复数讲义(绝对经典)
复数讲义——精选推荐
沈阳杰中杰教育—陈莉莉陈莉莉Ⅰ复习提问1、 复数的相关概念⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a Î，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0¹b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0¹b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数）都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.请问z =3(1)a a i +-，z 的实部是（的实部是（ ），虚部是（，虚部是（ ）。
当a =（ ）时，z 是实数；是实数； 当a =（ ）时，z 是虚数；当a =（ ）时，z 是纯虚数。
是纯虚数。
2、 复数的表示⑴(,)z a bi a b R =+Î，⑵点(,)Z a b ，⑶向量OZ3、三个充要条件 ㈠ ①z=a+bi z=a+bi∈∈RÛb=0b=0（（a 、b ∈R ）； ②z ∈R Ûz =z ； ③Z ∈RÛ22Z Z =㈡ ①z =a+bi 是纯虚数Ûa=0且b ≠0（a 、b ∈R ）； ②z 是纯虚数或0ÛZ+z =0=0；③；③；③z z 是纯虚数Ûz 2＜0。
㈢00==Û=+Î==Û+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 4、两个复数在什么情况下可以比较大小？ 判断正误：判断正误：①若21,z z 为复数，则1若021 z z +，则21z z - .（ ） 2若21z z，则021 z z -.（ ）②若C c b a Î,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件（ ） 5、复数的运算：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z Î+=+=，则i d b c a z z )()(21±+±=±；i bc ad bd ac z z )()(21++-=×；i d c adbc d c bd ac z z 222221+-+++=6、绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +£+£-..②212121z z z z z z +£-£-.7、共轭复数：设z=a+bi ，则z =（ ），（a 、b ∈R ），实数的共轭复数是（，实数的共轭复数是（） 性质zz = 、2121z z z z +=+ 、az z 2=+，i2b z z =-（=z a+ b i ）、22||||z z z z ==×复数部分2121z z z z -=- 、2121z z z z ×=× 、2121z zz z =÷÷øöççèæ（02¹z ） 、 n nz z )(=判断：①两个共轭复数之差是纯虚数. （ ）②11)(212142====i i （） 8、常用结论 1,,1,,143424142=-=-==-=+++nn n n ii iii ii )(,0321Z n iii i n n n nÎ=++++++i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若w 是1的立方虚数根，即i2321±-=w ，. 9、复数集中解一元二次方程： 在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02¹=++a c bx ax 时，应注意下述问题：时，应注意下述问题：①当R Rc c b b a a Î,,时，什么时候有二不等实数根？有二相等实数根？两个互为共轭的复数根？时，什么时候有二不等实数根？有二相等实数根？两个互为共轭的复数根？ ②当c b a ,,不全为实数时，是否可以用D 判断方程根的情况？判断方程根的情况？③不论c b a ,,为何复数，是否都可用求根公式求根？韦达定理是否也成立？为何复数，是否都可用求根公式求根？韦达定理是否也成立？Ⅱ 题型与方法归纳1、题型与考点ìïïíïïî复数的概念，复数表示复数的计算复数相等，共轭复数复数与方程，函数，三角，向量复数与方程，函数，三角，向量,,不等式等的结合2、解题方法与步骤、解题方法与步骤1）复数的概念：例1. 当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+（m 2+3m －10）i ； （1） 是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．）是纯虚数．解题思路：z 是实数，虚部=0；z 是虚数，虚部¹0；z 是纯虚数，实部=0，虚部¹0.解：（1）z 为实数，则虚部m 2+3m －10=0，即223100250m m m ì+-=í-¹î， 解得m =2，∴，∴ m =2时，z 为实数。
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。
而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。
那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。
这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。
二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。
2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。
其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。
这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。
例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。
例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
复数及其运算-讲义(学生版)
复数及其运算一、课堂目标1．熟练掌握复数的相关概念及其几何意义并能熟练运用在解题中．2．熟练掌握复数代数形式的四则运算并会运用在解题中．3．掌握实系数一元二次方程两根的关系并会应用在解题中．4．理解复数的三角形式并能进行相关运算．二、知识讲解1. 复数的概念知识精讲（1）复数的概念形如的数叫复数.其中叫做虚数单位.（）规定：①复数中，把称为实部，称为虚部.②全体复数所形成的集合叫做复数集.一般用字母表示.即.③复数通常可以用字母表示，记作，这一表示形式称为复数的代数形式.（2）复数的分类已知复数①当时，则，为实数；特别地，当，且时，为实数.②当时，为虚数；特别地，当，且时，为纯虚数.（3）复数的相等规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若..知识点睛（1）复数的分类归纳：（2）且（3）一般地，两个复数只能判断是否相等，不能比较大小（只有两复数均为实数时才比较大小）复数实数虚数纯虚数非纯虚数经典例题1.的实部是，虚部是．A.B.或C.D.2.复数与复数相等，则实数的值为（）巩固练习3.已知，则，．经典例题（1）（2）（3）4.已知复数，当实数为何值时，为实数．为虚数．为纯虚数．A.或B.或C.D.5.若复数，则实数的值是（）巩固练习6.设（），当时，为实数；当时，为纯虚数．2. 复数的几何意义知识精讲（1）几何意义（一）——复平面内容：复数复平面内的点对几何意义（一）的解释，如下图：一方面，根据复数相等的定义，复数被它的实部与虚部唯一确定，即复数被有序实数对唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点.因此，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即：复数复平面内的点.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．（2）共轭复数①概念：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数的共轭复数记为，因此，当时，有.②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点睛要注意的地方：（1）“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外；（2）复平面内各象限内的点均表示虚数；（3）复平面内点的坐标是，而不是.经典例题A. B.C. D.7.已知复数，则复平面内对应的点的坐标为（）．A. B.C.D.8.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．巩固练习A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.复数，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）．A. B.C.D.10.在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）．经典例题A.B.C.D.11.若复数的共轭复数是（）．A. B.C.D.12.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）．巩固练习A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.设，则在复平面内对应的点位于（ ）．经典例题14.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．巩固练习15.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．知识精讲（2）几何意义（二）——复数的向量表示内容：复数平面向量对几何意义（二）的解释，如下图：因为平面直角坐标系中的点能唯一确定一个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中，以为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即：复数平面向量.知识精讲（3）复数的模一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模长用表示，因此.特别地：①当时，②一般地，两个互为共轭复数的模相等，即经典例题A.B. C. D.16.已知为虚数单位，则（）．巩固练习A. B. C. D.17.设为虚数单位，则复数的模（）．经典例题18.若复数满足，则的最大值是．巩固练习19.设复数满足条件，那么的最大值是．3. 复数的运算——加减法知识精讲（1）复数的加法运算法则设，是任意两个复数，则有：．（2）复数的减法运算法则①复数的相反数：一般地复数记作，并规定②设，是任意两个复数，则有：知识点睛（1）加法的运算规律：交换律：结合律：（2）关于复数的模的结论经典例题20.若（，是虚数单位），则的值为．21.设为虚数单位，复数，，则．巩固练习22.复数，其中是虚数单位，则复数的虚部是．23.已知复数，满足：，则的值为．4. 复数的运算——乘除法知识精讲复数的乘法运算法则①乘法运算法则：设，是任意两个复数，则有：②的次方：个相同的复数相乘时，称为的次方（或的次幂），并记作.知识点睛（1）复数的乘法运算律对于任意的，有==（2）复数的乘方运算律即对于任何复数及正整数、，有、、经典例题24.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．25.若，，其中为虚数单位，且，则．巩固练习26.设复数满足行，且是纯虚数，则．经典例题A. B.C.D.27.复数等于（）．巩固练习28.复数．知识精讲复数的除法运算法则①除法运算法则：设，是任意两个复数②复数的倒数：一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与的倒数之积.知识点睛同实数类似，可以定义非零复数的次幂与负整数次幂，即当为非零复数且是正整数时，规定：经典例题A. B.C. D.29.若(其中为虚数单位)，则复数的虚部是（）．30.已知复数（为虚数单位），则．巩固练习31.设复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为．5. 实数系一元二次方程在复数范围内的解集知识精讲设一元二次方程为.当时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根引入复数后，当时，方程有两个不相等的虚数根可以发现这两个虚数根是一对共轭复数.、、且知识点睛一元二次方程的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即引入复数后，在复数集中，实系数的二次三项式总可以分解成两个一次因式的乘积，即经典例题A. B.C. D.32.若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是（ ）．巩固练习33.若是实系数一元二次方程的一个根，则．6.复数三角形式知识精讲（1）复数的三角形式复数可表示为，称为复数的三角形式．是复数的模．是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，称作复数的辐角.显然，任何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍，并且在范围内的辐角的值称为复数的辐角主值，记作．经典例题A.B.C.D.34.已知，则复数的三角形式为（）．巩固练习（1）（2）（3）35.将下列复数表示为三角形式：知识精讲（2）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①乘法运算的三角表示设，，．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②几何意义两个复数相乘时，如下图，先分别画出对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.知识点睛（1）复数乘法的几何意义可归纳为：模相乘，辐角相加（2）根据上述两个复数三角形式的乘法几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘，特别的，如果，则知识精讲（3）复数除法运算的三角表示及其几何意义①除法运算的三角表示设，，．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．②几何意义与乘法类似，还能得到两个复数相除的几何意义，例如，任意一个复数除以，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转.经典例题36.设，，则．巩固练习37.计算．11三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测A.B. C. D.38.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）．A.的虚部为B.的共轭复数为C.D.在复平面内对应的点在第三象限内39.已知复数，则下列说法正确的是（ ）．40.已知复满足（其中为虚数单位），则 ．。
经典的复数知识
各种表示形式之间的相互转换
一、复数的形式
1、代数形式
A = a + jb
j
1
为虚单位 Re[A ] = a
b
+j A
复数A 的实部
复数A 的虚部 Im[A ] = b
O 复数 A = a + jb 在复平面上可以用一条 从原点O 指向A 对应坐标点的有向线段 一一对应[点A(a,b)]。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设A1=3-j4，A2=10 /135°
求 : A1+ A2 和 A1/ A2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
A2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
A1 + A2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
几何意义 +j
A1 A2
A1
A2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设 A1 a1
jb1 A2 a2 jb2
A1 A2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j (b1 b2 )
几何意义
+j
A1 A2
A1
A1 A2
e
j
1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
e
j
2
j
e
j
2
-j
eБайду номын сангаас
复数精品讲义
