长而细的结构元素，主要通过压力来支撑负载。根据其截面形状，压杆可以分为圆形、方形 和矩形等不同类型。
欧拉公式简介
欧拉公式是用于计算压杆的临界压力的重要公式。它基于结构的刚度和截面的几何特性，帮助我们预测 压杆在不同加载条件下的稳定性。
实例分析
通过实例分析，我们将深入探讨具体的压杆结构，并分析其稳定性问题。了 解实际案例对于理解压杆稳定性的关键因素至关重要。
结论和要点
在本演示文稿中，我们回顾了压杆的定义和分类，介绍了欧拉公式及其应用，探讨了稳定性分析的关键 因素，并通过实例分析展示了压杆的真实应用。记住这些要点，您将能够更好公式
临界压力计算公式是通过将欧拉公式代入材料的弹性模量和截面的惯性矩，从而得出压杆在理想情况下 可能失稳的临界加载。
压杆的稳定性分析
压杆的稳定性分析涉及到考虑加载条件、几何形状以及材料性质等因素。我们将使用数学模型和工程实 践来评估压杆在给定条件下的稳定性。
缺陷对稳定性的影响
压杆的稳定性可能受到结构缺陷的影响，如划伤、弯曲或异物。我们将研究 这些因素如何改变压杆的临界压力和整体稳定性。
欢迎来到材料力学-10-压杆的稳定性问题演示文稿。今天，我们将探讨压杆的 定义、分类以及影响其稳定性的因素。
压杆的定义和分类
压杆是一种长而细的结构元素，主要通过压力来支撑负载。根据其截面形状，压杆可以分为圆形、方形 和矩形等不同类型。
欧拉公式简介
欧拉公式是用于计算压杆的临界压力的重要公式。它基于结构的刚度和截面的几何特性，帮助我们预测 压杆在不同加载条件下的稳定性。
实例分析
通过实例分析，我们将深入探讨具体的压杆结构，并分析其稳定性问题。了 解实际案例对于理解压杆稳定性的关键因素至关重要。
结论和要点
在本演示文稿中，我们回顾了压杆的定义和分类，介绍了欧拉公式及其应用，探讨了稳定性分析的关键 因素，并通过实例分析展示了压杆的真实应用。记住这些要点，您将能够更好公式
临界压力计算公式是通过将欧拉公式代入材料的弹性模量和截面的惯性矩，从而得出压杆在理想情况下 可能失稳的临界加载。
压杆的稳定性分析
压杆的稳定性分析涉及到考虑加载条件、几何形状以及材料性质等因素。我们将使用数学模型和工程实 践来评估压杆在给定条件下的稳定性。
缺陷对稳定性的影响
压杆的稳定性可能受到结构缺陷的影响，如划伤、弯曲或异物。我们将研究 这些因素如何改变压杆的临界压力和整体稳定性。
第十章 压杆稳定
（1）计算压杆的柔度
＞ (所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
（3）计算临界力
查表10—1得μ= 2，因此临界力为
图10.3
二、当截面改为b = h =30mm时
（1）计算压杆的柔度
＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa， ，直径d=40mm，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力：
0.627
0.546
0.462
1.000
0.971
0.932
0.883
0.822
0.751
0.668
0.575
0.470
0.370
0.300
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0.536
0.466
0.401
0.349
0.306
0.272
0.243
0.218
0.197
0.180
（10.6）
式中 是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢，
对Q235钢：
(MPa)
对16锰钢： (MPa)
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ≥λc时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式
＞ (所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
（3）计算临界力
查表10—1得μ= 2，因此临界力为
图10.3
二、当截面改为b = h =30mm时
（1）计算压杆的柔度
＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa， ，直径d=40mm，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力：
0.627
0.546
0.462
1.000
0.971
0.932
0.883
0.822
0.751
0.668
0.575
0.470
0.370
0.300
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0.536
0.466
0.401
0.349
0.306
0.272
0.243
0.218
0.197
0.180
（10.6）
式中 是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢，
对Q235钢：
(MPa)
对16锰钢： (MPa)
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ≥λc时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式
第十章：压杆稳定
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
上的应力为
Fcr π 2 EI σcr A ( l )2 A
压杆稳定
令 i
I 则 A l 令 i
则有
Fcr 2 E I 2E cr 2 2 A ( l ) A ( l i)
σcr
π E
2
2
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
l
Fcr
Fcr
l/4 2l l/2 l l
l
0.7l
l
l/4
2 EI Fcr 2 l
Fcr EI ( 2l ) 2
2
0.3l
2 EI Fcr (l / 2) 2
2 EI Fcr (0.7l )2
欧拉公式
π EI Fcr ( l )2
所以连杆的临界压力为134.6kN.
xz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
F
880
l
z
F
压杆稳定
§10-3 临界应力的欧拉公式
一、临界应力与压杆柔度
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.
