工程数学教案1-1排列及其逆序数、行列式的定义与性质
工程数学线性代数教学大纲
《工程数学线性代数》教学大纲一、课程性质、地位和任务线性代数是一门重要的数学基础课程，已被广泛地应用于管理学科的各个领域，它是理工科大学生必备的基础知识。
本课程基本任务是学习行列式，矩阵及其运算，向量的线性相关性，矩阵的初等变换与线性方程组，相似矩阵及二次型，线性空间等理论及其有关知识。
在教学过程中注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提高学生分析问题解决问题的能力。
通过本课程的学习，使学生具备有关线性代数的基本理论及方法，并能用它解决一些实际问题，为学生学习后续课程打下必要的数学基础。
二、课程基本要求理论和知识方面掌握本课程的基本知识和基本理论，如行列式的概念和性质、克拉默法则、矩阵的概念及线性运算、逆矩阵的概念、矩阵的初等变换、矩阵的秩、n维向量的概念、向量组线性相关性的概念、向量空间的概念、线性方程组的解的结构、线性方程组基础解系、特征值与特征向量的概念、相似矩阵的概念、正交变换、二次型、二次型的矩阵表示等。
能力和技能方面掌握本课程的基本技能，如行列式的计算、矩阵的运算、矩阵初等变换、逆矩阵的计算、矩阵及向量组秩的计算、向量组线性相关性的判别、线性方程组的求解、施密特正交化过程、矩阵特征值与特征向量的计算、实对称矩阵的相似变换、化二次型为标准形的方法等。
该课程基本要求的设置分三个层次，其中对概念与理论用“理解”、“了解”和“知道”表述，对方法和运算用“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。
三、课程内容及学时分配第一章行列式（8学时）第一节二阶与三阶行列式第二节全排列及其逆序数第三节 n阶行列式的定义第四节对换第五节行列式的性质第六节行列式按行(列)展开第七节克拉默法则基本要求：一、了解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质。
二、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开的定理计算行列式。
三、了解克拉默(Gramer)法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。
重点：行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。
工程数学教案1-1排列及其逆序数、行列式的定义与性质
教案头教学详案一、回顾导入（20分钟）——在中学里，通过代入消元法和加减消元法求解二元、三元一产供销线性方程组。
例如方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 中，未知量1x 、2x 的系数可以用以下的记号来表示：22211211a a a a ，从而引入新课。
二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟）一、二阶与三阶行列式1. 二阶行列式定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表)1(,22211211a a a a表达式21122211a a a a -称为数表(1)所确定的二阶行列式，并记作)2(,22211211a a a a即2112221122211211a a a a a a a a D -==计算方法 对角线法则2112221122211211a a a a a a a D -==。
2. 三阶行列式定义 由九个数排成三行三列的数表)3(,333231232221121211a a a a a a a a a表达式(4)称为由(3)所确定的三阶行列式，并记作)3(.333231232221121211a a a a a a a a a即计算方法 1）对角线法则2）沙路法二、全排列及其逆序数定义 把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（也简称为排列）。
定义 对n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n 个元素的任一全排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。
定义 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
定义 若一个排列中的所有元素按标准次序排列，则称之为标准排列（自然排列）。
定义 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
三、 n 阶行列式的定义定义 由2n 个数组成的n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和∑-nnp p p t a a a 2121)1(。
工程数学线性代数教学设计 (2)
工程数学线性代数教学设计1. 教学目标本节课主要教授线性代数中的向量、向量空间、基、线性变换、行列式等概念和解算法，并通过应用实例，帮助学生掌握线性代数在工程实践中的应用。
在这个课程中，学生应该能够：•理解向量的相关概念，能够使用向量进行简单的运算•掌握向量空间的相关定义，能够判断一组向量是否为向量空间的基•了解线性变换的基本概念，能够进行线性变换的计算•掌握行列式的定义和计算方法，能够求解线性方程组2. 教学内容2.1 向量与向量空间1.向量的定义2.向量空间的定义及其性质3.坐标系和向量的表示4.向量的线性运算：加法、数乘、线性组合5.向量的线性相关性和线性无关性6.向量组的秩和线性无关组7.向量组的极大线性无关组和基2.2 线性变换1.线性变换的定义和示例2.线性变换的矩阵表示3.线性变换组合和逆变换4.标准变换：平移、缩放、旋转5.特征值和特征向量2.3 行列式与线性方程组1.行列式的定义和计算方法2.行列式的性质3.克拉默法则4.线性方程组的定义和分类5.线性方程组的求解方法：高斯消元法、列主元高斯消元法、LU分解法、Jacobi迭代法2.4 应用实例1.矩阵的应用：矩阵乘法、逆矩阵的计算2.线性回归问题：最小二乘法3.物理应用：空间直线和平面的计算3. 教学方法本课程采用理论讲解与例题演示相结合的方式。
