高中数学事件的独立性

高中数学事件的独立性
一、基础过关 1．有以下3个问题：
(1)掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为 偶数”；
(2)袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到红球”，事件N ：“第2次摸到红球”；
(3)分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这3个问题中，M ，N 是相互独立事件的有
( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是
( )
A.5
12
B.1
2
C.712
D.34
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为
( )
A.1
16
B.18
C.3
16
D.14 4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4
，两个零件是否加工为
一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
( )
A.12
B.512
C.14
D.1
6
5．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为3
5，且他们的
选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为 ( )
A.36125
B.44125
C.54125
D.98125 二、能力提升
6．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19
，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的
概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是
( )
A.29
B.1
18
C.13
D.23
7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16
25
，
则该队员每次罚球的命中率为________．
8．在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．
9．在一条马路上的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．
10．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率
均为45，每位男同学通过测验的概率均为3
5
，求：
(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．
11．面对H1N1流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究
机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，1
3
.
求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．
12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，
试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话． 三、探究与拓展
13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者
进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率
分别为56、45、34、1
3，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．
答案
1．C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.D 7.35 8.0.8 9.35192
10．解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A 为选出的3位同学中
没有男同学的事件，而P (A )＝C 36
C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56
.
(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．
而P (A )＝C 18
C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35
，
所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4
125
.
11．解 令事件A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出
该疫苗，依题意可知，事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝1
3
.
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 发生，
故P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝1
60.
(2)他们都失败即事件A B C 发生． 故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))
＝⎝⎛⎭⎫1－15⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－13 ＝45×34×23＝25
. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得，所求事件的概率
P ＝1－P (A B C )＝1－25＝3
5
.
12．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为A 1 A 2A 3，
于是所求概率为P (A 1 A 2A 3)＝910×89×18＝1
10
；
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310
. 13．解 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，
由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝1
3
.
(1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
则P (B )＝P (A 1A 2 A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×4
5×⎝⎛⎭⎫1－34＝16. (2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1＋A 1 A 2＋A 1A 2 A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2 A 3)
＝16＋56×15＋56×4
5×⎝⎛⎭
⎫1－34 ＝12. (3)X 的可能取值为1,2,3,4.
P (X ＝1)＝P (A 1)＝1
6
，
P (X ＝2)＝P (A 1 A 2)＝5
6×⎝⎛⎭⎫1－45＝16
， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＝56×4
5×⎝⎛⎭⎫1－34＝16
， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝1
2，
所以，X 的分布列为。