2016中考数学：几何和函数问题专题复习
2016年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象一、选择题1. （2016兰州，8，4分）二次函数y=x 2-2x+4化为y=a(x-h)2+k 的形式，下列正确的是（ ） A. y=(x-1)2+2 B. y=(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4 【答案】B2．（2016四川南充，5，3分）抛物线y=x 2+2x+3的对称轴是（ ）A ．直线x=1B ．直线x=﹣1C ．直线x=﹣2D ．直线x=2【答案】B3．(2016年湖北荆门，10，3分)若二次函数y ＝x 2＋m x 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋m x ＝7的解为( )A ．x 1＝0，x 2＝6B ．x 1＝0，x 2＝6C ．x 1＝0，x 2＝6D ．x 1＝0，x 2＝6 [答案]D4．（2016·山西，8，3分）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ D ）A ．13)1(2-+=x yB ．3)5(2--=x yC ．13)5(2--=x yD ．()312-+=x y 答案：D5．（2016浙江衢州，7，3分）二次函数图像上部分点的坐标对应值列表如下:x ....-3 - 2 -1 0 1 ....y ....-3 -2 -3 -6 -11....则该函数图像的对称轴是（ ）A ．直线x ＝- 3B ．直线x ＝-2C ．直线x ＝- 1D ．直线x ＝0 【答案】B6．（2016浙江绍兴，9，4分）抛物线y ＝x 2+bx +c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝O(l ≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】A7.（2016湖北黄石，9，3分）以x 为自变量的二次函数()12222-+--=b x b x y 的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ） A.45≥b B.1≥b 或 1-≤b C.2≥b D. 21≤≤b 【答案】A8．（2016湖北孝感，10，3分）如图是抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的部分图象，其顶点坐标为)1(n ，，且与x 轴的一个交点在点)0 3(，和)0 4(，之间．则下列结论： ①0>+-c b a ；②03=+b a ；③)(42n c a b -=；④一元二次方程12-=++n c bx ax 有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C9．（2016湖南长沙，12，3分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2+bx+c+2=0无实数根；③a ﹣b+c ≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D10．（2016山东烟台，11，3分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ①4ac ＜b 2；②a+c ＞b ；③2a+b ＞0． 其中正确的有（ ）)10(题第xy O)1(n ，1=x 342A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③［答案］ B11.(2016广东广州，9，3分）对于二次函数y =-14x 2+x -4,下列说法正确的是（ ）A 、当x>0，y 随x 的增大而增大B 、当x=2时，y 有最大值－3C 、图像的顶点坐标为（－2，－7）D 、图像与x 轴有两个交点［答案］ B12．（2016浙江宁波，11，4分）已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（ ）A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 【解答】D ．13. （2016兰州，13，4分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，对称轴是直线 x=-1，有以下结论：①abc>0；②4ac<b 2；③2a+b=0；④a-b+c>2.其中正确的结论的个 数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 （第13题） 【答案】C14. （2016兰州，11，4分）点P 1（-1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=-x 2+2x+c的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 3 > y 2 >y 1B. y 3>y 1=y 2C. y 1>y 2>y 3D. y 1=y 2>y 3 【答案】D15．（2016四川自贡，10，4分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx 在同一坐标系内的大致图象是（ ）【答案】C ．16.(2016湖南益阳，7，5分）关于抛物线221y x x =-+，下列说法错．误．的是 （ ） A ．开口向上B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线1x =D ．当1x >时，y 随x 的增大而减小【答案】D17.（2016湖南株洲，10，3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点A(－1,2)，B （2，5）顶点坐标为(,)m n ，则下说法错误的是( )A 、3c <B 、12m ≤ C 、2n ≤ D 、1b <【答案】B18.（2016四川成都，9，3分）二次函数y=2x 2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点（2，3）C ．抛物线的对称轴是直线x=1D ．抛物线与x 轴有两个交点【答案】D19.(2016福州，11，3分)已知点A (－1，m )，B (1，m )，C (2，m ＋1)，在同一个函数图象上，这个函数图象可以是A ．B ．C ．D ． 【答案】C20.（2016四川广安，10，3分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根．下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2．其中，正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B ．21.（2016聊城，7,3分）二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =的图像可能是（ ）【答案】C22.（2016山东枣庄，12，3分）已知二次函数cbxaxy++=2（0≠a）的图象如图所示，给出以下四个结论：①0=abc；②0>++cba；③ba>；④042<-bac.其中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C23.（2016四川巴中，10，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B24．（2016山东临沂， 13，3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如下表：x…－5 －4 －3 －2 －1 0 …y… 4 0 －2 －2 0 4 …下列说法正确的是( )O23xy（第10题图）-x=第12题图A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是－2D ．抛物线的对称轴是x ＝－52【答案】D25. (2016山东滨州，10，3分)抛物线y=22x 与坐标轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C.26. (2016山东滨州，11，3分)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=2x +5x+6，则原抛物线的解析式是( )A.y=－2511()24x --B.y=－2511()24x +-C.y=－251()24x --D.y=－251()24x ++答案：A. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空题1.(2016湖南益阳，10，5分）某学习小组为了探究函数2||y x x =-的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m = ．【答案】0.75；2.1.(2016山东泰安，21，3分)将抛物线y=22(1)x -+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为_________. 答案：y=22(2)x +-2.3. （2016兰州，16，4分）二次函数y=x 2+4x-3的最小值是_____________________. 【答案】-74．（2016山东青岛，12，3分）已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为．答案：．5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.（2016，山东淄博，21，8分）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A 的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得y=kx+b，解得k=2,b=2，∴直线AB的解析式为y=2x+2．25．（2016四川南充，25，10分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y 轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM==，∵sin∠AMF=，∴=，∴=，整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，）．