无理数指数幂及其运算性质-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
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4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共21张PPT高一上学期数学 人教A版必修第一册
思
.
、
自研教材107-108页，导学案177-179页，课时练85-86页，思考
以下问题：
2
1.类比无理数的发现和确定过程，如何理解5 的意义？
2.无理数指数幂的含义是什么？
3.实数指数幂的运算性质是什么？与有理数指数幂的
运算性质有何区别？
4. 如何用a m , an 表示am-2n ？a1/2+a-1/2和a+a-1有怎样的联
过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
≈3+
1
7+0.0625135
1 22
≈3+ = ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
7
7
1 22
有理数为 3+ = ,类似地,把 2化为连分数形式:1+
7
7
1
+
1
+
1
+
到 1 之间的无理数),舍去 r 得到逼近 2的一个有理数为
系？
高一数学组
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
无理数指数幂
类比无理数的发现和确定过程，如何理解5
2
的意义？
每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.
的值呢？
那么，如果不用计算器，我们如何来估算
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
小数位数相同的 2的过剩近似值与不足近似值的差是有规律的：
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
7-9
2+2+3-2 2
-2
1
=4 =4 = .
16
无理数指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版(完整版)
(4)最后结果只能保留根式或分数指数幂的一种，分式和负指数幂的一种.
公式：
完全平方公式：(a+b)2 a2 2ab b2; (a-b)2 a2 2ab b2;
平方差公式：a2 -b2 （a+b）(a-b) 立方和公式 : a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 立方差公式 : a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
…
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5x 和5y 都趋向于同一个数，这个数就是 5 2 . 也就是说，5 2 是一串逐渐增大的有 理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142， 和另一串逐渐减小的有理数指数幂 51.5，51.42，51.415，51.4143， 逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. 这个过程可以用图4.1-1表示 .
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
4.有理指数幂的运算性质
指数的概念从整数指数推广到了有理数指数, 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数.
那么，当指数x是无理数时，a x 的意义是什么？它是一个确定的数吗？
1 3
2 3
2 3
24 y.
题型一 无理数指数幂的运算 例1
关于指数幂运算的几个注意问题:
(1)题目未作说明时，都默认其中字母的取值使式子有意义； (2)运算时：①小数和分数一般统一化成分数，根式和分数指数幂一般 统一化为分数指数幂；
②注意乘法公式的应用 (3)原式全为根式保留根式，最后结果中的负整指数幂化为分式(数).
图4.1-1
问题2：参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3， 说明它也是一个确定的实数吗？
公式：
完全平方公式：(a+b)2 a2 2ab b2; (a-b)2 a2 2ab b2;
平方差公式：a2 -b2 （a+b）(a-b) 立方和公式 : a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 立方差公式 : a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
…
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5x 和5y 都趋向于同一个数，这个数就是 5 2 . 也就是说，5 2 是一串逐渐增大的有 理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142， 和另一串逐渐减小的有理数指数幂 51.5，51.42，51.415，51.4143， 逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. 这个过程可以用图4.1-1表示 .
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
4.有理指数幂的运算性质
指数的概念从整数指数推广到了有理数指数, 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数.
那么，当指数x是无理数时，a x 的意义是什么？它是一个确定的数吗？
1 3
2 3
2 3
24 y.
题型一 无理数指数幂的运算 例1
关于指数幂运算的几个注意问题:
(1)题目未作说明时，都默认其中字母的取值使式子有意义； (2)运算时：①小数和分数一般统一化成分数，根式和分数指数幂一般 统一化为分数指数幂；
②注意乘法公式的应用 (3)原式全为根式保留根式，最后结果中的负整指数幂化为分式(数).
图4.1-1
问题2：参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3， 说明它也是一个确定的实数吗？
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3 + −3
1
+ −
1
3 + −3
3
= 2 +
1
2
+ 1 = 2 2 + 1．
5 + 2，
+1
（3） ∵ + = 8， = 9，
∴ − 2 = + 2 − 4 = 64 − 36 = 28．
∵ > > 0， ∴ − = 2 7 ．
（5） − .