复数的引入<教师备案>（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：515+-与515--，但并不清楚这有什么意义． 于是引发了一个重要问题，1-是什么？ （二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称1-为“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”． （三）复数的意义引入1-后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i 1=-=-，； 2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（complex number ），复数通常用小写字母z 表示，即z 的实部，z 的虚部．<教师备案>注意虚部是一个实数．如34i +3，虚部为4；的虚部为4-． 3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） z 为实数（real number ）；z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数．<4i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数．可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？ z 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，． <教师备案>常见数集的关系为：*N NZQRC ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别．5．复数相等与比较大小：6.1 数系扩充知识点睛⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．<教师备案> 注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的． 两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．例：21(3)i z n m =+-，2(2)(3)i z m n m =-+-，若12z z >，求m n ，的取值范围．只有实数比较大小，故3m =，2232n m n n >-=-，解得1n >或3n <-．讲完这些知识点可以先讲例1．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根24i 22b ac b x a a-=-±互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）考点1：复数的概念【例1】 复数的概念⑴ x ∈R ，当x 取何值时，22(2)(32)i x x x x +-+-+是实数？虚数？纯虚数？⑵ 已知两个复数1()(4)i z x y xy =+-+()x y ∈R ，和2520i z =-+，当实数x y ，取何值时，1z 和2z 相等？【解析】 ⑴ 2320x x -+=时为实数1x ⇒=或者2x =；2320x x -+≠时为虚数1x ⇒≠且2x ≠；220x x +-=且2320x x -+≠时为纯虚数2x ⇒=-．⑵ 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： 5x y +=-，(4)20xy -+=解这个方程可得83x y =-⎧⎨=⎩或38x y =⎧⎨=-⎩．<教师备案>例2⑴是解实系数的一元二次方程；第⑵小题涉及到复系数的一元二次方程．易知实系数的一元二次方程与复系数的一元二次方程都有韦达定理成立，但实系数一元二次方程的判别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确．见易错门诊．解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得到两个等式，解得结果．这里先看一些最简单的情形，如例2⑵有实根存在的情形与易错门诊已知一根的情形．【例2】 解一元二次方程⑴ 在复数集内解方程：①2450x x ++=；②210x x ++=；③42230x x --=． ⑵ 若方程22i 1i x mx x m ++=--有实根，求出实数m 的值，并求出此实根．【解析】 ⑴ ①2(2)1x +=-，故2i x +=±，2i x =-±；②因为1430∆=-=-<，所以原方程没有实根，只有两复根：1211313i 2x -±∆-±-===-±，．③22(3)(1)0x x -+=，故23x =或21x =-，故此方程的根有3x =±与i x =±；经典精讲⑵方程有实根，x ∈R ，利用复数相等的定义有 22212112x mx x x x x m⎧+=-⇒-=-⇒=±⎨=-⎩；而22m x m =-⇒=， 即2m =-时，有实根1；2m =时，有实根1-．尖子班学案1【拓2】已知2i 0x kx +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值． 【解析】 因i 是其根，代入原方程为2i i i 0k +-=，由此得1i k =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0i i x =-，从而得01x =-．目标班学案1【拓3】解方程410x +=．【解析】 将方程变形得：4222120x x x ++-=，即222(1)(2)0x x +-=，因式分解得22(21)(21)0x x x x ++-+=，2210x x ++=无实根，两个虚根为22i2x -±=； 2210x x -+=无实根，两个虚根为22i2x ±=；故原方程的解有四个，为2(1i)2(1i)2(1i)2(1i)2222+--+--，，，．<教师备案>我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题2）；并且我们在解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在解决复数问题中经常遇到的．引入：解方程23i 0x x +=，求x ． 【解析】 (3i)00x x x +=⇒=或3i x =-．关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【解析】 误解：∵方程有实根，∴22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-≥．解得5a ≥或5a -≤． 分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正解：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．二、复数的几何意义知识点睛<教师备案> 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面．用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系． 这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，22|i |a b a b +=+．【挑战五分钟】求下列复数的模①34i -=_____；②1i +=______；③13i 2--=_______；④26i +=_____． 答案：①5；②2；③1；④22．经典精讲考点2：复数的几何意义【例3】复数的几何意义⑴ 设(3)(21)i z m m =++-，若z 对应的点在第四象限，求m 的范围．⑵ 设i z a b =+∈C ，在复平面内，满足条件0a >，0b >，24z <<的复数z 对应的点的集合是什么图形？⑶ 在复平面内，点A ，点B 所对应的复数分别为2i -+，15i +，那么AB 的中点C 对应的复数为____________．【解析】 ⑴由题意知30210m m +>⎧⎨-<⎩，解得132m -<<．⑵ 0a >，0b >表示第一象限的点，24z <<表示以原点O 半径为2和4的两圆所夹的圆环，综合起来是如右图所示的阴影部分（不包括边界）． ⑶ 13i 2-+；点A 的平面直角坐标是(21)-，，点B 的平面直角坐标是(15)，，中点C 的坐标是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以C 所对应的复数为13i 2-+． 【点评】 学习复数加减法的几何意义之后，111()(2i 15i)3i 222C A B z z z =+=-+++=-+．提高班学案1【拓1】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【解析】 D ；2222(1)10t t t -+=-+≠．数系扩充的历史<教师备案> 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲．数系的扩充中有很多生动的例子与故事，下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时参考．（一）正整数人类最早认识的是正整数．中国的《周易》中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法．（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法语中还在延续，在法语中79就是60109++，80就是420⨯，99用得上三则运算了，是420109⨯++，心算不好的千万别学法语！） （二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点⋅，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）．0的书写方法正好对应中文的“零”．（汉字中很早就有零，在《孙子算经》中有除百零伍便得之．但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）． （三）负数42y O x负数来源自减法运算，解出负数根．欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）．最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现．负数比分数出现的更晚． （四）分数欧洲15世纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则．《九章算术》章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”．其中田指分母，子指分子． 分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了． （五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关．毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数．但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡．比如边长为1的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比． 我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论． 无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来．达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”．在中国称无理数为算而不求其本质．有了无理数实数系就形成了． （六）复数系——完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系．到复数系，数系就完备了．想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质．三、复数的运算<教师备案>复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++．复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3定义：(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++ 4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等．一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．<教师备案>“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．知识点睛有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．<教师备案>讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解．例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ．③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z称为复数z （0z ≠）的倒数． <教师备案> 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来，如1i +表示模长为2，角度为45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒，模长再伸长到原来的2倍，如 (34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了． 这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．【挑战十分钟】计算下列各小题：⑴(32i)2(1i)(5i 1)--+++；⑵2(1i)-；⑶(2i)(3i)+-；⑷(34i)(43i)+-；⑸1i i +；⑹1i 1i -+；⑺43i 43i43i 43i -+++-；⑻2(1i)3(1i)2i ++-+；⑼213i ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】 ⑴2i +；⑵2i -；⑶7i +；⑷247i +；⑸1i -；⑹i -；⑺1425；⑻2i 33i 3i (3i)(2i)55i 1i 2i 2i 55+-----====-++； ⑼213i 223i 13i 3i ⎛⎫-----===-+ ⎪ ⎪⎝⎭．经典精讲考点3：复数的运算【铺垫】⑴已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．⑵已知复数z 满足1i 1zz-=+，则1z +等于______．【解析】 ⑴1-；注意a 是实数，复数为纯虚数，则实部为0，22(i)12i 2i a a a -=--=，则21a =且221a a =-⇒=-；⑵2；1i1i(1)i i i 1iz z z z --=+=+⇒==-+，故11i 2z +=-=．【例4】 复数的运算⑴ 设复数11i z =+，22i z x =+()x ∈R ，若12z z 为实数，则x 等于 ．⑵ 若复数3i()12ia a +∈+R 为纯虚数，则实数a =_____．⑶如果复数2i12ib z -=+的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【解析】⑴ 2-； 复数为实数，虚部为0，而()()()()121i 2i 22i z z x x x =++=-++，所以20x +=，2x =-．⑵6-；3i (3i)(12i)(6)(32)i12i 55a a a a ++-++-==+为纯虚数，故606a a +=⇒=-； ⑶4；2i 12i b -+(2i)(12i)(12i)(12i)b --=+-224i 55b b -+=-，又实部与虚部互为相反数，即22455b b -+=， 解得23b =-，故2(1i)3z =-，2(1i)3z =+，222233(1i)(1i)(1i)(1i)3333zz z z ++=⋅⋅-++-++84433=+=．提高班学案2【拓1】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数） 【解析】 由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()22a =+44(2)i a -++则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．尖子班学案2【拓2】已知221i 1z x x =++22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 ∵12z z >，∴42221()x x x a ++>+，∴22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法． ⑴ 直接证明：①综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；②分析法：最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．<教师备案>在书写过程中用得比较多．比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综合法与分析法得到结果．讲完直接证明可以先讲例题5及其拓展．⑵ 间接证明：常用的有反证法．反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，说明假设错误，从而肯定结论的真实性．事实、原命题中的已知条件矛盾等．