（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）．∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m=﹣3±，∴点M坐标（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣ m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣ m2﹣m+6），∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m=﹣3．∴点M坐标（﹣2，3），综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．2.(2016湖南益阳，21，12分）如图，顶点为(3,1)A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．解：（1）∵抛物线顶点为(3,1)A ，设抛物线对应的二次函数的表达式为2(3)1y a x =-+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得13a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：212333y x x =-+． （2）将0y = 代入212333y x x =-+中，得B 点坐标为：(23,0)， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将(3,1)A 代入表达式y kx =中，得3k =， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为3y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为3y x b =+， 将B (23,0)代入3y x b =+中，得2b =- ，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为32y x =-．由2321233y y x ⎧-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得交点D 的坐标为(3,3)-，将0x =代入32y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , 23OB OD ==．在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△OAB ≌△OCD ．（3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小．过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '∆∽C DQ '∆． ∴PO C O DQ C Q '=',253=，∴23PO ，∴ 点P 的坐标为23(．22．（2016浙江衢州，22，6分）已知二次函数y ＝x 2＋x 的图象，如图所示.（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2＋x ＝1的根在图上近似地表示出来（描点）， 并观察图象，写出方程x 2＋x ＝1的根（精确到0.1）. （2）在同一直角坐标中系中画出一次函数1322y x =+的图象，观察图象写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值.（3）如图，点P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在点P 上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数1322y x =+的图象上，请说明理由.(1)作图描点X 1 ≈ -1.6 ， x 2 ≈ 0.6 (2)画直线x ＜-1.5或x ＞1 （3）平移方法不唯一如，先向上平移54个单位，再向作平移12个单位 平移后的顶点坐标P （-1,1）平移后表达式：y =（x +1）2＋1或 y =x 2+2x ＋2 理由：把P 点坐标（-1,1）代入1322y x =+ 左边=右边，点P 在函数1322y x =+的图像上.3.(2016福州，27，13分) (13分)已知，抛物y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点，顶点为A (h ，k ) (h ≠0)．(1)当h ＝1，k ＝2时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线y ＝tx 2(t ≠0)也经过A 点，求a 与t 之间的关系式； (3)当点A 在抛物线y ＝x 2－x 上，且－2≤h ＜1时，求a 的取值范围．【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (1)∵h ＝1，k ＝2． ∴y ＝a (x －1)2＋2．∵抛物线经过原点，∴a＋2＝0，解得a＝－2．∴y＝＋2(x－1)2＋2．即y＝－2x2＋4x．(2)∵抛物线y＝tx2 (t≠0)经过点A(h，k)．∴k＝th2，∴y＝a(x－h)2＋th2．∵抛物线经过原点，∴ah2＋th2＝0．∵k≠0，∴a＝－t．点A在第一、二象限内的示意图如图所示．(3)∵点A (h，k) 在抛物线y＝x2－x上．∴k＝h2－h．∴y＝a(x－h)2＋h2－h，∵抛物线经过原点，∴ah2＋h2－h＝0．∵h≠0，∴a＝1h＝1，分两类讨论：①当－2≤h＜0时，由反比例函数性质可知1h ≤－12．∴a≤－32；②当0≤h＜1时，由反比例函数性质可知1h≥1．∴a＞0．综上所述，a的取值范围是a≤－32或a＞0．（2016，山东淄博，23，9分）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．解：（1）∵圆心O的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），∵QO=QF，∴m2+（）2=m2+（﹣）2，∴a=1，∴抛物线为y=x2．（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），∵O、Q、M在同一直线上，∴KOM =KOQ，∴=，∴m=，∵QO=QM，∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，整理得到：﹣ t 2+t 4+t 2﹣2mt=0， ∴4t 4+3t 2﹣1=0， ∴（t 2+1）（4t 2﹣1）=0， ∴t 1=，t 2=﹣， 当t 1=时，m 1=， 当t 2=﹣时，m 2=﹣．∴M1（，），Q 1（，），M 2（﹣，），Q 2（﹣，）． （3）设M （n ，n 2）（n ＞0）， ∴N （n ，0），F （0，）， ∴MF===n 2+，MN+OF=n 2+，∴MF=MN+OF ．4.（2016聊城，25,12分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3,0），B （9,0）和C （0，4）。
2016中考数学考点之函数_考点解析
2016中考数学考点之函数_考点解析
数学是一门自然科学，同时又是一门工具。
小编准备了2016中考数学考点，希望你喜欢。
1、各个待定系数表示的的意义。
2、熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点值。
3、利用图像求不等式的解集和方程(组)的解，利用图像性质确定增减性。
4、两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。
5、利用函数图象进行分类(平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形)以及分类的求解方法。
6、与坐标轴交点坐标一定要会求。
面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。
7、数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。
函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。
8、自变量的取值范围有：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0，0指数底数不为0，其它都是全体实数。
2016中考数学考点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
2016中考数学：-几何与函数题目专题复习
2016中考数学：-几何与函数题目专题复习2016中考数学专题讲座几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。
几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。
函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。
【典型例题】【例1】已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．【思路点拨】（1）取AB 中点H ，联结MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。
【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ∥？（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．BAD MECBADC备用图图（1）图（2）【思路点拨】（1）设BP 为t ，则AQ = 2t ，证△APQ ∽△ABC ；（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．（3）构建方程模型，求t ；（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t 的值。
