复数的几何意义(公开课)课件
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复数的几何意义 课件
所以B→A=(5,-5),所以向量B→A对应的复数是 5-5i.
答案:D
归纳升华 解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标, 再根据向量的运算求出所求向量的坐标,从而求出向量所 表示的复数.
类型 3 复数的模(互动探究) [典例❸] (1)已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数
z. (2)已知复数 z=3+ai(a 为实数),且|z|<4,求 a 的取
类型 1 复数与复平面上的点(自主研析)
[典例 1] (1)复数 z=cos 23π+isin π3在复平面内对应
的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)已知复数 z=x+1+(y-1)i 在复平面内的对应点
位于第二象限,则点(x,y)所表示的平面区域是( )
A
B
C
D
(3)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别
值范围.
解:(1)法一 设 z=a+bi(a,b∈R),则|z|= a2+b2,
代入方程得 a+bi+ a2+b2=2+8i,
所
以a+ a2+b2=2,解 b=8,
得ab==-8,15,
所以
z=-
15+8i.
法二 原式可化为 z=2-|z|+8i. 所以|z|= (2-|z|)2+82,即|z|2=68-4|z|+|z|2, 所以|z|=17. 代入 z=2-|z|+8i,得 z=-15+8i. (2)因为 z=3+ai(a∈R), 所以|z|= 32+a2, 由已知得 32+a2<42, 所以 a2<7,所以 a∈(- 7, 7).
归纳升华 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的 距离. (2)计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部, 然后利用模的计算公式进行计算.复数的模是一个非负实 数,可以比较大小. (3)利用复数模的几何意义解题,体现了数形结合的 思想方法.
复数的几何意义及其应用PPT优秀课件
则 ∣ z 1- z 2∣ 的 最 大 值 是 (
)
( A) 6
( B) 5
( C) 4 ( D) 3
解法1:z1 z2z1 (2 i z1 ) 2 z1 i
z1
i
2
max
z1 z2 的最大值是4
解法 2: z1 z2 2i , z1 2i z2
94.对一个适度工作的人而言,快乐来自于工作,有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了,因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣,就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己;而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳,只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
例1
复 数 z 满 足 条 件 ∣ z+2∣ -∣ z-2∣ =4 则复数 z 所对应的点 Z 的轨迹是
(
)
( 1) 双 曲 线 ( B ) 双 曲 线 的 右 支
( C) 线 段
( D) 射 线
例 2. 若 复 数 z 满 足 条 件 ∣ z∣ = 1 , 求 ∣ z-2i∣ 的 最 值 。
例 3 . 已 知 z 1、 z 2∈ C , 且 ∣ z 1∣ = 1 , 若 z 1+ z 2= 2 i ,
最小值是__________.
2 复数 z 满足条件∣z-2∣+∣z+i∣= 5 ,
则∣z∣的取值范围是(
)
(A)
2
5 5
,
5
(C)1, 5
(B)
2
5 5
,2
(D) 1,2
例2.已知复平面内一个椭圆的两 个焦点对应的复数分别是-1+3 i、 -1- i,且复数 1+i 对应的点正好在这 个椭圆上,则这个椭圆方程的复数 形式是———————————
复数的几何意义课件(公开课)
复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义,复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数?
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi,其中a是实部,b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数,其定义为i,其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示,其中e为常数,i为虚数单位,θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离,共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值,记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数,记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标,虚部表示 点的纵坐标。
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义,复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数?
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi,其中a是实部,b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数,其定义为i,其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示,其中e为常数,i为虚数单位,θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离,共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值,记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数,记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标,虚部表示 点的纵坐标。
复数的几何意义PPT精品课件
复数的几何意义
复习 复数的概念 两复数相等的条件 z=a+bi 何时为实数、虚数、纯虚数?
练习 1、以2i-3的虚部为实部,3i+2i2的实部为虚部
的复数是( A )
A. 2-2i B.2+2i C. -3+3i D. 3+3i
2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那 么( B )
练习 4、已知复数z=(2m2-3m -2)+(m2 -2m)i(m∈R)是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数; 求m的值.
实数 一一对应 数轴上的点
01
有序实数对 一一对应 平面直角坐标系中的点
y
(x,y)
x
唯一确一定一对应 一一对应 平面直角坐
z=a+bi
(a,b)
标系中的点
Z(a,b)
A. R∪M=I
B. R∩M={}
C. R M I
D. I M R
练习
3. 复数z a2 3a 4 a2 5a 6 i是纯虚数,则 a7
实数a的值为 B
(A)-1
(B)4
(C)-1或4 (D)-1或6
4.已知(5x-1)+i=y-(3-y)i, x, y∈R,则x=__1__,y=__4__.
