几何图形中的十字架结构

基本模型

1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论有哪些？

结论：

△ADM≌△BAN

AM=BN

2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？

当然是仍然成立的

过点H作HN⊥BC，过点F

作FM⊥AB

结论：

△HNG≌△FME

GH=EF

所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”

所以反思“从相等是否可推导出垂直？”

在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF=GH ，则EF 与GH

不一定垂直，请画出反例

.

如上图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH ’=DH ，BG ’=CG ’即可作出HG=H ’G ’

利用上述结论，做题可就方便多了！例题1、如图，将边长为

4的正方形纸片

ABCD 折叠，使得点

A 落在CD 的中点E 处，折痕

为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；

【解析】

连接AE ，由轴对称的性质可知，AE ⊥FG （应该是FG 垂直平分AE ）

这样就可以直接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以

FG=AE=5

22

4

2

2

既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？

模型拓展一如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有

什么数量关系？

其实这里面基本型较多有相似里的直角母子型，又有A 字形相似

但是为了延续上面的探究我们要讲的模型是△CDE ∽△BCD

证明较简单不证了记住这个结论所以n

m BC

CD BD

CE

即CE 和BD 之比等于矩形邻边之比

如图1，一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当

EF ⊥GH 时，有

AD

AB GH

EF 的结论，证明方法如图

2，证明△FME ∽GNH 即可

图1

图2

看到上面加粗的字了吗？这个点的所在边为什么要确定？因为言五君发现，仅仅使得EF ⊥GH ，会出现下图情况，此时仍有相似，但

AD

AB GH EF 不再成

立

所以我们可以思考一下，当这个α角度在什么范围内，

AD

AB GH EF 这个结论才能成立呢？由于α的特殊性，不如求

tan ∠EFB 的最小值.

例题1、如图，已知直线

2x

2

1-

y 与x 轴、y 轴分别交于

B 、A 两点，将△AOB 沿着AB 翻

折，使点O 落在点D 上，当反比例函数

x

k y

经过点D 时，求k 的值.

【解析】

求出点D 的坐标就好啦！

这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）

发现连接OD 后，有OD ⊥AB （发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）所以有

AB

OD OB

OE AO

ED ，OD 和AB 均可求出来

易求A （0，2），B （4，0）所以AB=52，OD=2OG

在△ABO 中，利用面积法可快速求出OG=

5

54，所以OD=

5

58所以

5

45255

84OE 2

ED 所以ED=5

8

，OE=

5

16，所以D （

5

8，

5

16）

所以k=58×516

=

25

128

【练习】

如图把边长为AB＝6，BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.

请在20秒内快速求出此题答案

15

答案：

2

模型拓展二

我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形

所以矩形的结论可沿用至直角三角形内

例题1、在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；

【解析】

如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G

所以有结论△BCD ∽△CAG ，所以CG

AB AC CB AG CD 所以

CG

54

3AG

2，AG=

3

8，CG=

3

20如图，再用一次X 型相似即可

所以设CE=x ，EG=

3

20-x

所以

CE EG BC

AG ，即x

x -320

338

，解得17

60x 【练习】1、如图，在

Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点

E ，延长BE 交AC 于点

F ，则

AF FC

的值为___________.AF ：FC

答案：2