垂直于弦的直径说课课件
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垂直于弦的直径时课件
02
垂直于弦的直径的性质证明
证明方法
01
02
03
三角形类似证明法
通过构造与垂直于弦的直 径相关的两个三角形，并 证明这两个三角形类似， 从而得出直径的性质。
圆周角定理证明法
利用圆周角定理，推导出 与垂直于弦的直径相关的 角的关系，从而证明直径 的性质。
反证法
假设与垂直于弦的直径相 关的性质不成立，通过推 理得出矛盾，从而证明直 径的性质成立。
总结词
在椭圆中，垂直于弦的直径同样具有平分弦和弧的特性。
详细描述
在椭圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径也会平分这条弦，即弦被分 成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的弧，即该弧被分为两个相等的部分。 这个性质在椭圆中同样适用，是几何学中的一个基本定理。
实例三：抛物线中的垂直于弦的直径
总结词
实例一：圆中的垂直于弦的直径
总结词
在圆中，垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的弧。
详细描述
在圆中，如果有一条直径垂直于弦，那么这条直径会平分这 条弦，即弦被分成两等分。同时，该直径还会平分弦所对的 弧，即该弧被分为两个相等的部分。这是圆的基本性质之一 ，也是几何学中的一个基本定理。
实例二：椭圆中的垂于弦的直径
03
垂直于弦的直径的应用
在几何图形中的应用
垂直于弦的直径是几何图形中 重要的概念，它有助于理解图 形的形状、大小和性质。
在圆中，垂直于弦的直径将弦 分为两段相等的部分，这是等 腰三角形的一个重要性质。
垂直于弦的直径还可以用于确 定圆心角和圆周角的关系，以 及解决与圆相关的几何问题。
在物理中的应用
05
垂直于弦的直径的练习题及答案
练习题一及答案
人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
垂直于弦的直径课件
。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
第课时 垂直于弦的直径(共26张PPT)
24.1 圆
第2课时 垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导
垂径定理： 教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点 弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 教科书第89页习题24. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 （2）垂径定理的推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
第2课时 垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导
垂径定理： 教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点 弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 教科书第89页习题24. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 （2）垂径定理的推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径——说课课件
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
?
思 考
活 动 二：自主探究，逻辑推理
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
3、 教学目标的确定
《数学课程标准》要求：通过数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识以及基本的数 学思想方法和必要的应用技能；逐步学会用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活中的问题，了解数学的价值 ，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力。本节内容直接关系着圆的有关知识的学习 ，有助于培养学生的思维能力，再结合九年级学生已具备的几何知识基础、空间观念和逻辑思维能力，我确定以下目 标。
情景导入 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米,拱高（弧中点到弦的距离）为7.2米,你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
7.2米 37.4米
实验观察，总结归纳 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结 论？
O
AC
D B
5.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G， B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm， 则EF=___cm.
谢谢！
基础题
2.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，且弧BC=
弧BD，CD＝6，AB＝8，则EB的长为
.
C
3.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦ABA=8mm，
?
思 考
活 动 二：自主探究，逻辑推理
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
3、 教学目标的确定
《数学课程标准》要求：通过数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识以及基本的数 学思想方法和必要的应用技能；逐步学会用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活中的问题，了解数学的价值 ，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力。本节内容直接关系着圆的有关知识的学习 ，有助于培养学生的思维能力，再结合九年级学生已具备的几何知识基础、空间观念和逻辑思维能力，我确定以下目 标。
情景导入 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米,拱高（弧中点到弦的距离）为7.2米,你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
7.2米 37.4米
实验观察，总结归纳 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结 论？
O
AC
D B
5.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G， B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm， 则EF=___cm.
谢谢！
基础题
2.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，且弧BC=
弧BD，CD＝6，AB＝8，则EB的长为
.
