带符号数的表示

2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、定点表示法
计算机一次所能计算的二进制数的加减 乘除的位数是有限制的，这就决定了一次 计算是由精度限制的。我们知道，用来存 储数的位数越长，数的精度越高，但是计 算机一次所能运算的长度有限，所以要达 到高精度的运算有以下几个途径： 1.让计算机一次可以做更长的四则运算。 2.用人工分解的办法编制程序，把一个很长 的二进制数的四则运算分解成很多步较短 的二进制运算组合。
(2)定点小数的补码表示[X]补=
X 0≤X<1
(mod 2)
2-|X| -1≤X<0




例： 若X=0.1011，则X补=X=0.1011（mod 2） 若X<0，则X补=M+X=M-|X|。因而负数的 补码等于模M减去该数的绝对值。 例：若X=-0.1011，则 X补=2 - 0.1011=1.0101
一、原码表示法━最高位表正负，其余是 数的绝对值的大小。注意我们在日常生活 中用笔写小数的时候，很轻松的在纸上点 上小数点，但是小数点在计算机中一般是 计算机默认在某一位上，用不着留下空间 专门来存放这个表示点的信号的。
1.定点小数 X0 X1 X2 X3 X4
….. ….. ….. …..
Xn
2.1.2带符号数的表示
2.1.2带符号数的表示
一、补码表示法
补码的补充说明： 就象我们前面所演示给大家看的是补码 的发现其实是为了消灭减法，大家可以用 这样一种思维去理解补码：补码其实就是 专门针对负数而发明出来的，正数根本不 需要什么补码，补码是一个减法的差，所 以求一个数的补码就是做一个减法。
2.1.2带符号数的表示
而四位二进制定点小数的最小表示数只能是
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、定点表示法
0 0 0 1
换算成十进制就是0.03125，这就是精 度。换言之，数是每次跳跃0.03125增大或 减小这个大小的数的。在计算机科学中， 专业术语称之为“离散值”，因为如果把 这些二进制数标注在坐标轴上，大家看到 的是一些有固定间隔的一些点。
一、浮点表示法
2.移码（增码） X移=2m+X -2m≤X<2m 移码与补码的表示范围相同，只是在代 码形式上符号位相反而已。 举例： X=-(128)十进制=-（10000000）二进制 上面的两个数分别是十进制和二进制的真值， 设浮点数阶码共8位 移码为X=27+（-10000000）=00000000
X补=1.0110
反码？




1.3.2 补码的加法和减法 我们知道，对一个正数的补码表示按位求反后再在末位加1，可 以得到与此正数相应的负数的补码表示。我们把这种对一个二进制数 按位求反后在末位加1的运算称为求补运算，可以证明补码表示的数 具有以下特性：[X]补=〉[-X]补=〉[X]补在这里只用例子来说明。 由例1.13可见： [117]补=0075H [-117]补=FF8BH 现对[-117]补作求补运算： [-117]补为 1111 1111 1000 1011 按位求反后得 0000 0000 0111 0100 末位加1后得 0000 0000 0111 0101 此数正是[+117]补=0075H 这一特性在补码的加、减法运算中很有用。
2.1.3数的定点表示与浮点表示
第35页，关于溢出的重要概念 3.采用浮点计数法 二进制浮点数就是二进制的科学计数法。 科学计数法是有格式上的要求的，必须按 照严格的格式要求来转化二进制数。
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、浮点表示法
浮点数由一个定点整数和一个定点小数 组成。真值为：N=±REM, R=2 1.浮点数的原理性（格式） 就是科学计数法的二进制延伸。
由真值、原码转换为补码




正数的补码表示与原码相同。 （1）负数的原码转换为补码的方法之一 同整数。按位求反，末位加一。 此时符号位保持不变。 例： X原=1.1010
尾数变反 1.0101 末位加1 1 X补=1.0110