−
−
− ( + ) +
−
+
×
+ − . + − . �� ；
25 2
9
5
3
+
（5）8 − 0. 5
−3
1 −3
2
−
64 −3
27
+
4 −2
3
2
3
2
3
−3+
+
+ 3
2 3
3
2
+1
−
= 0. 43
2
−2
+ 2
10 −3
27
− 3π0 +
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
br(b>0) ④ar÷as=ar－s
典型例题
题型一：利用分数指数幂的运算性质化简求值
【 例 1】（ 2023·全 国·高 一专 题练 习） 计算 下列 各式 的值 ．
（1）.
（4）
−
1
+ −
1
3 + −3
3
= 2 +
1
2
+ 1 = 2 2 + 1．
5 + 2，
+1
（3） ∵ + = 8， = 9，
∴ − 2 = + 2 − 4 = 64 − 36 = 28．
∵ > > 0， ∴ − = 2 7 ．
（5） − .
−
−
− ( + ) +
−
+
×
+ − . + − . �� ；
25 2
9
5
3
+
（5）8 − 0. 5
−3
1 −3
2
−
64 −3
27
+
4 −2
3
2
3
2
3
−3+
+
+ 3
2 3
3
2
+1
−
= 0. 43
2
−2
+ 2
10 −3
27
− 3π0 +
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
br(b>0) ④ar÷as=ar－s
典型例题
题型一：利用分数指数幂的运算性质化简求值
【 例 1】（ 2023·全 国·高 一专 题练 习） 计算 下列 各式 的值 ．
（1）.
（4）
−
新人教A版必修一 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(20张)
m 2 .
【加练·固】
计算
5
a 6a 6 a.
【解析】原式=
5
a6 6
=a0=1.
类型二 指数运算在实际问题中的应用
【典例】某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次
(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经
过 世纪金榜导学号( )
A.12 h B.4 h
C.3 h
D.2 h
【思考】 (1)实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质 相同吗? 提示:相同.
(2)指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的? 提示:
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)无理数指数幂有的不是实数. ( )
(2)指数幂ax(a>0)中的x只能是有理数. ( )
(3) (3 2 ) 2 9.
【解析】(1)原式= (3 2 2 3 )3 2 36 22 2 916.
(2)原式=
2
a6 3数指数幂在运算时有什么异同?
提示:运算性质是一样的;不同的是一个是进行无理数 指数运算,一个是进行有理数指数运算.
【类题·通】 关于无理数指数幂的运算
m
【解析】 ( n ) 3 n 3m 3.
m
答案: n 3m 3
类型一 无理数指数幂的运算 【典例】计算下列各式
2
（1）(3
23
2
2 )3
（2 . 2）a
6a a
3
.
【思维·引】(1)将 3 2 2 化为指数式,再用无理数指数 幂的运算性质运算. (2)利用无理数同底数幂的运算性质计算.
2
()
提示:(1)×.无理数指数幂对应一个确定的实数. (2)×.指数幂ax(a>0)中的x是任意实数. (3)√. (3 2 ) 2 3 2 2 32 9.
无理数指数幂及其运算性质-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必一)
人教A版2019必修第一册
第 4 章 指数函数与对数函数
4.1.2
无理数指数幂及其运算性质
目录
教学目标
1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.
2.理解指数幂的运算性质.
