固体物理40题上课讲义
固体物理基础复习讲义章课件
固体物理基础复习讲义章
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晶面指数与晶面间距 关系分析
(1)通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面间 距则较小
(2)晶面间距愈大该晶面上的原子排列愈密集 晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏
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体心立方和面心立方晶格结构在(100),(110),(111)面上的原子排列
面心立方结构（fcc）: ABCABC 如：Ca，Cu, Al 体心立方结构（bcc）：如：Li, Na, K, Ba 简单立方结构（sc） 金刚石结构：如：金刚石，Si, Ge
晶体结构的基本特征： 原子在三维空间呈周期性排列
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2
二、布拉菲晶格
基元:放置在格点上的原子或原子团称为基元是一个 格点所代表的物理实体 。
晶胞体积是原胞体积的n倍（n是
该结构每个晶胞所含格点数）
面心立方结构晶胞体积=a3
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15
四 晶面与密勒指数
1、晶面的概念 布拉伐格子的格点还可看成分列在平行等距 的平面系上，格点在每个平面上的分布是相同的， 这种平面称为晶面。整个晶格可以看作无数互相 平行等距分布的全同的晶面构成，而晶格的所有 格点都处于这族晶面上。
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7
R
、 R•的从 所端任 以点一就又格是称点格为出点晶发R，格，全平平部移移矢量后端R，，R点必组然成得布出拉另菲一晶格格点。，
固体物理基础复习讲义章
8
三、原胞，晶胞 一个晶格中体积最小的周期性结构单元称原胞。
a2
a1
a2
a1
a2
a2
a1
a2
a1
a1
原胞及基矢的选取——不唯一
高政祥固体物理讲义
布拉伐格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面，和晶列的 情况相似，同一个布拉伐格子可以有无穷多方向不同的晶面系。
密勒指数
确定某一晶面系的密勒指数的方法如下： (1) 找出这一晶面系中任一晶面在晶格轴线上的截距，这些轴线可以沿轴矢方向，也可以沿 基矢方向。 (2) 取这些截距的倒数，然后化成与之具有同样比例的三个无公因子的整数，写成 (h k l)。
/steffenweber/gallery/StructureTypes/st1.html
/lattice/index.html
Li、Na、K、Rb、Cs、Fr、Fe、W 等都是体心立方晶体结构
/steffenweber/gallery/StructureTypes/st1.html
等效晶面
同样由于晶格的对称性，晶体在某些晶面上的性质完全相同，统称一组等效晶面时，用{ h k l }表示。 例题 1.2 写出并画出立方晶体{100}, {110}, {111}所代表的各等效晶面。 解答 {100}： (100)、(010)、(001)
{110}： (110)、(101)、(011)、( 1 10)、(10 1 )、(01 1 ) {111}： (111)、(1 1 1)、(11 1 )、( 1 11)
原胞和基矢
所有晶格的共同特点是具有周期性，通常用原胞和基矢来描述晶格的周期性，晶格的原胞 (Primitive cell) 是指一个晶格最小的周期性单元，对三维晶格来说可以是一个平行六面体， 对二维晶格可以是一个平行四边形。
原胞的选取不是唯一的
原胞中只包含一个格点
原胞的选取是不唯一的。原则上讲只要是最小周期性单元都可以。判断最小周期性单元的标 准只要考察这个重复单元中是否只包含一个格点。
固体物理学例题演示文稿
m
m
2
得到等质量一维双原子链：
4 | cos aq |
m
2
4 | sin aq |
m
2
第十二页，共33页。
等质量一维双原子链：
4 | cos aq |
m
2
4 | sin aq |
m
2
等价性？
一维单原子链：
2 sin( aq )
m
2
等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小减半 ，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ总格波模 式为 “N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.
dx
0
ex x3 (ex 1)2
dx
是常数，
=AT CV
SkB
v
2 p
kBT
2
D /T ex x3 dx 0 (ex 1)2
2
热容与温度平方成正比.
第二十四页，共33页。
习题3.2
提示：
g ( )
V
2
3
ds
q(q)
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
其中ds为该支格波的等频面，由于
• 色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维情况
下为圆环，圆环周长为：
dl 2 q
qy
g() S
dl S 2 q
(2 )2 q(q) (2 )2 v
q qx
g()
S
2
v v
S
2
v2
E
S
2 v
2
m 0
e
2d
/kBT
1
E0
S kBT
华科-固体物理讲义
【讲义说明】固体物理考试大纲多年来基本上没大有什么变化，知识点固定，本讲义就是按照大纲所列的知识点来编写的，大纲指定两本书：黄昆的《固体物理》和基泰尔的《固体物理学导论》 这两本书各有优势，所以我们在学习时会时而用黄昆的书，时而用基泰尔的书。