首先对概念和定义进行阐述，帮助学生理解本节课所要学习的内容。
然后，我们将通过适当的例题进行演示，让学生能够更加深入地了解线性代数的应用。
在授课过程中，我们将重点强调概念的理解和计算方法的演示。
我们将通过实际应用来演示线性代数中各个概念的应用，帮助学生了解线性代数在实际工程中的应用价值。
学生可以通过课后作业来夯实对概念和方法的理解，并通过实例的分析和计算来加深对线性代数应用的认识。
4. 教学评估本节课的评估方式将包括如下几个方面：1.作业评估：学生需要完成一定数量的作业，包括选择题和简答题，主要考察学生对概念和方法的掌握情况。
线性代数1-01 逆序数-行列式定义
a11 b1 D2 = . a21 b2
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
b1 D1 = b2
a12 , a22
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a11 b1 D2 = . a21 b2
暨南大学环境工程系
线性代数
曹 刚
教学目标及教学要求
线性代数是环境工程和环境科学专业学生的基 础课，也是一门重要的数学基础理论课。 提高学生的综合数学素质，为后继课程学习提 供必备的数学工具，为进一步获得现代科学技 术知识奠定必要的数学基础。 通过本课程的学习，掌握线性代数的基本概 念，基本原理和基本方法，培养概括问题的能 力，逻辑推理能力，抽象思维能力，并在此基 础上运用线性代数这一工具解决理论上和实际 中的问题。
则二元线性方程组的解为
b1 a12 D1 b2 a22 x1 = = , D a11 a12 a21 a22
a11 b1 D2 a21 b2 x2 = = . D a11 a12 a21 a22
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
⎧ 3 x1 − 2 x2 = 12, ⎨ ⎩ 2 x1 + x2 = 1.
排列的逆序数 对于n 个不同的元素，可以规定各元素之间 有一个标准次序。 一般情况， n 个不同的自然 数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 i t > i s 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
1-1行列式的定义与性质
得到另一个只含 x1 , x2的二元方程，这样得到一个 含两个未知量的二元线性方程组。按照上述二元线 性方程组的方法，消去 x 2 ，得
(a11a 22 a33 a12 a 23 a31 a13 a 21a32 a13 a 22 a31 a12 a 21a33 a11a 23 a32 ) x1 b1 a 22 a33 b2 a13 a32 b3 a13 a32 b3 a 22 a13 b2 a12 a33 b1 a 23 a32
(a11a22 a12 a21 ) x1 a22b1 a12b2
a12 a21 0 时，得
当a11a22
a 22b1 a12b2 x1 a11a 22 a12 a 21
同样地，从(1.1)式中消去
x1 ，得
为便于叙述和记忆，引入记号 a11 a12 D a11a22 a12a21 a21 a22
(1) [ j1 j2 jn ] a j11a j2 2 a jn n (1.7) D
[ j1 j2 jn ]
因为把 n 阶行列式 D 的通项
(1) [i1 i2 in ] a1i1 a 2i2 a nin
的列下标的排列 i1 i2 in经过 N次对换变成自然排 列1 2 n的同时，相应的行下标 1 2 n 排列经过 N 次对换就变成了排列 j1 j 2 j n 。即 a1i1 a 2i2 a nin = a j11a j2 2 a jn n 根据定理1的推论1，对换次数 N 与 [ i1 i2 in ]有相 同的奇偶性，而 N 与 [ j1 j 2 j n ] 也有相同的奇偶 性，从而 [ i1 i2 in ]与 [ j1 j 2 j n ] 有相同的奇偶性。 所以 (1) [ j1 j2 jn ]a a a
第一章-行-列-式---实验教学示范中心(精品文档)
第一章 行 列 式【课题】 第1 讲 排列及其逆序数、n 阶行列式的定义【学时数】 2【教学目的】1.理解排列及其逆序数的概念；2.熟练掌握二、三阶行列式的计算【教学重点】 二、三阶行列式的计算 【教学难点】 三阶行列式的展开式 【教学过程】§1.1 排列及其逆序数一、 排列与逆序的概念1、排列问：现在给 4,3,2,1，四个数字，能够组成多少个没有重复数字的四位数？42!4=个，4231就是一个，且是一个排列，1234称为标准排列．下面一般的给出定义定义 1.1.1 由,,2,1 n 这n 个数组成的一个有序数组称为一个n 阶排列，记为n p p p 21，其中排列n 12称为标准排列.n ,,, 21的n 阶排列共有 ()()1221!n n n n --⋅= 个.2、逆序数 定义1.1.2逆序 在一个n 阶排列中，当某二个数，较大的排在较小的前面，则称这两个数有一个逆序，逆序数 这个n 阶排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.排列n p p p 21的逆序数记为()n p p p 21τ偶排列 当逆序数为偶数时，称这个排列为偶排列，奇排列 当逆序数为奇数时，称这个排列为奇排列.