<教师备案>反证法是由p q ⇒转向证明：q r t ⌝⇒⇒⇒，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q ⌝为假，推出为真的方法．它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论——非真即假． 考虑使用反证法的情况有： ①条件太少；②一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及无限结论的命题等．<教师备案>反证法首先需要正确的进行反设．例：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）A ．假设三个内角都大于60︒B ．假设三个内角都不大于60︒C ．假设三个内角至多有一个大于60︒D ．假设三个内角至多有两个大于60︒ 答案：A ．<教师备案>反证法的小例子：①伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的学说，据传说是在1589年，实际上是假的） ②线面平行的判定定理和性质定理的证明． （判定定理：a b a b a ααα⊄⊂⇒∥，，∥． 简单证明：如果a 与α不平行，则a A α=；a b ，确定平面β，则b α⊂，b β⊂，A A αβ⊂⊂，，于是A b ∈，从而a b A =，这与条件中a b ∥矛盾．性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去） ③证明质数有无限多个．（古希腊经典证明，欧几里得《几何原本》的命题20，原文“预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数．”）简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为12n p p p ，，，，则121n N p p p =⋅⋅+不是质数，故它一定有质因子，即存在某个i p ，i N p M =⋅，即12i i 12i 1i 11()1n n p p p p M p M p p p p p -+⋅⋅+=⇒-⋅=，这不可能．6.2 证明题三大方法知识点睛故假设错误，即质数有无穷多个． ④证明2是无理数．简单证明：如果结论不成立，即2是有理数，则∃m n ∈Z ，，m n ，互素，使得2mn=， 故2m n =，两边平方得222m n =．从而2是m 的因子，从而4是2m 的因子，故2是2n 的因子，故m n ，有公因子2，它与m n ，互素矛盾．上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例6及拓展．考点4：分析法与综合法【例5】分析法与综合法 已知a b c ∈R ，，，0a b c ++=， ⑴求证：0ab bc ac ++≤．⑵若0abc >，求证：1110a b c++<．⑶若a b c >>，求证：0a >，且2ca>-；⑷若a b c >>，求证：23b ac-<．【解析】 ⑴由0a b c ++=得a b c =--；∴()()()ab bc ac a b c bc b c b c bc ++=++=--++22223024c b bc c b c ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭≤．⑵111bc ac ab a b c abc++++=， 由⑴知0ab bc ac ++≤，当且仅当002cc b =+=，，即0a b c ===时取等号，∵0abc >，故等号取不到，即0ab bc ac ++<，又∵0abc >，∴1110bc ac aba b c abc++++=<．⑶ ∵a b c >>，所以30a a b c >++=，即0a >； 又∵b a c =--，a b >，所以a a c >--，所以2a c >-，又0a >，所以2c a >-，所以2ca>-．⑷法一：分析法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立． 法二：综合法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，22221324b ac a ac c c a -++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 而1012c b c b a a a a ++=⇒=-->-，又0ca<， 经典精讲11故(20)c a ∈-，，故213324c a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭提高班学案3【拓1】已知：00a b >>，【解析】 法一：综合法∵00a b >>，，=+法二：分析法∵00a b >>，，移项整理得即证明(0a b -≥，即证明20≥， 这显然成立，故原不等式得证．目标班学案2【拓3】求证：223)a b ab a b +++≥． 【解析】 法一：∵2222a b ab ab +≥≥，23a +≥≥，23b +≥≥，将此三式相加得222(3)2a b ab ++++≥∴223)a b ab a b +++≥． 法二：要证223)a b ab a b ++++≥，即证222[3)]0a b ab a b ++-+≥，左边可以写成：222()((0a b a b -++≥，此不等式显然成立，且在a b == 法三：把原式视作关于变量a的不等式，即证：(()2230a b a b -++≥；①那么该不等式恒成立等价于其判别式(()22430b b ∆=+-+≤恒成立；整理∆得(223930b b ∆=-+-=-≤恒成立，所以不等式①即原不等式成立．考点5：反证法【铺垫】已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数．【解析】 假设a b c d ，，，都是非负数，∵1a b c d +=+=，∴()()1a b c d ++=．又∵()()1a b c d ac bd ad bc ac bd ++=++++>≥，即11>，矛盾； ∴a b c d ，，，中至少有一个是负数．12第6讲·提高-尖子-目标·教师版【例6】 反证法已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：111a b c，，不可能是等差数列．【解析】 假设111a b c ，，是等差数列，则211b a c=+，又2b a c =+，两式联立消去b 得411a c a c =++，化简得：2()0a c -=，故a c =，这与0d ≠矛盾，故111a b c，，不可能是等差数列．【点评】 本题结论还可以推广：a b c ，，与111a b c，，均不可能构成等比数列．尖子班学案3【拓2】证明：238，，不可能是同一等差数列中的三项．【解析】 假设结论不成立，即存在一个等差数列{}n a ，公差为d ，使得238，，是其中三项，不妨记12(1)k a a k d ==+-，13(1)m a a m d ==+-，18(1)n a a n d ==+-． 于是32()m k a a m k d -=-=-，83()n m a a n m d -=-=-， 将这两个式子相除得83(223)(32)1632m k n m --==-+=+--， 由*m n k ∈N ，，知m kn m-∈-Q ，故16+∈Q ，这不可能，故假设错误，238，，不可能是同一等差数列中的三项．目标班学案3 【拓3】实数a b c ，，满足000a b c ab bc ac abc ++>++>>，，，求证：a b c ，，均大于零． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，中存在不大于零的数，不妨设0a ≤，由0abc >知，0a <，且0bc <，不妨设00b c <>，， 由0a b c ++>知0c a b >-->，0a b +<．于是22()()()ab bc ac ab a b c ab a b a b a ab b ++=++<++--=---223024b a b ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，这与已知中0ab bc ac ++>矛盾，故假设不正确，即a b c ，，均大于零．【演练1】已知(32)(5)i 1910i a b a b ++-=+()a b ∈R ，，则a = ，b = ． 【解析】 35，；32193510a b a a b +=⎧⇒=⎨-=⎩，5b =．【演练2】若3i z =-，则2z 的共轭复数是 ．【解析】223i +； 22(3i)223i z =-=-，2223i z =+．实战演练13【演练3】实数m 分别取什么数值时？复数22(56)(215)i z m m m m =+++--⑴ 与复数212i -相等；⑵ 与复数1216i +互为共轭；⑶ 对应的点在x 轴上方．【解析】 ⑴ 根据复数相等的充要条件得2256221512m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =-．⑵ 根据共轭复数的定义得22561221516m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =．⑶ 根据复数z 对应点在x 轴上方可得22150m m -->，解之得3m <-或5m >． ∴(3)(5)m ∈-∞-+∞，，．【演练4】若复数3i1ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．3- D ．6【解析】 C由3i (3i)(1i)3(3)i 33i 1i (1i)(1i)222a a a a a a ++-++-+-===+++-． 因为复数3i 1i a ++是纯虚数，所以302a +=且302a-≠．解得3a =-．【演练5】若1x <，1y <，证明：11x yxy-<-． 【解析】 用分析法证明：要证明11x yxy-<-，即证明1x y xy -<-，即证明2222212x y xy xy x y +-<-+， 不等式移项得即证明2222221(1)(1)0x y x y x y +--=-->． 由11x y <<，知，2211x y <<，，故此不等式成立，原命题得证．【演练6】已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：a b c ，，不可能是等比数列． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，构成等比数列，则2b ac =．又2b a c =+，故222a c b ac +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理得：2()0a c -=，故a c b ==，这与已知中的公差0d ≠矛盾，故假设不成立，所以a b c ，，不可能是等比数列．。
1复数讲义
绵阳中学实验学校（文科）数学期末复习第一讲复 数【1】复数的基本概念（1）形如a + bi 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；i 叫虚数单位，1i 2-=. 其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z = ；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z = 叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =,21i =-,3i i =-,41i =,5i i =,61i =-,⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+【例1】已知()14z a b i =++-，求(1)当,a b 为何值时z 为实数(2)当,a b 为何值时z 为纯虚数(3)当,a b 为何值时z 为虚数(4)当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
复数(讲义+习题)
复数一、复数的有关概念1、复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数.2、复数相等：a+bi=c+di a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3,62i i ++也没有大小。
二、复数的几何意义 1、复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数. 2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi 复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi 平面向量),(b a z =（a,b ∈R ）. 3、复数的模向量),(b a z =的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=22b a +.积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅ ，（2）()112220z z zz z =≠三、复数的运算1、复数的加、减、乘、除运算法则 设),,,(,21R d c b a dic z bi a z ∈+=+=,则（1）加法：id b c a z z )()(21+++=+（2）减法：i d b c a z z )()(21-+-=-（3）乘法：i bc ad bd ac z z )()(21++-=∙（4）除法：di c bi a z z ++=21=))(())((di c di c di c bi a -+-+=22)()(d c i ad bc bd ac +-++=22d c bd ac +++i d c ad bc 22+- 2、复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即Cz z ∈∀21,，有)()(,3213211221z z z z z z z z z z ++=+++=+注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小.3、复数的常见运算（1）i i i i i in n n n-=-===+++3424144,1,,1（2）i i 2)1(2=+ （3）i ii=-+11例题一、复数概念1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14．已知复数12z i =-，那么1z=（ ）． A ．52555+i B ．52555i - C ．1255i + D ．1255i - 5．设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于 （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i6.若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为A.1B.2C.1或2D.-17．对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．48．已知复数z 与 (z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z = ____________． 9.若2z =且1-=+z i z ，则复数z =二、复数相等 1．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ）． A ．－15B ．－3C ．3D ．152．若21a bi i =+-（i 为虚数单位，,a b R ∈ ）则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ）． A ．1+2i B ． 1-2i C ．2+i D ．2- i 三、复数计算 1．复数31ii--等于（ ）． A ．i 21+ B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．已知复数z 满足（3＋3i ）z ＝3i ，则z=（ ）．A ．3322i － B. 3344i － C. 3322i ＋ D.3344i ＋ 3．复数32322323i ii i+--=-+（ ）． A ．0B ．2C ．－2iD ．24．复数2(12)34i i+-的值是（ ）．A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i5．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为（ ）．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 3．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（ ）．A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π课下作业一．选择题： 1．在复平面内，复数i i+-12对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3.设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =4.复数()221i i +=( )A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i 5.复数32(1)i i +=（ ）A ．2B ．－2C ．2i D ． 2i -6.设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 。