2016年全国中考数学真题分类 二次函数的图象与性质(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题10．（2016内蒙古呼和浩特，10，3分）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．6 B．3 C．﹣3 D．0【考点】根与系数的关系；二次函数的最值．【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，当a=2时，（m ﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论．【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，∴m+n=2a，mn=2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，∵a≥2，∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．10．（2分）（2016•沈阳，10，2分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答．【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想．9．（2016四川攀枝花，9，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C 错误；由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．【答案】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，∴2a+b=0，∴选项A错误；∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴选项B错误；∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴选项C错误；当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，∴D点坐标为（1，﹣2），∴AE=2，BE=2，DE=2，∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确．故选D．12．（2016广西南宁，12，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．7．（2016湖南常德，7，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【答案】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．11．（2016四川眉山，11，3分）若抛物线不动，将平面直角坐标系xoy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．2(2)5=-+y x=-+B．2(2)3y xC．21=+y xy x=-D．2410.(2016陕西10，3分）已知抛物线322+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为 【 D 】A.21B. 55 C. 552 D. 221．（2016台湾，21）坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a ）、（3，b ）、（﹣1，c ）、（﹣3，d ）四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a B ．b C ．c D ．d【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】根据抛物线顶点及对称轴可得抛物线与x 轴的交点，从而根据交点及顶点画出抛物线草图，根据图形易知a 、b 、c 、d 的大小． 【答案】解：∵二次函数图形的顶点为（2，﹣1）， ∴对称轴为x=2， ∵×PQ=×6=3，∴图形与x 轴的交点为（2﹣3，0）=（﹣1，0），和（2+3，0）=（5，0）， 已知图形通过（2，﹣1）、（﹣1，0）、（5，0）三点， 如图，由图形可知：a=b ＜0，c=0，d ＞0． 故选：D ．二、填空题18．（2016湖北荆州，18，3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为﹣1或2或1 ．【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2﹣4ac=0，进而解方程得出答案．【解答】解：∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1．故答案为：﹣1或2或1．16．(2016辽宁大连，16，3分)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B （m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（﹣2，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得=，解得x=﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．（2016•大庆，18，3分）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b=，化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴=，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．三、解答题25．（2016•广东茂名，25，8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．【思路分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．【答案】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴当以F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．26．（2016四川眉山，26，11分）已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在⑵的条件下，请求出当||PM AM-的最大值时点M的坐标，并直接写出||PM AM-的最大值.【答案】（1）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c=++∵A(1，0)、B(0，3)、C(－4，0)，∴31640 a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解之34a=-，94b=-，3c=，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为239344y x x=--+…3分（2）∵OB＝3，OC＝4，∴BC＝AC＝5.当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP＝AC＝5，且点P到轴的距离等于OB.∴点P的坐标为(5，3).当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点P的坐标为(5，3)时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形…6分（3）设直线PA的解析式为(0)y kx b k=+≠225xy=-⎧⎨=-⎩.∴53k bk b+=⎧⎨+=⎩. 解之34k=，34b=-.∴直线PA的解析式为3344y x=-……7分当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系||PM AM PA-<，当点M与点P、A在同一直线上时，||PM AM PA-=，∴当点M与点P、A在同一直线上时，||PM AM-的值最大，即点M为直线PA 与抛物线的交点……8分解方程组2334439344y xy x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩得111xy=⎧⎨=⎩、22592xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.∴点M的坐标为(1，0)或(－5，－92)时，||PM AM-的值最大……10分此时||PM AM-的最大值为5.……11分24. （2016湖南张家界，24，10分）已知抛物线2－3 (a0) 的图象与y轴交于点A(0，)，顶点为B. （1）试确定a的值，并写出B点的坐标；(2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；(3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；(4）若将抛物线平移m（m0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由。
2016中考数学知识点备考函数_考点解析
2016中考数学知识点备考函数_考点解析
临近2016中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师跑没用。
因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。
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变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B(B为常数，K不等于0)的形式，则称Y是X的一次函数。
②当B=0时，称Y是X的正比例函数。
一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限;当K〈0，B〉0时，则经124象限;当K〉0，B〈0时，则经134象限;当K〉0，B〉0时，则经123象限。