(2)负数原码转换为补码的方法之二 符号位保持不变，尾数部分自低位向高 位，第一个1及其以前的各低位0都保持不变， 以后的个高位按位求反。 例 X原=1.1010
一、补码表示法
12
11
10
9
负 数 区 域
正 数 区 域
8
7
6
X
0≤X<2n
（3）定点整数的补码表示[X]补=
(mod 2n+1)
2n+1-|X| -2n≤X<0
例：若X=1011000，则X补=01011000 例：若X=-1011000，则X补=27 -1011000 =10000000- 1011000 =10101000
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、定点表示法
而如果这个存储单元里存放的是定点小 数的话，比如存放的是0.1011，大家知道， 这个四位二进制小数的十进制数是： S=1×2-1+0×2-2+1×2-3+1×2-4 S=1×0.5+0×0.125+1×0.0625+1×0.0312 5
1 0 1 1
2.1.2带符号数的表示一、补码表示法
4.特点 （1）符号位既起指示正负号的作用，又参 与运算 （2）0只有一种表示法
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、定点表示法 定点小数 定点整数 二、浮点表示法 定点小数+定点整数
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、定点表示法
1.无符号定点整数（针对于正数来说）





例1、14 如机器字长为8位，则-46D的补码表示为： +46的补码表示为 0010 1110 按位求反后为 1101 0001 末位加1后 1101 0010 用十六进制数表示为 D 2 即[-46]补 =D2H 至此，读者应该已经学会了一个数的补码表示法。在这里，顺便说明一下， 用补码表示数时的符号扩展问题。所谓符号扩展，是指一个数从位数较少扩展到 位数较多（如从8为扩展到16位，或从16为扩展到32位）时应该注意的问题。对于 用补码表示的数，正数的符号扩展应该在前面补0，而负数的符号扩展则应该在 前面补1。例如，我们已经知道如机器字长为8位，则[+46]补=00101110，[- 46]补 =11010010；如果把它们扩展到16位，则[+46]补=0000000000101110=002EH， [- 46] 补=1111111100101110=FFD2H。 下面，再来讨论一下n为补码表示数的范围问题。8为二进制数可以表示 28=256个数，当它们是补码表示的带符号数时，它们的表数范围是 128<=N<=+127。一般说来，n为补码表示的数的表数范围是： -2n-1<=N<=2n-1-1 所以，n=16时的表数范围是：-32768<=N<=+32767