复数知识点讲义范文
复数知识点讲义范文复数是英语中名词的一种形式，用于表示多于一个的数量。
在复数形式中，名词通常会改变其拼写或者加上特定的后缀。
本文将介绍一些英语中的复数知识点。
1.一般规则大多数英语名词的复数形式是在末尾加上-s，比如book-books、cat-cats、dog-dogs等。
例外情况：- 如果名词以s、x、ch、sh、o结尾，复数形式则在末尾加上-es，比如bus-buses、box-boxes、watch-watches、dish-dishes、potato-potatoes等。
- 如果名词以辅音字母+y结尾，则应把y改成i，再加上-es，比如baby-babies、party-parties等。
- 如果名词以元音字母+y结尾，则直接加上-s，比如day-days、key-keys等。
2.不规则复数形式有一些名词的复数形式不按照一般规则进行变化，需要记住其特殊形式。
- 以-f或-fe 结尾的名词，复数形式中f或fe变为v再加上-es，比如wife-wives、leaf-leaves等。
- 以-us结尾的名词，复数形式中-us变为-i，比如bus-buses、focus-foci等。
- 有些名词的复数形式和单数形式相同，比如sheep-sheep、deer-deer等。
3.复数形式与动词一致在英语句子中，名词的复数形式与相应的动词一致。
主语是复数形式，谓语动词也需要用复数形式。
例如：- The cats are playing in the garden.- The students are studying for their exams.4.不可数名词一些名词是不可数名词，表示不可分割的事物或者抽象的概念，没有复数形式。
这些名词不可以用于不定冠词a/an和只用于不可数名词的量词如many、a few等。
例如：- water（水）：We need some water.- information（信息）: The information is useful.5.复数形式在固定搭配中的应用有一些英语短语或固定搭配中使用了特殊的复数形式。
复数讲义绝对经典
一、复数的概念1. 虚数单位i ：(1) 它的平方等于一1,即/2=-1;(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3) i 与一 1的关系：，就是一1的一个平方根，即方程%2=-1的一个根，方程+=-1的另一个根是，(4) i 的周期性：'实数 a (b = 0)'纯虚数bi(a=0)非纯虚数“ + M (心0)3. 复数的泄义:形如a + bi(a.beR)的数叫复数，a 叫复数的实部，〃叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做 复数集，用字母C 表示4. 复数的代数形式：通常用字母z 表示，^z = a + bi(a.beR),把复数表示成a + bi 的形式，叫做复数的代数形式.5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a + bi(a,beR) »当且仅当b = 0时，复数a + hi(a,beR)是实数d:当"工0时，复数 z = a+ bi 叫做虚数；当“ =0且"0时，z = bi 叫做纯虚数；当且仅当a = b = 0时，z 就是实数0 '已正实数丄—2T 是实数心：上二实数0空负实数[■纯虚数桥兰舄是虚数”旳•硬R )H 非纯虚数的虚数6. 复数集与英它数集之间的关系：NCZCQCRCC7. 两个复数相等的泄义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果"，“」，〃，c » t/eR,另E 么 “ + bi =c +Ji O a =c , b = d二、复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：复数•4K +!2.数系的扩充:复数z = a + bi(a,beR)与有序实数对(“，b)是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z的横坐标是"，纵坐标是复数z = a + bi(a t beR)可用点Z (“，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫髙斯平而，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2..对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确左的复数是z =0+0i =0表不是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数Z = d+仞—复平面内的点Z(“，历这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四则运算1.复数Z］与％的和的龙义：Z)+ z, = (“ + bi) + (c + di)= (“ + c) + (b+d)i2.复数©与G的差的圧义：Z)- z2 = (“ + bi)-(c + Ji)= (“ _c) + (b_d)i3.复数的加法运算满足交换律:勺+ % =勺+ z,4.复数的加法运算满足结合律:忆+z2) + z i = z l +(z2 +z3)5.乘法运算规则：设Zj=a + 〃i，Z2=c + di(a、b、c、dwR)是任意两个复数，那么它们的积Z|Z2 =(<z+/?i)(c +Ji) = (</<?- bd )4-(be + ad) i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把产换成一1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6.乘法运算律：⑴勺亿叩=(孕2比(2)(z1-z2)-z3=z l-(z2・Zs)(3)zjzj +z3) = 2^2 +ZjZ37.复数除法泄义：满足(c + Ji)(x+yi) = G/ + M )的复数x + yi(x. ywR)叫复数a + bi除以复数c +加的商，记为：(“ + bi) -(c + J/)或者 '：_ 第8. 除法运算规则：设复数 a+bi (a . /?eR)i 除以 c + di (c ,其商为 x + yi (x 、ywR),即(a + bi)-<-(c +Ji) = x + yi T (A + y/)(c + di) = [ex 一dy) + (dx + cy)i/. (cr-i/y) + ((Ar + c7)i = “ + bi② 利用（C + di ）（「di ） = c2+d2于是将靑的分母有理化得:“ + bi _ (a + bi)(c-ch) _ [ac + bi (-ch)] + (be 一ad)\ c + di (c + di)(c 一 Ji) c 2 + d 2 (ac + hd) + (be 一 cul )i ac + bd be 一ad . c 2 +d 2 1 • 〃 F ・、/ ac + bd he — ad .• •((d +加)十(c + 〃i)=点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式吋，都是釆用的分母有理化思想方法,而复数c + di 与复数c-di 9相当于我们初中学习的妇+JT 的对偶式-迈，它们之积为1是有理数，而（〈・ + /）（（•-也）=卞+〃2是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.9. 共轨复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轨复数。
复数讲义绝对经典)
复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-，43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义： 2． 复数1z 与2z 的差的定义：3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ady c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c dc d+-=+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++． ∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc dc d+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的-1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
高中数学竞赛讲义复数
高中数学竞赛讲义复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos n θ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。
4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根 记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。
由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。
关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε； （2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、数的发展历程从远古时代开始，人类在生产和生活中就逐渐产生了数的概念。
最初，人们只会用简单的整数来计数，比如 1、2、3 等等，这些整数被称为自然数。
随着社会的发展，人们在分配物品、测量长度等活动中，发现仅仅用自然数是不够的，于是产生了分数。
分数可以表示把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份。
后来，在计算边长为 1 的正方形的对角线长度时，发现无法用已有的自然数和分数来准确表示，于是引入了无理数，如√2 。
数的概念不断扩展，到了近代，又出现了一种新的数——复数。
二、复数的定义我们把形如 a ＋ bi 的数叫做复数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1 。
在复数 a ＋ bi 中，a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作Im(z) 。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a ；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi 。
三、复数的表示方法1、代数形式复数的代数形式就是我们常见的 a ＋ bi 。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以 x 轴为实轴，y 轴为虚轴，建立复平面。
复数 a ＋ bi 可以用复平面内的点（a, b) 来表示。
3、三角形式复数 a ＋ bi 可以表示为r(cosθ ＋isinθ) ，其中 r ＝√（a²＋ b²) ，θ是复数的辐角。
4、指数形式根据欧拉公式 e^（iθ) ＝cosθ ＋isinθ ，复数还可以表示为 re^（iθ) 。
四、复数的运算1、加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
即（a ＋ bi)＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i 。
2、减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
即（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i 。
3、乘法按照多项式乘法法则展开，然后利用 i²＝－1 化简。
【复数】精品讲义教师版
题型一 复数的概念1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.1．若复数(1＋i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a ＝________.答案 1解析 由(1＋i)(1＋a i)＝(1－a )＋(a ＋1)i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝01＋a ≠0，由此解得a ＝1. 2．(2012·北京)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0.故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.3、若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 答案 A4、设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2. 方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i .则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋(－3)2＝2.答案 (2)25．（2012新课标全国，5分）复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i. 答案：D6．（2012湖南，5分）复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.答案：A7、复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由于(3＋4i)i ＝－4＋3i ，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(－4,3)，相对应的点位于第二象限，选B.8．（2013福建，5分）复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：本题主要考查复数的几何意义，意在考查考生的数形结合能力．复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C9．（2013北京，5分）在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：本题主要考查复数的运算法则和几何意义，属于容易题，意在考查考生根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力，并根据复数的几何意义判断出复数在复平面内对应的点所在的象限．因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故选A.答案：A10．（2011山东，5分）复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z ＝2－i 2＋i＝(2－i )(2－i )5＝35－45i ，其在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D11．（2012北京，5分）在复平面内，复数10i 3＋i对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1) C ．(－1,3) D ．(3，－1)解析：由10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)． 答案：A12．（2013江西，5分）复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 本题主要考查复数的乘法及复数的几何意义，旨在考查考生对复数知识掌握的程度．因为z ＝i(－2－i)＝－2i －i 2＝1－2i ，所以它对应的点为(1，－2)，其在第四象限．13.（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：本题主要考查复数的几何表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解．设点A (x ，y )表示复数z ＝x ＋y i ，则z 的共轭复数z ＝x －y i 对应的点为B (x ，－y )，选B.答案：B题型二 复数的有关运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．(2012·广东)设i 为虚数单位，则复数5－6i i等于( ) A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i答案 D解析 5－6i i ＝(5－6i )i i 2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i ，故选D. 2.（2013新课标全国Ⅰ，5分）1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i 解析：本题主要考查复数的基本运算.1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i. 