3.能进行指数幂(实数幂)的运算。
01
情景导入
情景导入
公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名
叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕
1.414 2
1.414 3
9.738 461 907
1.414 21
1.414 22
1.414 213
1.414 213 5
1.414 213 56
1.414 213 562
…
9.738 508 928
9.738 516 765
9.738 517 705
9.738 517 736
…………
…
1.414 214
…………
…
概念讲解
由图表可以发现，当 2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近 2时，
，这个数就是
．也就是说，5 2 是一串逐渐增大的有
理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，
51.42，51.415，51.4143，…
的结果，它是一个
时意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，
那么它有什么运算性质呢？
02
无理数指数幂
概念讲解
目前我们将 ax (x＞０)中的指数x的取值范围从整数拓展到了
当指数x是
．
时，ax 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那
么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数. 类似地，也可以
人教A版高中数学必修第一册4无理数指数幂及其运算性质课件
例题讲解
例2：某种细菌在培养过程中,每15min分裂一次(由1个分裂成2个), 这种细菌由1个分裂成4096个需经过( C )
A.12h
B.4h
C.3h
D.2h
例题讲解
指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中,常常用到指数运算, 用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
课堂小结
无理数指数幂 及其运算性质
1.无理数指数幂 2.实数指数幂运算性质 3.指数幂综合练习
谢谢观看！
1.受地形影响,亚洲的河流多发源于中 部山地 、高原, 呈放射 状流向 周边的 海洋,源 远而流 长 2.季风气候雨热同期,有利于农业生产, 但是降 水很不 稳定,容 易发生 旱涝灾 害。
3.亚洲各种气候类型中,影响范围最大 的是温 带大陆 性气候;降水最 多的是 热带雨 林气候 。 4.亚洲地跨寒温热三带,且气候复杂多 样,除温 带海洋 性气候 和热带 草原气 候之外, 世界上 各种气 候在亚 洲都有 分布。 5.综合思维是地理学基本的思维方法, 指人类 具备的 全面、 系统、 动态地 认识地 理事物 和现象 的思维 品质与 能力。 6.人地协调观是地理学和地理教育的 核心观 念,指人 们对人 类与地 理环境 之间形 成协调 关系的 必要性 和可能 性的认 识、理 解和判 断。 7.能够理解人们对人地关系认识的阶 段性表 现及其 原因;能 够结合 现实中 出现的 人地矛 盾的实 例,分析 原因,提 出改进 建议。 8.中东地区气候以热带沙漠气候为主, 终年高 温,太阳 辐射强 。白色 服装对 太阳辐 射的反 射作用 强,吸收 热量较 少,所 以阿拉 伯人传 统服装 是白色 的缠头 巾和宽 大的白 色长袍 。
人教A（2019版）高一上
数学人教A版必修第一册4.1.2无理数指数幂及其运算性质共14张ppt
(1)(3 23 2 2)3 2；
(2)aπ6 a23π . aπ
((11))原原式式＝＝＝((33(3222×2×2×2232322332)23)32)3322＝22＝＝＝33636××6×22222 2＝2 916.
a a ＝＝22991166..
(2)原式＝aπ6
6π＋23+π (223－π)π原-＝式πa－＝π6 aπ6.-
3．计算： 20
1
2
2
1
86
___________．若10x
2
，10 y
3 ，则
3x y
10 2
________________．
解：原式=1+ 2 1 2 =0
3x-y
10 2
3x-y
=(10 )
1 2
=
10 3x
10y =
8
3
2
=
6
3
4．已知
a
1
23
，b
1 42
，求
a
1 2
b
ab2 (
， 又 x－y＝6，xy＝又16x，－y＝6，xy＝16， y＝1∴6，(x ＋y)2＝(x －∴y)2(＋x ＋4xyy)2＝＝6(2x －y)2＋4x
y
＝
62
∴(x ＋y)2＝(x＋－4y×)21＋6＝4x1y0＝0.62＋4×16＝100.
＋4当×∴1xx6＋＝＋y1y＝＝0011.00时或，x原＋∴式y＝x值＋－为y1＝100.1－062或×x4＋∴＝yx3＝＋，－y＝101.0 或 x＋y＝－10.
思考 1：2 2一定是实数吗？
提示：根据无理指数幂的定义 2 2是实数．
知识点二 实数指数幂的运算性质
高中数学(新人教A版)必修第一册：无理指数幂及其运算【精品课件】
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
指数幂的运算法则
由上可以看出：5 2 可以由 2 的不足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
2.指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s R);
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
探究新知
无理数指数幂
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无
理数指数幂．
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一 个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 数幂
当堂达标
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
[答案]A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若成立， 需要满足 a≠1，故选 A.]
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
＝－1ac－1＝－ a .
3
3c
(3)原式＝2a
1 3
÷(4a
1 6
b
1 6
)·(3b
3 2
)＝1a
1 -1 36
-1
b6
3
·3b 2
＝3a
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
4
b3
)
[答案] (1)× (2)× (3)×
2
2．45等于( )
…
指数幂的运算法则
由上可以看出：5 2 可以由 2 的不足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
2.指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s R);
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
探究新知
无理数指数幂
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无
理数指数幂．
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一 个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 数幂
当堂达标
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
[答案]A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若成立， 需要满足 a≠1，故选 A.]