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
小结
复数的几何意义 复平面内的点Z(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 平面向量OZ
作业
课本第106页习题3.1A组题5,6
古老而年轻的北京
北京一角
北京夜景
北京历史简介: 两三千年前,在今天的北京
地区,曾分别在两地建立了燕 国和蓟国。七百多年前元朝定 都于今北就城区,称为大都。 明清两朝均以北京城区为都城。 1949年以后,北京成为新中国 的政治和文化中心。
复习 复数的概念 两复数相等的条件 z=a+bi 何时为实数、虚数、纯虚数?
练习 1、以2i-3的虚部为实部,3i+2i2的实部为虚部
的复数是( A )
A. 2-2i B.2+2i C. -3+3i D. 3+3i
2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那 么( B )
练习 4、已知复数z=(2m2-3m -2)+(m2 -2m)i(m∈R)是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数; 求m的值.
实数 一一对应 数轴上的点
01
有序实数对 一一对应 平面直角坐标系中的点
y
(x,y)
x
唯一确一定一对应 一一对应 平面直角坐
z=a+bi
(a,b)
标系中的点
Z(a,b)
A. R∪M=I
B. R∩M={}
C. R M I
D. I M R
练习
3. 复数z a2 3a 4 a2 5a 6 i是纯虚数,则 a7
实数a的值为 B
(A)-1
(B)4
(C)-1或4 (D)-1或6
4.已知(5x-1)+i=y-(3-y)i, x, y∈R,则x=__1__,y=__4__.
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
小结
复数的几何意义 复平面内的点Z(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 平面向量OZ
作业
课本第106页习题3.1A组题5,6
古老而年轻的北京
北京一角
北京夜景
北京历史简介: 两三千年前,在今天的北京
地区,曾分别在两地建立了燕 国和蓟国。七百多年前元朝定 都于今北就城区,称为大都。 明清两朝均以北京城区为都城。 1949年以后,北京成为新中国 的政治和文化中心。
2024版复数的几何意义课件公开课
复数运算在电路分析中的应用
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如,通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差,通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程,可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式,进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨:旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和,形如 $z = a + bi$,其中 $a, b$ 为实数, $i$ 为虚数单位,满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时,复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化,周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中,电压和电流可用复数表示,其中实部表示幅度,虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示,实部表示电阻,虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$,辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角,满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面,其中横轴表示实部,纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如,通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差,通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程,可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式,进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨:旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和,形如 $z = a + bi$,其中 $a, b$ 为实数, $i$ 为虚数单位,满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时,复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化,周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中,电压和电流可用复数表示,其中实部表示幅度,虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示,实部表示电阻,虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$,辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角,满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面,其中横轴表示实部,纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
(完整版)3.1.2《复数的几何意义》ppt课件
模,记做 z 或 a bi
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模??
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义:
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z(a,b)到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i,z2=-2+4i,比较这两
个复数模的大小
解:Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解:m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想:数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习:已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5,求k的值
解:z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向,原点,单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ,都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应,所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
(数)
(形)
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模??
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义:
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z(a,b)到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i,z2=-2+4i,比较这两
个复数模的大小
解:Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解:m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想:数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习:已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5,求k的值
解:z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向,原点,单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ,都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应,所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
(数)
(形)
复数的几何意义(优秀经典公开课课件)
[母题变式] 1.在例 3(2)中,B→A对应的复数是 z,则 z =________. 解析 由例 3(2)的解析可知B→A对应的复数是 5-5i,即 z=5-5i, 所以-z =5+5i.
答案 5+5i
2.在例 3(2)中,若点 A 关于实轴的对称点为点 C,则向量O→C对应的复数为 ________.
A.a=0 或 a=2
B.a=0
C.a≠1 且 a≠2
D.a≠1 或 a≠2
解析 ∵复数 z=(a2-2a)+(a2-a-2)i 对应的点在虚轴上,∴a2-2a=0, ∴a=0 或 a=2.
答案 A
4.已知复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则|z|=____________. 解析 |z|= -12+22= 5. 答案 5
题型二 复数模的几何意义 [例 2] 设 z∈C,在复平面内对应点 Z,试说明满足下列条件的点 Z 的集合 是什么图形. (1)|z|=3;(2)1≤|z|≤2. [解析] (1) |z|=3 说明向量O→Z的长度等于 3,即复数 z 在复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 3,这样的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,3 为半径的圆.
(2)若 z 对应的点在第三象限,则有
a2-1<0, 2a-1<0,
解得-1<a<21.