C
3.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦ABA=8mm，
垂直于弦的直径ppt课件
年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主
桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有
以下关系：
指圆心 O 到弦的距离
C
d+h=r
h
a
A
B 数量关系
D
2
r d
O
总结
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
课堂练习
1. 如图 a、b，一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的
半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
2 或 12
问题2：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？
由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
●O
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是圆的对称轴.
问题3：如何证明圆是轴对称图形？
圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称
点也在圆上.
同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并
写出已知和证明：
基本图形及
变式图形
构造直角三角形，利用勾股定理
计算或建立方程.
OC ＝2，则☉ O 的半径长为
.
3. （2023·宜昌中考）如图， OA ， OB ， OC 都是☉
O 的半径， AC ， OB 交于点 D . 若 AD ＝ CD ＝8，
OD ＝6，则 BD 的长为 4 .
垂直于弦的直径的应用课课件
应用
利用垂直于弦的直径来证 明平面图形中的一些定理 和性质
实例
利用垂直于弦的直径来计 算平面图形的面积和周长
03
CHAPTER
垂直于弦的直径在实际问题 中的应用
在建筑设计中的应用
建筑结构分析
垂直于弦的直径在建筑设计中可用于分析结构的稳定性。通过计算直径上的应 力分布，可以评估结构的承载能力和安全性。
案例三
总结词
日常生活用品中的垂直于弦的直径应用主要 体现在工具和家居用品的设计上。
详细描述
在日常生活中，许多工具和家居用品都利用 了垂直于弦的直径原理。例如，剪刀、餐具 等工具的设计中，通过垂直于弦的直径实现 受力点的优化，提高使用舒适度和效率。在 家居用品中，如椅子、桌子等，垂直于弦的 直径有助于提高家具的稳定性和承重能力， 保证使用的安全性和舒适性。
交通工具设计
在交通工具设计中，垂直于弦的直径也有广泛应用。例如， 在汽车、火车等交通工具的车身和部件设计中，通过分析直 径上的应力分布，可以优化车身结构和材料选择，提高其安 全பைடு நூலகம்和经济性。
04
CHAPTER
垂直于弦的直径的应用案例 分析
案例一：建筑设计中的垂直于弦的直径应用
总结词
建筑设计中的垂直于弦的直径应用主要 体现在空间布局和结构稳定性方面。
实例
利用直径和垂直于直径的弦来计算圆的面积和周 长
在三角形中的应用
01
02
03
定理
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧
应用
利用垂直于弦的直径来证 明三角形的中线定理和平 行四边形定理
实例
利用垂直于弦的直径来计 算三角形的面积和周长
在其他图形中的应用
新人教版《垂直于弦的直径》课件公开课PPT
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相
互转化,形成整体,才能运用自如.
辨析
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？
C
C
O
A
E
B
D
c
A
D
B
O
O
A
E
B
D
C
A
O
D
B
C
O
A
O
A
E
B
C
B
辨析
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不成立的是（ ）
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
O
已化知(同抛平物行线于C第1:三y=x条2-直2x线的或图同象垂如直图于所第示三,把条C1直的线图)，象沿y轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
根弦据心刚 距才：的圆证心明到我弦们的知距道离，点A和点A′是对称点．请同学们用对称的知识找出图中能够重合的几何图形．
