教案信号与系统

信号与系统授课教案

一、授课内容：

1.学科名称：信号与线性系统分析（第四版）

2.授课题目：2.1 LTI连续系统的响应：微分方程经典解法和初始值0+的求法。

3.教学形式：讲授+课堂练习

4.授课教师：X X X

5.学时：1

二、教学目的：

1.掌握连续时间系统微分方程的建立与微分方程经典解法。

2.掌握系统起始点的跳变，0+和0-的求解。

三、教学重点：

微分方程的求解，起始点状态的转换。

四、难点分析及对策：

难点1：微分方程的建立

难点在于有电路定理推导并建立微分方程，这一部分内容属于电路理论的基础知识，但是由于电路理论中对相对复杂电路的分析与计算过程比较繁琐，计算量较大，有的电路甚至会涉及到多变量方程组求解，多种电路定理的应用，因此学生大多觉得学习过程比较困难。

解决方法：主要进行举例分析。

难点2：连续时间系统中起始点的跳变，即从0-到0+的转换过程的求解是一个难点。

解决办法：以例题进行详细讲解并布置相关习题多加练习。

五、教学过程：

（一）导课：对第一张内容简单回顾一下，以介绍本节课的教学目的和要求，以及主要知识点和重点的导课方式，进入这节课的教学内容。

（二）教学内容：

LTI连续系统的时域分析过程可以理解为建立并求解线性微分方程，因其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。

本章知识的前期预备知识为高等数学的线性微分方程的求解，后续内容是连续时间系统的频域分析——傅里叶变换，连续时间系统的S 域分析——拉氏变换。因此，本章是知识的学习非常重要。

主要知识点如下：

（1）经典法求解微分方程

主要包括：a.微分方程的建立

b.微分方程的经典法求解

（2）关于0-与0+

主要包括：从已知的初始状态y (j)(0-)设法求得y (j)

(0+) LTI 连续系统的响应

1.微分方程的经典解法

LTI 连续系统可以由常系数线性微分方程来描述。

例如： u S (t )

u C (t )L R

C

)()(d )(d d )(d 22t u t u t t u RC t t u LC S C C C =++ 22d ()d ()11()()d d C C C S u t u t R u t u t t L t LC LC ++= 二阶常系数线性微分方程 抽去具有的物理含义，可写成

100''()'()()()y t a y t a y t b f t ++= 一般LTI 连续系统常系数线性微分方程通式可写为：

y (n)(t) + a n-1y

(n-1)(t) + …+ a 1y (1)(t) + a 0y (t) = b m f (m)(t) + b m-1f (m-1)(t) + …+ b 1f (1)(t) + b 0f

(t) 方程解的形式：

y(t)(全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解）

（1）齐次解

齐次解是齐次微分方程

y(n)+a n-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。

(t)的函数形式由微分方程的特征方程决定的特征根确定。

齐次解y

h

在LTI系统中，我们常见的是二阶常系数线性微分方程，下面我们来谈论二阶的情况：

二阶常系数线性微分方程的齐次解形式：

y(2)(t) + a1y (1)(t) + a0y(t) = b0f(t)

特征方程：λ2+ a1λ + a0 =0

解得特征根：λ1，λ2

λ有三种不同形式：

y h(t)函数形式，由λ的值以及λ的不同形式决定

（2）特解

特解的函数形式与激励函数的形式有关。（P41表2-1）

（3）全解

y(t)= y h(t） + y p(t)

含有待定系数

（4）最后一步

代入初始条件，求出待定系数得全解完整形式。

例1. 某系统的微分方程为y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1 时的全解。

齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。

特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。

2.关于0-与0+

若输入f(t)是在t=0 时接入系统，则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。

在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史信息而与激励无关。称这些值为初始状态。

初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。

初始值：y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)

能作为初始条件，代入全解，确定系数。

初始状态：y(j)(0-) (j=0,1,2…，n-1)

容易求得，但不能作为初始条件。

为完整求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。

本节核心内容：

由y(j)(0-)求得y(j)(0+)步骤：

（1）将输入f(t)带入微分方程。如果等号右端含有δ(t)及其各阶导数，根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等的原理，判断方程左端y(t)的最高阶导数所含δ(t)导数的最高阶次。

（2）令y”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r0(t)，对y”(t)进行积分（从-∞到t），逐次求得y’(t)和y(t)。

（3）将y”(t)、y’(t)和y(t)代入微分方程，根据方程等号两端各奇异函数的系数相等，从而求得y”(t)中的各待定系数。

（4）分别对y”(t)、y’(t)等号两端从0-到0+进行积分，依次求得各0+值y(0+)和y’(0+)。

例2：描述某系统的微分方程为：

y”(t)+2y’(t)+y(t)= f”(t) + 2f’(t)

已知y(0-)=1，y’(0-)= -1，f(t)= δ(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：y(0+) - y(0-)=b=-2 y(0+) =y(0-)-2=-1

y’(0+) -y’(0-)=c=5 y’(0+) =y(0-)+5=4

六、作业：