讲义内容大体上分成这么几部分：第一部分：晶体结构；第二部分：晶体结合；第三部分：声子；第四部分：自由电子气；第五部分：能带；第六部分：电子在电场磁场中的运动；第七部分：半导体晶体。
第一章 晶体结构第一节 原子的周期性阵列【本节考点】1、研究晶体的周期性结构的试验方法2、原胞、惯用晶胞、初级基元的选取 【知识点详细讲解】研究晶体的周期性结构的试验方法：X 射线衍射法和中子衍射法，电子衍射法主要用于研究晶体的表面结构。
在理想情况下，晶体由全同的原子团在空间无限排列构成，这样的原子团被称为基元，数学上，这些基元可以被抽象成一个个几何点，而这些几何点的的集合构成晶格。
三维情况下，晶格里的每一个格点都可以通过三个平移矢量123,,a a a 的整数倍的向量组合来表示，比如我们从晶体中r 处看到的情况与相对r 处平移了123,,a a a 的整数倍所看到的'r 处所看到情况是完全相同的，即：()()'112233r r n a n a n a ϕϕ=+++，三个平移矢量123,,a a a 称为初级基矢，初级基矢的选取是不唯一的。
晶轴一旦选定，晶体结构的基元也就确定下来了。
在晶体中，每个格点上配置一个基元就形成了晶体，这里的格点是为了描述的方便，是数学上的抽象。
对于给定的晶体，其中所有的基元无论在组成排列还是在取向上都是完全相同的。
有平移矢量123,,a a a 所确定的平行六面体被称之为原胞。
原胞的体积123c V a a a =⨯，原胞的选取方式不唯一，比如维格纳-塞茨原胞，但是晶格的每种原胞中只包含一个格点，与这个格点相联系的基元是初级基元，初级基元是包含原子数最少的基元，这些基元可以是一个原子，可以是多个原子，可以包含多种原子，可以只包含同种原子。
固体物理讲义第一章
固体物理讲义第一章前言：固体物理学是用自然科学的基本原理从微观上解释固体的宏观性质并阐明其规律的科学课程的主要内容晶体的物理性质与内部微观结构以及其组成粒子（原子、离子、电子）运动规律之间的关系●晶体结构（基于X射线衍射）●晶体结合与晶体缺陷●晶格振动（基于统计物理和量子力学研究固体热学性质）●固体能带论（基于量子力学和统计物理研究固体的导电性）第一章晶体结构内容：晶体中原子排列的形式及其数学描述主要包括:●晶体的周期结构●十四种布拉菲格子和七大晶系●典型的晶体结构●晶面和米勒指数●晶体的对称性固体的性质取决于组成固体的原子以及它们的空间排列。
例如同为碳元素组成的石墨（导体）、碳60和金刚石就有明显不同的特性。
1.1晶体的周期结构晶体结构的特征：周期性组成晶体的粒子（原子、分子、离子或它们的集团）在空间的排列具有周期性（长程有序、平移对称性*）对称性晶体的宏观形貌以及晶体内部微观结构都具有自身特有的对称性。
晶体可以看成是一个原子或一组原子以某种方式在空间周期性重复平移的结果。
晶体内部原子排列具有周期性是晶体的主要特征，另一个特征是由周期性所决定的对称性（表现在晶体具有规则的外形）。
周期排列所带来的物理后果的讨论是本课程的中心。
（对称性最初是用来描述某些图形或花样的几何性质，后来经过推广、加深，用它表示各种物理性质/物理相互作用/物理定律在一定变换下的不变性。
在这里，我们主要关注的是对称性最初的、狭义的意义，即几何图形和结构（不管有限还是无限）的对称性。
虽然眼睛看不到晶体中的原子，但是原子的规则排列往往在晶体的一些几何特征上明显的反映出来。
实际上，人们最初正是从大量采用矿物晶体的实践中，观察到天然晶体外型的几何规则性，从理论上推断晶体是由原子作规则的晶格排列所构成。
后来这种理论被X衍射所证实。
）布拉菲空间点阵和基元●为了描述粒子排列的周期性，把基元抽象为几何点，这些点的集合称为布拉菲点阵。
布拉菲点阵的特点：所有格点是等价的，即整个布拉菲点阵可以看成一个格点沿三个不同的方向，各按一定的周期平移的结果●格点：空间点阵中周期排列的几何点●基元：一个格点所代表的物理实体●空间点阵：格点在空间中的周期排列在理想的情况下，晶体是由全同的原子团在空间无穷重复排列而构成。
固体物理学讲义
§1-7 晶格的对称性根据32个点群对布拉菲格子的要求a a a vv v ,,必须满足的要求布拉菲格子总共可以分为七类称为七大晶系计14种布拉菲格子图1-7-1 14种布拉菲格子 空间群由点群操作和平移群操作的组合共计230个1-8 晶体表面的几何结构前面关于点群和空间群的讨论都是假定晶体是无限的周期性的需求实际晶体总存在表面对于理想表面其表面同样可以引入二维布拉菲格子同体内的三维布拉菲格子一样同样可以引入基矢可以假定第三个基矢为垂直晶体表面的单位矢量倒格矢同样存在对称性表面不能简单地看成是体内同一晶面簇的平移由于环境的不同其原子排列和化学组成和体内也存在差别在离表面几个原子层1~2nm可以看成特殊相---表面相因此表面相的基矢可能和体内同一晶面簇中基矢存在差异这种现象称为表面再构固体表面宏观看起来虽然显得很平坦但实际表面层存在很多缺陷主要有化学吸附氧化和缺位间隙等即使没有杂质的理想表面由于其表面层原子受到的势环境不同于内层原子电子波函数在表面附近会发生变化因此导致表面层原子出现驰豫偏离原来三维晶格时的平衡位置1理想表面结构2Pt有序原子台阶示意图3a驰豫表面示意图b LiF001面的驰豫结构1-9非晶态材料的结构非晶态材料不具备周期性因此不具备长程有序但非晶态材料中的原子仍然保持原子排列的短程有序1近邻原子的数目和种类2近邻原子之间的距离键长3近邻原子配置的几何方位键角如下图1-10准晶态 准晶是介于非晶态和晶态物质之间的另一状态它不象晶体那样具有严格的周期性也和通常的非晶态存在区别其显著特点是原子位置仍然受到长程关联的制约而具有长程序1 从准周期性函数到Penrose 拼砌 数学上早就有准周期函数最简单的形式 x A x A x f 22112sin 2sin)(λπλπ+= 如果21λλ为一无理数则为周期等于无穷大的函数)(x f 但其又由两周期函数组合而成这就是准周期函数 从六十年代起物理学家开始研究多种类型的无公度相无公度相是指在基本晶格上附加有无公度的某种调制被调制的可以是原子的位移组分或自旋如下图周期为a 的晶格上附加了周期为λ的位移调制若a λ为有理数晶体即成为长周期的超结构若aλ为无理数那么就是无公度相这时沿这个方向的周期性不复存在在无公度相受到注意的同时数学家开始关注平面的非周期拼砌1974年R.Penrose找到能无空隙不重叠地布满平面的两种基本拼砌块该结构具有晶体学禁止的五重对称性2准晶的发现1984年Shechtman等在急冷Al-Mn合金中得到了具有五重对称轴斑点清晰的电子衍射图这和周期结构是不相容的这正是有非晶体学对称性的三维准周期性结构取名为准晶quasicrystal其和无公度相的区别在于准晶具有非晶体取向对称性非晶体取向对称性也对准周期性加以限制。