答案：B3. （2013新课标全国Ⅱ，5分）⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1解析：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，意在考查考生对基础知识的掌握程度.21＋i＝2(1－i )2＝1－i ，所以⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝12＋(－1)2＝ 2. 答案：C4．（2013山东，5分）复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：本题主要考查复数的基本概念和运算，考查运算能力．z ＝(2－i )2i ＝(－i )×(3－4i )1＝－4－3i ，|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5.答案：C5．(2013浙江，5分)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i解析：本题主要考查复数的基本运算等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度．(2＋i)(3＋i)＝6＋2i ＋3i ＋i 2＝5＋5i.答案：C6．（2013辽宁，5分）复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 解析：本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z ＝－1－i (－1－i )(－1＋i )＝－12－12i ，所以|z |＝22. 答案：B7．（2013天津，5分）i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.解析：本题主要考查复数的运算，意在考查考生的运算求解能力．(3＋i)(1－2i)＝5－5i. 答案：5－5i8．（2012广东，5分）设i 为虚数单位，则复数3＋4i i＝( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i解析：3＋4i i＝－i(3＋4i)＝4－3i. 答案：D9．（2012安徽，5分）复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋3iD ．1－2i解析：设z ＝a ＋b i ，则(z －i)i ＝－b ＋1＋a i ＝2＋i ，由复数相等的概念可知，－b ＋1＝2，a ＝1，所以a ＝1，b ＝－1.答案：B10．（2012福建，5分）复数(2＋i)2等于( )A ．3＋4iB ．5＋4iC ．3＋2iD ．5＋2i解析：(2＋i)2＝4－1＋4i ＝3＋4i答案：A11．（2012浙江，5分）已知i 是虚数单位，则3＋i 1－i＝( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i解析：3＋i 1－i＝(3＋i )(1＋i )2＝1＋2i. 答案：D12．（2011新课标全国，5分）复数5i 1－2i＝( ) A ．2－i B ．1－2i C ．－2＋i D ．－1＋2i解析：5i 1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋i. 答案：C13．(2012·山东)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i答案 A解析 ∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i. 14．(2012·福建)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i 答案 A解析 方法一 由z i ＝1－i 得z ＝1－i i ＝1i－1＝－1－i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z i ＝1－i ，得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴z ＝－1－i. 15．若a 1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|等于( ) A. 5 B. 2 C. 3 D ．1 解析 由a 1－i＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ， 所以|a ＋b i|＝ 5.所以选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)16．(2012·上海)计算：3－i 1＋i＝________(i 为虚数单位)． 答案 1－2i解析 3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－4i 2＝1－2i. 17．(2012·江苏)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i 1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 答案 8解析 ∵11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝8.18．（2012湖北，5分）若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：319．已知复数z 满足1＋2i z＝1－2i ，则复数z ＝____________. 答案 －35＋45i 解析 z ＝1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i. 20．(2012·湖南)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案 10解析 方法一 ∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.方法二 ∵z ＝(3＋i)2＝9＋6i ＋i 2＝8＋6i ，∴|z |＝82＋62＝10.21．(2011·江苏)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.22．(2013安徽，5分)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力．复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3. 答案：D23．（2013广东，5分）若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：本题主要考查复数运算、相等、模等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得－y ＋x i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝3，x ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，x ＝4，∴|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.。
复数讲义(绝对经典)
复数一.复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-,即21i =-;（2）实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加.乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根,即方程21x=-的一个根,方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的界说：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部．全部复数所成的聚集叫做复数集,用字母C 暗示4． 复数的代数情势:通经常应用字母z 暗示,即()z a bi a b R =+∈，,把复数暗示成a bi +的情势,叫做复数的代数情势．5． 复数与实数.虚数.纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，,当且仅当0b =时,复数()a bi a b R +∈，是实数a ;当0b ≠时,复数z a bi =+叫做虚数;当0a =且0b ≠时,z bi=叫做纯虚数;当且仅当0a b ==时,z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C7． 两个复数相等的界说：假如两个复数的实部和虚部分离相等,那么我们就说这两个复数相等．这就是说,假如a ,a b d ，，,c ,d ∈R ,那么i i a b c d +=+⇔a c =,b d = 二.复数的几何意义1． 复平面.实轴.虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．树立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，暗示,这个树立了直角坐标系来暗示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴．实轴上的点都暗示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为()00，,它所肯定的复数是00i 0z =+=暗示是实数． 除了原点外,虚轴上的点都暗示纯虚数．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种暗示办法,即几何暗示办法．三.复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的界说： 2． 复数1z 与2z 的差的界说：3． 复数的加法运算知足交流律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算知足联合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规矩：设1i z a b =+,2i z c d =+(a .b .c .d ∈R )是随意率性两个复数, 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘,相似两个多项式相乘,在所得的成果中把2i 换成1-,并且把实部与虚部分离归并．两个复数的积仍然是一个复数．6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+7． 复数除法界说：知足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x .y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di+的商,记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di ++8． 除法运算规矩：设复数i a b + (a .b ∈R ),除以i c d + (c ,d ∈R ),其商为i x y +（x .y ∈R ), 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等界说可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组,得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c dc d+-=+++ ②应用()()22i i c d c d c d +-=+于是将i ia b c d ++的分母有理化得：原式22i (i)(i)[i (i)]()ii(i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d+-+++ 点评:①是通例办法,②是应用初中我们进修的化简无理分式时,都是采取的分母有理化思惟办法,而复数i c d +与复数i c d -,相当于我们初中进修的的对偶式,它们之积为1是有理数,而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种办法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．1． 复数的概念【例1】 已知2(1a i bi ii -⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭为虚数单位）,那么实数a,b 的值分离为（ ）A ．2,5B ．-3,1C ．-1．1D ．2,32-【答案】D【例2】 盘算：0!1!2!100!i +i +i ++i =（i 暗示虚数单位）【答案】952i +【解析】 ∵4i 1=,而4|!k （4k ≥）,故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+⨯=+【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+,t ∈R ,则下列命题中必定准确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【答案】D【解析】 2222(1)10t t t -+=-+≠．【例4】 鄙人列命题中,准确命题的个数为（）①两个复数不克不及比较大小;②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数,则实数1x =±; ③z 是虚数的一个充要前提是z z +∈R ;④若a b ，是两个相等的实数,则()()i a b a b -++是纯虚数; ⑤z ∈R 的一个充要前提是z z =．例题精讲⑥1z =的充要前提是1z z=． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 复数为实数时,可以比较大小,①错;1x =-时, 22(1)(32)0x x x i -+++=,②错;z 为实数时,也有z z +∈R ,③错;0a b ==时, ()()0a b a b i -++=,④错;⑤⑥准确．2． 复数的几何意义 【例5】 复数2i12im z -=+（m ∈R ,i 为虚数单位）在复平面上对应的点不成能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】 由已知2(2)(12)1[(4)2(1)]12(12)(12)5m i m i i z m m i i i i ---===--+++-在复平面临应点假如在第一象限,则4010m m ->⎧⎨+<⎩,而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不成能位于第一象限．【例6】 若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 联合正.余弦函数的图象知,当35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时,cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，． 【例7】 假如复数z 知足i i 2z z ++-=,那么i 1z ++的最小值是（ ） A ．1BC ．2D【答案】A【解析】 设复数z 在复平面的对应点为Z ,因为i i 2z z ++-=,所以点Z 的聚集是y 轴上以1(01)Z ，.2(01)Z -，为端点的线段．i 1z ++暗示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，到点(11)--，的距离,其距离为1． 【例8】 知足1z =及1322z z +=-的复数z 的聚集是（ ）A．1122⎧⎫⎪⎪-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭， C．⎫⎪+⎬⎪⎪⎩⎭ D．1122⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 【答案】D【解析】 复数z 暗示的点在单位圆与直线12x =上（1322z z +=-暗示z 到点102⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离相等,故轨迹为直线12x =）,故选D ． 【例9】 已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，则yx的最大值为_______．【解析】2i x y -+=∵22(2)3x y -+=∴,故()x y ，在认为(20)C ，圆心,yx暗示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图,由平面几何常识,易知y x【例10】 复数z 知足前提：21iz z +=-,那么z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【解析】 A ;设i z x y =+,则有(21)2i (1)ix y x y ++=+-,2222(21)(2)(1)x y x y ⇒++=+-,化简得：22215339x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故为圆．