故 a 的取值范围是-1,21.
[规律方法] 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复数都 对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可 根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
B.-5-5i
C.5+5i
D.5-5i
[解析] (1)由复数的几何意义, 可得O→Z1=(5,-4),O→Z2=(-5,4), 所以O→Z1+O→Z2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以O→Z1+O→Z2对应的复数为 0.
复数的几何意义ppt课件(公开课)
阻抗
在交流电路中,电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示,实部表示电阻,虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号,频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示,方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时,可用复数表示各波的振幅和相位,便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$,$z_2 = c + di$,则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$,$z_2 = c + di$,则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数, 其中 $a$ 和 $b$ 是实数,$i$ 是虚数单位,满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中,$a$ 称 为实部,$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$,则其共轭复 数为 $a - bi$。
模
《3.1.2 复数的几何意义》PPT课件(河北省县级优课)
都是实数; D、在复平面内,虚轴上的点所对应的复数
都是纯虚数。(除原点外)
2、当m<1时,复数z=2+(m-1)i在复平面 上所对应的点位于( D ).
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知复数
z1
4 3i, z2
1 2
2i,
求 z1 和 z2 ,并比较它们模的大小.
【解析】 z1 42 32 5;
z2
1 2
2
2 2 3; 2
5
3 , 2
z1
z2
.
注: z 0; 两个复数的模可以比较大小;
小结
4、在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2- 3m+2)i 的对应点
(1)在虚轴上;(2)在第三象限;
(3)在直线y=x 上;
分别求实数m的值或取值范围.
小结
一一对应
复平面内点(a,b)
一一对应 平面向量 OZ
3、复数的模及其几何意义
z a bi OZ a2 b2
几何意义:复数 z=a+bi在复平面上
对应的点Z(a,b)到原点的距离.
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想:数形结合思想
复数的几何意义(二)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应
Z(a,b)
y
3+i
OA3,1
b
OB 2,ห้องสมุดไป่ตู้1
2-i
OZ
a
1
A(3,1)
o 12 3
x
-1
B(2,-1)
三、复数的模及其几何意义
都是纯虚数。(除原点外)
2、当m<1时,复数z=2+(m-1)i在复平面 上所对应的点位于( D ).
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知复数
z1
4 3i, z2
1 2
2i,
求 z1 和 z2 ,并比较它们模的大小.
【解析】 z1 42 32 5;
z2
1 2
2
2 2 3; 2
5
3 , 2
z1
z2
.
注: z 0; 两个复数的模可以比较大小;
小结
4、在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2- 3m+2)i 的对应点
(1)在虚轴上;(2)在第三象限;
(3)在直线y=x 上;
分别求实数m的值或取值范围.
小结
一一对应
复平面内点(a,b)
一一对应 平面向量 OZ
3、复数的模及其几何意义
z a bi OZ a2 b2
几何意义:复数 z=a+bi在复平面上
对应的点Z(a,b)到原点的距离.
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想:数形结合思想
复数的几何意义(二)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应
Z(a,b)
y
3+i
OA3,1
b
OB 2,ห้องสมุดไป่ตู้1
2-i
OZ
a
1
A(3,1)
o 12 3
x
-1
B(2,-1)
三、复数的模及其几何意义
复数的几何意义 课件
b
Z(a,b)
易知 z = a2 + b2
0
ax
这是复数的又一种几何意义.
探究点3 实数绝对值的几何意义:
实数a在数轴上所对应的
点A到原点O的距离.
a x
OA
|a| = |OA|
a(a ≥ 0) a(a 0)
探究点4 复数的模的几何意义:
复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
复数的几何意义
探究点1 复数的几何表示 有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数)
一一对应
直角坐标系中
的点Z(a,b) (形)
y z=a+bi
建立了平面直角坐标系来 表示复数的平面——复平面
b
Z(a,b)
x轴——实轴
0
ax
y轴——虚轴
这是复数的一种几何意义.
总结提升 一般地,实轴上的点,虚轴上的点,各象限内
例3 满足3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在复平面 上将构成怎样的图形?
y 5
3
解 设z=x+yi(x,y∈R)
–5 –3
3 x2 y2 5
OO
35
x
9 x2 y2 25
–3
–5 图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
z=a+bi
y
Z(a,b)
O
x
|z|=r=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
例2 满足|z|=5(z∈C)的
y
5
复数z对应的点在复平面上
将构成怎ห้องสมุดไป่ตู้的图形?
复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎么平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复
数可能改变.
3.已知复数 2 + − 2 + ( 2 − 3 + 2)( ∈ )是4 − 20的共轭复数,求的值.