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
＝－1ac－1＝－ a .
3
3c
(3)原式＝2a
1 3
÷(4a
1 6
b
1 6
)·(3b
3 2
)＝1a
1 -1 36
-1
b6
3
·3b 2
＝3a
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
4
b3
)
[答案] (1)× (2)× (3)×
2
2．45等于( )
【新教材精创】412无理数指数幂及其运算性质课件(2)-人教A版高中数学必修第一册(共18张PPT)
1
解:(1)将 2
-
1 2
5的两边平方,
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. (2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9, 即a2+a-2=7. (3)设y=a2-a-2,两边平方,得
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以 y=±3 5,即 a2-a-2=±3 5.
(3)2 3 a ÷4 6 a· b ·3 b3.
解：(1)原式＝(0.33)
1
3－
5 22
1 2
＋(44)
3 4
＋(2
3 2
)
2 3
－1＋1＝
3
0.3－5＋43＋2－1＋1＝64 7 .
2
3
15
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－1a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 3
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6 3.
③
11
1
a 2 -b2
将②③代入①，得 1 1
a2 b2
12 - 2 92
＝ -6 3
＝－
3. 3
人教版必修上册
解:原式=
25 4
3
27 + 4
8
10620500-1=52
3 2
+
12-1=12.
题型分析 举一反三
题型一 指数幂的运算性质化简求值
例 1 化简求值
(1)0.027
1 3
－
614
1
3
无理指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版
21
11
15
(1) (2a3b2 ) (6a2b3 ) (3a6b6 );
(2)
1
(m4
3
n8
)8；
(3)（3 a2 - a3） 4 a2 .
21
11
15
解： (1) (2a 3b2 ) (6a 2b3 ) (3a 6b6 )
＝[2×(－6)÷(－3)]
a
2 3
1 2
1 6
b
1 2
1 3
5 6
＝4ab0 ＝4a.
…
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
归纳总结
有理数指数幂的运算性质：
（1） aras ars (a 0, r, s Q) ； （2） (ar )s ars (a 0, r, s Q) ；
（3） (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q) .
例题
课本106页
例 2：求值：
2
（1）83 ;
（2）(16
)
3 4
.
81
b 4)
2 3
1(
5 3
)
3 2
a0b2
=
3 2
b2
.
答案：A
3．计算：
－338
2 3
＋(0.002)
1 2
－10(
5－2)－1＋(
3－
2)0.
4.1.2无理数指数幂及其运算性质(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
2. 解决此类问题的一般步骤：
内容索引
活动五 实数指数幂的综合应用
例 4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
1
1
【解析】 方法一：因为 a>0，b>0，又 ab＝ba，所以(ab) b＝(ba) b，
a
1
所以 a＝bb，所以 a＝(9a) 9，
所以
8
1
a9＝99，所以
a8＝32，所以
a＝4
3.
方法二：因为 ab＝ba，b＝9a，所以 a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，所以
a9＝9a，a8＝9，所以 a＝4 3.
内容索引
指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便， 我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等 目的．
内容索引
已知 67 x＝27,603y＝81，求3x－4y的值．
3
4
【解析】 由 67x＝33，得 67＝3 x.由 603y＝81，得 603＝3 y，
所以
3
4
y－
3x＝66073＝9＝32，
所以4y－3x＝2，故3x－4y＝－2.
内容索引
内容索引
1. (2022·内江威远中学高三阶段练习)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
的值是( )
【解析】
＝
＝(2 ) ＝24－2＝4.
内容索引
(2) 1.5－13×－760＋80.25×4 2＋(3 2× 3)6－ 2323. 【解析】 原式＝2313×1＋(23) 14×214＋(213×312)6－2313＝2＋4×27＝110.