若()n i p i ,,3,2 =的前面有i t 个比它大的数，就说i p 的逆序数是i t . 则排列n p p p 21的逆序数为： ∑==+++ni i n t t t t 232 .例1 ()5031142315=+++=τ， 是奇排列； ()8331153412=+++=τ， 是偶排列； 问：()123450τ= ， 是偶排列.()012=n τ 是偶排列. 标准排列的逆序数为0.二、 对换及性质对换 在排列中, 对调任意两个元素, 其余元素位置不变, 而得到新排列的做法叫做对换，相邻两个元素的对换, 叫做相邻对换.现看 ()5031142315=+++=τ→()4021141325=+++=τ 为偶排列()8331153412=+++=τ→()9332154312=+++=τ 为奇排列性质1 一个排列中，任意对换两数，则排列改变奇偶性. 证 （见书 略）性质2偶排列变成标准排列的对换次数为偶数， 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数.例如 32154−−−→−对换3,112354−−−→−对换，4512345 证 （可略） 因为标准排列的逆序数为0，是偶数，再由定理1.1.1知对换一次，奇偶性改变一次，从而偶排列变为偶排列，其对换次数应为偶数，奇排列变为偶排列，其对换次数为奇数.§1.2 n 阶行列式的定义一、 二阶与三阶行列式1、二阶行列式用消元法解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a （1）为消去未知数2x ,以第一个方程乘以22a 减去第二个方程乘以12a ,得()122221*********a b a b x a a a a -=-，类似地可消去1x ,得 ()211112*********a b a b x a a a a -=-， 当021122211≠-a a a a 时,求得.a a a a a b a b x ,a a a a ab a b x 211222112111122211222111222211--=--=(2)为了便于记忆,引入下面定义.定义1.2.1 由四个数22211211a ,a ,a ,a ,排成二行二列 (横排为行,竖排为列) 的数表22211211a a a a 所确定的表达式 21122211a a a a - 称为二阶行列式,记为2112221122211211a a a a a a a a D -==. (3)其中数()2,1;2,1==j i a ij 称为行列式(3)的元素,第一个下标i 称为行标, 第二个下标j 称为列标, 数ij a 表示是位于行列式的第i ,第j 列的元素.如图1.1中11a 至22a 的实联线称为主对角线, 12a 至21a 虚联线称为副对角线,于是二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的乘积, 这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.图1.1例1 计算二阶行列式 ()194155223＝＝＝---D .利用行列式的定义, (2)式中的分子也可写成二阶行列式,即.,221111211112222121212221b a b a a b a b a b a b b a a b =-=-若记 2211112222121122211211a ,,b a b D a b a b D a a a a D ===, 则(2)式, 即方程组(1)的解可写成.a a a a b a b a DDx ,a a a a ab a b DDx 22211211221111222221121122212111====注意, 这里的分母D 是方程组(1)中的未知数的系数按原次序排列而成的二阶行列式,1D 是用常数项21b ,b 替换D 中1x 的相应系数2111a ,a 而得到的二阶行列式, 2D 是用常数项21b ,b 替换D 中2x 的相应系数2212a ,a 而得到的二阶行列式.例2 解二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+.x x ,x x 642532121 解 由于31122140;24D ==--=-≠-()15120614;64D ==---=---235181028;26D ==--=--所以 ==D D x 1111414=--, 2142822=--==D D x . 下面类似的定义三阶行列式. 2、三阶行列式定义1.2.2 由932=个数排成三行三列的数表333231232221131211a a a a a a a a a (4)并记 111213212223313233a a a D a a a a a a =112233132132122331132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- (5)则(5)式称为数表(4)所确定的三阶行列式.三阶行列式所含6项的元素及符号可按图1.2记忆，即三阶行列式的值等于各实线上三个元素乘积之和减去各虚线上三个元素乘积之和. 这种计算方法称为三阶行列式的对角线法则.图1.2例3 计算三阶行列式2600)12(0)10(24601540321=----+-+=-=D从三阶行列式的展开式中，我们看出有如下的规律（现只用三阶行列式说明）： （1）三阶行列式是一个数，它为3！=6项的代数和.（2）每一项都是三个元素的乘积，这三个元素是取自不同行及不同列的元素，且每行每列只能有一个元素.（3）对于项321321p p p a a a ，其中321p p p 为数321,,的一个全排列，当()321p p p τ为偶数时321321p p p a a a 前面取正号；当()123p p p τ为奇数时321321p p p a a a 前面取负号；这样三阶行列式的每一项可以写成()321321321)(1p p p p p p a a a τ-.