【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离;②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心,半径为r的圆上的点．【例11】 复数1z ,2z 知足120z z ≠,1212z z z z +=-,证实：21220z z <．【解析】 设复数1z ,2z 在复平面上对应的点为1Z ,2Z ,由1212z z z z +=-知,以1OZ ,2OZ 为邻边的平行四边形为矩形,12OZ OZ ∴⊥,故可设12(0)z ki k k z =∈≠R ，,所以2222122i 0z k k z ==-<． 也可设12i i z a b z c d =+=+，,则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=, 122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++,故22112220z z z z ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． 【例12】 已知复数1z ,2z知足11z =,21z =,且124z z -=,求12z z 与12z z +的值．【答案】;4．【解析】 设复数1z ,2z 在复平面上对应的点为1Z ,2Z ,因为2221)1)4+=,故2221212z z z z +=-, 故以1OZ ,2OZ 为邻边的平行四边形是矩形,从而12OZ OZ ⊥,则12z z ==;12124z z z z +=-=． 【例13】 已知12z z ，∈C ,121z z ==,12z z +求12z z -．【解析】 设复数12z z ，,12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，,由121z z ==知,以1OZ ,2OZ 为邻边的平行四边形是菱形,记O 所对应的极点为P ,由12z z +, 1120PZ O ∠=︒（可由余弦定理得到）,故1260Z OZ ∠=︒, 从而121z z -=．【例14】 已知复数z知足(2(24z z -++-=,求d z =的最大值与最小值．【答案】max d =,min 1d =【解析】设i z x y =+,则()x y ，知足方程22(2)14y x -+=．d又13x ≤≤,故当10x y ==，时,min 1d =;当83x y ==，时,有max d =．3． 复数的四则运算 【例15】 已知m ∈R,若6(i)64i m m +=-,则m 等于（ ）A ．2-B．．．4【答案】B【解析】66366(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-⇒=⇒= 【例16】 盘12．【答案】511-【解析】 原式12121269100121511(i)=+=-+=--． 【例17】 已知复数1cos i z θ=-,2sin i z θ=+,则12z z ⋅的最大值为（ ）A ．32B．3【答案】A=,故当sin 21θ=±时, 12z z ⋅32． 【例18】 对随意率性一个非零复数z ,界说聚集{|}n z M w w z n ==∈N ，． （１）设z 是方程10x x+=的一个根,试用列举法暗示聚集z M ．若在zM 中任取两个数,求其和为零的概率P ;（2）若聚集z M 中只有3个元素,试写出知足前提的一个z 值,并解释来由．【答案】（1）13;（2）12z =--． 【解析】 （1）∵z 是方程210x +=的根,∴i z =或i z =-,不管i z =或i z =-,234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，，，，，，, 于是2421C 3P ==． （2）取12z =-+,则212z =--及31z =． 于是23{}z M z z z =，，或取12z =-．（解释：只需写出一个准确答案）．【例19】 解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=． 【答案】123i 2x x =-=，． 【解析】 错解：由复数相等的界说得2235602220x x x x x x x ⎧==⎧-+=⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或．剖析：“i i a b c d a c +=+⇔=,且b d =成立”的前提前提是a b c d ∈R ，，，,但本题并未告知x 是否为实数．法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=,22(5i)4(62i)2i (1i)∆=---=-=-．由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-==-,2(5i)(1i)22x ---==．∴原方程的解为13i x =-,22x =．法二：设i()x a b a b =+∈R ，,则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=, 22(56)(252)i 0a b a b ab b a ⇒---++-+-=225602520a b a b ab b a ⎧---+=⎪⇒⎨-+-=⎪⎩①②,由②得：5221b a b +=+,代入①中解得：31a b =⎧⎨=-⎩或2a b =⎧⎨=⎩,故方程的根为123i 2x x =-=，．【例20】 已知21z x =+22()i z x a =+,对于随意率性x ∈R ,均有12z z >成立,试求实数a 的取值规模．【答案】112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【解析】 12z z >∵,42221()x x x a ++>+∴,22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=,即12a =时,不等式恒成立;当120a -≠时,21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上,112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【例21】 关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根,求实数a 的取值规模．【答案】1a =±【解析】 误：∵方程有实根,22(2)4(1)450a i ai a ∴∆=---=-≥．解得aa ≤析：判别式只能用来剖断实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情形,而该方程中2i a -与1i a -并不是实数．正：设0x 是其实根,代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=,由复数相等的界说,得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩,解得1a =±．【例22】 设方程220x x k -+=的根分离为α,β,且αβ-=求实数k 的值．【答案】1k =-或3k =．【解析】 若α,β为实数,则440k ∆=-≥且2222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=,解得1k =-．若α,β为虚数,则440k ∆=-<且α,β共轭,2222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=,解得3k =．综上,1k =-或3k =．【例23】 用数学归纳法证实：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，．并证实1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-,从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【解析】1n =时,结论显然成立; 若对n k =时,有结论成立,即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+, 则对1n k =+,1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知,上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++,从而知对1n k =+,命题成立．综上知,对随意率性n +∈N ,有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 易直接推导知：故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．【例24】 若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=（12n a a a ∈R ，，，）的解, 求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=．【解析】 将解代入原方程得：11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-+++++=,将此式双方同除以(cos isin )n αα+,则有：12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++++=, 即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=,1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα++++-+++=,由复数相等的界说得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=．【例25】 设x .y为实数,且511213x y i i i+=---,则x y +=________． 【答案】4【解析】 由511213x y i i i +=---知,5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+, 即(525)(5415)0x y x y i +-++-=,故525054150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得15x y =-⎧⎨=⎩,故4x y +=．【例26】 已知1zz -是纯虚数,求z 在复平面内对应点的轨迹． 【答案】认为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆心,12为半径的圆,并去失落点(00)，和点(10)，． 【解析】 法一：设i z x y =+（x y ∈R ，）, 则222i (1)i 11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数, 故220(0)x y x y +-=≠,即z 的对应点的轨迹是认为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆心,12为半径的圆,并去失落点(00)，和点(10)，．法二：∵1zz -是纯虚数,∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭（0z ≠且1z ≠）∴011z z z z +=--,∴(1)(1)0z z z z -+-=,得到22z z z =+, 设z x yi =+（x y ∈R ，）,则22x y x +=（0y ≠）∴z 的对应点的轨迹认为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆心,12为半径的圆,并去失落点(00)，和点(10)，．【例27】 设复数z 知足2z =,求24z z -+的最值．【解析】 由题意,24z z z =⋅=,则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤, 则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．∴当12a =时,2min 40z z -+=,此时12z =±;当2a =-时,2min 410z z -+=,此时2z =-．【例28】 若()23i f z z z =+-,()63i f z i +=-,试求()f z -．【答案】64i -- 【解析】 ∵()23i f z z z =+-,∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-,∴22i 63i z z +-=-设i z a b =+（a b ∈R ，）,则i z a b =-,∴2(i)(i)6i a b a b -++=-,即3i 6i a b -=-, 由复数相等界说得361a b =⎧⎨-=-⎩,解得21a b ==，．∴2i z =+． 故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．【点评】复数的共轭与模长的相干运算性质：①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ,则2z z x +=;2i z z y -=; ②z 为实数2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=; ③z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠; ④对随意率性复数有z z=;1212z z z z ±=±;1212z z z z =⋅,特殊地有22()z z =;1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭;2z z z =⋅．⑤zz=,22zz zz ==．1212z z z z ⋅=⋅,1122z z z z =,121222z z z z z z -±+≤≤．以上性质都可以经由过程复数的代数情势的具体盘算进行证实．【例29】 已知虚数ω为1的一个立方根, 即知足31ω=,且ω对应的点在第二象限,证实2ωω=,并求23111ωωω++与211ωω++的值．【答案】0;12-+【解析】 法一：321(1)(1)0x x x x -=-++=,解得：1x =或12x =-±．由题意知12ω=-+,证实与盘算略;法二：由题意知31ω=,故有22(1)(1)010ωωωωω-++=⇒++=．又实系数方程虚根成对消失,故210x x ++=的两根为ωω，．由韦达定理有1ωω=321ωωωωω⇒===．22233111110ωωωωωωωω++++==++=．222111121ωωωωωωω++-====-+-+．【点评】应用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，，,210ωω++=可以快速盘算一 些ω相干的复数的幂的问题．【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=（012212n n a a a a ω+∈∈=-+N R ，，，，，，）, 求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++，，,则有20A B C ωω++=,即11022A B C ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,202)0A B CB C --⎧=⎪⎪⇒-=,解得A B C ==,即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++．【例31】 设z 是虚数,1w z z=+是实数,且12w -<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值规模; （2）设11z u z-=+,求证：u 为纯虚数;（3）求2w u -的最小值．【答案】（1）1z=;z 的实部的取值规模是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，;（3）1． 【解析】 （1）设i z a b =+,a b ∈R ，,0b ≠ 则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭,因为w 是实数,0b ≠,所以221a b +=,即1z =．于是2w a =,122w a -<=<,112a -<<,所以z 的实部的取值规模是112⎛⎫-⎪⎝⎭，． （2）222211i 12i i 11i (1)1z a b a b b bu z a b a b a ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,0b ≠,所认为u 纯虚数． （3）2222211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦． 因为112a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，,所以10a +>,故223431w u -⋅=-=≥． 当111a a +=+,即0a =时,2w u -取得最小值1． 【例32】 对随意率性一个非零复数z ,界说聚集21{|}n z M w w z n -==∈N ，．（1）设σ是方程1x x+=,试用列举法暗示聚集M σ;（2）设复数z M ω∈,求证：z M M ω⊆．