真题押真题·数学(第六期) (1)

∴S△COA= 1 ×2× 3 =2 3 ，解得 a= 1 ，
2a
2
∴ 3 =2 3 ， a
∴点 A 的坐标为( 1 ，2 3 ). 2
命题点 5 与切线有关的证明与计算
5.（2019 黄冈 23 题 8 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，过 点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE. （1）求证：△DBE 是等腰三角形； （2）求证：△COE∽△CAB.
之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若α＝90°，AC＝ 5 2 ，且点 G 满足∠AGB=90°，BG＝6，直接写出点 C 到 AG 的距离.
第 10 题图 【推荐区域：河南、云南】
【参考答案】 解：（1） 1 (180 ) ；
2 （2）补全图形如解图，线段 CF，AE，BE 之间的数量关系为 BE 2 3 CF AE .
55
55
第 9 题解图②
命题点 9 类比、拓展探究题
10.（2019 十堰 24 题 10 分）如图①，△ABC 中，CA=CB，∠ACB=α，D 为△ABC 内一点，将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E，且 A，D，E 三点在同 一直线上. （1）填空：∠CDE＝ （用含α的代数式表示）； （2）如图②，若α＝60°，请补全图形，再过点 C 作 CF⊥AE 于点 F，然后探究线段 CF，AE，BE
第 5 题解图 命题点 6 锐角三角函数的实际应用 6.（2019 天津 22 题 10 分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A 处测得正东方向上一座灯塔的
最高点 C 的仰角为 31°，再向东继续航行 30 m 到达 B 处，测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45°.根 据测得的数据，计算这座灯塔的高度 CD（结果取整数）. 参考数据:sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60.
在 Rt△DEB 中，BD= BE = 2 =2 sin D sin 45
2
km，
即 BD 的长为 2 2 km.
第 7 题解图
命题点 7 实际应用题
8.（2019 天水 23 题 10 分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价 10 元/件，已知销售 价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该商品每天的 销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少 元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
第 6 题图 【推荐区域：河南、陕西】
7.(2019 临沂 22 题 7 分）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 AC 方 向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 D（A、C、D 共线）处同时施工．测得∠CAB ＝30°，AB＝4 km，∠ABD＝105°，求 BD 的长．
命题点 8 二次函数综合题
9.（2019 菏泽 24 题 10 分）如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣2），点 A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，抛物 线的对称轴是直线 x＝﹣1． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 P 在第二象限内，且 PE＝ 1 OD，求△PBE 的面积；
x ∴k= 3 . ∴反比例函数的表达式为 y= 3 ；
x
【推荐区域：河南】
第 4 题解图
(2)∵△BOC 为等边三角形，
∴S△BOC= 1 ×CO×BD= 1 ×2× 3 = 3 ，
2
2
∴S△COA=S 四边形 ACBO-S△BOC=3 3 - 3 =2 3 .
设点 A 的横坐标为 a，则点 A 的纵坐标为 3 ， a
第 7 题图
【推荐区域：陕西】
【参考答案】
6.解:根据题意，∠CAD＝31°，∠CBD＝45°，∠CDA＝90°，AB=30 m，
∵在 Rt△ACD 中，tan∠CAD= CD ， AD
∴AD=
CD tan31
.
∵在 Rt△BCD 中，tan∠CBD＝ CD ， BD
∴BD＝
CD tan45
＝CD.
(1) 这次共抽取_____名学生进行统计调查，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小为_ __； (2) 将条形统计图补充完整； (3) 该校共有 1500 名学生，估计该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有多少人？
第 2 题图
【推荐区域：河南、陕西、云南】
【参考答案】 解:（1）50；72°； （2）补全条形统计图如解图所示：
2
2
∵MF2+DF2=DM2，
∴（ 1 b 2 ）2+（5-b）2=1， 2
解得 b=- 28 或 b=-4（舍去）， 5
∴点 M 的坐标为（- 28 ， 4 ）； 55
第 9 题解图①
②当 BD=BM=1 时，如解图②，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， ∵DE⊥x 轴， ∴DE//MN， ∴BN:BD=BM:BE， ∴BN:1=1:BE， ∵E（-5， 1 ），
2 ∴DE= 1 ，
2 ∴BE= 5 ，
2
∴BN:1=1: 5 ，解得 BN= 2 5 .
2
5
∴M 点的横坐标为 4 2 5 ， 5
将 x= 4 2 5 代入 y=- 1 x-2，得 y= 5 ，
5
2
5
即 M 为（ 4 2 5 ， 5 ）. 55
综上所述，点 M 的坐标为（- 28 ， 4 ），（ 4 2 5 ， 5 ）.
【推荐区域：陕西】 【参考答案】 解：（1）∵在这 4 条线路中任选一条，且每条被选中的可能性相同， ∴在 4 条线路中，李欣选择线路 C．“园艺小清新之旅”的概率是 1 ；
4 （2）画树状图如解图：
第 3 题解图 由树状图可知，共有 16 种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有 4 种，
x （2）若四边形 ACBO 的面积是 3 3 ，求点 A 的坐标.