所以, 三阶行列式可写成()()3213213213332312322211312111p p p p p p a a a a a a a a a a a a τ∑-=.二、 n 阶行列式的定义定义1.2.3 由2n 个数, 排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211并记()121211121()2212212121n n n p p p n p p np n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑. (6)称此式为上述n 行n 列的数表所确定的n 阶行列式.其中n p p p 21为n ,,, 21的一个排列，∑表示对一切n 阶排列求和；(6)式右边的和式称为n 阶行列式D 的展开式；显然D 的展开式中共有!n 项，其中每一项都是取自D 的不同行、不同列的n 个元素的乘积，而且每个乘积项前面所带符号的规律为：当逆序数()n p p p 21τ为偶数时取正号，而当逆序数()n p p p 21τ为奇数时取负号.行列式有时简记为()ij a D det =, ()n ,,,j ;n ,,,i a ij 2121==表示行列式D 中第i 行第j 列的元素.特别的, 当1=n 时，1111a a =称为一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆. 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式. 例4 证明下三角行列式nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a D2211321333231222111000000==. 证 由行列式定义，其展开式的一般项为 n np p p a a a 2121,在D 中，第一行只有11a 可能不为0，则取11=p ；第二行中，只有2122,a a 可能不为0，而11a 已经取了，所以21a 不能取(与11a 同列)，故只能取22a ，即22=p ；这样继续下去，D 中可能不为0的项只有一项 ()()n 121τ-nn a a a 2211.又由于()012=n τ为偶数，符号取正，所以得nn a a a D 2211=.例如D =12053425102032100430002=•••=同理有上三角行列式nn nnnna a a a a a a a a a a D22112232211312110==.类似可推得nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D 1,2,321,11,12,13,12,131,32,321,210000000000000------------=.a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n 1231212)1(1211112232221111131211)1(00000000 --------==主对角线以上和以下的元素都为0的行列式叫做对角行列式. 由上(下)三角行列式计算方法,可直接得n nλλλλλλ2121=；()()n n n nλλλλλλ2121211--=.从n 阶行列式定义知，其任一项由n 个元素相乘构成，而乘积有交换律. 如果把该项的列标的排列n p p p 21经过k 次对换变成标准排列n 12.这时其相应的行标排列n 12也经过k 次的对换后变成n s s s 21，即有n np p p a a a 2121=n s s s n a a a 2121.又由定理1.1.2知()n p p p 21τ与()n s s s 21τ有着相同的奇偶性，则有n n np p p p p p a a a 212121)()1(τ-n s s s s s s n n a a a 21)(2121)1(τ-=.这样，可以给出n 阶行列式的另一个定义.定义1.2.3′ n 阶行列式定义为∑-==n s s s s s s nnn n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(2122221112112121)1(τ.小结：本次课我们学习了排列及其逆序数的概念及的定义，重点要掌握二阶和三阶行列式的计算。
(完整word版)线性代数行列式教案-
教案教学教案设计(续页）第一 章 行列式 §1。
1 n 阶行列式定义教学目的：使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点:n 阶行列式定义及计算 教学难点:n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授(一) 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得(a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12)x 2=a 11b 2—a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0,方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1。
2）容易验证(1.2）式是方程组(1.1）的解.称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式,它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D 。