【答案】（1）i)i)i)i)M σ⎫⎪=+-+-⎬⎪⎪⎩⎭，，;（2）略【解析】 （1）∵σ是方程1x x+=,∴1i)σ=+或2i)σ=-,当1i)σ=+时,∵21i σ=,2211111()i n n n σσσσ-==．∴11111i 1i 1M σσσσσ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭，，，i)i)i)i)⎫⎪=+-+-⎬⎪⎪⎩⎭，，,当2i)σ=-时,∵22i σ=-,∴2i)i)i)i)M σ⎫⎪=+-+-⎬⎪⎪⎩⎭，，．∴i)i)i)i)2222M σ⎫⎪=+---+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，，;（2）∵z M ω∈,∴消失m ∈N ,使得21m z ω-=．于是对随意率性n ∈N ,21(21)(21)n m n z ω---=．因为(21)(21)m n --是正奇数,21n z M ω-∈,∴z M M ω⊆．【例33】 已知复数01i(0)z m m =->,i z x y =+和i w x y ''=+,个中x y x y ''，，，均为实数,i 为虚数单位,且对于随意率性复数z ,有0w z z =⋅,2w z =． （1）试求m 的值,并分离写出x '和y '用x y ，暗示的关系式;（2）将()x y ，作为点P 的坐标,()x y ''，作为点Q 的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时,试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程;（3）是否消失如许的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若消失,试求出所有这些直线;若不消失,则解释来由．【答案】（1）x x y y⎧'=+⎪⎨'-⎪⎩;（2）(22y x =-;（3）如许的直线消失,其方程为y =或y = 【解析】 （1）由题设,002w z z z z z=⋅==,∴02z =,于是由214m +=,且0m >,得m =是以由(i))i x y i x y x y ''++=+-,得关系式x x y y⎧'=+⎪⎨'-⎪⎩． （2）设点()P x y ，在直线1y x =+上,则其经变换后的点()Q x y ''，知足(11)1x x y x ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩,消去x,得(23)232y x ''=--+,故点Q的轨迹方程为(23)232y x =--+．（3）假设消失如许的直线,∵平行坐标轴的直线显然不知足前提,∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠．∵该直线上的任一点()P x y ，,其经变换后得到的点(33)Q x y x y +-，仍在该直线上,∴3(3)x y k x y b -=++,即(31)(3)k y k x b -+=-+,当0b ≠时,方程组(31)13k k k⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩无解,故如许的直线不消失． 当0b =,由(31)31k k k-+-=,得23230k k +-=,解得33k =或3k =-．故如许的直线消失,其方程为33y x =或3y x =-．【习题1】 已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值规模是（ ）A ．()15，B ．()13，C ．()15，D ．()13，【答案】C【解析】 21z a =+,而02a <<,∴15z <<【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角,则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->,cos()cot tan 0sin cos A B B A B A+-=<．【习题3】 复数45(22i)(13i)+-等于（ ）课后检测A．1 B．1- C．1 D．1-【解析】原式42522516(1i)1(2i)221211(2)22ωω+==-⋅===-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,选B ．【习题4】 已知复数12z z ，知足121z z ==,且12z z -求证：12z z +=【解析】 设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ,2Z ,由前提知1212z z -,以1OZ ,2OZ 为邻边的平行四边形为正方形,而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线,所以12z z +【习题5】 设复数1z ,2z 知足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=,个中A 求12z A z A+⋅+的值．【答案】5121212()()z A z A z z A z A z A A =++=⋅+⋅+⋅+⋅,把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入上式,得2125z A z A A A A +⋅+=⋅==．。
上海高中数学-复数讲义
复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性: i 4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=—i ， i 4n=1()n Z ∈()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。
{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
N Z Q R C 。
3、复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ；00a bi a +=⇔=且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3,62i i ++也没有大小。
5、复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅，（2)()112220z z zz z =≠6、复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b (),Z a bi a b R =+∈↔一一对应复数平面向量OZ ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=（a +bi ）+(c +di ）=(a +c ）+(b +d )i 。
(),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1—z 2=(a +bi )—(c +di ）=(a -c ）+(b —d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义:复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈;OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b ）+（c ，d )=（a +c ，b +d ）＝（a +c ）+(b +d )i复数减法的几何意义:复数z 1-z 2的差（a －c ）+(b －d ）i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z = z B －z A 。
复数讲义(绝对经典)
复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
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复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++． ∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．1． 复数的概念【例1】 已知2(1a i bi i i -⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭为虚数单位），那么实数a ，b 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．-3，1 C ．-1．1 D ．2，32-【答案】D【例2】 计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位） 【答案】952i +【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+⨯=+L【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【答案】D【解析】2222(1)10t t t -+=-+≠．【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1z z =． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时， 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时， ()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．2． 复数的几何意义例题精讲【例5】 复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 由已知2(2)(12)1[(4)2(1)]12(12)(12)5m i m i i z m m i i i i ---===--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则4010m m ->⎧⎨+<⎩，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例6】 若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，．【例7】 如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（ ）A ．1B C ．2 D【答案】A【解析】 设复数z 在复平面的对应点为Z ，因为i i 2z z ++-=，所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段．i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，到点(11)--，的距离，其距离为1．【例8】 满足1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是（ ）A ．1122⎧⎫⎪⎪-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭，C ．⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭D ．1122⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 【答案】D【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线12x =上（1322z z +=-表示z 到点102⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点302⎛⎫⎪⎝⎭，的距离相等，故轨迹为直线12x =），故选D ．【例9】 已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，yx 的最大值为_______．【解析】2i x y -+=∵ 22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx【例10】 复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【解析】 A ；设i z x y =+，则有(21)2i (1)i x y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ⇒++=+-，化简得：22215339x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故为圆．【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．【例11】 复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ u u u u r，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ∴⊥u u u u r u u u u r ，故可设12(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2222122i 0z k k z ==-<．也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=， 122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故22112220z z z z ⎛⎫=< ⎪⎝⎭．【例12】 已知复数1z ，2z满足11z =，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．【答案】；4． 【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z，由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，则12z z ==；12124z z z z +=-=．【例13】 已知12z z ，∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -．【解析】 设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u ur 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，由12z z += 1120PZ O ∠=︒（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=︒， 从而121z z -=．【例14】 已知复数z满足(2(23i)4z z -+-=，求d z =的最大值与最小值．【答案】max d =，min 1d = 【解析】设i z x y =+，则()x y ，满足方程22(2)14y x -+=．d = 又13x ≤≤，故当10x y ==，时，min 1d =；当83x y ==，时，有max d =．3． 复数的四则运算【例15】 已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（ ）A ．2-B． C． D ．4【答案】B【解析】66366(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-⇒=⇒=【例16】 计12．【答案】511- 【解析】 原式12121269100121511(i)==+=-+=--．【例17】 已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（ ）复数讲义(绝对经典)A ．32BCD ．3【答案】A【解析】 12(cos i)(sin i)(cos sin 1)(cos sin )i z z θθθθθθ⋅=-+=++-==， 故当sin21θ=±时， 12z z ⋅32=．【例18】 对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，． （１）设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（2）若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．【答案】（1）13；（2）12z =--．【解析】 （1）∵z 是方程210x +=的根，∴i z =或i z =-，不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，，，，，，， 于是2421C 3P ==． （2）取12z =-，则212z =-及31z =．于是23{}z M z z z =，，或取12z =-．（说明：只需写出一个正确答案）．【例19】 解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=． 【答案】123i 2x x =-=，．【解析】 错解：由复数相等的定义得2235602220x x x x x x x ⎧==⎧-+=⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或． 分析：“i i a b c d a c +=+⇔=，且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=，22(5i)4(62i)2i (1i)∆=---=-=-．