内容索引
1. 式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把 根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．
内容索引
活动五 实数指数幂的综合应用
例 4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
1
1
【解析】 方法一：因为 a>0，b>0，又 ab＝ba，所以(ab) b＝(ba) b，
a
1
所以 a＝bb，所以 a＝(9a) 9，
所以
8
1
a9＝99，所以
a8＝32，所以
a＝4
3.
方法二：因为 ab＝ba，b＝9a，所以 a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，所以
a9＝9a，a8＝9，所以 a＝4 3.
内容索引
指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便， 我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等 目的．
内容索引
已知 67 x＝27,603y＝81，求3x－4y的值．
3
4
【解析】 由 67x＝33，得 67＝3 x.由 603y＝81，得 603＝3 y，
所以
3
4
y－
3x＝66073＝9＝32，
所以4y－3x＝2，故3x－4y＝－2.
内容索引
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1. (2022·内江威远中学高三阶段练习)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
的值是( )
【解析】
＝
＝(2 ) ＝24－2＝4.
内容索引
(2) 1.5－13×－760＋80.25×4 2＋(3 2× 3)6－ 2323. 【解析】 原式＝2313×1＋(23) 14×214＋(213×312)6－2313＝2＋4×27＝110.
内容索引
1. 式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把 根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．
高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件新人教A版必修第一册
课堂检测•固双基
1．下列能正确反映指数幂的推广过程的是( A ) A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂 B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂 C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂 D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
2．计算 A. 2 C．2
[解析]
的结果是( D ) B．－ 2
(3)由于
，所以有
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
[归纳提升] 解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但 有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形， 构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地 求出代数式的值． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中 a>0，b>0)：
对点练习❶ 计算下列各式： [解析]
题型二
指数幂运算的条件求值问题
典例 2 已知
＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
.
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
[解析] (1)将
＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，即 a＋a－1＝
7. (2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
[分析] 根据已知条件3a＝4b＝6c，设一个参数t，用含t的式子表示
a，b，c，从而找到a，b，c之间的关系．
[解析] 令 3a＝4b＝6c＝t(t>0)，则 3＝ ，2＝
因为 3×2＝6， 即1a＋21b＝1c，所以2c＝2a＋1b.
[归纳提升] 对于指数幂等式的证明问题常常是将指数幂化为同 底，利用指数幂相等的规律进行证明．解决此类问题的关键是通过指数 运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论的联系，这样才能使 问题迅速得到解决．
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版
第四章 指数函数与对数函数
指数 无理数指数幂及其运算性质
互动探究
讲授新课
当堂练习
课堂小结
我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 我们规定，正数的负分数指数幂的意义
我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用
aras ars a 0，r，s Q；
ar s ars a 0，r，s Q；
abr arbr a 0，b 0，r Q.
常见形式：
例1 求值： 解：
例1 求值：
解：
总结：（1）用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简 化根式的运算。 （2）运算时尽量化为同底数的幂，即便个项不能 都化为相同的底数，也要尽可能减少底数的种类。
无理数指数幂
三、用指数幂的形式表示根式
谢谢收看
因为喜欢而学习 因为通透而热爱！ 让我们一起加油
近似值
整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用，即 对于任意实数r,s 均有下面的运算性质．
aras ars a 0，r，s R；
ar s ars a 0，r，s R；
abr arbr a 0，b 0，r R.
一、有理数指数幂逼近无理数指 数幂
二、实数指数幂的运算性质
实数
有理数
整数 分数
有限小数 无限循环小数
无理数
无限不循环小数
…
1、、、1.111…
1 1.1
1.4
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
一种通用的方式：
、、、、、、…
的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 …
近似值
指数 无理数指数幂及其运算性质
互动探究
讲授新课
当堂练习
课堂小结
我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 我们规定，正数的负分数指数幂的意义
我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用
aras ars a 0，r，s Q；
ar s ars a 0，r，s Q；
abr arbr a 0，b 0，r Q.
常见形式：
例1 求值： 解：
例1 求值：
解：
总结：（1）用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简 化根式的运算。 （2）运算时尽量化为同底数的幂，即便个项不能 都化为相同的底数，也要尽可能减少底数的种类。
无理数指数幂
三、用指数幂的形式表示根式
谢谢收看
因为喜欢而学习 因为通透而热爱！ 让我们一起加油
近似值
整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用，即 对于任意实数r,s 均有下面的运算性质．
aras ars a 0，r，s R；
ar s ars a 0，r，s R；
abr arbr a 0，b 0，r R.