固体物理学讲义
固体物理学讲义固体物理学讲义2.1————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：第⼆章固体的结合晶体中粒⼦的相互作⽤⼒可以分为两⼤类，即吸引⼒和排斥⼒，前者在远距离是主要的，后者在近距离是主要的；在某⼀适当的距离，两者平衡，使晶格处于稳定状态。
吸引作⽤来⾃于异性电荷的库仑作⽤；排斥作⽤源于：⼀、同种电荷之间的库仑作⽤，⼆、泡利原理所引起的作⽤。
固体的结合根据结合⼒的性质分为四种基本形式：范德⽡尔结合⾦属性结合共价性结合离⼦性结合实际结合可能是兼有⼏种结合形式或者具有两种结合之间的过渡性质。
§2-1 离⼦性结合离⼦性结合的基本特点是以离⼦⽽不是以原⼦为结合的单位，结合的平衡依靠较强的静电库仑⼒，要求离⼦间相间排列。
其结构⽐较稳定，结合能为800千焦⽿/摩尔数量级。
结合的稳定性导致导电性能差、熔点⾼、硬度⾼和膨胀系数⼩等特点。
以N a Cl 晶体为例，由于N a +和 Cl -离⼦满壳层的结构，具有球对称结构，可以看成点电荷，若令r 表⽰相邻离⼦的距离，则⼀个正离⼦的平均库仑能为：∑++-++321321,,2122322222102)(4)1(21n n n n n n r n r n r n q πε这⾥n 1，n 2，n 3为整数且不能同时为零。
⼀个元胞的库仑能为：απεπεr q n n n r q n n n n n n 02,,21232221024)()1(4321321-≡∑++-++上式中α为⽆量纲量，称为马德隆常数。
当邻近离⼦的电⼦云显著重叠时，将出现排斥，其能量可以由下式描述：n r rr bbe 或者0-因此含N 个元胞的晶体的系统内能可以表⽰为：)(nr B r A N U +-= 其和体积或者晶格常数的关系如下图（1）晶格常数结合最稳定时的原⼦间距即为晶格常数，由下式决定0)(0=??=r r r r U（2）压缩系数压缩系数定义为单位体积的改变随单位压强的变化的负值，即：T pV V )(1??-=κ由热⼒学第⼀定律有：pdV dU -=（这⾥忽略了热效应），则压缩系数为：TV UV )(122??=κ体弹性模量为：κ1=K（3）抗张强度晶体能够承受的最⼤张⼒，叫抗张强度。
固体物理讲义第三章
1 第三章 晶体的结合主要内容:● 大量原子聚合在一起形成晶体的原因● 晶体结合的类型内聚能和原子间的相互作用力内聚能是指在绝对零度下将晶体分解为相距无限远、静止的自由原子所需要的能量 原子间相互作用力：● 吸引力：不同的结合方式有不同的机理● 排斥力：库仑排斥+量子效应● 原子核之间的库仑排斥力● 电子壳层交叠时，由泡利不相容原理而产生的排斥力内聚能的计算设晶体中任意两个粒子的相互作用能可表示为：其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数，由实验确定，r 为两粒子之间的距离。
晶体内聚能视为粒子对间的互作用，设晶体中有N 个粒子，则晶体内聚能：这里，相互作用能视为粒子对间的互作用。
先计算两个粒子之间的互作用势，然后再把考虑晶体结构的因素，总和起来可以得到晶体的总结合能。
只有离子晶体和分子晶体可以这样处理。
此思想称为双粒子模型。
晶体结合的类型⏹ 根据化学键的性质，晶体可以分为离子晶体、原子晶体(共价晶体)、金属晶体、分子晶体。
⏹ 对于大多数晶体，结合力的性质是属于综合性的。
固体结合的性质取决于组成固体的原子结构。
离子晶体和离子键● 离子晶体：由正离子和负离子组成。
● 离子键：正、负离子间的静电相互作用产生● 晶体结构：氯化钠结构、氯化铯结构● 离子－离子相互作用能有两项：① 库仑相互作用能，正比于: ② 相临离子间排斥能，正比于: 离子晶体的内聚能 由N 对离子组成的离子晶体的内聚能：相邻离子间的最短距离 马德隆常数 最邻近离子数 n m r b r a r u +-=)((2)(2)(11∑∑--+-==N j n j m j N j j r b r a N r u N r U r1-nr 1)(N )4()4()(02'102'1n n jj n j j r B r A r Nz r a q N r r q N r U j +-=+±=+±=∑∑λπελπεr )1('∑±=j j a μz r a r j j =1λπεμz B q A ==0242分子晶体：● 基元：分子● 结合力：范德瓦尔斯力● 晶体结构：密积结构，惰性气体：面心立方● 结合能：相距为R 的一对分子间的总的相互作用势能为(称为Lennard-Jones 势)共价晶体和共价键：● 原子靠共价键结合。
固体物理答案第一章教学讲义
131
o
y
x
x
o
y
设 a,b,c 是倒格矢的基矢，则
a 2 Ω πb c 2 a π b b c c 2 a π i
同理
b
2π
j
b
c
2π
k
c
k hk l 2πa hib k jclk
khk l 2π
h2k2l2 a b c
dhkl
2π khkl
1
h2
k2
原子与中心在1，2，3，4处的面心原子相切。 因为 3a 8r, 晶胞体积 V a3 , 一个晶胞中包含8个原子，
所以
1
ρ
8
4 3
π a3
83a3
3π 16
32
a
图1.6 金刚石结构
1.7 证明：用半径不同的两种硬球构成下列稳定结构时小球半 径和大球半径之比值分别为 (1)体心立方（配位数为８）：1r/R0.73 ；
的方向， 因而 Kh 与 R正交，即
KhR0
利用正交关系 a ib j 2i j i 、 j 1 ,2 ,3
得
u1h v2h w3h 0
(1)
对于晶面 h1h2h3 和 h1h2h3 ，同理可得
u h 1 vh 2 w h 3 0
(2)
u h 1 vh 2 w h 3 0