由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-==-，2(5i)(1i)22x ---==．∴原方程的解为13i x =-，22x =．法二：设i()x a b a b =+∈R ，，则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=，22(56)(252)i 0a b a b ab b a ⇒---++-+-=225602520a b a b ab b a ⎧---+=⎪⇒⎨-+-=⎪⎩①②，由②得：5221b a b +=+，代入①中解得：31a b =⎧⎨=-⎩或20a b =⎧⎨=⎩，故方程的根为123i 2x x =-=，．【例20】 已知21z x =+，22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【答案】112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【解析】12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【例21】 关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【答案】1a =±【解析】 误：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a ∴∆=---=-≥．解得aa ≤． 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．【例22】 设方程220x x k -+=的根分别为α，β，且αβ-=k 的值． 【答案】1k =-或3k =．【解析】 若α，β为实数，则440k ∆=-≥且2222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，解得1k =-．若α，β为虚数，则440k ∆=-<且α，β共轭，2222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．综上，1k =-或3k =．【例23】 用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【解析】 1n =时，结论显然成立；若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+， 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++ (cos cos sin sin )i[cos sin()sin cos ]k k k k θθθθθθθθ=-++ cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，从而知对1n k =+，命题成立．综上知，对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 易直接推导知：(cos isin )(cos isin )(cos()isin())(cos isin )cos0isin01θθθθθθθθ-+=-+-+=+=故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．(cos isin )(cos isin )(cos()isin())n n n θθθθθθ-+=-=-+-cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．【例24】 若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=L （12n a a a ∈R L ，，，）的解，求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．【解析】 将解代入原方程得：11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-+++++=L ，将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有：12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++++=L ，即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=L ， 1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα++++-+++=L L ，由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．【例25】 设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=________．【答案】4 【解析】 由511213x y i i i +=---知，5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+， 即(525)(5415)0x y x y i +-++-=，故525054150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得15x y =-⎧⎨=⎩，故4x y +=．【例26】 已知1zz -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 【答案】以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．【解析】 法一：设i z x y =+（x y ∈R ，）， 则222i (1)i11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数， 故220(0)x y x y +-=≠，即z 的对应点的轨迹是以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．法二：∵1z z -是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭（0z ≠且1z ≠） ∴011z z z z +=--，∴(1)(1)0z z z z -+-=，得到22z z z =+， 设z x yi =+（x y ∈R ，），则22x y x +=（0y ≠） ∴z 的对应点的轨迹以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．【例27】 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．【解析】 由题意，24z z z =⋅=，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤， 则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．∴当12a =时，2min 40z z -+=，此时12z =；当2a =-时，2min410z z -+=，此时2z =-．【例28】 若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -． 【答案】64i --【解析】 ∵()23i f z z z =+-，∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴ 22i 63i z z +-=-设i z a b =+（a b ∈R ，），则i z a b =-，∴ 2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-， 由复数相等定义得361a b =⎧⎨-=-⎩，解得21a b ==，．∴2i z =+．故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =⋅，特别地有22()z z =；1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；2z z z =⋅．⑤z z =，22z z zz ==．1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z =，121222z z z z z z -±+≤≤． 以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．【例29】 已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求23111ωωω++与211ωω++的值． 【答案】0；12-+【解析】 法一：321(1)(1)0x x x x -=-++=，解得：1x =或12x =-±．由题意知12ω=-，证明与计算略；法二：由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=⇒++=．又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，． 由韦达定理有1ωω=321ωωωωω⇒===．22233111110ωωωωωωωω++++==++=．222111121ωωωωωωω++-====-++-+．【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，，，210ωω++=可以快速计算一 些ω相关的复数的幂的问题．【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=L（012212n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，）， 求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L【解析】23201232n n a a a a a ωωωω+++++L 3647258036147258()()()a a a a a a a a a ωωωωωωωω=+++++++++++L L L2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω=+++++++++++=L L L设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++L L L ，，， 则有20A B C ωω++=，即11022A B C ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，202)0A B CB C --⎧=⎪⎪⇒-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L ．【例31】 设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； （3）求2w u -的最小值．【答案】（1）1z =；z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（3）1． 【解析】 （1）设i z a b =+，a b ∈R ，，0b ≠则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 因为w 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2w a =，122w a -<=<，112a -<<，所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（2）222211i 12i i 11i (1)1z a b a b b bu z a b a b a ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以u 为纯虚数．（3）2222211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223431w u -⋅=-=≥． 当111a a +=+，即0a =时，2w u -取得最小值1．【例32】 对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，． （1）设σ是方程1x x+=的一个根，试用列举法表示集合M σ； （2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【答案】（1）i)i)i)i)2222M σ⎫⎪=+---+-⎬⎪⎪⎩⎭，，，；（2）略 【解析】 （1）∵σ是方程1x x+=的根，∴1i)σ=+或2i)σ-，当1i)2σ=+时，∵21i σ=，2211111()i n n n σσσσ-==． ∴11111i 1i 1M σσσσσ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭，，，i)i)i)i)⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，，当2i)2σ=-时，∵22i σ=-，∴2i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，．∴i)i)i)i)2222M σ⎫⎪=+---+-⎬⎪⎪⎩⎭，，，； （2）∵z M ω∈，∴存在m ∈N ，使得21m z ω-=．于是对任意n ∈N ，21(21)(21)n m n z ω---=．由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，∴z M M ω⊆．【例33】 已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，2w z =．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；（2）将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时， 试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）x x y y⎧'=⎪⎨'-⎪⎩；（2）(22y x =--；（3）这样的直线存在，其方程为y x 或y = 【解析】 （1）由题设，002w z z z z z =⋅==，∴02z =，于是由214m +=，且0m >，得m ，因此由(i))i x y i x y x y ''++=+-，得关系式x x y y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩．（2）设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，满足(11)1x x y x ⎧'=++⎪⎨'=-⎪⎩，消去x ，得(22y x ''=-，故点Q 的轨迹方程为(22y x =-． （3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠．∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点()Q x y +-仍在该直线上，()y k x b -=++，即1)(y k x b -+=-+，当0b ≠时，方程组1)1k k⎧-+=⎪⎨=⎪⎩无解，故这样的直线不存在．当0b ==220k +=，解得k 或k =．故这样的直线存在，其方程为y x 或y =．【习题1】 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．()15，B ．()13，C ．()15，D ．()13，【答案】C【解析】 21z a =+，而02a <<，∴15z <<【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()cot tan 0sin cos A B B A B A+-=<．【习题3】 复数45(13i)-等于（ ）A ．13i +B ．13i -+C ．13i -D ．13i --【解析】原式42522516(1i)1(2i)2213i 21313(2)i i 22ωω+==-⋅===-+⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，选B ．【习题4】 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．【解析】 设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222z z z z -==，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u ur 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122z z +=．【习题5】 设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中5A =，求12z A z A +⋅+的值． 【答案】5【解析】 121212z A z A z A z A z A z A +⋅+=+⋅+=+⋅+121212()()z A z A z z A z A z A A =++=⋅+⋅+⋅+⋅，把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入上式，得2125z A z A A A A +⋅+=⋅==．课后检测。