我们若记 2221211a b a b D =2211112b a b a D =方程组的解（1.2)式可写成 D D x 11=DDx 22=对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.3） 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解： D D x 11=D Dx 22= DD x 33= 111213212223313233112233122331132132112332122133132231a a a Da a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1。
大学数学行列式性质教案
课时：2课时教学目标：1. 理解行列式的概念和性质，掌握行列式的计算方法。
2. 能够运用行列式的性质解决实际问题，如解线性方程组、判断线性方程组的解的存在性等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重点：1. 行列式的概念和性质2. 行列式的计算方法3. 应用行列式解决实际问题教学难点：1. 行列式的性质的理解和运用2. 行列式的计算技巧教学过程：第一课时：一、导入1. 复习线性方程组的解法，引出行列式的概念。
2. 介绍行列式的定义和性质。
二、行列式的概念1. 行列式的定义：n阶行列式是由n行n列的元素按一定的顺序排列而成的一个数。
2. 行列式的表示方法：用符号D表示n阶行列式，例如，三阶行列式可以表示为D。
三、行列式的性质1. 性质1：行列式与它的转置行列式相等。
2. 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
3. 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
4. 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
5. 性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：D = D1 + D2，其中D1为第i列元素为第一数的行列式，D2为第i列元素为第二数的行列式。
6. 性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
四、行列式的计算方法1. 利用行列式的性质进行计算，如按行（列）展开、降阶等。
2. 利用行列式的性质简化计算，如化简行列式、求逆矩阵等。
五、课堂练习1. 计算以下行列式：（1）三阶行列式（2）四阶行列式2. 利用行列式的性质判断以下线性方程组的解的存在性：（1）二元线性方程组（2）三元线性方程组第二课时：一、复习1. 复习行列式的概念、性质和计算方法。
2. 回顾课堂练习。
二、应用行列式解决实际问题1. 利用行列式解线性方程组。
工程数学知识点以及教学大纲
工程数学知识点以及教学大纲第一篇线性代数第１章行列式1．二阶、三阶行列式的计算Ｐ22．行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2）3．行列式展开（代数余子式）Ｐ74．利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法）5．字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2）6．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律）（）8．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E）、三角形矩阵）9．矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形10．逆矩阵的定义、运算性质11．伴随矩阵Ｐ3812．利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单）13．矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第２章线性方程组1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4第３章特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1第二篇概率论第4章概率的基本概念及计算1、基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例2、基本公式：概率的可加性（互不相容）概率的加法公式（相容）击落飞机问题概率的乘法公式逆事件的概率事件A和B独立，则有3、基本结论：当事件A和B相互独立时，我们可以证明，事件亦相互独立。
第5章随机变量1、基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分布律、概率分布函数（）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数（，）Ｐ158、Ｐ161——例20、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（P192定理）2、基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数服从正态分布的随机变量的概率计算Ｐ165——例23、例253、基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即第6章随机变量的数字特征、几个极限定理1、基本概念：离散型和连续型随机变量的数学期望Ｐ190、方差Ｐ198及其性质、随机变量函数的数学期望Ｐ195——例12、k阶（