温（馨3）提若示A：B=垂8 c径m定，理CD是=2圆cm中，一求个⊙重O要的的半定径理. ,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如剪图一， 个A圆B形是纸⊙片O的，直沿径着，它C的D为任弦意，一C条D直⊥径AB对于折E，，则重下复列做结几论次中，不你成发立现的了是什（么？）由此你能得到什么结论？
∵不管m为何实数,总有(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+3>0,
2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
求⊙O的弦半心径．距：圆心到弦的距离 A OE· （A综A4解如22化2① (方(解121．.、.CC掌已))3上：图(抛法：与与设求同）如能握知所 (， 物二 (BB原抛平11若图正CC点抛))述在线 ：计物设设相相行DA，确到物,⊙上 如.B划线每 每等 等符于在区=直线O是 果安C个个8吗吗合第⊙分1中线Cc否 两排足足的？？条m1三O平，的:存 条y，的球球顶中件条AA方=弦距DD在 直xC工为为点，的直2根与与DA离-一 线人xxAA=B点2线与元元BB的2B的的x点都有DD的P、或c算，，坐概相只相长m和P图A同y术使每每，标念等有等为C第人象垂为平得个个求,，吗一吗8并三.如直互方四c篮篮⊙并？个？m画条图于相根边球球O，会为,为出直其所第的垂的形为为圆度什什抛线坐示三半直意Ayy心量么么物元元平标C,条径且把义PO点？？线，，行为D直.相到C；到是C根根1，(线2等A的2直正,据 B据那的-)2的图的，线方√题题么图两(象距"的形意意这象3条沿离"距?得得;若)弦y为)离.轴77存，xx3。＝＝翻在cOm55折D,yy求．⊥，，,得出A44到B00点于xx抛＋＋PD的物22，00坐线yyO＝＝标EC⊥233;的若44A00C图不00于，，象存E解解，,在抛得得求,物说xx证线明＝＝：C理55100四由与，，边;抛yy＝＝形物77A00线D..O答CE2是：的正每图方个象形足合．球称为图5象0元C3，. 每个篮球为70元
课件《垂直于弦的直径》PPT_完美课件_人教版1
·O
D
A
B
C
解：连接OA，则
AO=OC=5cm.∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.
（1）
∵OC⊥AB，∴AD=
1 2
AB=4cm，在
Rt△OAD中，OD AO2 AD2 52 42 3cm
∴CD=OC-OD=2cm.
（2）在Rt△OAD中， AD AO2 OD2 52 32 4cm
（）
5
C.
（）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（）
解决有关弦的问题常作的辅助线
（1） ∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，在Rt△OAD中，
（2）在Rt△OAD中，
垂径定理的内容是什么？
垂径定理的内容是什么？
为应用垂径定理创造条件．
垂径定理的内容是什么？
（2）在Rt△OAD中，
求证：AC＝BD．
长为24，则点O到AB的距离是（ B）
A.6
B.5
C.4
D.3
O
A
B
解析：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，
∴AC=BC=
1 2
AB=12，在Rt△AOC中，
由勾股定理得：OC 132 122 5
故选B.
变式训练2.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D. （1）若AB=8cm，OC=5cm,求CD的长； （2）若OC=5cm，OD=3cm，求AB的长； （3）若AB=8cm，CD=2cm，求⊙O的半径.
24.1 圆的有关性质
解：连接OA，则AO=OC=5cm.
垂径定理的内容是什么？
∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.
（）
第3课时 （2）在Rt△OAD中，
2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.
垂直于弦的直径公开课版课件
垂直于弦的直径公开 课版课件
• 垂直于弦的直径的基本概念 • 垂直于弦的直径的性质证明 • 垂直于弦的直径定理的应用 • 垂直于弦的直径定理的推论 • 垂直于弦的直径定理的证明方法
目录
Part
01
垂直于弦的直径的基本概念
定义与性质
定义
垂直于弦的直径是一条线段，它 过圆心并与给定的弦垂直。
性质
推论二：经过圆心，平分弦的线段垂直于该弦
总结词
此推论说明，如果一条线段经过圆心并平分弦，那么这条线段垂直于该弦。
详细描述
由于线段经过圆心，它必然与圆相交于两点。由于它平分弦，这两点将与弦形成两个相等的部分。根 据垂径定理，经过圆心的线段与弦垂直。
推论三：平分弦的直径垂直于该弦
总结词
这个推论表明，如果一条直径平分弦，那么这条直径垂直于该弦。
利用圆的性质证明
总结词：逻辑周密
详细描述：根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此它必然平分与之垂直的任何其他弦。