下面介绍一种比较简单的办法来写出一个负数的补码表示：先写 出与该负数相对应的正数的补码表示（用符号-绝对值法），然后将 其按位求反（即0变1，1变0），最后在末位（最低位）加1，就可以得 到该负数的补码表示了。 例1.13 机器字长为16位，写出N=-117D的补码表示。 +117D可表示为 0000 0000 0111 0101 按位求反后为 1111 1111 1000 1010 末位加1后 1111 1111 1000 1011 用十六进制表示为 F F 8 B 即[ -117 ]补=FF8BH
2.带符号定点整数 （纯整数，小数点在最低为之后）
3.带符号定点小数 （纯小数，小数点左边是符号位）
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、定点表示法
1.无符号定点整数 最高位再也不用表示正负号了，最高位 也表示数值的大小
1 2 3 4 5 6 7 8
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、定点表示法
关于数的精度的问题： 每一块CPU、CPU内的寄存器、主存储 器在它们的计算单元和存储单元中，在一 步四则运算中，所作的数的位数是有限的 和固定的，这就存在着数的精度的问题。 我们先看一个例子： 一个四位长度的存储单元 如果在这个存储单元内存放的是二进制整数 的话，这些整数的精度就是1
如果把最高位的0、1看成正负号的话，则上面的两个机 器数都表示数值0
2.1.2带符最高位表示符号， 其余位表示绝对值，则：应该为+0和-0， 所以原码表示法的机器数0有两种表示法。 例子：按照我们日常的书写习惯写就的真值 X=+0.1011和X=-0.1011,求其在计算机内部 的原码机器数
2.1.2带符号数的表示
一、原码表示法
3.原码表示法的特点： （1）0有两种表示 （2）小数表示范围-1<x<1 整数表示范围-2n<x<2n （3）运算时符号位单独处理 原码其实就是最高位使用0、1表示的符 号位加上数的绝对值来表示的一种只有计 算机才能使用而不是让人使用的一种机器 数。
2.1.2带符号数的表示
一、原码表示法
原码表示法的优点和缺点： 1.原码最大的好处就是乘除法容易，只 要把原码的绝对值部分进行运算而无须考 虑符号。 2.原码的缺点：怎么做减法？也就是说， 具体这一次的原码运算究竟是做加法还是 减法，是由运算符和两个运算数的正负号 共同决定的，而不是很明确地立刻知道这 个运算是什么？如3-（-2）=？这大大影响 计算机的运算速度。
2.1.2带符号数的表示
因为带符号数本质上就是将最高位的电信号 不当作数字内容而当作正负号内容，而每一内存 单元或寄存器单元都是有固定的bit位数的，所以 符号位就占了一位，表数的范围就有了变化。 一、原码表示法 二、补码表示法 三、反码表示法
最高位表示 正负号
2.1.2带符号数的表示
一、原码表示法
2.1.2带符号数的表示
一、原码表示法
2.定点整数
你看他与小数的位数标注有些不一样。 X [X]原码= 2n+|X| -2n<X≤0 0≤X<2n
Xn … … … … X4 X3 X2 X1 X0
2.1.2带符号数的表示
一、原码表示法
按照定义，我们看看这两个原码： 00000 10000 这两个数是+0和-0，所以0有两种表示。
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、浮点表示法
以二进制为例，规格化的尾数要求在： 0.5≤|M|<1之间，如果不在这之间，比如： 十进制0.0625他的二进制是：0.0001，并不 在 0.5≤|M|<1之间，但是我们可以用0.1×2-3 来调整使其落在0.5≤|M|<1之间。
2.1.3数的定点表示与浮点表示
2.1.2带符号数的表示
一、补码表示法
1.补码定义 （1）通式[X]补=M+X(mod M) X (2)定点小数的补码表示 [X]补= X 0≤X<1
2-|X| X （3）定点整数的补码表示[X]补= -1≤X<0 0≤X<2n
0≤X<1 (mod 2)
(mod 2)
2n+1-|X| -2n≤X<0
一、原码表示法
[X]原码=
X真值
0≤X<1
1+|X|真值 -1<X≤0
按照上面的公式的定义，大家看一看下 面的两个数 00000000 10000000
2.1.2带符号数的表示
一、原码表示法
根据原码的定义，最高位0代表+号，1代表-号， 随后的是数的绝对值的大小
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
2.1.2带符号数的表示
一、补码表示法
补码的出现就是解决减法的问题，它的出 现使得计算机中的加、减法运算非常简便， 它不必判断数的正负，只要将符号位也参与 运算，就能得到正确的结果。而且补码运算 中再也没有减法，都是加法运算。我们再回 过头看一看，符号位的由来，即某个模的差， 这个差是有自己的含义的，不能单纯看成符 号位，而其实它主要并不是起符号位的作用。
Ef Em Em-1 … E1 Mf M1 M2 … Mn
阶符 阶码E
数符
尾数M
2.1.3数的定点表示与浮点表示
一、浮点表示法
我们中学时学过科学计数法，当然那是 十进制的。S=1.2435×1026,这样又简短又 醒目。浮点数其实就是二进制的科学计数 法。 1.阶码的底——就是进制 2.阶码——比例因子RE的指数值，用带符号 定点整数表示，即前面所讲的二进制整数 机器数的原码、补码、反码的表示。 3.尾数——M,用带符号定点小数表示，用规 范化约定，比如：