原点）矩、k阶中心矩2、基本公式：（1）数学期望（平均值、期望值、均值）：１），２）（2）方差：１）２）（3）标准差（均方差）：（与随机变量有相同的量纲）3、基本结论：（1）0－1（p）分布：（Ｐ151表格形式），（2）n重贝努里试验、二项分布（b(n,p)）：Ｐ153——例10，（3）泊松公布（Poisson）：，***在实际计算中，当时，我们有如下的泊松近似公式（4）指数分布（）：，，（5）均匀分布（）：，，（6）正态分布（）：，（7）标准正态分布（）：，（8）n个相互独立的正态随机变量的线性函数还是服从正态分布（Ｐ202）第三篇数理统计第7章数理统计的基本概念1、基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断Ｐ218、统计量的观测值、抽样分布2、基本公式：（1）样本平均值：（2）样本方差：（3）样本标准差：（4）样本k阶原点矩：（5）样本k阶中心矩：3、基本结论：（1）定理2：（2）Ｐ221例1（3）（4）（5）定理3：（6）定理4：（7）定理5：（8）定理6：（9）定理7：（10）定理8：（11）定理9：（12）分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：（13）分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：当n充分大（>45）时，有（费歇）（14）分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：当n>30时，分布和标准正态分布就很接近了，由此当n较大时，就可以用标准正态分布的分位点取代分布的分位点。
工程数学教案行列式的性质与计算
教案头教学详案一、 回顾导入（20分钟）——复习行列式概念, 根据定义计算一个四阶行列式, 通常需要计算四个三阶行列式, 假如计算阶数较高行列式利用定义直接计算会比较麻烦, 为简化行列式计算, 我们需要研究行列式关键性质。
二、 关键教学过程（60分钟, 其中学生练习20分钟）一、 行列式性质定义 将行列式D 行换为同序数列就得到D 转置行列式, 记为T D 。
性质1 行列式与它转置行列式相等。
性质2 交换行列式两行（列）,行列式变号。
推论 假如行列式有两行（列）完全相同, 则此行列式为零。
性质3 行列式某一行（列）中全部元素都乘以同一数k , 等于用数k 乘此行列式。
推论 行列式某一行（列）中全部元素公因子能够提到行列式符号外面。
性质４ 行列式中假如有两行（列）元素成百分比, 则此行列式为零。
性质5 若行列式某一列（行）元素都是两数之和。
性质６ 把行列式某一列（行）各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应元素上去, 行列式不变。
二、 行列式按行（列）展开定义 在n 阶行列式中, 把元素ij a 所在第i 行和第j 列划去后, 留下来1-n 阶行列式叫做元素ij a 余子式, 记作ij A 。
记ij j i ij M A +-=)1(, 叫做元素ij a 代数余子式。
引理 一个n 阶行列式, 假如其中第i 行全部元素除ij a 外都为零, 那末这行列式等于ij a 与它代数余子式乘积, 即ij ij A a D =。
定理 行列式等于它任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积之和, 即),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。
推论 行列式任一行（列）元素与另一行（列）对应元素代数余子式乘积之和等于零, 即ji A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。
行列式代数余子式关键性质:范德蒙德（Vandermonde ）行列式二、 克莱姆法则定理 假如线性方程组(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111系数行列式不等于零, 即那么线性方程组(1)有解, 而且解是唯一, 解能够表示为D D x D D x D D x n n ===,,,2211 。
线性代数教案行列式
线性代数教学教案行列式21⋅.如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，i的逆序数记为那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列n )i.n3.定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列二．二阶、三阶行列式1.引例：解方程组1,2,3,n )排成123132333123nnn n n n nn a a a a a a a 2323331123(1)n n n n nna a a a a a =-+21222,12123231323,13133312112,1131)+(1)n n n n nn n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a --++-+-阶行列式（递归定义）.余子式与代数余子式：由行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按照原来的顺序构ij M ，称为元素ij a 的余子式，(1)i j ij A M +-称为元素ij a 的代数余子式D 11=n n a A a A =na ∑1,2,3,n )组成的阶行列式定义为 123132333123n nn n n n nna a a a a a a 1212)12=n n nj j j j nj j j j a a a ∑nj ∑表示对所有的列标排列12n j j j 求和.四．