(3)
欲要u、v、w不同时为零，即要方程组(1)、(2)、(3)有非零
2 a π h 1 h 2 i 2 3 3 π a h 1 h 2 j 2 c π h 3 k
1.13：证明在二维晶格中，倒格子原胞面积S＊与正格子
原胞面积S的有关系为 S* (2 )2
证明： 以 a 、b表示正格子的基S 矢，正格子原胞的面积为
固体物理讲义第四章
第四章 晶格振动和晶体的热学性质● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系）● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动●简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时：简谐近似：势能展开式保留到二次项微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。
晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。
任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。
n n x x -=+1δδ+=a x ()()⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=222 21 )(δδδa ax d U d x d U d a U a U x U把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。
在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。
4.2 一维双原子链的振动q趋于0时，w也趋于零，称为声学波4.3 三维晶格的振动(略) 一个原胞中有n 个原子晶格基矢： 原胞数目： 原子的质量： 对于一个波矢q,有3n 个ω（即有3n 支色散曲线） 在3n 支色散关系中，当q→0时（长波）：有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。
《认识固体》 讲义
《认识固体》讲义一、什么是固体在我们的日常生活中，随处可见各种各样的物体，比如桌椅、书本、石头、金属等等。
这些物体都属于固体。
固体是物质存在的一种状态，它具有一定的形状和体积，并且不容易被压缩。
与液体和气体不同，固体中的粒子（原子、分子或离子）紧密排列，相互之间的作用力较强，使得固体能够保持相对稳定的结构。
比如说，一块木头，无论放在哪里，它的形状和大小都不会轻易改变。
再比如一块金属，即使受到外力的作用，也只是发生形状的微小变化，而不会像气体那样无限扩散。
二、固体的特性1、形状固定固体具有明确的几何形状，这是因为其粒子的排列方式相对固定。
比如正方体的冰块、圆柱体的铅笔，它们的形状是可以清晰描述和界定的。
2、体积固定固体的体积不会因为容器的变化而改变。
把一块石头放进不同大小的盒子里，石头的体积始终不变。
3、不可压缩性固体很难被压缩。
这是因为粒子之间的距离已经很小，相互之间的排斥力很大，要想压缩固体，需要施加极大的压力。
4、具有一定的硬度和强度固体能够承受一定的外力而不发生明显的变形或破坏。
比如钢铁可以用来建造高楼大厦，就是因为它具有足够的强度。
三、固体的分类1、晶体晶体是固体中的一种，其内部粒子（原子、分子或离子）按照一定的规律周期性地排列，形成具有特定几何形状的结构。
常见的晶体有食盐（氯化钠）、冰糖、钻石等。
晶体具有固定的熔点，在加热到一定温度时会从固态转变为液态，这个温度就是熔点。
而且晶体在不同方向上的物理性质可能不同，这被称为各向异性。
2、非晶体非晶体内部的粒子排列没有固定的规律，呈现出无序的状态。
常见的非晶体有玻璃、橡胶、塑料等。
非晶体没有明确的熔点，在加热过程中会逐渐变软，最终变成液态。
并且非晶体在各个方向上的物理性质是相同的，即各向同性。
3、准晶体准晶体是一种介于晶体和非晶体之间的固体。
其粒子排列具有一定的有序性，但又不像晶体那样具有严格的周期性。
准晶体具有独特的物理性质，在材料科学等领域有着重要的应用。
固体物理讲义-第二章(第一和第二节)
。根 光学色散关系：光波（电磁波）的能量正比于波的频率（或波数动量） 据麦克斯韦方程组，真空中电磁波的色散关系应是线性的： ω = ck ，可得波速 为： v =
∂E ∂ω 】 = = c ，这便是光速。 ∂p ∂k
格波解的物理意义： 上式所描述的是在晶体中传播的振幅为 A，频率为 ω 的行波，是晶体的一 种集体运动形式。这种波称为格波。可以看出，每一解均由一特定波矢 q 标记， q 称为晶格振动的波矢。 (1)相邻原子的振动位相差相等：q(n+1)a-qna=qa。
。n 可取任意整数，上式实际 示偏移平衡位置后的回复力，因此 β 称为力常数】 上代表 n 个联立的线性齐次方程。 由于原子之间的关联，上述方程的解应该具有波的形式；由于运动方程具 有平移不变性，解应该满足布洛赫定理 (布洛赫定理在后续章节会讲到)。因此 方程的试探解为： X n 振幅、频率和相位。 将试探解 X n
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n
的相互作用能。 根 据 牛 顿 定 理 ， 第
F =M
n
个 原 子 所 受 的 力 为 ：
∂U ' d2 ∂U ' = − β (2 X n − X n +1 − X n −1 ) 表 Xn = − = − β (2 X n − X n +1 − X n −1 ) 【其中 − 2 ∂X n dt ∂X n
23
《固体物理学》
第二章 晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2
固体物理讲义
固体物理领域
金 属 物 理 半 导 体 物 理 晶 体 物 理 磁 学 电 介 质 物 理 液 晶 物 理 固 体 发 光 超 导 体 物 理 固 态 电 子 学 固 态 光 电 子 学 固 体 光 谱 强 关 联 物 理
表 面 物 理