2
解:由题意得,4 − 20的共轭复数为,则 2 + − 2 = 4,
或不等式(组)求解.
2.(1)向量1 对应的复数是5 − 4,向量2 对应的复数是−5 + 4,则1 + 2 对
应的复数是( ).
A.−10 + 8
B.10 − 8
C.0
D.10 + 8
答案:C.
(1)由复数的几何意义,得1 = (5, −4),2 = (−5,4),
数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 = +
(, ).
这是复数的一种几何意义.
一一对应
复平面内的点
思考2:在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,
l
而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗?
如图,设复平面内的点表示复数,连接,显然向量由点唯一确定;反过来,点
即|| = | + | = 2 + 2 ,其中, ∈ .
如果 = 0,那么 = + 是一个实数,它的模就等于||(的绝对值).
例2 设复数z1=4+3i,z2=4-3i.
(1) 在复平面内画出复数z1,z2对应的点和向量;
(2) 求复数z1,z2的模,并比较它们的模大小.
答案:D.
(2)由复数的几何意义,得 = (2, −3), = (−3,2),
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在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
u u ur | z | = |O Z |
a2 b2
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小结
18
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
5
回
复数的
忆
一般形
…
式?
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由什么唯 一确定?
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6
思考1 : 复数与点的对应
Y
(1) 2+5i ;
(4) -3-5i; (5) 5; (6) -3i;
2 O
5
X
6
3
4
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7
思考2:点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
、y= - 3 2
.
特别地,a+bi=0 a=b=0 .
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2
课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定 ① i 2=-1; ②可以与实数一起进行四则运算.
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 实部、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数
b=0 、z为纯虚数
b
0
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi(a、bR)的形式.
∴m=1或m=-2.
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16
复数的几何意义(二)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
u u ur
平面向量 O Z
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
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小结
17
复数的绝对值 u
u(u复r 数的u模u ur)
的几何意义:
对应平面向量 O Z 的模|O Z |,即复数 z=a+bi
2 -i =
;-2i =
;5=
;0=
;
3. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
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4
实数的几何意义
在几何上, 我们用什么 来表示实数?
实数 (数)
实数可以用数轴 上的点来表示.
一一对应
数轴上的点 (形)
类比实数的
想
表示,可以
一
用什么来表
想
示复数?
?
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虚数”的A( ).
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对
应的点在虚轴上”的C( ).
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
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13
练一练
•复平面内的原点(0,0)表示( 实数0); •实轴上的点(2,0)表示( 实数2); •虚轴上的点(0,-1)表示( 纯虚数-i ); •点(-2,3)表示( 复数-2+3i).
|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,
它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可
知: |z|= |a+bi|=r= a2 + b2(r 0,r ∈ R ).
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20
例3 求下列复数的模: (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
教学重难点
重点
•对复数几何意义的理解以及复数的向 量表示.
难点
•由于理解复数是一对有序实数不习惯,对 于复数几何意义理解有一定困难.
•对于复数向量表示的掌握有一定困难.
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1
想一想 练一练
4.已知x、yR,
5
(1)若(2x-1)+i=y-(3-y)i ,则x= 2 、 y= 4 ;
4 (2) 若(3x-4)+(2y+3)i=0,则x= 3
(代数问题)
一种重要的数学思想:数形结合思想
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变式一:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0 上,求实数m的值.
解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2),
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0,
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0)
a
(a
0)
Ox
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是P实PT学习数交流 绝对值概念的推广
19
注意
成点为Z或了说方便成起向见量,Ou我uZur们且常规把定复相数等z=的a+向bi量说 表示同一个复数.
向量OuuZur 的模r叫做复数z=a+bi的模,记作
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例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围.
解:由 m m22m m2600 得m32或 mm21
m ( 3 , 2 ) (1 ,2 )
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
G
C
F
O
A E
D
B
H
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X
8
总结
由此可知,复数集C和复平面内所 有的点所成的集合是一一对应的.
结论 复数的几何意义之一是: 记住!
复数 一一对应 复平面内
z=a+bi
的点Z(a,b)
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9
复数的几何意义(一)
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
思考: (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)满足|z|=5(z∈C)这的些z值复有几数个对?应的点在复 平面上构成怎样的图形?
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小结
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例1.辨析:
1.下列命题中的假命题是(D)
(A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上;
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上;
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.
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2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯
(数)
(形)
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
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观察
注意
实轴上的点都表示实数;虚
轴上的点都表示纯虚数,除原点 外,因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标 轴上的单位长度是1,而不是i.