利用反证法证明
总结词：反向思考
详细描述：第一假设与弦垂直的直径不平分该弦，然后通过一系列逻辑推理，最终得出矛盾，从而证 明垂直于弦的直径必然平分该弦。
THANKS
感谢您的观看
总结词
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的线 段，这是垂直于弦的直径的基本性质之 一。
VS
详细描述
由于直径是弦的中垂线，它必然将弦分为 两段相等的线段。这是基于几何学的基本 定理，即任何经过圆心并垂直于弦的线段 都将弦平分，并将弦分为两段相等的线段 。这个性质在解决几何问题时非常有用， 因为它可以帮助我们快速找到弦的中点， 从而简化问题。
Part
03
垂直于弦的直径定理的应用
在几何证明题中的应用
• 垂直于弦的直径的基本概念 • 垂直于弦的直径的性质证明 • 垂直于弦的直径定理的应用 • 垂直于弦的直径定理的推论 • 垂直于弦的直径定理的证明方法
目录
Part
01
垂直于弦的直径的基本概念
定义与性质
定义
垂直于弦的直径是一条线段，它 过圆心并与给定的弦垂直。
性质
推论二：经过圆心，平分弦的线段垂直于该弦
总结词
此推论说明，如果一条线段经过圆心并平分弦，那么这条线段垂直于该弦。
详细描述
由于线段经过圆心，它必然与圆相交于两点。由于它平分弦，这两点将与弦形成两个相等的部分。根 据垂径定理，经过圆心的线段与弦垂直。
推论三：平分弦的直径垂直于该弦
总结词
这个推论表明，如果一条直径平分弦，那么这条直径垂直于该弦。
利用圆的性质证明
总结词：逻辑周密
详细描述：根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此它必然平分与之垂直的任何其他弦。
利用反证法证明
总结词：反向思考
详细描述：第一假设与弦垂直的直径不平分该弦，然后通过一系列逻辑推理，最终得出矛盾，从而证 明垂直于弦的直径必然平分该弦。
THANKS
感谢您的观看
总结词
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的线 段，这是垂直于弦的直径的基本性质之 一。
VS
详细描述
由于直径是弦的中垂线，它必然将弦分为 两段相等的线段。这是基于几何学的基本 定理，即任何经过圆心并垂直于弦的线段 都将弦平分，并将弦分为两段相等的线段 。这个性质在解决几何问题时非常有用， 因为它可以帮助我们快速找到弦的中点， 从而简化问题。
Part
03
垂直于弦的直径定理的应用
在几何证明题中的应用
课件《垂直于弦的直径》精品ppt_人教版1
⑤AD=BD 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
你能用一句话概括这些结论吗？ 只要具备其中两个条件,就可推出其
D
余三个结论.
知二推三
达标训练：
抢答
1、如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM
的长为3，则弦AB的长是（ D ）
A．4
B．6
C．7
D．8
2、如图2，已知⊙O的半径为13mm，弦AB=10mm，则
你能发现图中有那些相等的线段
D
和弧？为什么？
∴AE=BE, A⌒C =B⌒C,
A⌒D =
⌒
BD.
·O
E
A
B
C
垂径定理
C
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
AE＝BE A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
A
O E
B
D
①过圆心 ②垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
得出结论
你能用一句话概括这些结论吗？
③ AE=BE 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
A B 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
E└ A．3 mm
A．3 mm
B．4 mm B．4 mm
C． 12 mm C． 12 mm
D． 5 mm
④A⌒C=B⌒C D． 5 mm
你能用一句话概括这些结论吗？
O ⌒ ⌒ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
人教版九年级上册第24章圆 已知⊙O，在圆上任意画一弦AB，找出弦AB的中点E，过点E作直径CD，则
AC =BC,
你能用一句话概括这些结论吗？ 只要具备其中两个条件,就可推出其
D
余三个结论.
知二推三
达标训练：
抢答
1、如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM
的长为3，则弦AB的长是（ D ）
A．4
B．6
C．7
D．8
2、如图2，已知⊙O的半径为13mm，弦AB=10mm，则
你能发现图中有那些相等的线段
D
和弧？为什么？
∴AE=BE, A⌒C =B⌒C,
A⌒D =
⌒
BD.