介 观 物 理
纳 米 物 理
绪论
固体物理的研究对象
固体物理 现代固体科学与技术 固体化学 材料工程学
绪论
固体物理的研究对象 固体物理的发展 固体物理的基本研究方法 本课程基本内容
绪论
固体物理的基本研究方法
固体物理是一门实验性学科 —— 为阐明固体表现出的现 象与内在本质的联系，建立和发展关于固体的微观理论 固体是一个复杂的客体 —— 每一立方米中包含有约1029 个原子、电子，而且它们之间的相互作用相当强 固体的宏观性质 —— 就是大量粒子之间的相互作用和集 体运动的总表现
绪论
横向比较 固体物理：强调各类物质的共同规律性；研究固
体中性质的连续变化；探索固体性质 与结构之间的定量关系。
固体化学：注重固体物质随组成变化的特性；关
心的是由于化学反应产生的突变；着 重于对固体性质的定性认识。
绪论
纵向比较 固体物理：侧重研究构成固体物质的原子、离子及电子的运动和相互
作用，提出各种模型和理论，阐明固体的结构和物性——物理模型；
《固 体 物 理》
教 师： 朱泉峣 材料学院06级
学生专业：
绪论
固体物理的研究对象 固体物理的发展 固体物理的基本研究方法 本课程基本内容
绪论
固体物理的研究对象 固体物理的发展 固体物理的基本研究方法 本课程基本内容
绪论
固体物理的研究对象 固体物理是研究固体的结构及 其组成粒子（原子、离子、电子等） 之间的相互作用与运动规律，以阐 明其性能与用途的学科。
固体物理习题详解
（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 ，则原胞的晶体学常数 ，则面心立方的致密度为：
（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为 ，则原胞的晶体学常数 ， ，则六角密积的致密度为：
（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为 ，则原胞的晶体学常数 ，则金刚石的致密度为：
8.试画出体心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。
解：体心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为：
体心立方（100）面体心立方（110）面体心立方（111）面
面心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为：
面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面
（2）该晶体的倒格子基矢；
（3） 密勒指数为（121）晶面族的面间距；
（4）原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？
（5） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？
解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。
（2）由倒格子基矢的定义可知：
（3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为
第一章
1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
固体物理学讲义.（ＰＤＦ）
绪论一固体物理的研究对象固体物理是研究固体的结构及其组成粒子原子离子电子等之间相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科 固体按结构分类取向对称晶体学上不允许的长程平移序和同时具有长程准周期性准晶准晶体短有序程无明确周期性非晶态非晶体长程有序规则结构晶态晶体:)(,:)(,:)( 二固体物理的发展过程人们很早注意到晶体具有规则性的几何形状还发现晶体外形的对称性和其他物理性质之间有一定联系因而联想到晶体外形的规则性可能是内部规则性的反映十七世纪C Huygens 试图以椭球堆集的模型来解释方解石的双折射性质和解理面十八世纪RJH 认为方解石晶体是由一些坚实的y ua &&相同的平行六面体的小基石有规则地重复堆集而成的到十九世纪费多洛夫熊夫利巴罗等独立地发展了关于晶体微观几何结构的理论系统为进一步研究晶体机构的规律提供了理论依据1912年劳埃首先提出晶体可以作为X 射线的衍射光栅索末菲发展了固体量子论费米发展了统计理论在这些研究的基础上逐渐地建立了固体电子态理论能带论和晶格动力学固体的能带论提出了导电的微观机理指出了导体和绝缘体的区别并断定有一种固体它们的导电性质介乎两者之间叫半导体四十年代末五十年代初以锗硅为代表的半导体单晶的出现并以此制成了晶体三极管进而产生了半导体物理这标志着固体物理学发展过程的又一次飞跃为了适应微波低噪音放大的要求曾经出现过固体量子放大器脉泽1960年出现的第一具红宝石激光器就是由红宝石脉泽改造而成的可以说固体物理学尖端技术和其他学科的发展相互推动相辅相成的作用反映在上述的固体新材料与新元件的发现和使用上新技术和其他学科的发展也为固体物理学提供了空前有利的研究条件三固体物理的学科领域随着生产及科学的发展固体物理领域已经形成了象金属物理半导体物理晶体物理和晶体生长磁学电介质包括液晶物理固体发光超导体物理固态电子学和固态光电子学等十多个子学科同时固体物理的本身内核又在迅速发展中主要有1研究固体中的元激发及其能谱以更深入更详细地分析固体内部的微观过程揭示固体内部的微观奥妙2研究固体内部原子间结合力的综合性质与复杂结构的关系掌握缺陷形成和运动以及结构变化相变的规律从而发展多功能的复合材料以适应新的需要3研究在极低温超高压强磁场强辐射条件下固体的性质4表面物理----在研究体内过程的基础上进入了固体表面界面的研究5非晶态物理----在研究晶态的基础上开始进入非晶态的研究即非晶体中原子电子的微观过程四固体物理的研究方法固体物理主要是一门实验性学科但是为了阐明所揭示出来的现象之间的内在的本质联系就必须建立和发展关于固体的微观理论实验工作与理论工作之间要相互密切配合以实验促进理论以理论指导实验相辅相成相得益彰第一章晶体结构固体的结构决定其宏观性质和微观机理本章主要阐明晶体中原子排列的几何规则性1-1 