不稳定平衡
稳定平衡
压杆稳定
（2）压杆的平衡状态
F＜ FF ＜ Fcr cr cr. F≥Fcr
稳定的
不稳定的
压杆稳定
稳定问题与强度问题的区别
压杆 强度问题 稳定问题
平衡状态 应力
平衡方程 极限承载能力
直线平衡状态不变
达到限值 变形前的形状、尺寸 实验确定
材料力学-10-压杆的稳定问题
其中a和b为与材料有关的常数，单位为MPa （P247） 。
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
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（图b）。杆的挠曲线近似微分方程 为
EIw M x Fcr w
(a)
(a)
(b)
10
EIw M x Fcr w
(a)
令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成
w k 2 w 0
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w A sin kx B cos kx
长度系数μ
p 2 EI
l2
16
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
思考： 图a，b所示细长 中心压杆均与基础刚性连接， 但图a所示杆的基础置于弹性地
基上，图b所示杆的基础则置于
刚性地基上。试问两压杆的临 π 2 EImin 界力是否均为 Fcr ？ 2 2l 为什么？并由此判断压杆的长 度因数 是否可能大于2。
17
[例1]如图所示细长压杆的两端为球形铰，弹性模量E=200GPa， 截面形状(1)圆形截面，d=50mm；（2）16号工字钢。杆长为 l=2m，试用欧拉公式计算其临界荷载。 解：
p 2 EI p 3 Ed 4 （1）圆形截面杆 Fcr 2 64l 2 l
1
p 3 200109 54 108
在xz面
y 1l
iy
1l
Iy A
1l
b
0.5 3 51.96 12 0.1 12
在xy面
z 2l
iz
2l
Iz A
2l
2b 12
23 103.92 2 0.1 12
z y
杆若失稳，将发生在xy面
(2)判定该压杆是否可用欧拉公式求临界力
第10章 压杆稳定
10 Stability of Structures
1
第10章
10.1
压杆稳定
压杆稳定的一般概念
10.2
10.3
简支细长中心受压直杆的临界力 欧拉公式
不同边界条件下细长中心受压杆的临界力
10.4
本章小结
2
10.1 一、问题背景
压杆稳定的一般概念 ①强度
FP 6kN
构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性
15
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动 Fcr Fcr
Fcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Fcr B
Fcr
0.7l
0.5l
D
l
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
l
2l l
Fcr
p 2 EI 临界力Fcr p 2 EI p 2 EI p 2 EI F Fcr F 2 Fcr 2 2 cr 欧拉公式 cr (0.5l ) (0.7l ) (2l ) 2 l
4
2. 不稳定平衡
系统处于平衡形态。若有微小位移，系统不再回复原来的平衡 形态，则称系统的原有平衡形态是不稳定的。
5
三、压杆稳定的一般概念 Fcr（特殊值） Fcr（特殊值） F （较小） F （较小） F
F’ F’
F’ F’
轴压
直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
6
由kl＝p有
Fcr lπ EI
亦即
Fcr 2 l π2 EI
13
Fcr
p 2 EI
l2
在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr：
1）仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸形状(I) 有关，材料的E越大，截面惯性矩越大，杆长越 短，临界力就越高；
2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承 载能力的强弱，临界力越高，稳定性越好，承 载能力越强；
线平衡状态，即发生失稳。
Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical
force)。
临界力就是杆能保持微弯平衡状态时的轴向压力。
7
10.2
简支细长中心受压杆的临界力 欧拉公式
思路： 假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态 然后设法去求挠曲函数。若： 平衡，
1）求得的挠曲函数≡0， 说明只有直线 平衡状态； 2）求得不为零的挠曲函数， 说明压杆的 确能够在曲线状态下平衡， 即出现失 稳现象。
p 2 EI
12 3
α α
l
19
例 两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失 稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／ 2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。 B 解：1.节点B的平衡 F AB FAB F cos
F
B
FBC
F
FBC F sin
2.两杆同时达到临界力时，F 可达最大值
A
C
FAB cr FBC cr
p 2 EI p 2 EI 2 L AB l cos 2
l
p 2 EI p 2 EI 2 l cos cos l sin 2 sin
p 2 EI 2 EI 2 LBC l sin 2
10.5 压杆的稳定计算 一、压杆的稳定条件
为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳 入稳定安全因数nst，取稳定条件(stability condition)为
F cr A nst
亦即
F st A
式中，[]st=cr/nst为压杆的稳定许用应力。 由于cr与压杆的柔度有关，而且考虑到不同柔度的压 杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst 也随 变化，因此[]st是一个与压杆柔度的关系比较复杂的 量。
数j与柔度的一系列关系值。
该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分
为a，b，c三类截面。大多数钢压杆可取作b类截面压杆。表154为Q235钢b类截面中心压杆随柔度变化的稳定因数j。