④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X 值的增大而减少。
2016年全国中考数学真题分类 选择题中的压轴题——几何图形中的动点与函数图象的选择(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类选择题中的压轴题——图形中的动点与函数图象的选择一、选择题1．（2016青海西宁，10，3分）如图4，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABCBAC，设点B的∆，使︒∠90=横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是[来源:Z§xx§]图4 A B C D【答案】A2．（2016甘肃定西，10，3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4﹣x，根据三角形面积公式得到y=﹣x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=xx=x2；当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=（4﹣x）x=﹣x2+2x，故选A【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x 的函数关系式．3．（2016湖南衡阳，12，3分）如图，已知A，B是反比例函数y=（k ＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S==a2•cos α•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．4.（2016 镇江，17,3分）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC 的一个顶点，已知点B坐标为（1,7），过点P（a,0）(a＞0)，作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），现将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（）A. 54B.43C. 2D.3答案：C.二、填空题5．（2015•浙江舟山，16，4分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 4 ．【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO==，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．三、解答题6．(2016上海，25，14分) (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)如图9所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE＝∠DAB．(1)求线段CD的长；(2)如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；(3)如果点F在边CD上(不与点C、D重合)，设AE＝x，DF＝y，求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围．【答案】解：(1)过点D作DH∥AB，垂足为点H．在Rt△DAH中，∠AHD＝90°，AD＝15，DH＝12，∴AH22AD DH9．又∵AB＝16，∴CD＝BH＝AB－AH＝7．(2)∵∠AEG＝∠DEA，又∠AGE＝∠DAE，△AEG∽△DEA．由△AEG是以EG为腰的等腰三角形，可得△DEA是以AE为腰的等腰三角形．①当EG＝EA时，∠EAG＝∠AGE＝∠DAB∴点G与点D重合过点E做EH⊥AD与H点cos∠A＝AHAE ＝35，AH＝152∴AE＝252②当GE＝GA时，△EAD∽△EGA．AE GE ＝ADAG∴AE＝AD＝15综上所述，AE＝152或15(3)Rt △DHE 巾，∠DHE ＝90°，DE 22DH EH ＋2212(9)x +- ∵△AEG ∽△DEA ，AE DE ＝EGAE． ∴EG ()222129x +-DG ＝()22129x +-()222129x +-．∵DF ∥AE ，∴DF AE ＝DG EG ，yx ＝()2222129x x x +--．∴y ＝22518x x -，x 的取值范围为9＜x ＜252．7. （2016 镇江，27,9分）（本小题满分9分）如图1，在菱形ABCD 中，5tan ∠ABC=2，点E 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA 的方向匀速运动，设运动时间为t （秒）.将线段CE 绕点C 顺时针旋转一个角α（α=∠BCD ），得到对应线段CF. （1）求证：BE=DF ；（2）当t= 秒时，DF 的长度有最小值，最小值等于 ；（3）如图2，连接BD ，EF ，BD 交EC ，EF 于点P 、Q ，当t 为何值时，△EPQ 是直角三角形？（4）如图3，将线段CD 绕点C 顺时针旋转一个角α（α=∠BCD ），得到对应线段CG.在点E 的运动过程中，当它的对应点F 位于AD 上方时，直接写出点F 到直线AD 的距离y 关于时间t 的函数表达式.DCAE图2QPDC AE 图3DC GA（1）证明：∠ECF=∠BCD ， ∴∠ECF －∠ECD=∠BCD －∠ECD ， 即∠DCF=∠BCE. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴DC=BC ，在△DCF 和△BCE 中，DCF=BCE DC=BC CF CE =⎧⎪⎨⎪⎩∠∠ ∴△DCF ≌△BCE ，∴DF=BE ；……………………………………………………2分（2）当56)秒时，……………………………………………………3分 当DF 的长度有最小值，最小值等于12；……………………………………………………4分 （3）∵CE=CF ， ∴∠CEQ ＜90°.①当∠EQD=90°时，如图1，∠ECF=∠BCD，BC=DC,EC=FC, ∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°.在Rt△CDE中，∠CED=90°，∵，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；……………………………………………………6分②当∠EPQ=90°时，如图2，∵菱形ABCD对角线AC⊥BD，∴EC和AC重合.∴，∴秒；……………………………………………………7分图1图2（4）y=5t－12－5.……………………………………………………9分略解：点G即为t=0时，点E的对应点.当点F在直线AD上方时，如图3，连接GF，分别交直线AD、BC于点M、N,过点F作FH⊥AD，垂足为H，由（1）得∠1=∠2.易证△DCE≌△GCF，2016年全国中考数学精品文档11 ∴∠3=∠4.∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠4.∴GF ∥CD ，易得∠BCD=∠DCN=∠CNG.∵tan ∠ABC=tan ∠CGN=2， ∴GN=12.∴+12.∵GF=DE=t ×1=t,FM =t －－12，∵tan ∠FMH=tan ∠ABC=2， ∴FH=5（t －12）， 即－12－。
2016年中考数学试题分项版解析(第03期)专题06 函数的图像与性质
专题06 函数的图像与性质一、选择题1.(2016四川省乐山市第6题)次函数224y x x =-++的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C ．考点：二次函数的最值．2.(2016四川省乐山市第9题)已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，记2m a b c a b c =-++++，2n a b c a b c =+++--．则下列选项正确的是（ ）A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．m 、n 的大小关系不能确定【答案】A ．【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右边，∴b ＞0，∵抛物线经过原点，∴c =0，∴a ﹣b +c ＜0；∵x =1时，y ＞0，∴a +b +c ＞0，∵c =0，∴a +b ＞0；（1）当对称轴12b x a=-≤时，20a b +≥， 2m a b c a b c =-++++=()(2)a b a b --++=2a b a b -+++=2b a +，2n a b c a b c =+++--=(2)a b a b +--=2a b a b +-+ =2b a -，∵a ＜0，∴22b a b a +<-，∴m ＜n ．考点：二次函数图象与系数的关系．3.(2016广东省贺州市第10题)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，考点：(1)、二次函数的图象；(2)、一次函数的图象；(3)、反比例函数的图象4.(2016广西省南宁市第4题)已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（）A． B．3 C．﹣ D．﹣3【答案】B【解析】试题分析：本题较为简单，把坐标代入解析式即可求出m的值．把点（1，m）代入y=3x，可得：m=3考点：一次函数图象上点的坐标特征．5.(2016广西省南宁市第8题)下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【答案】D考点：函数的概念．6.(2016广西省南宁市第12题)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定【答案】C【解析】试题分析：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．考点：抛物线与x轴的交点7.(2016贵州省毕节市第10题)如图，点A 为反比例函数x y 4-=图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于点B ，链接OA,则△ABO 的面积为（ ）A.-4B.4C.-2D.2【答案】D【解析】 试题分析：设点A 的坐标为（m ，n ），因为点A 在图象上，所以，有mn ＝－4，△ABO 的面积为1||2mn ＝2 考点：(1)、反比例函数；(2)、三角形的面积公式8.(2016贵州省毕节市第14题)一次函数)0(≠+=a c ax y 与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在同一个坐标系中的图象可能是（ ）【答案】D【解析】 试题分析：当x ＝0时，都有y ＝c ，所以，一次函数与二次函数都过点（0，c ），排除A ；对于B ，由直线知a <0，由二次函数知a ＞0，矛盾；对于C ，由直线知a ＞0，由二次函数图象知a ＜0，矛盾，只有D 符合。