·O
E
A
B
C
垂径定理
C
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
AE＝BE A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
A
O E
B
D
①过圆心 ②垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
得出结论
你能用一句话概括这些结论吗？
③ AE=BE 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
A B 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
E└ A．3 mm
A．3 mm
B．4 mm B．4 mm
C． 12 mm C． 12 mm
D． 5 mm
④A⌒C=B⌒C D． 5 mm
你能用一句话概括这些结论吗？
O ⌒ ⌒ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
人教版九年级上册第24章圆 已知⊙O，在圆上任意画一弦AB，找出弦AB的中点E，过点E作直径CD，则
AC =BC,
《垂直于弦的直径》课件
《垂直于弦的直径》
知识回顾
1.圆的定义
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点
O的距离等于定长r的点的集合．
2.弦的定义
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
3.弧的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧.
新知探究 知识点1Fra bibliotekAC=BCA
B
D
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，
如果具备：
1 过圆心
2 垂直于弦
4 平分弦所对的优弧
3 平分弦（非直径）
5 平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 两 个条件，都可以推
出其他 三 个结论.(知二推三).
问题解决：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约
有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
利用勾股定理计
算或建立方程.
对接中考
1.已知圆O的直径CD=10 cm，AB是圆O的弦，
AB⊥CD ，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为(
A.2 5cm
B.4 5 cm
C.2 5 cm或4 5 cm
D.2 3 cm或4 3 cm1.
)
解：∵⊙O的直径CD=10 cm，AB⊥CD，
AB=8
1
图2
14cm.
课堂小结
内容
垂
径
定
理
推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦
所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于
弦; ③平分弦（不是直径）; ④平
分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣
弧.满足其中两个条件就可以推出其
知识回顾
1.圆的定义
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点
O的距离等于定长r的点的集合．
2.弦的定义
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
3.弧的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧.
新知探究 知识点1Fra bibliotekAC=BCA
B
D
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，
如果具备：
1 过圆心
2 垂直于弦
4 平分弦所对的优弧
3 平分弦（非直径）
5 平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 两 个条件，都可以推
出其他 三 个结论.(知二推三).
问题解决：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约
有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
利用勾股定理计
算或建立方程.
对接中考
1.已知圆O的直径CD=10 cm，AB是圆O的弦，
AB⊥CD ，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为(
A.2 5cm
B.4 5 cm
C.2 5 cm或4 5 cm
D.2 3 cm或4 3 cm1.
)
解：∵⊙O的直径CD=10 cm，AB⊥CD，
AB=8
1
图2
14cm.
课堂小结
内容
垂
径
定
理
推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦
所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于
弦; ③平分弦（不是直径）; ④平
分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣
弧.满足其中两个条件就可以推出其
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归纳小结
知识层面：
圆对的称对轴称是应性 直用层： 径面圆 所：是在轴直对线称图形，它的 垂并推径且论定平：理分平①长角： 弦 分垂、三径半角垂 所 弦定径形直 对 （思数理、；想形于的不和 弦层结弦两是勾心面合的条直股距：、直弧径定等方理问径。）程有题平的、机的转分直结方化弦径合法、，垂是，类计 构比算造等弦直数学思 直于弦，②并技巧且：平想重在分要实弦辅际所助操对线作是的中过两的圆应条心用弧作。弦的垂线。
重要思路构：造（R由t△）的垂“径七定字理口—诀—”构：造半径半弦弦 Rt△——心（距结合）勾股定理——建立方程
圆的对称美
民族自豪感和振兴中华的使命感
作业布置
❖必做题：课本习题1，2. ❖选做题：任意交换垂径定理的一条条件和
一条结论，能得到哪些结论。
板书设计
探索一： 圆的对称性 探索二： 垂径定理 推论
探究新知
第二步：探索拱桥模型垂径的性质
模型中让含学有生哪在自制 些的等圆量形关图系片呢上？画 出弦AB和垂直于 弦的直径CD，以 及交点E和圆心O， 然后在规定时间 内自己实验、观 察并得出猜想
❖小组交流
探索新知
探索新知
❖成果展示
条件：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 结论：AE=EB， = ，
⊙O的半径。
E
B
.