表 Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j
λ
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
可见 p
p 对于Q235钢，按照 E＝206 GPa，p ＝200 MPa，有
π 2 E 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。
p
π2E
p
π 2 206109 P a 100 6 20010 P a
[例]如图所示矩形截面压杆其支承情况为：在xz平面内，两端 固定；在xy平面内，下端固定，上端自由。已知l=3m， b=0.1m，弹性模量E=200GPa，比例极限p=200MPa。试计算 该压杆的临界力。 解：(1)判断失稳方向
3）是维持压杆直线稳定平衡状态的最大荷载， 14 也是压杆丧失稳定的最小荷载。
10.3
不同边界条件下细长中心 受压杆的临界力
将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：
π 2 EI Fcr l 2
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l
称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束 情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端 铰支压杆的临界力。表的图中从几何意义上标出了各种杆端约 束情况下的相当长度 l。
64 4
（2）工字钢
151.2kN
I I min I y 93.1108 m4
p 2 EI p 2 200109 93.1108 Fcr 2 4 l 18
459kN
例 图示结构，各杆的 EI相同，均为细长压杆，求 临界力Fcr。
Fcr
解：
2p 2 EI F2cr 2 (0.7l ) l2 p 2 EI p 2 EI 2 F1cr F3cr cos 2 2 (l cos ) l 2p 2 EI 3 Fcr 2 F1cr cos F2cr ( 1 cos ) 2 l
的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。
s p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。
的杆为小柔度杆，以极限应力s作为临界应力。
临界应力总图
cr
s
cr s
cr ab
p 2E cr 2
l i
p
a s
s
P
b
p 2E
2
arctan cot
20
10.4 一、临界应力
压杆的临界应力
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
Fcr A
Fcr p 2 EI p 2E p 2E 2 2 2 A (l ) A (l / i)
2.细长压杆的临界应力： cr
(b)
(c)
式中，A，B和k三个待定常数可用挠曲线的边界条件确定
11
w A sin kx B cos kx
(c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得
B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于 零，否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持 微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由
p p
E
p
200103 p 99.35 200
z p
故可用欧拉公式求临界力，其值为
3 0 . 1 0 . 2 2 p 200109 2 p EI z 12 Fcr 3655 .4kN 2 2 2l 2 3
EIw M x Fcr w
(a)
(a)
(b)
10
EIw M x Fcr w
(a)
令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成
w k 2 w 0
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w A sin kx B cos kx
长度系数μ
p 2 EI
l2
16
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
思考： 图a，b所示细长 中心压杆均与基础刚性连接， 但图a所示杆的基础置于弹性地
基上，图b所示杆的基础则置于
刚性地基上。试问两压杆的临 π 2 EImin 界力是否均为 Fcr ？ 2 2l 为什么？并由此判断压杆的长 度因数 是否可能大于2。
17
[例1]如图所示细长压杆的两端为球形铰，弹性模量E=200GPa， 截面形状(1)圆形截面，d=50mm；（2）16号工字钢。杆长为 l=2m，试用欧拉公式计算其临界荷载。 解：
p 2 EI p 3 Ed 4 （1）圆形截面杆 Fcr 2 64l 2 l
1
p 3 200109 54 108
在xz面
y 1l
iy
1l
Iy A
1l
b
0.5 3 51.96 12 0.1 12
在xy面
z 2l
iz
2l
Iz A
2l
2b 12
23 103.92 2 0.1 12
z y
杆若失稳，将发生在xy面
(2)判定该压杆是否可用欧拉公式求临界力
第10章 压杆稳定
10 Stability of Structures
1
第10章
10.1
压杆稳定
压杆稳定的一般概念
10.2
10.3
简支细长中心受压直杆的临界力 欧拉公式
不同边界条件下细长中心受压杆的临界力
10.4
本章小结
2
10.1 一、问题背景
压杆稳定的一般概念 ①强度
FP 6kN
构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性
15
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动 Fcr Fcr
Fcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Fcr B
Fcr
0.7l
0.5l
D
l
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
l
2l l
Fcr
p 2 EI 临界力Fcr p 2 EI p 2 EI p 2 EI F Fcr F 2 Fcr 2 2 cr 欧拉公式 cr (0.5l ) (0.7l ) (2l ) 2 l
4
2. 不稳定平衡
系统处于平衡形态。若有微小位移，系统不再回复原来的平衡 形态，则称系统的原有平衡形态是不稳定的。
5
三、压杆稳定的一般概念 Fcr（特殊值） Fcr（特殊值） F （较小） F （较小） F
F’ F’
F’ F’
轴压
直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