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．类型一 动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化．例1 (2016·济南) 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是A B 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）【分析】 由点Q 从点N 出发，沿折线NDDCCE 向点E 运动，确定出点Q 分别在ND ，DC ，CE 运动时对应的t 的取值范围，再根据t 所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．【自主解答】过点D 作DF ⊥AB 于点F （如图1），则DF ＝BC ＝4．第15题图 A BCDM N Q∵AD ＝5，DF ＝4，∴AF ＝3．∴sin ∠A＝DF AD ＝45，MF ＝3－1＝2，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2，DC ＝BF ＝2．∵AD ＝5，AN ＝3，∴ND ＝5－3＝2．（1）当0≤t ≤2时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图2），此时AP ＝AM ＋MP ＝1＋t ，AQ ＝AN ＋NQ ＝3＋t ．∴S ＝12AP •AQ •sin ∠A ＝12(1＋t )(3＋t )×45＝25(t ＋2)2―25．当0≤t ≤2时，S随t 的增大而增大，且当t ＝2时，S ＝6．由此可知A 、B 选项都不对．（2）当t ＝5时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图3），此时BP ＝1，PE ＝BC －BP －CE ＝4－1－1＝2．∴S ＝12AB •PE ＝12×5×2＝5．∵6＞5，∴选项D 正确．变式训练1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4，D 为AB 上的动点，DP ⊥AB 交折线A －C －B 于点P.设AD ＝x ，△ADP 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是( )2．(2016·烟台)如图，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条相互垂直的直径，图1 DC B A E M N QP F 图2 A B C D E M N Q P F 图3 A B C D E (Q )M N F P点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动．设AP＝x，sin∠APB ＝y，那么y与x之间的关系图象大致是()类型二二次函数的实际问题解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题．一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要．例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【自主解答】解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，解得：h=；②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：，解得：，∴a=﹣．变式训练3．(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润．4、（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．类型三二次函数的综合题二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合．例3 (2017·泰安) ）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．变式训练5．(2016·襄阳) 如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC 于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=﹣x+3∴y=3，∴C（0，3），令y=0代入y=﹣x+3∴x=4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），∴a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，∴顶点D的坐标为（1，）；（2）当DP∥BC时，此时四边形DEFP是平行四边形，设直线DP的解析式为y=mx+n，∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3，∴m=﹣，∴y=﹣x+n，把D（1，）代入y=﹣x+n，∴n=，∴直线DP的解析式为y=﹣x+，∴联立，解得：x=3或x=1（舍去），∴把x=3代入y=﹣x+，y=，∴P的坐标为（3，）；（3）由题意可知：0≤t≤6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，∴解得，∴直线AC的解析式为：y=x+3，由题意知：QB=t，如图1，当∠NMQ=90°，∴OQ=4﹣t，令x=4﹣t代入y=﹣x+3，∴y=t，∴M（4﹣t，t），∵MN∥x轴，∴N的纵坐标为t，把y=t代入y=x+3，∴x=t﹣2，∴N（t﹣2，t），∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，∵MQ∥OC，∴△BQM∽△BOC，∴，∴MQ=t，当MN=MQ时，∴6﹣t=t，∴t=，此时QB=，符合题意，如图2，当∠QNM=90°时，∵QB=t，∴点Q的坐标为（4﹣t，0）∴令x=4﹣t代入y=x+3，∴y=9﹣t，∴N（4﹣t，9﹣t），∵MN∥x轴，∴点M的纵坐标为9﹣t，∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，∴x=2t﹣8，∴M（2t﹣8，9﹣t），∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，∵NQ∥OC，∴△AQN∽△AOC，∴=，∴NQ=9﹣t，当NQ=MN时，∴9﹣t=3t﹣12，∴t=，∴此时QB=，符合题意如图3，当∠NQM=90°，过点Q作QE⊥MN于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，设QE=a，令y=a代入y=﹣x+3，∴x=4﹣，∴M（4﹣a，a），令y=a代入y=x+3，∴x=﹣2，∴N（﹣2，0），∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a，当MN=2QE时，∴6﹣2a=2a，∴a=，∴MF=QE=，∵MF∥OC，∴△BMF∽△BCO，∴=，∴BF=2，∴QB=QF+BF=+2=，∴t=，此情况符合题意，综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或6．(2017·潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF =S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．。
数学中考复习专题函数与几何综合题选讲
4a
8
1 ·AB·｜y ｜= 1 1 1 1 ∴S△ABP= 2 2 8 32 p 2
3 2.(2002年· 河南省)已知如图所示，直线y= 3
x+ 3 与 x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M过原点及A、B两点 (1)求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； (2)C是⊙M上一点，连接BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO， 写出经过O、C、A三点的二次函数解析式. (3)若延长BC到E，使DE＝2，连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系.
2
2
2
1 ( 3 ) 2 32 3 2
∴CG=MC-MG= 3 ∴C(-3/2，- 2 )
3
3 3 2 2
设经过O、A、C三点的二次函数解析式为y=ax王2+bx+c 3 由已知，函数图象过(0，0)、(-3/2，)、(-3，0) 2 三点得
a 2 3 c 0 9 3 3 2 9 a bc b 3 2 2 3 4 9a 3b c 0 c 0
3
∴y=
3 (x+1)(x+3) 3 3 x 2+ 4 3 3 3
即y=
x+3
(3)⊙M与⊙A外切，证明如下： ∵ME∥y轴∴∠MED=∠B ∵∠B=∠BDA=∠MDE∴∠MED=∠MDE ∴ME=MD ∵MA=MD+AD=ME+AD∴⊙M与⊙A外切
考题演练
1.(2003年·天津市)已知：抛物线y=2x2-3x+m(m为常数)与 x轴交于A、B两点，且线段AB的长为12， (1)求m的值； (2)若该抛物线的顶点为P，求△ABP的面积.