例题讲解1.求解二元线性方程组122321221x x x x -=⎧⎨+=.1233300n nn nn a a a a . 11121,121222,111,11,210000n n n n n a a a a a a D a a ----=，112122313233123000000n n n nn a a a a a a a a a a ， 1122330000000000nna a a a .授课序号02in jn a A =,n ，i ≠0ni nj a A =,n ，i ≠综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：, ,0, .i j i j =≠ , =0, kj D i A ⎧⎨⎩授课序号030000000000x y yx.(Vandermonde)行列式1221231111112311n n n i j nn n n n nx x D x x x x x ≤<≤----==∏31111111n a +12(0)n a a a ≠.3434340a a x x a a a a a ++=的根.0000000003200013.12211000100000001nn n x x x a a a a x a -----+.00000000000000000000000a b a b a b c d c dc d.22231112342344，证明：()0f x '=有且仅有两个实根授课序号041222222n n n n nn n a x a x x a x +=+++=1112121222120n n n n nna a a a a a a a a ≠，122n n D D Dx x D D D==，，，, 列换成常数项所得的n 阶行列式1,111,11212,122,121,1,1j j n j j n n n j nn j nna b a a a b a a a a b a a -+-+-+112222222n n n n nn n na xb a x b x a x b +=+=++=当12,,,n b b b 全为0时，得到11112121122221122n n n n n n nn n a x a a x a x a a x a x a x a x ++⎧⎪++⎪⎨⎪⎪+++⎩335111x x =-=-=211311213313n n n n n n n n n a x a x a x a x x a x ----+=+==+=,n ).互相关联，X 公司持有股份，持有Z 股份，持有Z 公司20%持有Y 公司20%，Z 公司各自的净收入分别为万元，每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入，试求各公司的联合收入及实际收入《市场营销》是商业和经贸专业学生的一门核心课程，商经类学校的所有专业都开设本课程，是一门公共基础课。
1-1 排列
p≥q
因此， 又 故
p=q.
p+q=n!
n! p=q= 2
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逆序数: 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆 序数 记为 τ ( i1i2 ⋯ in )
例如：三级排列312的逆序数为2
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奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列
例 计算排列 它们的奇偶性. 它们的奇偶性 解 的逆序数， 217986354 的逆序数，并讨论
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第一节
排列与逆序
一 排列 1 排列（P4，定义 ） 排列（ ，定义1.1） ：（1）数字不重复、不遗漏。 注：（ ）数字不重复、不遗漏。 级排列共有n！ （2）n级排列共有 ！个 ） 级排列共有 2 自然排列：n级排列 自然排列： 级排列 级排列123…n 称为自然排列。 称为自然排列。 二 逆序 1 逆序、逆序数（P5，定义1.2） 逆序、逆序数（P5，定义1.2） 2 计算方法: 计算方法: 按照一定顺序（从前到后、从后到前、从小到大、 按照一定顺序（从前到后、从后到前、从小到大、 从大到小），记录单侧逆序，求和即可. ），记录单侧逆序 从大到小），记录单侧逆序，求和即可 【例1 】 【例2 】
5 2 3 1 4
（2，3）
5 3 2 1 4
一次相邻对换必定使原排列的逆序数增加或减少一， 一次相邻对换必定使原排列的逆序数增加或减少一， 增加 从而改变原排列的奇偶性 奇偶性。 从而改变原排列的奇偶性。
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n 级排列中（n>1）奇排列与偶排列的个数 n! 相等，各为 个
1.1行列式的定义
例1. 求下列排列的逆序数，并判断 奇偶性。
（1）n，n-1， ……， 3，2，1
（2）1，2n，2，2n-1， ……， n+2，n，n+1
例2. 已知τ(i1，i2， ……，in )=k， 问τ(in，……，i2，i1)=？。
定义1.3 将一个n级排列i1， i2， ……，is， ……， it， ……， in中的两个数is，it交换位置，其他 数字不动，得到一个新的排列 i1， i2， ……，it， ……，is， ……，in ， 称这种变换为一次对换，记为（ is， it） 。
定理1.1 一次对换改变排列的 奇偶性。
证明：相邻对换和一般对换
推论：n级排列一共有n！个， 其中奇排列和偶排列各有n!/2 个。
二、二阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