一些晶格的实例晶体组成微粒具有空间上按周期性排列的结构基元当晶体中含有多种原子多种原子构成基本的结构单元格点结点结构中相同的位子图1-1-1 结构中相同的位子点阵晶体中格点的总体又称为布拉菲点阵布拉菲格子这种格子的特点是每点周围的情况都一样如果晶体由完全相同的一种原子组成则这种原子所组成的网格也就是布拉菲格子和结点所组成的相同如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原子则每个基元中相应的同种原子各构成和结点相同的网格不过这些网格相对地有位移而形成所谓的复式格子显然复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套构而成晶格通过点阵中所有节点的平行直线簇和平行平面簇构成的网格元胞反映晶格周期性的最小重复单元侧重最小重复单元每个元胞中只有一个格点晶胞晶体学单胞既反映晶格周期性又反映晶格的空间对称性的最小重复单元侧重空间对称性每个元胞可能不止一个格点一单原子组成的元素晶格1简单立方晶格图1-1-2 原子球的正方排列及其各层球完全对应层叠形成的简单立方晶格2体心立方晶格的典型单元及堆积方式图1-1-3体心立方晶格的典型单元及体心立方晶格的堆积方式3原子球最紧密排列方式与面心立方晶格和六角密排晶格图1-1-4原子球最紧密排列方式当层叠是ABABAB方式则构成六角密排晶格当层叠是ABCABCABC方式则构成面心立方晶格4金刚石类晶格金刚石类晶格是由面心立方单元的中心到顶角引8条对角线在其中互不相邻的4条对角线的中点各加一个原子就得到金刚石类晶格结构也可看成面心立方沿体对角线平移1/4体对角线套购而成除金刚石外半导体硅和锗也具有类似金刚石类晶格结构图1-1-5金刚石类晶格结构的典型单元二化合物晶体的结构1NCl类晶格结构其好似于简单立方晶格只是每一行相间地排列着正的和负的离子N a+和Cl-碱金属和卤族元素的化合物都具有类似的结构Cl类晶格结构2C其好似体心立方晶格只是体心和顶角是不同的离子3闪锌矿ZS类晶格结构和金刚石类晶格结构相仿只要在金刚石晶格立方单元的对角线位置上放置一种原子在面心立方位置上放置另一种原子441-2晶格的周期性对于晶格的周期性通常用元胞和基矢来描述图1-2-1 中除4外均为最小单元由此元胞的选取并不是唯一的但各种晶格元胞都有习惯的选取方式并用元胞的边矢量作晶格的基矢基矢之间并不都相互正交图1-2-1平面元胞示意图1 简单立方晶格的元胞三个基矢分别zy x e a a e a a e a v v v v v v ===32,,为a 13321a a a a =×⋅vv r2 面心立方晶格的元胞三个基矢分别为)(2),(2),(2321j i a a j i a a j i a a v v v v v v v v v +=+=+=43321a a a a =×⋅vv r3体心立方晶格的元胞三个基矢分别为)(2),(2),(2321k j i a a k j i a a k j i a a v v v v v v v v v v v v −+=+−=++−=23321a a a =×⋅v v r a)3322a l a l ++}设为元胞中任意一处的位子矢量r vQ代表晶体中的任一物理量则Q ()(11a l r Q r +=vv l 1l 2l 3为整数即任意两元胞中相对应的点的物理性质相同我们可以用表示一种空间点阵{a l a l a l v v v 321++即一组l 1l 2l 3的取值表示格子中的一个格点l 1l 2l 3所有可能的集合就表示一个空间格子实际晶体可以看成在上述空间格子的每个格点上放置一组基元可为多种原子这个空间格子表征了晶格的周期性称为布拉菲格子Cu 的面心立方晶格Si 的金刚石晶格和NaCl 晶格均具有相同的布拉菲格子—面心立方格子它们的晶格结构虽然不同但具有相似的周期性自然界中晶格的类型很多但只可能有十四种布拉菲格子。
固体物理讲义-第二章(第一和第二节)
弧线为 ω = 2(
β
M
1
) 2 sin
qa ；直线为 ω=Vq。 2
长波极限和短波极限下的原子位移示意图：
q 趋于 0, λ>>a
q 趋于 π/a, λ=2a
两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。
(3)格波的相速度(Vp)和群速度(Vg)。 两种速度存在不同的物理含义： 相速度(Vp)是特定频率为ω， 波矢为q的纯波 (单色波)的传播速度；而群速度(Vg)描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包(复色
23
《固体物理学》
第二章 晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2
θ
2
ω2 =
2β 4β qa (1 − cos aq ) = sin 2 ( ) M M 2 1 β qa ⇒ ω = 2( ) 2 sin M 2
可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同一个方程。只要ω和q 之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关系称为色散关系。 一维单原子链的色散曲线：
X m = Aei ( qma −ωt )
(2)格波波长：
= Aei ( qma + 2π −ωt ) = Aei ( qna −ωt ) = X n ; λ = 2π q
24
《固体物理学》 格波与连续介质波的差别：
第二章 晶格振动和固体比热
X = Aei ( qx −ωt ) ，式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n
2025年高中物理复习配套课件含答案解析 第40讲 固体、液体和气体
[答案]
[解析] 活塞上升过程中，缸内气体发生等压变化， ， 由盖-吕萨克定律有 解得
（2）当锅炉外壁的温度为 时，轻绳拉力刚好为零，警报器开始报警，求重物的质量 .
