随机过程第1章 预备知识

第一章预备知识
解释与说明
◆随机过程以概率论、线性代数、微积分为学科基础
1.1 特征函数
◆复数z=a+ib,其中a,b为实数，z̅=a−ib称为z的共轭复数
zz̅=a2−b2, 复数z的模|z|=√a+b
欧拉公式e z=e a(cosb+isinb)
◆随机变量的特征函数ϕ(t)=E(e itX)
例设有随机事件X的分布律为
X的特征函数为
ϕ(t)=E(e itX)=e it×0.2+e i2t×0.5+e i3t×0.3
=e it(0.2+e it×0.5+e i2t×0.3)
◆多为随机向量的均值向量和协方差矩阵，以二维情形为例
设X=(X1,X2)T，则
数学期望向量E(X)=(EX1,EX2)T
协方差矩阵Var(X)=E[(X−E(X))(X−E(X))T]
=E{(X1−EX1
X2−EX2)((X1−EX1),(X2−EX2))}
=E((X1−EX1)2(X1−EX1)(X2−EX2)
(X2−EX2)(X1−EX1)(X2−EX2)2
)
=(σ11σ12
σ21σ22)≜Σ
其中，σ11,σ22分别是X1和X2的方差，σ12=σ21是X1和X2的协方差cov(X1,X2)
例如有X=(X1,X2)T，联合分布律为
可见E(X1)=0×0.6+1×0.4=0.4
E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1
数学期望向量E(X)=(EX1,EX2)T=(0.4,1.1)T
又σ11=D(X1)=E(X12)−(E(X1))2=0.4−0.42=0.24
σ22=D(X2)=E(X22)−(E(X2))2=1.9−1.12=0.69
σ12=σ21=cov(X1,X2)=E(X1X2)−E(X1)E(X2)
=0×0.8+1×0.1+2×0.1−0.4×1.1=−0.14
协方差矩阵Σ=Var(X)=(0.24−0.14
−0.140.69)
Σ被称为协方差矩阵，它既是对称矩阵，也是正定矩阵，根据线性代数有关知识，存在正交矩阵B，使得Σ=BB T
◆多维随机向量之间的相互独立，以二维情形为例
设有二维随机变量X=(X1,X2),Y=(Y1,Y2)，若对任意x1,x2,y1,y2，有
F XY(x1,x2,y1,y2)=F X(x1,x2)F Y(y1,y2)
称(X1,X2)与(Y1,Y2)相互独立
1.2 多元正态分布
掌握定理1.2.1和定理1.2.2的结论
◆若n维随机向量(X1,X2,⋯,X n)T服从正态分布N(μ,Σ)，则n为密度函数为
f(x)=
1
√2π
n√|Σ|
{−
1
2
(x−μ)TΣ−1(x−μ)}
◆若n维随机向量X=(X1,X2,⋯,X n)T服从正态分布N(μ,Σ)，则X的任意线性
组合l T X服从一维正态分布，其中l T是常数n维向量
1.3 条件分布与条件期望
条件分布律
求{Y=3}的条件下X的条件分布律
P (X =0Y =3⁄)=P(X=0,Y=3)P(Y=3)=0.30.4=3
4 P (X =1Y =3⁄)=
P(X=1,Y=3)P(Y=3)
=0.1
0.4=1
4
求P(Y =2)的条件下，X 的条件分布律？
习题一
1.1 设随机变量变量X 服从参数为λ的指数分布，求X 的特征函数。

解 已知X 的密度函数为
{λe −λx , x >0
0, 其它
X 的特征函数为
ϕ(t )=E(e
itX
)=∫λe
−λx e
itx
dx =λ∫e −(λ−it )x dx ∞
∞
=−λ
λ−it ∫e −(λ−it )x d((it −λ)x)∞
0 =−λ
λ−it e −(λ−it )x |0∞
=λ
λ−it
1.6 设X 1,X 2,⋯,X n 相互独立且服从相同的正态分布N(μ,σ2)，求1
n ∑X i n i=1的密度函数。

解 首先X =(X 1,X 2,⋯,X n )服从独元正态分布N(μ⃗,Σ)，其中数学期望向量为 μ⃗=(μ,μ,⋯,μ )T
因为X 1,X 2,⋯,X n 相互独立，所以协方差矩阵为 Σ=(σ2⋯0⋮
⋱⋮0⋯
σ2
) 记X
̅=1
n ∑X i
, l
⃗=((1
n ,
1n
,⋯,1
n ))T
n i=1，则根据定理1.2.2，知X
̅服从正态分布，记为N(μ0,σ02
)，且
X ̅的数学期望 μ0=l ⃗T ∙μ⃗=(1
n ,⋯,1
n )(μ
⋮μ
)=μ
X̅的方差σ02=l⃗TΣl⃗=(1
n ⋯1
n
)(
σ2⋯0
⋮⋱⋮
0⋯σ2
)(
1
n
⋮
1
n
)=σ2
n
因此，X̅的密度函数为
f(x)=
√2πσ{−(x−μ0)2
2σ02
}=√n
√2πσ
{−n(x−μ)2
2σ
}。