O
两道例题均由学生完成,实物投影展示
❖应用小结
应用举例
（1）圆中有关弦、半径的计算问题 可以利用垂径定理来解决。
（2）重要的辅助线：过圆心做弦的 垂线构造直角三角形，结合垂径定理
与解直角三角形的有关知识解题。
❖分项总结
归纳小结
知识层面：内容总结 应用层面：方法技巧总结 思想层面：体验感受总结
垂直于弦的直径
济水一中
垂直于弦的直径
教材分析
教法
板书
分析
设计
垂直于
弦的直
径
教学 过程
学法 分析
一、教材分析
1、教材的地位与作用
教材分析
❖教材的地位与作用
一、教材分析
1、教材的地位与作用 2、教学目标
教学目标
知识与技能
理解圆的轴对 称性；掌握垂 径定理及其推 论；运用解决 有关的证明、 计算和作图问 题。 培养观察 能力、分析能 力及联想证明 能力。
教材分析
过程与方法
经历“实验、观察、 猜想、证明”的探 索过程、体会探索 问题的一般方法和 转化的数学思想；
情感态度与价 值观
体会到数学图 形的对称美。 体会民族的自 豪感
一、教材分析
1、教材的地位与作用 2、教学目标 3、教学重难点及关键
教材分析
教学重难点及关键
关难重键点点 垂垂径径圆定定的理理及轴其及对推其称论的性推证论明
教法选择
❖拱桥模型性质为主线 ❖直观演示法、引导发现法为方法 ❖多媒体课件，实物投影仪，超级 画板（专业数学软件）为手段 ❖“实验---观察---猜想---证明”为 过程
学法分析 观察—分析—比较—归纳—证明
教学过程
探索新知
应用举例
情境引入
作业布置
小结整理
情境引入
？你能求
出赵州桥主桥 拱的半径吗
情景引入
抽象出基本 数学模型，拱桥 模型，为后面的 实验探究提供了 篮板，创造性的 使用了教材。
探索新知
第一步：探索拱桥模型的对称性
什么叫做轴对称图形？
1、自制圆形纸片。
2、圆把圆圆是是形不轴纸是对片轴沿称对直图称径形图对，折形对，？观察两
部分重称合轴。是直径所在直线
3、对变换称直轴径的方概向念再是多什做几么次？。 圆的对称轴是什么 ？
B
两条弧
否垂直呢？
D
探究新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧
推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧
应用举例
❖例1、（解决引例） 赵州桥桥拱半径问题
D
a
A
2 hE
B
rd
O h'
C
❖例2 如图，已知在⊙O中，弦AB的长
为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求A
垂直于弦的直径
定理证明：
归纳要点：
大屏幕投影将定理的条件和结论交换一条，来自题是真命题吗？探索新知
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，E为交点， AE=EB 是否有： CD⊥AB， = ， = ．呢？
平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条 弧
探索新知
C
A
请学生观察
推论O(E) ：平分弦（此不图是，直图径上）CD的平直
径垂直于弦，并分且AB平，分但弦两所者对是的
=．
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB， 垂足为E．
求证：AE=EB， = ， =
探索新知
分析：证明线段相等的方法有很多，目前证明弧相等的方法 目前只有依据定义，即证明两条弧重合。证明这三部分重合 的关键是A、B两点重合。而A、B两点重合的关键是A、B两 点关于直线CD对称。而证明两点对称又要用到三角形全等的 知识。
证明： 连结OA、OB，则OA=OB．所△AOB为等腰
三角形
又∵CD⊥AB，
∴AE=BE
∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．
所以沿着直径CD折叠时， A点和B点重合，
AE和BE重合， 、 分别和
、 重合．
∴AE=EB， =
，=
．
探索新知
垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的 两条弧