[答案]
[解析] 活塞刚好接触重物到轻绳拉力为零的过程中，缸内气体发生等容变化， 由平衡条件有
图线类别
特点
示例
等容过程
，斜率 ，即斜率越大，则体积越小
等压过程
，斜率 ，即斜率越大，则压强越小
续表
例7 [2023·浙江杭州模拟] 一定质量的理想气体经历了温度缓慢升高的变化，如图所示，图像和 图像各记录了其部分变化过程.
（1）求温度为 时气体的压强；
[答案]
[解析] 由图像可知，气体由到的过程中做等容变化，由 图像可知，气体由到仍做等容变化，对应图可得， 时，气体的压强为由图像可知，气体由到 做等压变化，故时，气体的压强为 .
考向二 液体
例2 [2023·湖南岳阳模拟] 关于以下几幅图中现象的分析，下列说法正确的是( )
A.甲图中水黾停在水面而不沉，是浮力作用的结果B.乙图中将棉线圈中肥皂膜刺破后，扩成一个圆孔，是表面张力作用的结果C.丙图中毛细管中液面高于管外液面的是毛细现象，低于管外液面的不是毛细现象D.丁图中玻璃管的裂口在火焰上烧熔后，它的尖端会变钝，是一种浸润现象
表面层分子间的引力使液面产生了表面张力，使液体表面好像一层绷紧的弹性薄膜，分子势能大于液体内部的分子势能
方向
和液面相切，垂直于液面上的各条分界线
效果
表面张力使液体表面具有收缩趋势，使液体表面积趋于最小，而在体积相同的条件下，球形的表面积最小
考向一 晶体和非晶体
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1. 设晶体中的每个振子的零点振动能.试用德拜模型求晶体的零点振动能.证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。
()()()000012mE E g d E ωωωωωω==⎰h 将和()22332s V g v ωωπ=代入积分有402339168m m s V E N v ωωπ==h ，由于098m B D B D k E Nk ωθθ==h 得 一股晶体德拜温度为~210K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．2. 试画出二维长方格子的第一、第二布里渊区.3. 证明：在磁场中运动的布洛赫电子，在K 空间中,轨迹面积A n 和在r 空间的轨迹面积S n之间的关系A n= (qB hc)2S n()d k d rc qv B q B dt dt⋅=-⨯=--⋅r rr u r h 解：dk qB dr dt c dt∴=⋅h t k qB r ch 两边对积分,即 =22()()n n A r c S k qB∴==h 4. 证明：面心立方晶格的倒格子为体心立方. 解：面心立方晶格的基矢为()()()a a a a j ,b ,c 222k i k i j =+=+=+r r r r r r r r r则面心立方原胞体积3V []4a abc ⋅⨯=r r r =a 2bc V π*⨯=r ru u r 面心立方倒格矢 ()()2384a i k i j a π=⋅+⨯+r r r r ()ai j k π-++r r r 2=()b a i j k π*=-+u u r r r r 2同理： ，()ac i j k π*=+-u u r r r r 2a b c***u u r u u r u u r 显然，，为体心立方原胞基矢，因此面心立方晶格倒格子为体心立方 5. 证明：根据倒格子的定义证明简单立方格子体积与其倒格子体积成反比解:设简单立方晶格常数为a ，则基矢为a ,b ,c ,V a ai a j ak ===r r r r r r 3体积=其倒格矢2312b 2a a i V a ππ⨯==u u r u u r u u r r ，3122b 2a a j V a ππ⨯==u u r u r u u r r ，1232b 2a a k V aππ⨯==u r u u ru u r r则倒格子体积()31232[]V b b b Vπ*=⋅⨯=u r u u r u r6. 是否存在与库伦力无关的晶型，为什么？ 答：不存在与库仑力无关的晶型，因为①共价结合中电子虽不能脱离电负性 的原子，但靠近的两个原子各给出一个电子，形成电子共有的形状，位于两原子之间通过库仑力把两个原子结合起来。
②离子晶体中正负离子的吸引力是库仑力③金属晶体中原子实与电子云之间的作用力为库仑力④分子结合中，电偶极矩把原本分离的原子结合起来，电偶极矩就是库仑力⑤氢键结合中，氢与电负性大的原子共价键结合，氢键与电负中心不重合，迫使它通过库仑力与电负性大的原子结合.7. 如果有一维单原子晶格的振动写成如下驻波形式.证明格波的色散关系与行波的相同解：一维单原子列的运动方程为：()()()()21122n n n n d X t m X t X t X t dtβ+-=+-⎡⎤⎣⎦ 将题设中驻波解带入得：[]2sin sin sin(1)sin sin(1)sin 2sin sin mA naq t A n aq t A n aq t A naq t ωωβωωω-=++-- []2sin sin(1)sin(1)2sin m naq n aq n aq naq ωβ∴-=++--(2sin cos 2sin )naq aq naq β=-()221cos aq m βω=-241sin ()2aq m β= 即驻波色散关系与行波一样8. 证明二维正方格子于第一布里渊区的角隅处的一个自由子的动能为该区侧面中心处动能的二倍。
再求对三维简单立方晶格,其相应的倍数是多少？（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为a ，倒格子晶格基矢22ˆˆ,A i B j a aππ== 第一布里渊区如图所示()2222ˆˆˆ,.,2B x y z i B K i j a a a K K K mπππε⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++h A 区边中点的波矢为K 角顶点的波矢为自由电子能量222222,222A x K m m a m a ππε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h h A 点能量()222222222,222B x y K K m m a a m a πππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦h h h B 点能量所以/2B A εε=b)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为222ˆˆˆ,,,A i B j C k a a aπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第一布里渊区如图7—2所示．22;2A m a πε⎛⎫== ⎪⎝⎭h A 点能量()22222222223,222B x y z K K K m m a a a m a ππππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦h h h B 点能量 所以/3B A εε=9. 设10. 证明应用紧束缚方法于一维单原子链。
