平行线与拐点问题(经典)

E
AHale Waihona Puke Baidu
B
C
D
图5
巧用平行解决“拐点”问题
F
E
A
B
〖结论〗： ∠E= ∠ ABE-∠D
C
D
解：过点E 作EF∥AB ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥CD∥EF ∴∠ABE+∠BEF=180°∴∠FED+∠D=180° ∵∠FED=∠BEF+∠BED ∴∠BEF+ ∠BED+∠D=180° ∴∠ABE= ∠BED +∠D
①点在两平行线之间
A
B
E
C
D
图1
②点在两平行线之外
E
A
B
A
B
C
图3
D
C
D
图4 E
A C
图2
B E
D
E
A
B
A
B
C
D
图5
C
D
图6
E
方法指导
（2）燕尾型（或M型） 如图2，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，
那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？
A
B
E
C
图1
D
A
B
E
F一推：平行
C
D
解：过点E 作EF∥AB。 ∵AB∥CD（已知）
A
23° B
C
E
C
42° D
D
B
135°
E
145°
A
2.如图，AD∥BC，∠B=135°，∠A=145°，则 ∠E=_____8_0_°____.
巧用平行解决“拐点”问题
〖探究3〗（锄头型）
将点E向线段AB的右上方拉动，如图. 已知AB∥CD，∠A、∠C、 ∠AEC之间的关系.
E
解关系为：
∵AB∥CD ∴∠C=∠1 ∵∠A+∠E+∠2=180° ∠1+∠2=180° ∴∠1=∠A+∠E ∴∠C=∠A+∠E
F
E
A
B
C
D
过点E 作EF∥AB
∴∠FEA=∠A
∵AB∥CD（已知）
∴CD∥EF
∴∠FEC=∠C
∵∠FEA=∠FEC+∠AEC
∴∠A= ∠C +∠AEC
例2. 请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与∠B、∠D的数量
关系会发生变化吗？
E
E
A
B
A
B
D
C
图4
D
∠BED=∠B－∠D
A
B
C
图5
∠BED=∠D－∠B
C
D
当左边有n个角，右边有m个角时： ∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em+ ∠D
（同类拓展变题）
⑵如图AB∥DC，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D 之间又会有何关系？
A
B
E
F
G
C
D
变式训练：3、已知:如图所示 ∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE= 140°.求证：AB//DE.
变式训练：1.如下图所示，直线AB∥CD， ∠B=23°，∠D=42°，则∠E= 。65°
教材母题（教材P23第7(2)题）
如果AB∥CD∥EF， 那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )
(A)180°(B)270°(C)360°(D)540°
A
B
C
D
E
F
方法指导
（1）铅笔型
如图1，已知：AB∥CD，点E是平面内一 点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系 是什么呢？
A
B
C
D
巧用平行解决“拐点”问题
F
E
〖结论〗：
A
B ∠AEC= ∠C- ∠A
C
D
解：过点E 作EF∥AB。 ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥AB∥CD ∴∠A=∠AEF∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等） ∵∠FEC=∠AEF+∠AEC ∴∠C= ∠A+∠AEC
A C
E B
D
〖练习3〗
如图，AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数的为
二推:角相等或互补 三推：加法或减法 四推：替换
∴EF∥AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠B=∠BEF ∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）
∵∠BED=∠BEF+∠DEF
∴ ∠BED =∠B+∠D（等量代换）
A
B
E
F
C
D
图3
解：过点E 作EF∥AB。 ∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换） ∴∠B+∠D=∠BED
A
B
E
C
F
D
解：延长线段BE交CD于点F
∵AB∥CD ∴∠B=∠EFD ∵∠EFD+∠D+∠FED=180° 又∵∠BED+∠FED=180° ∴∠BED=∠EFD+∠D
∴∠BED=∠B+∠D
辅助线添法：过拐点作已知直线的平行线（四部 曲）或延长线（利用邻补角互补，三角形内角 和），逢“拐点”,作平行。一般而言，有几个 “拐点”就需要作几条平行线。
A
B
D
E
C
5.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交 于点C和D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、 l2上的不动点．其中PA与l1相交为∠1，PA、PB相 交为∠2，PB与l2相交为∠3．
（1）若P点在线段 CD（C、D两点除外） 上运动，问∠1、∠2、 ∠3之间的关系是什么？这种关系是否变化？ （2）若P点在线段CD 之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系有怎样？说明理 由．
A
B
C
图6
D
E
∠BED=∠D－∠B
C
D
图7
E
∠BED=∠B－∠D
4.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）∠1＋∠2＝___ _1_8_0；° （2）∠1＋∠2＋∠3＝___ __；360° （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __；540° （4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n
A
B
C
图1
E D
A
B
F
E
C
D
解：过点E 作EF∥AB ∵AB∥CD（已知）
∴AB∥CD∥EF ∴∠B+∠BEF=180°∴∠FED+∠D=180°
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360° ∵∠BED=∠BEF+∠DEF ∴∠B+∠BED+∠D=360°
〖练习〗 1．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则 ∠E=____6_5_°____.
∴ BE∥CF
（内错角相等，两直线平行）
平行线与“拐点”问题
〖情景导入〗
已知如图，AB∥CD，若线段AC是拉直的橡皮筋， 上任 取一点E，向不同的方向拉动点E，那么
∠A、∠C、∠AEC之间有何关系呢？
A
B
在AC
E
C
D
右上
左上
一个动点与两条平行线的位置关系
①点在两平行线之间
②点在两平行线之外
一个动点与两条平行线的位置关系
（1）∠2=∠1+∠3．
（2）①如图2所示，当点P在 线段DC的延长线上时， ∠2=∠3-∠1
②如图3所示，当点P在线段 CD的延长线上时，∠2=∠1-∠3
_____5_0_°____.
E
B
25°
F
A
75°
D
C
返回
变式训练：1、如图，已知：AB∥CD，CE分别 交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°， 则∠A的度数为（ ） A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
巧用平行解决“拐点”问题
〖探究4〗（犀牛角型或靴子型） 若将点E向线段AB的左上方拉动（如图）. 已知AB∥CD，问 ∠B、∠D、∠ABE的关系.
课堂小结
平行线的“判定”与“性质”有什么不同:
判定：已知角的关系得平行的关系． 推平行，用判定． 性质：已知平行的关系得角的关系． 知平行，用性质．
练一练 已知：AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.
证明： ∵AB ∥ CD
∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2 ∴∠ABC -∠1=∠BCD- ∠2 即∠3=∠4
＝ （n-1)180° ；
变式3：如图,若AB∥CD, 则：
A
BA
E
F
BA
E
F1
C
DC
DC
当左边有两个角，右边有一个角时： ∠A+∠C= ∠E
当左边有两个角，右边有两个角时： ∠A+∠F= ∠E +∠D
B E1
E2 D
当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠ F1 +∠C = ∠ E1 +∠ E2
A
B
G
F
E
H
C
D
解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD ∴AB||CD||EG||FH ∴∠A=∠1，∠2=∠3，∠4=∠D ∴∠A+∠3+∠4=∠1+∠2+∠D ∴∠A+∠EFD=∠AEF+∠D
若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？
A
F1 F2 Fn
B E1
E2
Em