高中数学第一章空间几何体中心投影与平行投影空间几何体的三视图学案新人教A版必修

1.2.1 中心投影与平行投影

1.2.2 空间几何体的三视图

目标定位 1.了解中心投影和平行投影的意义.2.理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的空间几何体.

自主预习

1.投影

(1)投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.

(2)投影的分类

(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.

2.三视图

(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影.

(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.

即时自测

1.判断题

(1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度.(√)

(2)一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样.(×)

提示(2)一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.

2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )

A.球

B.三棱锥

C.正方体

D.圆柱

解析不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.

答案 D

3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

解析①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同.故选D.

答案 D

4.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________(填序号).

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体.

解析线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点.

答案②⑤

类型一中心投影与平行投影

例1 下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确说法的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确.

答案 B

规律方法判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.

训练1 下列命题中，正确的是( )

A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.两条相交直线的投影可能平行

D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

解析平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确.两条相交直线的投影不可能平行，即C错.根据平行投影的性质，知D正确.故选D.

答案 D

类型二画空间几何体的三视图(互动探究)

例2 画出图中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)

[思路探究]

探究点一画三视图时，三视图的排列方法如何？

提示画三视图时，一般地，以正视图为准，侧视图在正视图的正右方，俯视图在正视图的正下方.

探究点二三视图的画法规则是什么？

提示三视图的画法规则如下：

(1)正、俯视图都反映物体的长度长对正；

(2)正、侧视图都反映物体的高度高平齐；

(3)俯、侧视图都反映物体的宽度宽相等.

解正四棱锥的三视图如图所示：

圆台的三视图如图所示：

规律方法画三视图应遵循的原则和注意事项：

(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方.

(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.

(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性.

训练2 如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.

解物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图.

类型三由三视图还原空间几何体

例3 根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状.

解图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：

规律方法由三视图还原空间几何体的步骤：

训练3 若将本例3(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.