6
由kl＝p有
Fcr lπ EI
亦即
Fcr 2 l π2 EI
13
Fcr
p 2 EI
l2
在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr：
1）仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸形状(I) 有关，材料的E越大，截面惯性矩越大，杆长越 短，临界力就越高；
2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承 载能力的强弱，临界力越高，稳定性越好，承 载能力越强；
线平衡状态，即发生失稳。
Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical
force)。
临界力就是杆能保持微弯平衡状态时的轴向压力。
7
10.2
简支细长中心受压杆的临界力 欧拉公式
思路： 假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态 然后设法去求挠曲函数。若： 平衡，
1）求得的挠曲函数≡0， 说明只有直线 平衡状态； 2）求得不为零的挠曲函数， 说明压杆的 确能够在曲线状态下平衡， 即出现失 稳现象。
p 2 EI
12 3
α α
l
19
例 两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失 稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／ 2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。 B 解：1.节点B的平衡 F AB FAB F cos
F
B
FBC
F
FBC F sin
2.两杆同时达到临界力时，F 可达最大值
A
C
FAB cr FBC cr
p 2 EI p 2 EI 2 L AB l cos 2
l
p 2 EI p 2 EI 2 l cos cos l sin 2 sin
p 2 EI 2 EI 2 LBC l sin 2
10.5 压杆的稳定计算 一、压杆的稳定条件
为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳 入稳定安全因数nst，取稳定条件(stability condition)为
F cr A nst
亦即
F st A
式中，[]st=cr/nst为压杆的稳定许用应力。 由于cr与压杆的柔度有关，而且考虑到不同柔度的压 杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst 也随 变化，因此[]st是一个与压杆柔度的关系比较复杂的 量。
数j与柔度的一系列关系值。
该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分
为a，b，c三类截面。大多数钢压杆可取作b类截面压杆。表154为Q235钢b类截面中心压杆随柔度变化的稳定因数j。
表 Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j
λ
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
可见 p
p 对于Q235钢，按照 E＝206 GPa，p ＝200 MPa，有
π 2 E 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。
p
π2E
p
π 2 206109 P a 100 6 20010 P a
[例]如图所示矩形截面压杆其支承情况为：在xz平面内，两端 固定；在xy平面内，下端固定，上端自由。已知l=3m， b=0.1m，弹性模量E=200GPa，比例极限p=200MPa。试计算 该压杆的临界力。 解：(1)判断失稳方向
3）是维持压杆直线稳定平衡状态的最大荷载， 14 也是压杆丧失稳定的最小荷载。
10.3
不同边界条件下细长中心 受压杆的临界力
将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：
π 2 EI Fcr l 2
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l
称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束 情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端 铰支压杆的临界力。表的图中从几何意义上标出了各种杆端约 束情况下的相当长度 l。
64 4
（2）工字钢
151.2kN
I I min I y 93.1108 m4
p 2 EI p 2 200109 93.1108 Fcr 2 4 l 18
459kN
例 图示结构，各杆的 EI相同，均为细长压杆，求 临界力Fcr。
Fcr
解：
2p 2 EI F2cr 2 (0.7l ) l2 p 2 EI p 2 EI 2 F1cr F3cr cos 2 2 (l cos ) l 2p 2 EI 3 Fcr 2 F1cr cos F2cr ( 1 cos ) 2 l
的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。
s p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。
的杆为小柔度杆，以极限应力s作为临界应力。
临界应力总图
cr
s
cr s
cr ab
p 2E cr 2
l i
p
a s
s
P
b
p 2E
2
arctan cot
20
10.4 一、临界应力
压杆的临界应力
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
Fcr A
Fcr p 2 EI p 2E p 2E 2 2 2 A (l ) A (l / i)
2.细长压杆的临界应力： cr
(b)
(c)
式中，A，B和k三个待定常数可用挠曲线的边界条件确定
11
w A sin kx B cos kx
(c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得
B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于 零，否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持 微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由
p p
E
p
200103 p 99.35 200
z p
故可用欧拉公式求临界力，其值为
3 0 . 1 0 . 2 2 p 200109 2 p EI z 12 Fcr 3655 .4kN 2 2 2l 2 3