第 4 题图
【参考答案】 解：（1）∵△BOC 为等边三角形， ∴OB=BC=OC=2，∠BOC=60°. 如解图，过点 B 作 BD⊥OC 于点 D， ∴OD=1，BD=2× 3 = 3 .
2 ∴B(-1，- 3 ). ∵反比例函数 y= k 的图象经过点 B，
【参考答案】
第 5 题图
【推荐区域：陕西】
证明：（1）如解图，连接 OD，∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE=90°， 在 Rt△OCE 和 Rt△ODE，
OC OD ∵ OE OE ， ∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL）， ∴DE=CE，∴∠ECD=∠CDE， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CDB=90°， ∴∠B+∠ECD=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴BE=DE， ∴△DBE 是等腰三角形； （2）∵BE=DE=CE， ∴点 E 是 BC 的中点， ∵点 O 是 AC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE∥AB， ∴△COE∽△CAB.
第 百度文库 题图
【推荐区域：陕西、云南】
命题点 2 统计图（表）的分析
2.（2019 武汉 19 题 8 分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分 学生，按四个类别：A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”，C 表示“一般”，D 表示“不喜欢”，调查他们对 汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
∴ 1 x2+x= 1 （﹣x），即 1 x2+ 5 x=0，
4
4
44
解得 x＝-5 或 x=0（舍去），
∴PE= 5 ，BD=1， 4
∴S△PBE＝ 1 ×PE×BD＝ 1 × 5 ×1＝ 5 ；
2
24
8
（3）存在.
①当 DM=DB=1 时，如解图①，过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F，
设 M（b， 1 b 2 ），则 MF= 1 b 2 ，DF=5-b，
又∵AD＝AB＋BD，
∴
CD tan31
＝30＋CD，
∴CD=
30 tan 31 1 tan 31
≈ 30 0.60 ＝45 1 0.60
m.
答:这座灯塔的高度 CD 约为 45 m.
7.解：如解图，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，
∵∠CAB=30°，∠ABD=105°，
∴∠D=45°.
在 Rt△AEB 中，BE=AB·sin∠CAB=4× 1 =2 km， 2
4 （3）在（2）的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的上方，是否存在点 M，使△BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
第 9 题图
【推荐区域：河南】
【参考答案】
解：（1）∵抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（2，0)，抛物线的对称轴为直线 x=-1，
∴点 B 的坐标为（-4，0），
∴设抛物线的表达式为 y=a(x+4)(x-2)，
将点 C（0，-2）代入得 - 8a 2 ，解得 a= 1 ， 4
∴抛物线的表达式为 y= 1 (x+4)(x-2)= 1 x2+ 1 x﹣2；
4
42
（2）设点 P 的坐标为（x， 1 x2+ 1 x﹣2），则点 D 的坐标为（x，0）， 42
第 8 题图
【推荐区域：河南】
【参考答案】
解：（1）由图可知，y 是关于 x 的一次函数，则设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b，
10k b 30
将（10，30），（16，24）代入，得
16k
b
24
，
解得
k b
1 ， 40
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣x+40（10≤x≤16）； （2）根据题意知，W＝(x﹣10)y＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣(x﹣25)2+225， ∵a＝﹣1＜0， ∴当 x＜25 时，W 随 x 的增大而增大， ∵10≤x≤16， ∴当 x＝16 时，W 取得最大值，最大值为 144， 答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元．
各类学生人数条形统计图
第 2 题解图 （3） 23 ×100%×1500=690（人），
50 答：估计该校表示“喜欢”的 B 类学生大约有 690 人. 命题点 3 概率的计算 3.（2019 甘肃省卷 23 题 10 分）2019 年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于 4 月 29 日至 10 月 7 日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了 4 条各具特色的趣玩 路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和 D．“快 速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这 4 条线路中任意选择一条线路游览， 每条线路被选择的可能性相同． （1）李欣选择线路 C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
设直线 BC 的表达式为 y=kx+b，
4k b 0 将 B（-4，0）、C（0，-2）代入，得 b 2 ，
解得
k
1 2
，
b 2
∴直线 BC 的表达式为 y＝﹣ 1 x﹣2， 2
∴点 E 坐标为（x，- 1 x﹣2）， 2
∵点 P 在第二象限，
∴PE＝ 1 x2+x， 4
∵PE＝ 1 OD， 4
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为 4 ＝ 1 ． 16 4
命题点 4 反比例函数综合题
4.（2019 兰州 23 题 7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝ k （k≠0）的图象过等 x
边三角形 BOC 的顶点 B，OC＝2，点 A 在反比例函数图象上，连接 AC，AO. （1）求反比例函数 y＝ k （k≠0）的表达式；
命题点 1 与全等三角形有关的证明与计算
1.（2019 孝感 18 题 8 分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC 与 AD 交于点 E，AC＝BD，求证：AE ＝BE.
【参考答案】 证明：在△ACE 和△BDE 中，
C＝D ∵ AEC＝BED ，
AC＝BD ∴△ACE≌△BDE（AAS）， ∴AE＝BE.