(完整版)16年中考数学函数复习专题
第一讲：一次函数与反比例函数1。
一次函数与正比例函数的定义：一次函数：一般地，y=kx+b 若(其中k ，b 为常数且k ≠0）,那么y 是x 的一次函数 正比例函数：当b=0， k ≠0时，y=kx,此时称y 是x 的正比例函数 2。
一次函数与正比例函数的区别与联系：从解析式看：y=kx+b （k ≠0,b ≠0)是一次函数而y=kx （k ≠0，b ≠0）是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例,一次函数是正比例函数的推广从图象看:y=kx （k ≠0）是过点（0，0）的一条直线，而y=kx+b(k ≠0）是过点（0，b ）且与y=kx 平行的一条直线.例1:如图，已知直线y=—x+2与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b （k ≠0）经过点C （1，0）,且把△AOB 分成两部分.(1）若△AOB 被分成的两部分面积相等,求k 和b 的值3、反比例函数的图象y =kx是由两支曲线组成的. (1） 当 k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限， (2） 当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限.例2.（1）已知函数1k y x+=的图象分布在第二、四象限内，则k 的取值范围是_________(2）若ab ＜0,则函数ax y =与x by =在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的 ( )(A ） （B ） （C) (D ）(2011•成都)如图，已知反比例函数的图象经过点（,8），直线y=﹣x+b 经过该反比例函数图象上的点Q （4，m ）．(1）求上述反比例函数和直线的函数表达式; （2)设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与反比例函数图象的另一个交点为P ，连接0P 、OQ ，求△OPQ 的面积．OBAC24y x =12y x=解:（1）把点（,8)代入反比例函数，得k=•8=4，∴反比例函数的解析式为y=；又∵点Q(4，m)在该反比例函数图象上，∴4•m=4， 解得m=1，即Q 点的坐标为（4，1），而直线y=﹣x+b 经过点Q(4，1)，∴1=﹣4+b ，解得b=5， ∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；(2）联立，解得或,∴P 点坐标为（1，4），对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，∴A 点坐标为（5，0），∴S △OPQ =S △AOB ﹣S △OBP ﹣S △OAQ =×5×5﹣×5×1﹣×5×1=．练习： 一、选择题1、下列各点中，在函数x 6y -= 图像上的是 （ ）A．（－2,－4）； B ．（2，3）； C ．（－6，1）; D ．(－21，3）． 2、如图,A ，B 是双曲线)0k (xky >=上的点，A ，B 两点的横坐标分别是a,2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ,若6S AOC =△，则k=___________.3、如图，过x 轴正半轴任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=2x 和y 2=4x的图像交于点A和点B 。
2016年中考数学专题复习八二次函数与几何综合
二次函数与几何综合【专题思路剖析】二次函数与几何图形相结合的综合问题,是近年来全国各地中考的热点题型,大部分也是全卷的压轴题,具有较好的区分度和选拔功能.此类试题不仅可以考查二次函数和平面几何的基础知识,还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法,以及阅读理解能力、收集处理信息的能力、运用数学知识对问题的探究能力等.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识,并充分挖掘题目中的隐含条件,以达到解题目的。
二次函数与几何综合中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．近年来，二次函数与几何的综合题成为中考的热点。
解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，相互渗透。
下面就二次函数与三角形、四边形及其之间线段与面积等问题的综合运用分别举例分析，涉及圆的问题近年来相对较少。
【典型例题赏析】类型1：二次函数与三角形的综合运用：特殊图形的判定问题，常与点的存在性问题相结合，解决此类问题的关键是要熟练掌握特殊图形的判定方法及性质，如：等腰三角形是直角、等边三角形的三边相等. 解决此类问题最常用的方法是假设法，一般先假设存在满足题意的点，根据特殊图形的性质画出草图，确定点的位置，然后根据题中已知条件和特殊图形的性质及判定方法建立动点与已知点的关系，最后列方程求解. 在画草图时，要做到不重不漏地画出所有可能的情况，以免在求解过程中遗漏答案，对所求出的结果要进行检验，看是否符合题意，如果不符合题意，应舍去. 例题1：（2015，福建南平，24，分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m ， m ），D（2m ，0 ）；②当m= 1 时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C （m， m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可．解答：解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m， m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在RT△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．点评：此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．【变式练习】（2015•辽宁省朝阳,第25题12分）如图，已知经过点D（2，﹣）的抛物线y=（x+1）（x﹣3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．（1）填空：m的值为，点A的坐标为（﹣1，0）；（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；（3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；（4）t是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把点D坐标代入抛物线y=（x+1）（x﹣3），即可得出m的值，再令y=0，即可得出点A，B坐标；（2）根据尺规作图的要求，画出图形，如图1所示；（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，此时DN的长度即为ME+MN的最小值；（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，设点P坐标，再表示出点G坐标，计算△ABD的三边，根据勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，即可得出结论，若△ABD是直角三角形，即可得出相似，再得出对应边成比例，求得点P坐标即可．解答：解：（1）∵抛物线y=（x+1）（x﹣3）经过点D（2，﹣），∴m=，把m=代入y=（x+1）（x﹣3），得y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣；令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）如图1所示；（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，设DE与x轴交于点H，如图2，由（1）（2）得点D与点E关于x轴对称，∴MD=ME，∵AH=3，DH=，∴AD=2，∴∠BAD=∠BAE=30°，∴∠DAN=60°，∴sin∠DAN=，∴sin60°=，∴DN=3，∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值，∴ME+MN的最小值为3；（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，如图3，∵P是抛物线上一点，∴设点P坐标（x，x2﹣x﹣）；∴点G坐标（﹣1，x2﹣x﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），D（2，﹣）；∴AB=4，BD=2，AD=2，∴△ABD为直角三角形的形状，△ABD与以P、G、A为顶点的三角形相似，分两种情况：①△ABD∽△PAG，∴=，∴2（x+1）=2（x2﹣x﹣），解得x1=4，x2=﹣1（舍去），∴P（4，）；②△ABD∽△APG，∴=，∴2（x+1）=2（x2﹣x﹣），解得x1=6，x2=﹣1（舍去），∴P（6，7）；∴点P坐标（4，）或（6，7）．