一、有理数指数幂逼近无理数指 数幂
二、实数指数幂的运算性质
实数
有理数
整数 分数
有限小数 无限循环小数
无理数
无限不循环小数
…
1、、、1.111…
1 1.1
1.4
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
一种通用的方式：
、、、、、、…
的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 …
近似值
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 (课件)-高一数学必修第一册同步高效课堂(人教A版2019)
5x的近似值 …
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 …
5y的近似值 …
学习新知
2的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …………
2 3
2
(1) 2 3 m 3 ;2 a 3 a 3 a
【解析】
23
3
(1)原式= 2 3 m 2 26 m3 64m3
2
(2)原式= a 3 3
a0
1.
应用新知
例 2 从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后加满水，再倒出 1 升混合溶 液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与 总溶液的体积之比低于 10%.
2
4 2 (1)
2 1
32
2
; (2)
38 3 33 3
3
2 2
; (3) 2
【解析】(1)原式= 22 22 232 2 22 2232 2 25 32
(2)原式=
23
3
= 3
3
3 3 3
23
3 3
3
3
3 3
23 3 24
2
(3)原式=
2 2
2
2
5x的近似值 9.518 269 694 9.672 669 972 9 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 …………
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无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
1
1
x2 ＋y2 【对点练习】❷ 已知 x－y＝6，xy＝16，求 1 1 的值．
x2 －y2
[解析]
1
1
1
1
例 1 计算下列各式：
(1)(3 23 2 2)3 2；
π 2π
a6 a 3 (2) aπ .
[解析] (1)原式＝(3 2×2 32)3 2＝36×22＝2 916.
π 2π
π
(2)原式＝a6 ＋ 3 －π＝a－6 .
无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
的值代入求值，则非常复杂．
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无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
• (2)解决此类问题的一般步骤是
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无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条
1
1
件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过 a2 ＋a－2 ＝3 解出 a
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【对点练习】❶ 计算下列各式：
(1)
π
3
2
π
3
3；
π
π
(2)(m3 m－6 )12.
[解析]
(1)原式＝(π
) 3－ 3 2 2
3＝(π 23)2
3＝π3.
ππ
π
(2)原式＝(m3 －6 )12＝(m6 )12＝m2π.
无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
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题型二 指数幂运算的综合应用
1
1
例 2 已知 a2 ＋a－2 ＝3，求下列各式的值．
3
3
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a21
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关键能力·攻重难
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题型探究 题型一 无理数指数幂的运算
第四章
指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
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基础知识 •知识点1 无理数指数幂
• 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是_____一__个__确__定__的__实__数_.
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• [归纳提升] 关于无理数指数幂的运算 • (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算． • (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根
式可以保留．
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无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
ππ
π
2．a3 a6 ＝___a_2___.
3．(mn ) 3＝____n_3_m_－__3___.
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－a－2
1
.
a2 －a－2
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
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1
1
[解析] (1)将 a2 ＋a－2 ＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，
(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 只能是有理数．
(3)(3 2) 2＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
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[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确； (2)指数幂 ax(a>0)中的 x 是任意实数，不正确； (3)(3 2) 2＝3 2× 2＝32＝9，正确，故选 B．
即 a＋a－1＝7.
(2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
3
(3)由于 a2
3
－a－2
1
＝(a2
1
)3－(a－2
3
)3，所以有a21 a2
3
－a－2
1
－a－2
1
1
1
1
＝a2
－a－2
a＋a－1＋a2
1
1
·a－2
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
a2 －a－2
思考 1：2 2一定是实数吗？ 提示：根据无理指数幂的定理 2 2是实数．
无理数指数幂及其运算性质-【新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
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•知识点2 实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R) • (1)aras＝_____a_r＋__s _.(2)(ar)s＝__a_r_s ___.(3)(ab)r＝a_r_b_r_____.
• 思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？ • 提示：
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基础自测
1．下列说法正确的个数是( B )
(1)无理数指数幂有的不是实数．