如果只计算近邻原子之间的相互作用。
其S 态能带为11. 论述霍尔系数测量原理以及在化合物研究中的应用。
将半导体放在x-y 平面里，加上z 方向的磁场，通以x 方向电流，导体内沿y 方向将产生电场，当电场达到稳定时，有yx z qE qv B =aπaπ-aπ-因电流密度为x x j pqv =p 为空穴密度,则1y x z E j B pq =，其中1k pq=,电子导电情况类似 在化合物半导体研究中，霍尔系数的测量可直接测得载流子密度而且从其符号可以判定是电子导电还是空穴导电。
12. 证明六角晶体的介电常数张量为123000000εεε⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭解：设介电常数为二阶张量αβε，D,E 分别为电位移矢量和电场强度，则D E ααβββε=∑， αββαεε=（）其中α，β表示沿x,y,z 轴的分量，z 轴与六角晶体六重轴平行，x 与另一基矢平行，设E 沿z 轴方向，则x y z D D D ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=xx xy xz yx yy yz zx zy zz εεεεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭z 0 0E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭x zx z D E ε=，y zy z D E ε=，z zz z D E ε=如晶体和电场同时绕z 轴转π，使x 轴转到-x 轴，y 轴转到-y 轴，则转后'x D x zx z D E ε=-=-'y D y zy z D E ε=-=-由于上述转动是六角晶体的一个对称操作'D D ∴=，即'',x x y y D D D D == 故zx zx εε-=，zy zy εε-=0zx ε=，0zy ε=同理取电场沿x 轴方向，并绕x 轴转π，可得xy xy εε-=，从而0xy ε=因二阶张量本身性质αββαεε=，故六角晶体的介电常数张量为123000000εεε⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭13. 设有一晶体，平衡时体积为V 0，原子之间相互作用为μ0.如果相距为r 的原子相互作用势能为证明体积弹性模量为14. 以格林艾森状态近似公式出发说明晶格膨胀产生的原理15. 画出一维紧束缚近似状态下 的E （k ）、V(k)、M*（k ）函数以及图形，并对电子在恒定场作用下的振荡运动加以说明设电场力F=-eE,则 ，可知电子在k 空间匀速运动，由于电子运动只能保持在一个能带中，用约化布里渊区表示，电子从布里渊区边界一边移出同时从另一边界移入，即电子在k 空间循环运动，现在电子随时间做振荡变化电子速度的振荡意味着电子在实空间的振荡。
16. 试以能带结构解释半导体、导体、绝缘体①导体中不仅有未被电子占据的空带和被电子占满的满带，还有部分被电子占据的导带。
②本征半导体虽只有满带和空带，但满带和空带之间的禁带很窄，热激发能很容易使电子进入空带，使原来的满带成为价带空带成为导带。
导电性来源：价带中的空穴和导带中的电子。
杂质半导体的禁带中存有杂质能级，也能提供电子或接受电子形成空穴参与导电。
③绝缘体只有满带和空带，禁带很宽，难以导电17. 以金属热电子发射现象出发说明热电偶测温原理如图，A 、为不同的金属，根据量子理论，热电子发射的发射电流为由于j 与温度有关，金属A 在M 和N 端发射电流不同，将在A 的两端产生电势差u1，同理B 的两端也将产生电势差u2。
虽然u1和u2两端的温度差一样但由于j 与Ef 有关，而A 、B 的Ef 不同因此u1不等于u2.这样便在A 、B 构成的回路中产生电流，此电流与M 、N 的温度有关。
测量回路中的电流便可得到M 和N 的温度关系，这就是热电偶测温原理。
18. 解释自由电子和近自由电子能态密度函数自由电子能态密度函数为g(w)=cE^1/2近自由电子只在布里渊区边界上产生了较大畸变。
远离布里渊区边界时，能态密度函数与自由电子接近，在能量接近边界Ea 处，随着E 的增加，等能面一个比一个更强烈的向外突出，使它们的体积越来越大的增长，相应的，能态密度在接近Ea 时，应比自由电子显著增大。
E 超过Ea 时，由于等能面开始残破，面积不断下降，到达Ec 时，等能面将缩成几个顶点角，故由Ea 到Ec,g(w)将不断降为0.19. 设二维晶格的两个基矢为，求其倒格矢。
20. 画出面心立方晶格的固体物理学原胞并画出其基矢。
21. 已知某晶体的体积弹性模量为K ，若要使相邻原子间距缩小0.5%，求施加力的大小。
22. 求出一维原子链的频率分布函数。
23. 热平衡下，频率为w 的温度为T 的平均声子数为。
并说明在高温极限该值为.24. 一维原子链原子间距为a ，总长度为Na ，用紧束缚近似求出原子S 态能级对应的能态函数，并求出其能态密度函数表达式。
＜解＞010101(1),()()2cos 2cos ika ikas s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-r0()()s ik R s E k E J J p e -⋅⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑rr (2) ,1121()2222sin sin L dk Na NN E dE J a ka J kaπππ=⨯⨯=⨯= (3), 000022()22222Fk F F F Nak Na N k dk k k aπρππ=⋅=⋅⋅=∴=⎰r00111()2cos,()2sin2F F s F NNE E k E J a E N E aJ J aaππππ==-⋅===⋅25. 设有一维晶体的电子能带可写成 2271()(cos cos 2)88E k ka ka ma =-+h ， 其中a 为晶格常数，m 是电子的质量。