点评：本题考查了二次函数的综合题，还考查了用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和逆定理以及轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．类型2：二次函数与四边形的综合运用：解决二次函数与四边形综合题的时，关键是建立合适的函数模型，将四边形问题和二次函数的解析式相结合. 此类型题考查方式比较灵活，经常在四边形特别是正方形、菱形等几何图形中进行变换. 解题时需要在熟练掌握二次函数图象与性质的基础上，运用数形结合和分类讨论思想，将面积问题转化为函数关系问题. 解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，从而将边之间关系问题转化为线段问题，建立未知量和已知变量之间的联系，勾股定理等有关手段解决相应的问题。
2016年中考数学专题复习：二次函数与几何综合学习(1)—2016年中考数学专题复习
第五节：二次函数与几何综合学习（1）—2016年中考数学专题复习类型一、“解析式+ 面积+直角三角形”例1．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．相应训练-11. （2012•山东）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线2-21212x x y +=图象上，过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型二、“解析式+点的坐标+最短线段”例2.已知：抛物线的对称轴为x=-1,与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ,其中A(-3,0)、C(0,-2)（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交X 轴于点E,连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．()20y ax bx c a =++≠相应训练-32.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线L，L与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、“解析式+直角三角形”2. 已知直线3y kx =-与x 轴交于点A(4,0)，与Y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C ，动点P 在X 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与X 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△AVD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．相应训练-13.（2015，福建）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．。
【南方新中考】(南粤专用)2016中考数学+第二部分+专题七+函数与图象复习课件
点解题．解答此题的难点是利用反比例函数的几何意义，把 B
的坐标转化成对应线段求解．
代数几何综合题 例 2：(2014 年贵州黔西南州)如图 Z7-2，在平面直角坐标 系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3)三点， 其顶点为 D，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点(不与 A，D 重合)，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 E，连接 AE. (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； (2)如果点 P 的坐标为(x，y)，△PAE 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围，并求出 S 的最大值；
(3)如图 Z73，设 P′F 与 y 轴交于点 N，过 P′作 P′M⊥
y 轴于点 M.
图 Z7-3
∵△PEF 沿 EF 翻折得△ P′EF，且
3 P－2，3，
∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝3，
3 PE＝P′E＝2.
∵PF∥y 轴，∴∠PFE＝∠FEN. ∵∠PFE＝∠P′FE，∴∠FEN＝∠P′FE. ∴EN＝FN. 设 ห้องสมุดไป่ตู้N＝m，则 FN＝m，P′N＝3－m. 在 Rt△P′EN 中，
②若探究①中的点 M 位于第四象限，连接点 M 与抛物线
顶点 F，试判断直线 MF 与⊙E 的位置关系，并说明理由．
图 Z7-4
解：(1)∵以E(3,0)为圆心，以5 为半径的⊙E 与x 轴交于A，
B 两点，∴A(－2,0)，B(8,0)．
如图 Z7-5，连接 CE. 在 Rt△OCE 中，OE＝3，CE＝5，
图 Z7-1
解析：设点 B 的坐标为 B(x0，y0)，
则 x0＝OC＋DB，y0＝AC－AD＝OC－DB. 于是，k＝x0· y0＝(OC＋DB)· (OC－DB)
2016中考数学几何知识点总结(专题汇总)_考点解析
2016中考数学几何知识点总结(专题汇总)_考点解析1 同角或等角的余角相等2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直3 过两点有且只有一条直线4 两点之间线段最短5 同角或等角的补角相等6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形本文导航1、首页2、角3、三角形4、等腰三角形5、四边形6、矩形7、菱形8、正方形9、等腰梯形10、等分》》》菱形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
中考数学总复习《几何与函数问题》考点梳理及型例题讲解课件
∵AB＝ AO2＋OB2＝ (2 3)2＋62＝4 3， ∴AC＝BC＝2 3， ∴∠CAO＝∠COA＝60°， ∴∠ACO＝60°， ∴S 阴影＝S 扇形－S△ACO＝60π×3(620 3)2－21×2 3×3＝2π－ 3 3.
(3)①OD＝OB，D 在 OB 的中垂线上，如图 1，过点 D 作 DH⊥OB，垂足是 H，则 H 是 OB 中点.DH＝12OC，OH＝21OB，
∴D2，32.
图1
②BD＝BO，如图 2，过点 D 作 DG⊥OB，垂足是 G，
图2 ∴OOGB＝CCDB＝15，DOGC＝45，
∴O4G＝15，D3G＝45， ∴OG＝45，DG＝152， ∴D45，152. 综上所述，符合条件的点 D 的坐标为2，23或45，152.
解：(1)在 Rt△ABC 中， AB＝ BC2＋AC2＝5， 由题意知：AP＝5－t，AQ＝2t， 若 PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC， ∴AAQC＝AAPB，∴24t＝5－5 t，∴t＝170.
(2)过点 P 作 PH⊥AC 于点 H. ∵△APH ∽△ABC， ∴PBHC＝AAPB，∴P3H＝5－5 t， ∴PH＝3－35t， ∴y＝12×AQ×PH＝21×2t×(3－53t)＝－35t2＋3t.
点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2 cm/s；连接 PQ. 若设运动的时间为 t(单位：s)(0<t<2)，解答下列问题：
(1)当 t 为何值时，PQ∥BC? (2)设△AQP 的面积为 y(单位：cm2)，求 y 与 t 之间的函数关 系式. (3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长 和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明 理由. 分析点拨：(1)设BP为t，则AQ＝2t，证△APQ ∽△ABC； (2)过点 P 作 PH⊥AC 于 H；(3)构建方程模型，求 t.