对角线法则
注：行列式表示一种运算规则，结 果是一个常数。
a11 a21
a12
a (1) a a 22 ( j1, j2 )
定义1.2 在一个n级排列i1，i2，……， is，……，it，……，in中，如果is>it， 则称is，it构成一个逆序。这个n级排列 的逆序的总数称为它的逆序数，记为 τ(i1，i2，……，in )。
注1. 逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
注2. 1，2，……，n称为自然序排列。
作业
52页，习题一，11，12，13
交作业方式（01）
单周周二：学号 2011210573 —— 2011210597
单周周四：学号2011210598 —— 2011210622
双周周四：学号 2011210623 —— 2011210646 ， lx11170**
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教案头
教学详案
一、回顾导入（20分钟）
——在中学里，通过代入消元法和加减消元法求解二元、三元一产供销线性方程组。
例如方程组
⎩⎨⎧=+=+22221
211
212111b x a x a b x a x a 中，未知量1x 、2
x 的系数可以用以下的记号来表示：22
211211a a a a ，从而引入新课。
二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟）
一、二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)
1(,
22
2112
11a a a a
表达式21122211a a a a -称为数表(1)所确定的二阶行列式，并记作
)
2(,
22
2112
11a a a a
即
21
12221122
2112
11a a a a a a a a D -==
计算方法 对角线法则
21
12221122
2112
11a a a a a a a D -==。
2. 三阶行列式
定义 由九个数排成三行三列的数表
)
3(,33
3231232221121211a a a a a a a a a
表达式
(4)称为由(3)所确定的三阶行列式，并记作
)
3(.33
32
31232221121211a a a a a a a a a
即
计算方法 1）对角线法则
2）沙路法
二、全排列及其逆序数
定义 把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（也简称为排列）。
定义 对n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n 个元素的任一全排列中，当某
两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。
定义 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
定义 若一个排列中的所有元素按标准次序排列，则称之为标准排列（自然排列）。
定义 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
三、 n 阶行列式的定义
定义 由2
n 个数组成的n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和
∑-n
np p p t a a a 2121)1(。
记作
)
4(,
312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++.31221333211232231132
2113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=33
3231
232221
13
1211
a a a a a a a a a .312213332112322311a a a a a a a a a ---32
2113312312332211a a a a a a a a a ++=3222211211a a a ++-31211211a a a a a a .
2122221
11211
nn
n n n
n a a a a a a a a a D =33
32
31
232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.322311a a a -322113a a a +312312a a a +312213a a a -332112a a a -
其中n p p p 21为自然数1，2，…，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数。
简记为)det(ij a 。
数ij a 称为行列式
)
det(ij a 的元素。
特殊的行列式 1）对角行列式
2）上（下）三角形行列式
三、归纳总结（10分钟）
强调二阶、三阶行列式的对角线运算法则及运用。
四、课后作业
练习：
1．计算
α
α
ααsin cos cos sin ---的结果为（ ）
2．若行列式
0301110
1
2
=--c
，则=c （ ） ()
()
n
n
n np p p p p p p p p t nn
n n n n
a a a a a a a a a a a a D
2121212121
22221112111∑-=
=.
)1(212)1(2
1
n n n n
λλλ
λλλ
--=
,
2121
n n λλλλλλ =,
000221122211211
nn nn n n a a a a a a a a a =.
00221121222111nn nn
n n a a a a a a a a a =。