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2016中考数学专题讲座几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。
几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。
函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。
【典型例题】【例1】已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长； （3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。
【例2】（某某）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s ；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s ；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，BA DME CBADC备用图那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图（1） 图（2）【思路点拨】（1）设BP 为t ，则AQ = 2t ，证△APQ ∽△ABC ；（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．（3）构建方程模型，求t ；（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t 的值。
【例3】（某某）如图（1）,在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 图（1） 图（2） 图（3）【思路点拨】（1）证△AMN ∽△ABC ；（2）设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，先求出OD （用x 的代数式表示），再过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，证△BMQ ∽△BCA ；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。
然ABCMNDOABCMNPO ABCMNO后 分两种情况讨论求的最大值： ① 当0＜≤2时， ② 当2＜＜4时。
【学力训练】1、（某威海）如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝7，CD ＝1，AD＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN∥AB ，ME⊥AB ，NF⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积； （2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．2、（某某市）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值X 围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在， C DABEFNM A BCD ER P H Q请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．3、（某某）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和 △CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求 出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何 值时,y 有最大值，最大值是多少？4、（某某）如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）①求与之间的函数关系式；②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？几何与函数问题的参考答案【典型例题】DQC BPR ABADC（备用图1）B ADC（备用图2）【例1】（某市）（1）取中点，联结，为的中点，，．又，．，得；（2）由已知得．以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，，即．解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时，，．．，易得．得；②当时，，．．又，．，即，得．解得，（舍去）．即线段的长为2．综上所述，所求线段的长为8或2．【例2】（某某）（1）在Rt△ABC中，， BP由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC ，∴，∴，∴．（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△APH ∽△ABC ，∴，∴，∴，∴．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴，解得：．若PQ把△ABC面积平分，则，即－＋3t=3．∵ t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ ＝PC．∵PM ⊥AC于M，∴QM=CM ．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴，∴，∴，∴，∴，解得：．∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．此时，，B QP图②MN在Rt△PMC 中，，∴菱形PQP ′ C 边长为．【例3】（某某）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ． ∴ ，即．∴ AN ＝x ．∴=．（0＜＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =MN ．在Rt△ABC 中，BC ＝=5．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ ，即．∴ ，∴．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则．在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴．∴ ，．∴x ＝．∴当x ＝时，⊙O 与直线BC 相切．ABCMND 图（ 2）OA BCMNP图 （1）O（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴．AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论： ① 当0＜≤2时，．∴当＝2时，② 当2＜＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ． ∵四边形AMPN 是矩形， ∴PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴FN ＝BM ＝4－x ． ∴．又△PEF ∽ △ACB ． ∴．∴．＝．当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2． ABCMN 图 （ 4）OE F AMNP图 （3）O【例3】（某某）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴△AMN ∽△ABC ． ∴，即．∴AN ＝x ．∴=．（0＜＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =MN ．在Rt △ABC 中，BC ＝=5．由（1）知△AMN ∽△ABC ．∴，即．∴，∴．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴△BMQ ∽△BCA ． ∴．∴，．∴x ＝．∴当x ＝时，⊙O 与直线BC 相切．（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．ABMND 图（ 2）OAABMNP图 （1） O∴△AMO ∽△ABP ． ∴．AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论： ①当0＜≤2时，． ∴当＝2时，②当2＜＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ． ∵四边形AMPN 是矩形， ∴PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵MN ∥BC ，∴四边形MBFN 是平行四边形． ∴FN ＝BM ＝4－x ． ∴．又△PEF ∽△ACB ． ∴．∴．＝．当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．综上所述，当时，值最大，最大值是2．【学力训练】1、（某威海）（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ．∵AB ∥CD ，ABMN图 （ 4）OE F∴DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1． ∵DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴△AGD ≌△BHC （HL ）． ∴AG ＝BH ＝＝3．∵在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴DG ＝4． ∴．（2）∵MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴四边形MEFN 为矩形． ∵AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴∠A ＝∠B ．∵ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴△MEA ≌△NFB （AAS ）． ∴AE ＝BF ．设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．∵∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴△MEA ∽△DGA ． ∴．∴ME ＝．∴．当x ＝时，ME ＝＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为．（3）能．C DABE F NM G H C DABE F NMG H由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME ＝．若四边形MEFN为正方形，则ME ＝EF．即7－2x．解，得．∴EF＝＜4．∴四边形MEFN 能为正方形，其面积为．2、（某某市）（1），，，．点为中点，．，．，，．（2），．，，，，即关于的函数关系式为：．（3）存在，分三种情况：①当时，过点作于，则．，，．，，AB CD ERPH QM21，．②当时，，．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，． ，，． 综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．3、（某某）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以所以所以（2）的周长之和为定值．理由一：过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，的周长之和等于BC ＋CH ＋BH由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 理由二：ABD E RP HABCD E R PHQ由AB＝5，AM＝4，可知在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：，所以，△BEF 的周长是，△ECG的周长是又BE＋CE ＝10，因此的周长之和是24．（3）设BE＝x ，则所以配方得：．所以，当时，y 有最大值．最大值为．4、（某某）（1）如图，四边形是矩形，．又，，，，．，．，．（2）如图（1），由轴对称的性质可知，，，．由（1）知，，，．，，．DQCBPRA（图1）在中，根据题意得：，解这个方程得：．（3）①当点在矩形的内部或边上时，，，，当时，当在矩形的外部时（如图（2）），，在中，， ，又，，在中，，．，，当时，．综上所述，与之间的函数解析式是：．D QC BPR A图（2）F E②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方程，得，因为，所以不合题意，舍去．所以．综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．。